人教A版高中數(shù)學(xué)第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難) (53)(有解析)

第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難)(53)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知函數(shù)/■(幻=5也(3%一中)(3>0,5<力的圖象與1軸的相鄰的交點(diǎn)距離為:，并且過點(diǎn)

NT

(1)求函數(shù)”乃的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(X)+2cos2%,求g(x)在區(qū)間[。,同上的最大值和最小值.

2.已知函數(shù)f(%)=cos2x+遮stnxcosx,xER.

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)％=m(mGR)是函數(shù)y=/(%)圖象的對(duì)稱軸，求sin4m的值.

3.已知函數(shù)f(%)=sinx(cosx-y[3sinx).

(I)求函數(shù)/(%)的最小正周期；

(11)求函數(shù)〃均在％e[0,用上的單調(diào)遞增區(qū)間.

4.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,其面積為S,且百(/)2+,2一(^)=4S.

(1)求角A的大小；

(2)若a=V3，當(dāng)b+2c取得最大值時(shí)，求cosB.

5.已知函數(shù)/(工)=2必加(1一工)0聞工一經(jīng))，且f(?)=L

235

(1)求a的值及/(X)的最小正周期；

1TT

(2)右f(a)=--，a￡(。,3)，求sin2a.

6.已知函數(shù)/1(x)=2sin卜尤+o

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求使/(x)取得最大值時(shí)自變量x的值的集合;

(3)求/(x)的對(duì)稱軸方程；

(4)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(5)當(dāng)xe[o，H時(shí)，求f(x)的最大值、最小值。

7.某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0<t<24),單位：小時(shí))的函數(shù)，記為y=/(x),下表是

某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：經(jīng)長期觀察，y=/(t)的曲線可以近似地看出是函數(shù)丁=Acos(3t)+

k(A>0)的曲線.

?時(shí)03691215182124

y米1.51.00.50.981.51.010.50.991.5

(1)求函數(shù)y=Acos((nt)+k(A>0)的解析式；

(2)浴場規(guī)定：當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當(dāng)天上午8：00時(shí)

至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為多少時(shí)？

8.已知函數(shù)/(x)=sin2x+\/3sinxcosx(xG/?).

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期與對(duì)稱軸方程：

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

9.已知集合尸是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)對(duì)于任意的X6R,都有/XX+

M)=_M/(x)成立.

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=sin?rx,試證明：g(x)GP；

(2)當(dāng)M=1時(shí)，試說明函數(shù)f(x)的一個(gè)性質(zhì)，并加以證明；

(3)若函數(shù)h(x)=sin3XeP,求實(shí)數(shù)3的取值范圍.

/?>ZQ

10.已知函數(shù)〃①)=sillT(cow-H—^-CCJ?2J!T,X€R?

(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若/(x)＜小在［0,§內(nèi)有解，求，〃的取值范圍.

11.已知函數(shù)/'(x)=siMx+acosx+a,aER

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(x)的最大值

(2)如果對(duì)于區(qū)間用上的任意一個(gè)x,都有f(x)Sl成立，求〃的取值范圍

12.已知函數(shù)/'(x)=V3sinxcosx-^cos2x-1.

(1)求/(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)xG［05］時(shí)，求函數(shù)/(%)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值.

13.已知函數(shù)f(x)=在cos(2x—》，x&R.

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(久)在區(qū)間［譚苧上的最小值和最大值.

14.已知函數(shù)f(x)=Asin(a)x+0)(4>0,3>0,|創(chuàng)<》的圖象(部

分)如圖所示.

(/)求函數(shù)的解析式；

(〃)求函數(shù)/⑶在區(qū)間［甘，］上的最大值與最小值.

15.已知函數(shù)/'(x)=sinxcos(%+])+cos2x.

(1)求/"(x)的最小正周期；

(2)求/"(X)在E用上的取值范圍.

16.已知函數(shù)/'(x)=V^sinxcosx—cos2x,xER.

⑴將函數(shù)化為/(x)=Asin(a)x+</>)+b形式.

(2)求函數(shù)的最大值，并求此時(shí)x的相應(yīng)值.

17.函數(shù)/'(x)=As譏(cox-9+2(71>0,3>0)的最大值為4,其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離

鴛

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)設(shè)a6(0,兀)，則/《)=3,求a的值.

