第03講 充分條件與必要條件（2大考點9種解題方法）-2022-2023學年高一數(shù)學考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第03講充分條件與必要條件(2大考點9種解題方法)

題型一：判斷命題的充分不必要條件

題型二：根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)

題型三：列新命題的必要不充分條件

考點一：充分條件與必要條件&

題型四:根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)

題型五：充分條件的判定及性質(zhì)

充分條件與必要條件

題型六：必要條件的判定及性質(zhì)

」型七：充要條件的證明

考點二：充要條件《考題型八：探求命麴為真的充要條件

野型九：根據(jù)充要條件求參數(shù)

B考點考向

一、充分條件與必要條件

(1)一般地，“若°,則/為真命題，是指由p通過推理可以得出G這時，我們就說，由p可以推出(7,

記作A＜7,并且說，。是＜7的充分條件，q是〃的必要條件.

(2)幾點說明

若月q,則夕是g的充分條件，q是。的必要條件

夕是＜7的充分不必要條件P=>g且中p

〃是0的必要不充分條件盧g且gp

P是。的充要條件陽q

0是q的既不充分也不必要條件"0且CfiP

二、充要條件

⑴如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，即既有又有g(shù)p,就記作片仍

此時，。既是17的充分條件，也是g的必要條件，我們就說。是0的充分必要條件，簡稱為充要條件.

(2)如果。是。的充要條件，那么q也是。的充要條件.概括地說，如果p=q,那么。與?；槌湟獥l件.

Q技巧方法

1.充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必

要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；

2.若條件"g以集合的形式出現(xiàn)，即/={x|p(x)},5={x|g(x)},則由/U9可得，p是g的充分條件，

請寫出集合/,6的其他關(guān)系對應的條件0,g的關(guān)系.

①若/呈8,則p是g的充分不必要條件；

②若A?8,則夕是q的必要條件；

③若則p是°的必要不充分條件；

④若4=8,則p是g的充要條件；

⑤若加8且施B,則p是g的既不充分也不必要條件.

3、充要條件的兩種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)p=>q,g=>p進行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

4、充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等

號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

⑶數(shù)學定義都是充要條件.

u考點精講

考點一：充分條件與必要條件

題型一：判斷命題的充分不必要條件

一、單選題

1.(2022?全國?高一專題練習)已知命題p：-l<x<2,命題q：x<-3或xN-1,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】因為(一1，2)京-0°，-3)[T*o),

所以P是q的充分不必要條件.

故選：A

2.(2021.湖南.衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習)已知「：4=｛月-5<犬<2｝,8=｛刈工<。｝,且473=8,

4：一次函數(shù)丫=奴+/。*。)單調(diào)遞增.則〃是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求得命題P，4對應參數(shù)的取值范圍，從集合的角度即可判斷充分性和必要性.

【詳解】對命題?：因為Au5=8，故可得。22；

對命題9：一次函數(shù)y=or+b（aHO）單調(diào)遞增，故可得。>0,

因為［2,e）是（O,y）的真子集，故。是4的充分不必要條件.

故選：A.

3.（2022?廣東?化州市第三中學高一期末）已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是^的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)兩個命題中的x取值范圍，分析是否能得到和gnp.

【詳解】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即/，土.

但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x=-2,即gNp.

故。是q的充分不必要條件.

故選：A.

二、多選題

4.（2022?全國?高一專題練習）可以作為x<-l或x>3的一個充分不必要條件是（）

A.x<-2B.x<lC.x>4D.x>2

【答案】AC

【分析】由充分不必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】可以作為x<-l或x>3的一個充分不必要條件是x<-2和x>4.

故選：AC.

三、填空題

5.（2021?江蘇?高一專題練習）已知夕:“二2或分工3,則p是q的條件.

【答案】充分不必要

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.

【詳解】命題“若P，則g"：假設4不正確，即”=2且6=3,則有a+b=5與已知矛盾，即假設是

錯的，

于是得q是正確的，因此，“若p,則4”是真命題，即。是<7的充分條件，

命題“若%則，：顯然當"=1*=4時，有a+6=5,而”=1,。=4滿足。22或6r3,

于是得“若（7,則P”是假命題，即〃不是4的必要條件，

所以P是4的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

題型二：根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)

一、單選題

1.（2022?湖南?長沙市南雅中學高二階段練習）己知p：4斤>2,<?：m-x<0,若p是q的充分不必要條

件，則〃?的取值范圍是（）

A.”<3B.m>3C.m<5D.m>5

【答案】c

【分析】先求得命題p、q中x的范圍，根據(jù)。是“的充分不必要條件，即可得答案.

