【初中數(shù)學(xué)解題技法】半角模型

半角模型

模型倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形

已知如圖：

Z2=-ZA0B,OA=OB?

2

連接FB,將△FOB繞點0旋轉(zhuǎn)

至aF'0A的位置，連接F'E、FE,

可得△OEF'^A0EF?

基本模型（1）——正方形內(nèi)含半角

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，ZEAF=45°,

求證：EF=BE+DF0

基本模型（2）——等邊三角形內(nèi)含半角

已知：如圖S.MC是等邊三角形，點D是…LBC外一點,DB=DCS.ZBDC=120°.

Z￡DF=60°,DE、Z）F分別交.也、于點E、F.

求證:EF=BE+CF

分折：延長FCSIG,使網(wǎng)CG=8E,

mSDG,窈證

再證:J)EFmDFG(5US),所以EF=FG=BE+CF

基本模型（3）——等腰直角三角形內(nèi)含半角

已知：如圖xL5C是等腰直角三角形，點。、E在BC上,且滿足ND4￡=45。.

求證：DE'=BD'+C￡:

BDE

法一:fi?$

如右圈：將燒首點a旋轉(zhuǎn)御L/CF,易

證“IDE邑4FE所以DE=FE.CF=8Z>,由

于Z￡CF=4CA+4CF

=Z8C4+Z-4C5=90°

所以EC：+CF：=EF：,得證.

法二：翻折

如右圖：格』LB。沿膏AD翻折用到4的,

聯(lián)結(jié)EF,易證-MDEuiQ,

aiCE=^AFE，所以BD=FD,CE=FE

zJDFE=ZDFA+AEFA=zJ+ZC=90°

所以QF：+￡F：=DE：,得證

模型分析

(1)半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點;

(2)通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；

(3)常見的半角模型是90°含45°,120°含60°。

半角模型及其常見結(jié)論

在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點，且滿足，乙EAF=45°

AE、AF分別與對角線交于點M、N（4AEF滿足定角定?為‘唐三角模型）

求證：(1)BE+DF=EF

(2)SAABE+SAADF=SAAEF

(3)AH=AB

(4)CAECF=2AB

(5)BM^DN^MN2

(6)△AMN^ADNF^ABEM->AAEFVZ>ABNA^ADAM

(7)SAAMN=SsawMNEF

(8)AAOM^AADF,AAON^AABE

(9)AAEN為等腰直角三角形且乙AEN=45:AAEN為等腰直角三角

形

且乙AEN=45?

(10)A、M、F、D四點共圓；A、B、E、N四點共圓；M、N、F、C、

E

五點共圓；

核心母題如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點,ZEAF=45°,

求證：EF=BE+DF.

【專題*明題.

【分析，口圖，作輔助線，首先證明△AFEW^AFG,進(jìn)而得到EF=FG問題即可解決.

【解答XE明：VAB=AD,

.?.把448衛(wèi)線點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AADG,可使AB與AD重合，如圖:

.".NBAE=NDAG,

VZBAD=90°,NEAF=45°,

AZBAE+ZDAF=45°,

:.NEAF=NFAG,

VZADC=ZB=90°,

AZFDG=180°?點F、D、G共線,

在aAFE和AAFG中，

'AE=AG

(4EAF=ZFAG>

..-F=AF

AAAFE^AAFG(SAS)，

.,.EF=FG>

即：EF=BE+DF

【點評考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作

輔助線，構(gòu)造全等三角形.

變式一：如圖，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，若4ECF

的周長是2,求NEAF的度數(shù)？

3C

【考點褰等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析班長CD至H,使得DH=BE,連接AH,得出4ABE絲△ADH,可得FH=EF,即可證明4AF

E絲△AFH,可得NEAF=NHAF,根據(jù)NHAE=NBAD=90。即可解題.

【解答篇：延長CD至H,使得DH=BE,連接AH,

,”…H

,.■CE+CF+ED=2,BC+CD=2.

J.EF=BE+FD,

.?.△ADH是AABE逆時針選轉(zhuǎn)90度。形成，

」.△ABE絲△ADH，

AZDAH=ZBAE>AE=AH,BE=DH>

.".FH=DF+DH=DF+BE=EF,ZHAE=ZBAD=90°,

(AE^AH

V在ZkAFE和ZkAFH中，<EF=FH，

1AF~AF

AAAFESAAFH.(SSS)

ZEAF=ZHAF,

VZMAE=900?

AZEAF=450.

【點評墓題考查了全等三角形的判定，考察了全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證

△AFE絲△AFH是解題的關(guān)鍵.

變式二：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，ZEAF=45°,AG

±EF,求證:AG=AB.