18.已知點(diǎn)力。1，/01)),B(X2，f(X2))是函數(shù)/(x)=2sin(3x+尹)(?>0,-^<<p<0)圖象上的任意

兩點(diǎn),且角3的終邊經(jīng)過點(diǎn)若l/Qi)-/(X2)|=4時(shí)，％一加的最小值為會(huì)

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心及在［0,初上的減區(qū)間；

(3)若方程3［/(x)］2-/(x)+m=0在x6內(nèi)有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(工)=2siu(2r+I),X&R.

6

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的集合；

(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來的把所得到的圖象

再向左平移，單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［05］上的最小值.

20.已知設(shè)函數(shù)/(x)=a-(b+c)>其中五=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx).c=(-cosx,sinx),

xeR.求函數(shù)/"(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

21.函數(shù)〃工)-1-2a-2tK9OSX-2sin2z的最小值為g(a)(aGR).

(1)求g(a)的表達(dá)式；

(2)若g(a)=：,求f(x)的最大值.

22.已知函數(shù)y=4sin(o>x+0)(4>0,3>0)的圖象過點(diǎn)「忌,0)，圖象與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐

標(biāo)為G，5)

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)求使yWO時(shí)，x的取值范圍.

23.已知a21,/(x)=(sinx—a)(a—cosx)+V2a-

(1)求當(dāng)a=l時(shí),/(x)的值域;

(2)若函數(shù)fQ)在[0,捫內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

24.已知函數(shù)/'(x)=Asin(3X+(p),xeR(其中4>0,a?>0,0<w<])的圖像如圖所示，將函

數(shù)f(x)的圖像向右平移?個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像.

(1)求函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間和對(duì)稱中心;

(2)求g(%)在區(qū)間[0,§上的值域.

25.己知函數(shù)/(%)=sinx.

(1)先將/(X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腦縱坐標(biāo)不變)，再向左平移巳個(gè)單位，得到y(tǒng)=

g(x)的圖象.若xe[0,自，求y=g(x)的值域；

(2)若f(a+g)=；，求sing-a)+sin2(^-a)的值.

26.已知函數(shù)/(x)=sinx-cosx,xGR.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對(duì)稱軸;

(2)若ae(/),且/(a)=p求cosa的值.

27.設(shè)函數(shù)/(x)=黃黑?(I)求〃乃的單調(diào)區(qū)間;

(□)如果對(duì)任何*20,都有/(x)Sax,求a的取值范圍.

28.已知函數(shù)/'(X)=4sin(a>x+w)+8(4>0,3>0),其部分自變量、函數(shù)值如下表.求:

717乃

X

3

兀3萬

。工+(P0712,71

22

/(X)24

(1)函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若不等式/⑶一3WmW/(x)+3在［一/§上恒成立，求m的取值范圍;

⑶若g(x)=f("-^)-2,求g⑴+5(2)+g(3)+-??+g(2019)的值.

29.已知函數(shù)/'(x)=cos(2x+g)+(sinx)2-(cosx)2+2V3sinxcosx.

(1)化簡/(x)；

(2)若/'(a)=；,2a是第一象限角，求sin2a.

30.已知函數(shù)/'(x)=sin(2x+；)+sin(2x-；)+cos2x,x6R.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；

(2)當(dāng)xe［一罰］時(shí)，求函數(shù)f(乃的值域.

【答案與解析】

1.答案：解：(1)由已知函數(shù)函數(shù)的周期為7=兀,

A60=—=2,

T

把點(diǎn)(0,-3代入得sin(-0)=

v\(P\<p

71

???(P=~,

???fQ)=Sin(2x-J

(2)g(x)=sin(2x-+2cos2%

V31

—sin2x—-cos2x+cos2x+1

2

=sin(2x+§+1,

,?,%€喝

???2x+-6

6166J

,-.-i<sin(2x+g<l,

:.~<sin^2%+1)+1W2,

???g(x)在區(qū)間［o5］上的最大值為2,最小值為也

解析：本題考查函數(shù)y=Zsi7i(3%+9)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

(1)由已知確定函數(shù)的周期，再代入點(diǎn)即可解得；

⑵由⑴確定g(x)的解析式，由xe[o.]得2x+注夠署即可求得函數(shù)的最值.

2.答案：解:(1)/(%)=cos2%+y/3sinxcosx

1+cos2xV3sin2x

=2+-2-

=sin(2x+7)+1,

ON

所以函數(shù)的周期為：T

令：+2/C7T<2X+^<y+2/C7T(fcGZ),

解得：kit+巴WxWk.Tt+—(/c€Z),

63

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：生兀+gk兀+9](keZ).