【詳解】命題P：因為>2,所以x-l>4,解得x>5,

命題q：x>m,

因為p是q的充分不必要條件，

所以m<5.

故選：C

二、多選題

2.（2022?河南?溫縣第一高級中學高一階段練習）若“f-x-6<0”是“-2<x<a”的必要不充分條件，則實數(shù)

“的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】AB

［分析］利用必要不充分條件的定義直接判斷.

【詳解】由爐-%-6<0解得：-2<x<3.

因為“/-^^〈（^^"^〈^〈。”的必要不充分條件，

所以只需（-2,a）（-2,3）,

對照四個選項，a可以取1,2.

故選：AB

三、填空題

3.（2022?全國?高一專題練習）己知4Vx<-2,q:x￡a,若。是4的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值

范圍是______

【答案】a>-2

【分析】根據(jù)P是4的充分不必要條件，可得{x[Y<x<-2}?{x|x4a},從而可得出答案.

【詳解】解：因為P是4的充分不必要條件，

所以{x|-4cxe_2}]{中4。},

所以aN—2.

故答案為：a>-2.

四、解答題

4.（2022?江蘇?高一單元測試）己知集合尸={x|a+lSx$2a+l},Q={x|-2<x<5}.

⑴若。=3,求?,P）c。；

（2）若“xGP”是“xG?！背浞植槐匾獥l件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）{X|-24X<4},（2）a42

【分析】（I）將〃=3代入求出集合P,Q,再由補集及交集的意義即可計算得解.

（2）由給定條件可得PQ,再根據(jù)集合包含關(guān)系列式計算作答.

⑴因”=3,則2={x|4W爛7},則有Q『={x|x<4或x>7},又Q={*-2W爛5},

所以@P)cQ={x|-24x<4}.

（2）“工晝片是，比丘?！背浞植槐匾獥l件，于是得PQ,

當a+l>2“+l,即a<0時，P=0,又Qr0,即0Q,滿足PQ,則a<0,

a+1<2a+1a+1<2a+1

當Pw0時，則有*+12-2或■a+l>-2

,解得0〈a<2或0Wa<2,BP0<tz<2,

2a+1<52a+l<5

綜上得：a<2,

所以實數(shù)。的取值范圍是a<2.

5.（2022?重慶復旦中學高一開學考試）在①=8；②“xe4”是“xe8”的充分不必要條件;③A8=0

這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：

已知集合A={x|a-14x4a+l},B=|x|x2-2x-3<o!

(1)當a=2時，求AB-

（2）若,求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】（1）AU3={X|TWXW3}

⑵條件選擇見解析，（9，-2）_（4,”）

【分析】（1）化簡集合A與8之后求二者的并集（2）先判斷集合A與8的關(guān)系，再求。的取值范圍

（1）當a=2時，集合A={x|14x43},B={x|-l<x<3},

所以Au8={x|-14x43}；

（2）若選擇①AUB=B,則A[B,

因為A={x|a-1VxVa+1},所以AH0,

又8={幻—1?》43},

fa—12—1

所以<1八，解得

[a+\<3

所以實數(shù)。的取值范圍是[0,2].

若選擇②，"xeA”是“xeB”的充分不必要條件，則AB,

因為A={x|a-1VxWa+1},所以Aw0,XB={x|-l<x<3},

所以解得04aK2,

a+l<3

所以實數(shù)。的取值范圍是[0,2].

若選擇③，A8=0,

因為A={x|a-14x4a+l},B={x|-1<x<3},

所以a—1>3或a+1<—1>

解得“>4或a<-2,

所以實數(shù)。的取值范圍是（《,-2）（4,+w）.

6.（2022.全國?高一）已知非空集合P={x|a-14x46a-14},Q={x|-2<x<5}.

⑴若。=3,求做P）cQ：

（2）若“xeP”是“xeQ”的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

1310

【答案】⑴[一2,2）（4,5].（2）

【分析】（1）根據(jù)集合的運算法則計算：

（2）根據(jù)充分不必要條件的定義求解.