【考點疏轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題翼明題.

【分析冼根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD,ZBAD=90°,則可把AADE線點A|順時針旋轉(zhuǎn)90°得

到△ABQ,如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AQ=AE,ZEAQ=90°.ZABQ=ZD=90°，則可

判斷點Q在CB的延長線上，由NEAF=45°得到NQAF=90。-NEAF=45°，然后根據(jù)

“SAS”判斷△AFQWAAFE,得到FQ=FE,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得

到結(jié)論.

【解答XE明：?.?四邊形ABCD為正方形，

AAB=AD.ZBAD=90°?

.?.把AADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)9。°得到AABQ,如圖,

AQ=AE,ZEAQ=90°,ZABQ=ZD=90°,

而NABC=90°,

二點Q在CB的延長線上，zH

VZEAF=45°,

AZQAF=900-ZEAF=45°>

:.ZEAF=ZQAF,

在AATQ和AAFE中，

'AF=AF

<ZO.lr=Z￡ir,

KAO=AE

/.△AFQ^AAFE(SAS),

FQ=FE,

VAB±FQ.AG±FE,

AB=AG.

【點評整題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線

段的夾角等于旋轉(zhuǎn)自旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)

、正方形的性質(zhì).

綜合：在正方形/版中,若機N分別在邊8C、切上移動，且滿足必仁物/+如

求證：①./物心45°②.'CACMN=2AB③.例月1分別平分加和N7W

BMC

練習(xí)

1、如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,ZA=ZC=90°,ZB=135°,K、N分別是AB、

BC上的點，若ABKN的周長是AB的2倍，求NKDN的度數(shù)?

2、已知：正方形ABCD中，ZMAN=45°,NMAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的

兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.當(dāng)/MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN

時（如圖1）,易證BM+DN=MN.

（1）當(dāng)/MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BMWDN時（如圖2）,線段BM、DN和MN之間有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；

（2）當(dāng)NMAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

圖1圖2

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專邕】計算題；壓軸題.

【分析】(1)BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到aAEM絲aANM，從而證得ME=MN.

(2)DN-BM=MN.證明方法與(1)類似.

【依答】解：(1)BM+DN二MN成立.

證明：如圖，把AADN線點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，

得到aABE，則可證得E、B、M三點共線(圖形畫正確》.

AZEAM=900-ZNAM=90°-45°=45°，

又???NNAM=45°，

AE=AN

二在2UEM與AANM中，AEAM-Z.NAM

AM=AM

---AAEM^AANM(SAS)，

???ME;MN，

VME=BE+BM=DN+BM，

.'-DN+BM=MN；

(2)DN-BM=MN.

在線段DN上截取DQ=BM，

在AADQ與AABM中，

AD-AB

???Z-ADQ-Z.ABM，

DQ=BM

/.AADQ^AABM(SAS)，

???ZDAQ=ZBAM，

:.ZQAN=ZMAN.

在AAMN和△AQN中，

AQ=AM

<AOAN-^MAN

AN=AN

AAAMN^AAQN(SAS)，

???MN=QN，

ADN-BM=MN.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變里.

3、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD±

的點，且2NEAF=NBAD,

(1)求證：EF=BE+FD

(2)如果E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成

立？說明理由。

【分析】(1)延長CE至M,使BM=DF,連接AM，證aADF絲ZkABM,證aFAE空ZiMAE,即可得出答案；

(2)在CB上截取BM=DF,連接AM,證AABM絲21ADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出NEAM二NE

AF,證aFAE絲ZkMAE,推出EF二EM即可.

【解答】(1)證明：延長CB至M,使BM=DF,連接AM

9

ZABC+ZD=180<>,ZABC+ZABM=180°

9

???ZD=ZABM,

在AABM和AADF中，

圖2

fAB=AD

<ZABM=ZD

\BV=DF

---AABM^AADF(SAS),

???AF二AM,ZDAF=ZBAM,

???ZBAD=2ZEAF,

???ZDAF+ZBAE=ZEAF,

???ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF,

在aFAE和△MAE中，

'AE=AE

<ZFAE=ZMAE,

<AF=AM

AAFAE^AMAE(SAS)，

*

..EF=EM=BE+BM=BE+DF>

即EF=BE+DF.

(2)解：EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF=BE-DF,

理由是：在CB上截取BM=DF,連接AM,

VZABC+ZD=180°.ZADC+ZADF=180°,

:.ZABC=ZADF?

在ZkABM和4ADF中，

'AB=AD

<ZB=ZADF

^BM=DF

AAABM^AADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM?