63

(2)設(shè)％=m(m6R)是函數(shù)y=f(無)圖象的對(duì)稱軸，

則：2m+^=/c7r+^(/cGZ).

解得：m=?+&

乙O

所以：4m=2kn+y.

則：sin4m=—.

2

解析：(1)首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周

期和單調(diào)區(qū)間.

(2)利用(1)的函數(shù)關(guān)系式，利用整體思想，用函數(shù)的對(duì)函數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)

的對(duì)稱軸的應(yīng)用.

3?答案：解：(I)??,/(%)=sinx(cosx—V3sinx)=sinxcosx—V3sin2x=^sin2x+cos2x~~=

sin(2x+g)一爭

???函數(shù)/(x)的最小正周期為7=y=7T.

(H)令2/OT-^<2X+^<2fc7T+pfcGZ,求得2k7T-^-<2x<2kn+^,kez,

所以E-.SXS/OT+3/C6Z,即函數(shù)的增區(qū)間為他兀一居做+勺，fcez.

又?:Xe[0,可，.??函數(shù)/(x)在xG[0,捫上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,勺和吟,捫.

解析：(I)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得/(x)的最小正周期.

(H)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)/(乃在x6[0,兀]上增區(qū)間.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：解：(1)由已知、頌了+/—/)=JS=2A、inA,

由余弦定理得—2/x^siiu4,

所以tan.A=\/3，

*/0<4<7T，

故4=全

y/3bc

(2)由正弦定理知；^訴俞，

、3

即匕=2sinB,c=2sinC,

因此，)+2r2sinI34-4sinC2(sin/7+2sin(Z?+；))

3

=4sinZ?+2Vge=2\/%in(B+⑼，

其中0e(0j),W，”N,=二方,

故b+2c《2夕，當(dāng)且僅當(dāng)B+3=a即時(shí)取等號(hào)，

故此時(shí)cosBsin,?

解析：本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)直接由?卜二》心iiM,可得人:"y.l=,結(jié)全余弦定理即可求角A；

瓜bc7r

(2)由正弦定理知[:曰=嬴下=豆己，可得b+2r=2sinB+4sinC=2(sin/34-2sin(B4--)),整

理化簡，再結(jié)合三角函數(shù)的最值，即可求出cosB.

5.答案：解：(1)由/(x)=2as譏G-x)cos(x-且/。)=1,

即居)=2asin(?cos(-9=1,

3OO

得2Qx|x=1,解得a=2.

n27r

??.f(x)=4sin(--x)cos(x-—)

V31

=4cosx(—sinx--cosx)

=2y/3sinxcosx—2cos2x

=y/3sin2x—cos2x—1=2sin(2x——1.

6

???/(X)=2sin(2x-^)-1的最小正周期為〃；

o

(2)由f(a)=-i,得2s譏(2a--1=sin(2a-^)=

3oooo

???ae(oj),Ca-片)，

4OOO

又sin(2a—)=g2a—江(0,?

ooZoo

gTT、2V2

???cos(2a--)=-.

o5

則sin2a=sin[(2a--)+-]

66

71717171

=sin(2a——)cos—+cos(2a——)sin—

1?.2V21V3+2x^

=-X----1-----X-=---------.

32326

解析：本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin(3x+°)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計(jì)算

能力，是中檔題.

(1)由已知結(jié)合f6)=l求得〃值，再由誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦變形，利用輔助角公式化積，則周

期可求；

(2)由f(a)=-5,求得2a-領(lǐng)正弦值，進(jìn)一步求出余弦值,再由sin2a=sin[(2a-》+丁展開

兩角和的正弦求解.

6.答案：解：⑴函數(shù)/（乃的最小正周期7=零=兀；

(2)/(x)2siu(2r+1)的最大值為2,

此時(shí)2x+:：+2A47T即％=7+kn.

626

故得/(x)max=2,自變量X的集合為｛x|x=^+kn,kEZ)；

z_xt7T7T.A*7T7T

(3)由2H+w=5+k"今工=5+w，

所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為工殍+小心ez；

(4)令一；)十“aW2/+.4]+2k7r,

得：一:+k開w工4I+4'天.

36

???函數(shù)/'(X)的單調(diào)增區(qū)間為-；+A-7T.；+卜司.k6Z.

⑸當(dāng)xe[O勺時(shí)，21+M生7，

/666

所以就(21+7,T€1,即有f(x)e[-1,2].

所以當(dāng)xe[O,§時(shí)，"X)的最大值、最小值分別是2和一1.