（1）由己知2="|24尢<4},東?="|尤<2或%>4},

所以@尸）?={x|-24x<2或4<%45}=[-2,2）（4,5]；

a-1>-2

（2）。““是。蟲”的充分不必要條件，則6a-14<5,解得13?4a19

56

<7-1<6a-14

所以。的范圍是「413,1-91.

JO

題型三：判斷命題的必要不充分條件

一、單選題

1.（2022?江蘇?高一單元測試）“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角

形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.

故選：B.

2.（2022?全國?高一專題練習）2022年3月21日，東方航空公司MU5735航班在廣西梧州市上空失聯(lián)并墜

毀.專家指出：飛機墜毀原因需要找到飛機自帶的兩部飛行記錄器（黑匣子），如果兩部黑匣子都被找到，

那么就能形成一個初步的事故原因認定.3月23日16時30分左右，廣西武警官兵找到一個黑匣子，雖其外

表遭破壞，但內(nèi)部存儲設備完整，研究判定為駕駛員座艙錄音器.則“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故

原因認定”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認定，根據(jù)充分與必要條件的定義即可

判斷出結(jié)果.

【詳解】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認定，

則“找到駕駛員座艙錄音器''不能形成"初步事故原因認定”：

而形成“初步事故原因認定”則表示已經(jīng)“找到駕駛員座艙錄音器”，

故“找到駕駛員座艙錄音器‘'是''初步事故原因認定”的必要不充分條件，

故選：C.

3.（2020.安徽?合肥市第十中學高一期中）設集合4={R-l<x<3},8={x|0<xM2}則wA”是“ae8”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的包含與充分必要條件的關(guān)系判斷.

【詳解】由題意集合B是集合A的真子集，因此“aeA”是的必要不充分條件，

故選:B.

二、多選題

4.（2021?廣東?梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）下列命題正確的是（）

A.”“>1”是/<1”的充分不必要條件

a

B.若方程/+（加-3）*+機=0的兩根都是負數(shù)，則相>9

C.設x,ywR,則“x2&且”是。2+/24”的必要而不充分條件

D.設a,beR,則“awO”是"abHO”的必要而不充分條件

【答案】AD

【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】A正確.“a>l”可推出“'<1”，但是當“2<1”時，。有可能是負數(shù)，所以/<1”推不出

aaa

所以"a>1”是"工<1”的充分不必要條件：

a

△=-3）2-4/n>0,

B錯誤.;,x{+x2=3-tn<0,m>9；

x}x2=m>0,

C錯誤.當x=3,y=3時，x2+y2>4,但是“血近且轉(zhuǎn)血“不成立，所以+V推不出“*之夜且

所以“x22且yN2”不是+/>4”的必要條件

D正確,"aH0"推不出“"#0?但“ahHO"可推出"aL0",所以"awO”是“ab*0?的必要而不充分條件,

故選：AD

三、填空題

5.（2022?全國?高一專題練習）寫出-l<x<2的一個必要不充分條件.

【答案】x<3（答案不唯一）

【分析】由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】{x|-l<x<2}S{x|x<3},所以“x<3”是不等式成立的一個必要不充分條件.

故答案為：x<3.

題型四：根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)

一、填空題

1.（2022?全國?高一）已知集合4=卜|*<一1,或x>2},B-{x\2a<x<a+3},若“xeA”是“xe8”的必要

條件，則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】（,,-4）U（1,E）

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與8的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出“

的范圍.

【詳解】???“xeA”是xwB”的必要條件，.I8=A,

當8=0時，2a>a+3,貝lja>3；

當8/0時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，

2aa+3-12xT22aa+3x

[a+3>2a[a+3>2a

由圖可知<。,或<cc，解得a<-4或Iva?3,

[a+3<-l[2a>2

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍為（—,T）U（l,y）.

二、解答題

2.（2021?江西?豐城九中高一階段練習）已知集合4={*|%21或xV-4},集合B={x[O<xW2}

（l）若C={x|24<x<l+4},且Cq（A8）,求實數(shù)”的取值范圍.

（2）已知集合。={x|〃?4x4m+；,xeR-，若xeA3是xwO的必要不充分條件，判斷實數(shù)m是否存在,

若存在求加的范圍

13

【答案】(1)。25：(2)存在，m4].