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=NEAF+(ZEAD+ZBAM)

又???NBAB=(ZBAM+ZEAD)+ZMAE

二NMAE=NEAF在AFAE和△MAE中，

fAE=AE

<ZFAE=ZMAE，

、月尸=/3/

AAFAESAMAE(SAS)>

.,.EF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

4、如圖所示，在五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°求證:

AD平分NCDE.

【分析】連接AC，延長DE到F,使EF=BC,連接丸F，易證aABC絲4AEF,進(jìn)而可以證明aACD絲AAPD,

可得NADC二NADF即可解題.

【解答】解：連接AC，延長DE到F,使EF二BC,連接AF,

???CD=FD,

VZABC+ZAED=180°,ZAEF+ZAED=180°,

???ZABC=ZAEF,

在AABC和AAEF中，

(AB=AE

\4ABC=4EF，

[BC=EF

.?.△ABC^AAEF(SAS),

?，AC=AF,

在AACD和AAPD中，

(AC=AF

\cD^FD，

(AD=AD

.'.△ACD^AAFD(SSS)

???ZADC=ZADF,

即AD平分NCDE.

5、如圖，已知AB二CD二AE=BC+DE=2,NABC=NAED=90°,求五邊形ABCDE的面

積.

E

A

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】應(yīng)用題.

【分析】可延長DE至F,使EF=BC,可得△ABC絲△AEF,連AC,AD,AF,可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化

為兩個AADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論.

【解答】解：延長DE至F,使EF=BC,連AC，AD,AF，

VAB=CD=AE=BC+DE,ZABC=ZAED=90°,

.,■CD=EF+DE=DF,

在aABC與AAEF中，

AB=--LE

???{/ABC=/-AEF

BC^EF

/.AABC^AAEF(SAS),

???AC;AF,

在AACD與aAFD中，

AC=AF

???ICD^DF

iAD=.4D

AACD^AAFD(SSS),

二五邊形ABCDE的面積是：S=2SAADF=2xl'DF'AE=2xlx2X2=4.

K點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計算，應(yīng)熟練莖握.

6、如圖1.在四邊形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、

CD上的點，且/BAD=2/EAF.

(1)求證：EF=BE+DF；

(2)在(1)問中，若將4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E、F分別運動到BC、

CD延長線上時，如圖2所示，

試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

1考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

工分析】(1)延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證△ADFWZkABM,證△FAEWZkMAE,即可得出答案；

(2)在CB上截取BM=DF,連接AM,證aABM經(jīng)ZkADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出NEAM

=ZEAF,證AFAE絲ZiMAE,推出EF二EM即可.

4BM=ZD

{BM^DF

.'.△ABM^AADF(SAS),

AF=AM,ZDAF=ZBAM,

,/ZBAD=2ZEAF,

???ZDAF+ZBAE=ZEAF,

???NEAB+NBAM二NEAM;NEAF,

在AFAE和aMAE中，

\NF.4E=Z.MAE,

1,4尸=皿

.'.△FAE^AMAE(SAS),

.'.EF=EM=BE+BM=BE+DF,

即EF=BE+DF.

(2)解：EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF二BE-DF,

理由是：在CB上截取BM二DF,連接AM,

VZABC+ZD=180°,ZADC+ZADF=180°,

ZABC=ZADF,

在△ABM和AADF中，

(AB=AD

(N3=/ADF

[BM=DF

AAABM^AADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM,

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=ZEAF+(ZEAD+ZBAM)

又???NBAD二(ZBAM+ZEAD)+ZMAE

???/MAE二NEAF在aFAE和△MAE中，

[AE=AE

\4FAE=/.MAE,

[AF=^f

AFAE^AMAE(SAS)，

AEF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

7、如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點，且PA=3,PC=2,

PB=1.求NBPC的度數(shù)

【專題】計算題.

t分析】過點C作CD_LCP，使CD=CP=2,連接CD,PD,AD,根據(jù)AC=BC,由同角的余角相等得到夾角相

等，利用SAS的三角形ACD與三角形CBF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到A

D=BP=1,ZADC=ZBPC,在直角三角形DCP中，利用勾股定理求出DP的長，由AD以及AP的長，

利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP為直角三角形，由N4+N5求出NADC度數(shù)，即為NBFC

度數(shù).

【解答】解：過點C作CD-LCP,使CD=CP=2,連接CD,PD,知,

VZl+Z2=ZACB=900=ZDCP=Z3+Z2,

AZ1=Z3,

在△CAD和△CBP中，

(CD=CP

Z3=Z1,

[AC=BC

AACAD^ACBP(SAS),

ADA=PB=1,ZADC=ZBPC,

在等-RtZkDCP中,Z4=45°,

根據(jù)勾股定理得：DP^CD^CP^Z^Z^S,

VDP2+DA2=8+1=9,AP2=32=9,

.?.DP2+DA2=AP2,

???△ADP為直角三角形，即/5二9?！?，

則NBPC=NADC=N4+N5=450+90°=135°?