解析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)周期公式可得函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可得最大值以及取最大值時(shí)自變量x的集合；

(3)由:;+小萬即可求出結(jié)果；

(4)由-：+2上開《2/+；4：+2卜開即可解出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(5)先求出2工+:€生"繼而有的(2工+京€號(hào),1]，即可求出其最值.

7.答案：解:(1)由已知條件,得：｛Ar=嚎,

1-4+k=0.5

解得：卜=3,

Ik=1

由表知T=12,

1元人,Y

???y=-cos-t+1；

26

(2)由題意得：y=；cos^t)+l>l>

No

Acos-1>0,2kn--<-1<2kn+

6262

12k—3Vt<12k+3?k€Z,

當(dāng)k=0時(shí)，-3<t<3；

當(dāng)k=1時(shí)，9<t<15；

當(dāng)k=2時(shí)，21<t<27,

??"在(8,20)之間，

9<t<15,共約6小時(shí)，

???當(dāng)天上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為6小時(shí).

解析：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦函數(shù)及

圖象和性質(zhì)的合理運(yùn)用.

(1)由已知條件，得：由此求出A,k,T,從而求出3,進(jìn)而求出函數(shù)y=4cos(3t)+

>0)的解析式；

(2)由題意得：y-^cosC^t)+1>1,從而得到12k-3<t<12k+3,kEZ,由此能求出當(dāng)天上

午8：()0時(shí)至晚上20：00時(shí)之間可供沖浪愛好者沖浪的時(shí)間約為6小時(shí).

8.答案:解：⑴/(%)=.一竺_|_3sin2x=sin(2x-

2262

.??/(x)的最小值正周期r=兀，

令2%—*=]+kn,kEZ,解得％=g+與.

???/(%)的對(duì)稱軸方程為:x=^^^tkez.

(2)令——+2/CTT<2x—-<-2kn,解得——+kn<x<—4-k7i,k￡Z,

、，26263

f(x)的增區(qū)間為的,+%兀W+切力kCZ.

解析：(1)使用二倍角公式化筒/(x)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程解出對(duì)稱軸；

(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出.

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：解：(1)取M=1對(duì)于任意％GR,g(x+M)=sin(rrx+兀)=—sinnx=—g(%)=M/(x):，

g(%)EP

(2)M=1時(shí)，((%+1)=-/(%)/(%+2)=-f(%+1)=f(%).,.+(%)是一個(gè)周期函數(shù),周期為2；

(3)vh(x)=sincoxGP，存在非零常數(shù)M,對(duì)于對(duì)于任意的％GR,都有八(％+M)=—M九(乃成

立.既sin(cox+a)M)=—Msina)x

若|M|>1,取s譏ax=1,則sin(3X+toM)=—M對(duì)％GR恒成立時(shí)不可能的.

若|M|<1,取sin(cox+a)M)=1,則sincox=一2對(duì)％ER也不成立.，M=±1

當(dāng)M=1時(shí)sin(cox+co)=—sincox,sin(cox+a)+sincox=0,2sin(a)x+y)-cos?=0(%6R),

cos￡=0解得：o)=2kn+n(kGZ)；

當(dāng)M=-1時(shí)sin(3X—co)=sina)x,sin(cox-co)—sina)x=0,2cos(3%-])?sin(-y)=0(xGR),

sin葭=0解得：co=2knkGZ

綜上可得3=kn(keZ)

解析：(1)可取M=l,驗(yàn)證即可;

(2)M=1時(shí)，由/。+1)=-/。)可得到函數(shù)/(%)的一個(gè)性質(zhì)：周期性;

(3)由題意可得/i(x+M)=成立，既sin(tox+coM)=-Msincox,可對(duì)M分|M|>1,\M\<1

及|M|=1三種情況討論解決.

本題考查三角函數(shù)的周期性與最值，難點(diǎn)在于(3)中對(duì)M取值范圍的分類討論及和差化積公式與根據(jù)

三角函數(shù)值求角的靈活應(yīng)用，屬于難題.

?&_

答案：解：(1)由/(J)=siiucocsj,-^-shCx+

10.-sin2x+-^-cu?2x=sin(2i+-)

令2kji—<2x+-<2kn+]，左WZ,解得kji—答4X《kn+看，kEZ

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為四一M"+GZ

(2)由xC［0幣,則2工+建碎同，.「山心+^6位,”,

3?>?>?5

由/(%)<小在［05］內(nèi)有解，則m>f(x)min,則m>0,

：,m的取值范圍為(().+x)

解析：本題考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，直接求解即可.