【分析】(1)由集合交運算可得AnB={x|lMxV2},根據(jù)集合的包含關(guān)系并討論C是否為空集，列不等式

組求參數(shù)范圍：

(2)由題意?？贏C8),列不等式組求參數(shù)范圍.

⑴由題設AB={x\\<x<2},又Cq(A「B),

2a>1

當CX0時，<l+a42,可得

1+〃>2。

當C=0時，l+a?2a,可得

綜上，〃的范圍

(2)由題意。「(AcB),而m+，

tn>1

3

所以，結(jié)合(1)有1(等號不同時成立)，可得14機4K

m+—<22

I2

故存在實數(shù)加且14加4：.

2

3.(2022.江蘇?高一單元測試)已知集合弁={幻°-1=*42+3},B={x|-l<x<4},全集U=R.

(1)當。=1時，求(QA)C8；

⑵若“xeB”是“xeA”的必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴C，A)cB={止14x<0}

⑵"-4或

【分析】(1)根據(jù)補集與交集的運算性質(zhì)運算即可得出答案.

(2)若“xeB”是“xeA”的必要條件等價于AaB.討論A是否為空集，即可求出實數(shù)”的取值范圍.

(1)當a=l時，集合4={x[()VxV5},CuA={x|x<0或x>5},

(Q./4)nB={x|-l<x<0}.

⑵若“xe8”是“xeA”的必要條件，則AGB,

①當A=0時，a—1>2a+3,a<—4；

②AH0,貝iJaNT且a-12-l,2a+344,.-.0<a<1.

綜上所述，a<-4或OWawg.

4.(2022?江蘇?高一)已知p：x-2>0,4：or-4>0其中aeR.

(1)若P是。的充分不必要條件，求實數(shù)”的取值范圍；

(2)若P是4的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(2,+8),(2)[0,2)

a>0,

【分析】(1)由題意可得A臬從所以4今從而可求出實數(shù)。的取值范圍，

一<2,

(2)由題意可得然后分a=0,a>0和。<0三種情況求解即可

(1)設命題p：A={x|x-2>0),即p：A={x|x>2},命題q：B={x\ax-4>0},

因為p是q的充分不必要條件，所以A莖8,.

a>0,

即4、解得。>2

-<2,

la

所以實數(shù)”的取值范圍為(2,+8)

⑵由(1)得p：A=(A|X>2),q：B={x\ax一4>0},

因為。是g的必要不充分條件，

所以監(jiān)A,

①當a=0時，B=0,滿足題意；

②當a>0時，由嗎,得±>2,即0<a<2；.

a

③當a<0時，顯然不滿足題意.

綜合①②③得，實數(shù)。的取值范圍為1。，2)

5.(2022?河南駐馬店?高一期末)己知集合4=卜儂-14*43T},B={x|-2<x+l<5).

⑴若AB=0,求實數(shù)，的取值范圍；

(2)若“xeB”是“xeA”的必要不充分條件，求實數(shù)「的取值范圍.

【答案】⑴(2”e(-l,y)

【分析】(1)首先求出集合8,再對A=0與Ar0兩種情況討論，分別得到不等式，解得即可;

(2)依題意可得集合AB,分A=0與Ax0兩種情況討論，分別到不等式，解得即可；

(1)解：由-2<x+l<5得解-3<x<4,所以8={x[-2<x+l<5}={x卜3cx<4},又A={x|2f-14x43-}

若A8=0,分類討論：

4

當A=0,即2f-1>3T解得滿足題意；

4

當AH0,即231437,解得時，

2f-l>4[3-f<-3

若滿足A8=0,則必有14或，4；

t<-t<-

l3I3

解得

綜上，若A8=0,則實數(shù)f的取值范圍為fe(g,+8

(2)解：由“xwB”是“xeA”的必要不充分條件，則集合AB,

4

若A=0,即2，一1>3—,解得

[鵬

、434

右A#0,B|J2f—1<3—f>即,則必有，2f—1>—3,解得一l</4—,

3-,3

3-f<4

綜上可得,t><

綜上所述，當"xeB”是“xeA”的必要不充分條件時，，€(-1,物)即為所求.

題型五：充分條件的判定及性質(zhì)

一、單選題

1.(2022?江蘇鹽城?高一期末)“〃>8”的一個充分條件是()

1111

2

<cQ>

A.-b---D.//7

4〃

【分析】依次判斷選項中的”,6滿足的大小關(guān)系式，由此可判斷充分性是否成立.