半角模型

a」尸且6+7=180°.

條件：2

思路：

(1)、延長其中一個補角的線段

(延長切到使ED=BM,連〃或延長⑦到A模FB=DN,連

AF)

結(jié)論：①)MN=BM+DN②C&CM—AB③.

4V分別平分NBMN和NDNM

(2)對稱(翻折)

思路:分別將和△AON以AM和AN為對稱軸翻折，但

一定要證明

M、P、N三點共線.(ZB+ZD=1KAB=AD)

例題應(yīng)用：例1、在正方形極力中，若以〃分別在邊加；CD

上移動，且滿足腑=颯+如求證：①.4L4N=45

②.

C&CMN=2AB

③.幽的分別平分NBMN和〃NM.

思路同上略.

例1拓展:在正方形2比2?中，已知/W4N=45°,

若欣〃分別在邊宓加的延長線上移動，

①.試探究線段孫BM、加之間的數(shù)量關(guān)系.

②.求證：AB-AH.

提不如圖:

例2.在四邊形極力中，^B+^D=iS0,AB=AD,若反尸分別

ZEAF=-ZBAD.

在邊況1、CD上,且滿足酬助+班:求證：2

D

A

練習(xí)鞏固：如圖，在四邊形四0中，ZB=ZD=^,AB=AD,

^EAF=-ZBAD.

若反尸分別在邊必切上的點，且2.求證：泊陽+在

半角

例題：

如圖，將ACftV繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90),得AC4D,連結(jié)MD,

則==〃,CD^CN,ZACD=XBCN,

/.NMCD=ZACM+AACD

=ZACM+/BCN

=90°-45°=45°=ZMCN.

〕AWCgAMM?,

；MD=MN=x

又易得mtW=45。+45。=90°,

丁?在中,有〃J+〃'=x，,故

練習(xí)：

1、如圖，正方形JBCD的邊長為1,AB、上各存一點尸、。，若&4P0的周長為2,求ZPC0的度數(shù).

2、￡、尸分別是正方形H?C￡＞的邊友?、8上的點，且N￡4F=45。，⑷UEF,〃為垂足，

求證：AH=AB.

3、如圖所示，在等腰直角A血?的斜邊⑷9上取兩點A/、N,使乙WCV=45。，記4W=m,MN=x,BN^n,

求證：以八用、〃為邊長的三角形的形狀是直角三角形.

AmMxNB

4、已知：如圖1在R1A曲?中，ZBAC=MP,AB^AC，點￡>、￡分別為線段8c上兩動點，若Z￡M￡=45。.探

究線段DE.￡C三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：把A4￡C?繞點,4順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到山吟，連結(jié)￡￡>,

使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：

⑴猜想EXDE、皮三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；

⑵當(dāng)動點七在線段灰?上，動點。運動在線段C8延長線上時，如圖2,其它條件不變，⑴中探究的結(jié)論是否發(fā)生

改變？請說明你的猜想并給予證明.

BDE

mi

DBE,

圖2

解析：

1、如圖，正方形.西CO的邊長為1,AB,仞上各存一點。、Q,若&4P0的周長為2,求ZPC0的度數(shù)

解：把繞點C旋轉(zhuǎn)90°到AC防的位置，CQ=CF.

./0+/P+QP=2,0.

又AQ+QD+AP+PB=2,

:QD+BP=QP.

又DQ=BF.

:PQ=PF.

AQCP^AFCP.

"QCP=AFCP.

又N0c尸=90。,

??"8=450.

2、E、F分別是正方形.45。的邊加\CD上的點，且NE"、=45。，A//J.EF.〃為垂足，

求證：AH=AB.

解：延長C8至G,使5GP，轆/G,ADAD

子下

易證△JBGgAinF,

NR4G=ND4F,AG^AF.\

再證△JEGgA4￡F,'

全等三角形的對應(yīng)高相等L_

（利用三角形全等可證得），則有⑷/=,必.BECGBEC

3、如圖所示，在等腰直角A4BC.的斜邊川9上取兩點A/、N，使4MCV=45。，記=m,MN^x,BN=n,

求證：以x、桁、〃為邊長的三角形的形狀是直角三角形.

解：法1：如圖所示，將AC&V繞點C'順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AC4D.

連接MD,貝!1==〃,CD=CN,ZAC