(1)由/(x)=shurcowj—+中51(2/，；)，即可求解.

(2)由久G[0申，則2/+；€[；.7：,sin⑵,十:)W[0.1,由/*(x)<m在[0,§內(nèi)有解，則m>/(x)mfn,

則rn>0,即可求解.

11.答案：解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=-cos2%+cosx4-2=-^cosx-024-2,

???COSTE[—1,1],.??當(dāng)COSX=5即％=2/CTT±g(kEZ)時(shí)，f(x)max=J-

(2)依題意siMx+acosx+a<1,BPsin2x+a^cosx+1)<1對(duì)任意%G[o用恒成立.

當(dāng)％w[o卷]時(shí)，0<cosx<1,則1Wcosx+1<2,

?-.a<鑒竟對(duì)任意%中用恒成立，

令t=cosx+1,貝Ui<t<2,

I.<生產(chǎn)=茨=七+，-2對(duì)任意1<t<2恒成立，

a

于是aW(t+：-2)

\。/min,

又220,當(dāng)且僅當(dāng)t=l,即x=1時(shí)取等號(hào)，aWO.

解析：本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的恒成立問題和利用基本不等式求最值，是中檔

題.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=-cos2x+cosx+2=-(cosx-02+:.由二次函數(shù)即可得出最大值；

(2)依題意si/x+a(cosx+1)<1對(duì)任意％G［。,斗恒成立.則a<籃：：1對(duì)任意%e［。尚恒成立.令

t=cosx+1,由基本不等式即可得出結(jié)果.

12.答案:解：(1)因?yàn)閒(%)=號(hào)sin2%-［cos2X—1=sin(2x—')一1,

所以

T=—&)=7T,

故/(%)的最小正周期為TT,

由2/CTT—三W2x—BW2/CTT+3，kGZ

2629

得k7T—!工Xwk"+g,kwZ,

63

故函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為oY,而+。kez；

(2)因?yàn)?4工所以—￡工2%—

4o66

所以當(dāng)2x-q=*即*=押，/⑶有最大值點(diǎn)

當(dāng)2X一，=一也即％=0時(shí)，"X)有最小值一1.

解析：(1)化簡/(x)，根據(jù)7=燕=兀，求出函數(shù)的最小正周期，解不等式求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可：

(2)根據(jù)x的范圍，求出2%-菅的范圍，從而求出函數(shù)的最大值和最小值.

本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，考查函數(shù)的最值問題，是一道中檔題.

13.答案：(l)v/(x)=V2COS(2X-5，

???函數(shù)/(x)的最小正周期為7=y=7r.

由一兀+

2kn<2x--4<2kn,

得----F/CTT￡xW—Fku,

88

故函數(shù)/(x)的遞調(diào)遞增區(qū)間為［一手+kn，l+kn］(kGZ)；

(2)v/(x)=夜cos(2久一》在區(qū)間［一￡,口上為增函數(shù)，

4oo

在區(qū)間已勺上為減函數(shù)，

oZ

又/(一》=0，/(e=或，f(7)=V2cos(7T-^)=-V2COS-1.

故函數(shù)”尤)在區(qū)間［一，勺上的最大值為迎，此時(shí)x=g；最小值為一1,此時(shí)x=?

解析：(1)利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解

不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)x間e上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出/(%)的最大值和最小值.

本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：(本題滿分為12分)

解：(/)由圖得：4=2.

由;=；子=|一1=5解得3=?！?(4分)

由/(i)=2s譏(；+中)=2,可得；+0=2/CTT+p解得中=2kn+2

又叫<或可得。=?

NO

???/(%)=2sin(jtx4-^)....(8分)

(//)vxe[-ij],

:7rx+.e[冶，爭，

??--V3<2sin(jix+^)<2,即/'(>)的最大值為2,最小值為一百...(12分)

解析：(/)由題意求出A,T,利用周期公式求出3,利用當(dāng)x=5時(shí)取得最大值2,求出口即可得到

函數(shù)的解析式.

(〃)由x的范圍，可求兀％+搟的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計(jì)算得解.

本題是基礎(chǔ)題，考查由y=Asin^x+⑴)的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，?？碱}型.

15.答案：解:(1)由題意，

函數(shù)f(x)=sinxcos(%+；)+cos2%

=silLT(—siiix)+cos'x

?7.2c

=surJ=cosZr，

???函數(shù)/(%)的最小正周期T：介：

(2):工嗚,學(xué)，

2工€-,7T,

/.cu?2xe,

???f(x)在t圖上的取值范圍為[-1,斗

解析：本題主要考查了三角函數(shù)二倍角公式的運(yùn)用，余弦函數(shù)圖像及其性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到即可得到/。)的最小正周期；

(2)根據(jù)xG巳均，得到2,€(司，進(jìn)而得到6[-1.',進(jìn)而得到/(x)在長彳]上的取值范

圍.

16.答案：解：(1)函數(shù)/(x)=V5s譏xcosx—cos?%=msin2x—上空三=sin(2x—三)—上

2262

(2),:當(dāng)2x-q=2%冗+三k€Z時(shí)，sin(2x-%)取得最大值為1,

故/(x)的最大值為1一；=去此時(shí)，刀=而+弓，keZ.

解析：(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，可得結(jié)論.

(2)利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f(x)的最大值，以及此時(shí)x的相應(yīng)值.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：(1)；函數(shù)/。)=45譏(3%—今+2(4>0,3>0)的最大值為4,

???2+4=4,即4=2,

???圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是看

???鴻,即函數(shù)的周期T=7T,

即T=—=7T,得3=2,

0)

即/(乃的解析式為f(乃=2sin(2x-=)+2；

(2)f6)=2sin(a-J)+2=3,

即sin(a-§=I，

??,a6(0,yr),

re-n2n

???——<a——<一,

333

nn

a——=

36

7T

：?a=-.

解析：(1)根據(jù)函數(shù)的最值和函數(shù)的周期性即可求〃x)的解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)的解析式得到sin(a-9=g由a6(0,7T),得到求出a—？=3解

出a的值即可.

本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解

決本題的關(guān)鍵.

18.答案：解：(1)角(jp的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(l,—V5),tanR=—8，

一]<3<0,

n

???"=_3'

由I/Q1)—/(到)|=4時(shí)，％—小1的最小值為爭

得7=3,即生=?,...3=3.

333

???f(x)=2sin(3x—)

(2)令/⑶=2s譏(3%-勺=0,即:"一:krr,k&Z,即工=史+殳，k&Z,

所以函數(shù)/(%)的對(duì)稱中心為(券+^.0),

令2/CTT+^<3%—<2kn4-與,kEZ,得<%<一+炭~,k6Z,

ZoZolo3lo

又因?yàn)閤e[0,7r],

ATT11TT]77r

所以/(x)在?網(wǎng)上的減區(qū)間為二.胃.匕.H」,€Z；

lololo

(3);xe6考)，

***3x——6(0,7T),

???0<sin(3x-^)<1,設(shè)/(%)=t,

問題等價(jià)于方程3/—亡+加=0在(0,2)僅有一根或有兩個(gè)相等的根.

???一/n=3/—t,tE(0,2).作出曲線C：y=3/一如七￡(0,2)與直線/：y=-m的圖象.

??,t=:時(shí)，y=-^；1=0時(shí)，y=0；t=2時(shí)、y=10.

???當(dāng)-m=一七或o<-m<1001,直線/與曲線。有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

???m的取值范圍是：m=卷或一10<m40.

解析：本題主要考查了由y=4sin0x+0)的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=4sin(3x+")的圖象

變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程

的關(guān)系，屬于中檔題.

(1)由題意，先求tan<p=-M，根據(jù)w的范圍，可求中的值，再求出函數(shù)的周期，再利用周期公式求

出3的值，從而可求函數(shù)解析式.

(2)令f(x)=2sin(3x-勺=0,得到上=容+1k&Z,進(jìn)而求出函數(shù)/(x)的對(duì)稱中心為

639

(與+1°)，根據(jù)2k兀+2/OT+1,k6Z，xG即可得到/(x)在［0,機(jī)上的減區(qū)

間為優(yōu)［；J：：用4毛2;

Xo1O

⑶由xe吟，及，可得0<Sin(3x<1,設(shè)f(x)=t,問題等價(jià)于方程3t2-t+根=0在(0,2)僅有

一根或有兩個(gè)相等的根，作出曲線C：y=3t2-t,te(0,2)與直線/：y=-m的圖象，討論即可得

解機(jī)的求值范圍.

19.答案：解：(1)因?yàn)?疝i(2r+市，函數(shù)f(x)的最小正周期為7=兀；

(2)當(dāng)sin(2x+》=1時(shí)，函數(shù)有最大值2,

此時(shí)2%+m=2/C7T+W，kEZ,即x=k7T+m，kEZ,

所以函數(shù)有最大值2時(shí)，x的集合是為｛x|x=k7r+2k6Z｝；

O

(3)根據(jù)條件得g(i)2sin(4.r+7)，

6

當(dāng)％W［0覃時(shí),鈕+:￡山,初，

所以當(dāng)X=；時(shí),g(x)min=-V3.

解析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求最小正周期，最值，以及函數(shù)圖象的變換，屬于中

檔題.

(1)由公式求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)sin(2x+§=1時(shí)，函數(shù)有最大值2,此時(shí)2x+，=+(fceZ,解得x的范圍；

(3)函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的號(hào)再把所得到的圖象向左平

-1一

移，.個(gè)單位長度，得到9(工)2sin(4/+?),由x范圍，求出復(fù)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的有界

o6

性得到最小值.

20.答案：解:(1)va=(sinx,-cosx)fb=(si眸-3cos%)，c=(-cosx,sinx)9

??b+c=(sinx—cosx,—3cosx+sinx)，

???/(%)=3?(b+c)=sinx(sinx-cosx)—cosx(—3cosx+sinx)

=sin2%—sinxcosx+3cos2x—sinxcosx

1—cos2x1+cos2x

=-----------sin2x+3----------

22

=24-cos2x-sin2x=24-V2cos(2x+》

??.最小正周期為T==m

(2)由2/CTTW2X+I42/CTT+7T可解得---FkuW%W\r71,kEZ,

488

???函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為|-g++eZ).

oo

解析：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，中擋題.

(1)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)公式可得f(X)=2+ecos(2x+：),進(jìn)而求得最小正周

期；

(2)解2卜兀<2x+^<2/C7F+TT可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

2L答案：解：(1)/(%)=1-2a-2acosx-2(1-cos2%)

=2cos2x—2acosx—1—2a

=2(cosx—|)2—y—2a—1,

若三<一1,即。<一2,則當(dāng)cosx=-l時(shí)，/(%)有最小值g(a)=2(-1，)2-貯一2Q-1=1；

若一lWmWl,即一24aW2,則當(dāng)COSX=：時(shí)，f(x)有最小值g(a)=-9一2a—1;

若三>1,即a>2,則當(dāng)cosx=l時(shí)，/。）有最小值9（（1）=2（1-令2-9-20-1=1-441.

1(a<-2)

2

g(a)[--2a-1(-2WaW2);

1-4a(a>2).

卜

(2)若g(a)=g由所求g(a)的解析式知只能是一貯一2a-1=工或1-4a=：.

N22N

r-2<a<2

由Mi,解得a=-1或a=-3(舍)，

I------za-1=-

I22

(a>21

由11_4Q=N解得Q=石(舍),

此時(shí)/(X)=2(cosx+1)2+得/'COmax=5.

二若g(a)=：，則a=-l,此時(shí)/1(久)的最大值是5.

解析：【試題剖析】

【試題解析】

本題考查利用二次函數(shù)的方法求三角函數(shù)的最值，要求學(xué)生掌握余弦函數(shù)圖象的單調(diào)性，屬于中檔

題.

(1)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式后，分三種情況：①|(zhì)<-1，@-1<^<1，

@f>1,根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出f(x)的最小值g(a)的值即可；

(2)把?弋入到第一問的g(a)的第二和第三個(gè)解析式中，求出。的值，代入f(x)中得到/Xx)的解析式，

利用配方可得f(x)的最大值.

22.答案：解：(1)由函數(shù)圖象過一個(gè)頂點(diǎn)是G，5)知4=5.

圖象過點(diǎn)P(^,0)圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)頂點(diǎn)是Q?,5).

所以工=2—2=巴，

43124

:?T=71,3=2.

將Q6,5)代入y=5sin(2x+<p)得①=一%.

二函數(shù)解析式為y=5sin(2x-

(2)因?yàn)閥<0,

所以5s譏(2x-g)40,

o

2kn-n<2x--<2kn{kGZ),

6

**?kjt——-￡xWkji-(kE.Z).

1212k7

故X的取值范圍為：工€阿一號(hào)，加r+m46Z.

解析：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

(1)利用題意在求出A,通過周期求出3,利用函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)求出租，即可求函數(shù)的解析式；

(2)利用正弦函數(shù)的值域，求使y<0的x的取值范圍.

23.答案：解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=(sinx—1)(1—cosx)4-V2=—sinxcosx+sinx+cosx—1+V2?

令七=sinx+cos》,貝k€[-/,&],sinxcosx=

所以9?)=一字+￡-1+&=一[?-1)2+&，當(dāng)t=l時(shí)，g(t)max=&，當(dāng)[=一企時(shí)，

g(t)minT，所以“X)的值域?yàn)闊?

(2)/(%)=(sinx—a)(a—cosx)+V2a=—sinxcosx+a(sinx+cosx)—a2+V2a>

令”=sinx+cosx,則當(dāng)xe[0,捫時(shí)，ue[-1,V2],sinxcosx=

所以h(u)=+au—a2+y/2a=-1(u-a)2—^a2+^+\[2a,

所以/(x)在[0,初內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于九(比)在[-1,1)U{2}內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，[1,VI)無零

點(diǎn).

因?yàn)閍Zl,1/iQ)在內(nèi)為增函數(shù)，

”1)>0

①若九(u)在[—1,1)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，口,遮)無零點(diǎn)，故只需抄(T)W0今

U(V2)>0

-a2+(V2+l)a>0

-a2+(V2-l)a<0,且a21,得lWa<夜+1：

-a2+2V2a-i>0

②若應(yīng)為九(a)的零點(diǎn)，內(nèi)無零點(diǎn),則-a?+2\[2a—1=0,得a=y/2+圣經(jīng)檢驗(yàn),a=V2+當(dāng)

符合題意.

綜上，1Sa<四+1或a=魚+爭

解析：本題主要考查三角恒等變換，考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查零點(diǎn)問題，屬于較難題.

(1)當(dāng)a=l時(shí)、/(x)=—sinxcosx+sinx+cosx-1+V2>令1=sinx+cosx,則te

sinxcosx=?，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求以fQ)的值域?yàn)椋?|,或］；

(2)令M=sinx+cosx,/i(u)=-^(u—a)2—|a2+1+V2a,所以/'(x)在［0,兀］內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

等價(jià)于八&)在［-1,1)u{&}內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，口，魚)無零點(diǎn).再分類討論求a的取值范圍.

24.答案：解:(1)4=2,；==p

27T

AT=71,即——=7T,，3=2,

0)

???f(x)=2sin(2x+(p),

令2x詈+0=7T,得9=2，

：?f(%)=2sin(2x+-),：■g(%)=2sin(2x-4-1,

66

令2kn+g<2x_7<2/CTT+kE.Z,得k7i4--<%<kn+k￡Z,

26236

??,9(%)的遞減區(qū)間為際+不時(shí)+甘，kEZ,

令2x—=kn,kEZ,得％=生+二，kEZ,

6212

???g(x)的對(duì)稱中心為(一+卷，1)，kez.

(2)vxe［0,=］.

Cl底㈢，手,

**?一：4sin(2x-<1,

26

-1<2sin(2x--)<2,

6

???0<2sin(2x--)4-1<3,

6

g(x)在區(qū)間［0,自上的值域?yàn)椋?,3］.

解析：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，平移變換以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱中心的求法，

考查計(jì)算能力.

(1)通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)/Q)的解析式，利用平移變換的運(yùn)算求出函數(shù)y=g(x)的解析式，通過

正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱中心；

(2)由求出范圍，正弦函數(shù)的性質(zhì)可得一;<sin(2x-g)<L進(jìn)一步即可解題.

，62.O

25.答案：解：(1)把y=s譏x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小到原來的5縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)、=

sm2》的圖象;

再把圖象向左平移?個(gè)單位，得到函數(shù)9(])=城。2(i+力siu(2『+。的圖象,

663

若工€[0,^],則g<2%+W—'2wsin(2x+—)^1，

即y=g(x)的值域是[一號(hào),1].

(2)若/'(a+；)=%即sin(c+￡)=：，

°什?5

sm(^-a)+siir(^-a)=si中一考-a))+cofr[^-(g-a))

O?J?t)

.z7T,.行、1t/1X919

=sln(a+_)+1_8m-(n+-)=-+l-(5)=函

解析：本題主要考查函數(shù)y=4s譏⑷"+w)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，和誘導(dǎo)公

式，屬于中檔題.

(1)由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin(a)x+勿)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

由條件根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得g(x)的值域.

(2)由條件可知sin(c+「',發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系:+c：TT--0)，

(I-C)+e+?)=3,然后利用誘導(dǎo)公式求解.

26.答案：解：解：(1)/(工)=而3—CUWN=,

\/2(sinjrco8——ajwj-sin-)=v2Kmi/-----),

???f(%)的最小正周期T=—=27i,

???x—￡=；+kn,kEzf

???對(duì)稱軸x=—+kn,kE