【詳解】對于A,當。<0<方時，滿足無法得到a>b,充分性不成立，A錯誤;

ab

.、f/?<0[/?>0

對于B,當a?！?。?時，h(a-b)>0t/.乙或｛7,充分性不成立，B錯誤：

'7[a<b[a>b

對于C,當一』<-L<0時，a>h>0,可得至C正確；

ba

/、>0I6Z<0

對于D,當小時,4j)>。，產(chǎn)”獷充分性不成立，D錯誤.

故選：c.

2.（2022?貴州畢節(jié)?高一期末）對于實數(shù)x,"-3<x<0”是“x<2”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用定義法即可判斷.

【詳解】充分性：由—3<x<0,能推出x<2,所以—3<x<0是x<2的充分條件，

必要性：由x<2,不能推出-3<x<（）,所以—3<x<0是x<2的不必要條件.

故選A.

二、多選題

3.（2022.河南.永城市苗橋鄉(xiāng)重點中學高一期末）使x-L,0成立的一個充分條件可以是（）

X

A.x<-lB.0<x<l

C.一掇!k1D.%,1

【答案】AB

【分析】解不等式，根據(jù)充分條件的概念即可求解.

1V2-1

【詳解】x——KOn------<0=>0<x<l^￡x<-l,

xx

故使x-%,0成立的一個充分條件的X的范圍應該是（-8,-1］（0,1］的子集.

故選：AB.

4.（2022?湖南?高一課時練習）（多選）下列“若p,則g”形式的命題中，p是q的充分條件的有（）

A.若xVl,則x<2B.若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似

C.若|%快】，貝1」在1D.若必>0,則a>0,b>0

【答案】ABC

【分析】根據(jù)充分條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】由x<l,可以推出x<2,所以選項A符合題意；

由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以選項B符合題意；

由因廣，可以推出存1,所以選項C符合題意；

由出?>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-l,所以本選項不符合題意，

故選：ABC

三、解答題

5.(2022?江蘇?高一)已知集合A={x卜24x46},B={x|l-/n<x<l+/n,m>0}.

(1)若AuB=A,求實數(shù)，〃的取值范圍；

⑵若xeA^xe8的充分條件，求m的取值范圍.

【答案】(1)(0,3],(2)[5,+^)

【分析】(1)根據(jù)AuB=A,由求解；

(2)根據(jù)xeA是的充分條件，由A包8求解.

(1)解：因為A={x|-24x46},B=[x\\-m<x<\+m,m>()],且AuB=A,

m>0

所以80,則T-〃亞-2,

1+m<6

解得0<，*43,

所以實數(shù)小的取值范圍是(0，引；

(2)因為xeA是xe3的充分條件，

所以慫8,

m>0

貝1卜1-皿4-2,

\+m>6

解得機25,

所以m的取值范圍是[5,+8).

題型六：必要條件的判定及性質(zhì)

一、單選題

1.(2022?湖北?高一階段練習)如果關(guān)于x的一元二次方程/+改+人=。的兩個解是毛，巧(其中占<三)，

而且不等式/+女+》<0的必要條件是那么()

A.-1?%|x2?1B.玉4-1<14々

C.-1<X]<l<x2D.Xj<-1<x2<1

【答案】A

【分析】由必要條件的定義和一元二次方程的解可得選項.

【詳解】解：因為不等式r+or+bvO的必要條件是關(guān)于x的一元二次方程/+6+。=0的兩個

解是芭，x2(其中X1<W),

所以-1?%x2?1,

故選:A.

2.（2021.湖南.麻陽苗族自治縣第一中學高一期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其

《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推

斷，其中最后一句"攻破樓蘭''是"返回家鄉(xiāng)”的（）

A.必要條件B.充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分必要條件判斷即可得解.

【詳解】由題意可知：“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，

故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，

故選：A.

3.（2022?湖南?新化縣教育科學研究所高一期末）“兩個三角形相似''是"兩個三角形三邊成比例'’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由“兩個三角形相似”可得到“兩個三角形三邊成比例”，即充分性成立；

反之：由“兩個三角形三邊成比例”可得到"兩個三角形相似”，即必要性成立，

所以“兩個三角形相似”是“兩個三角形三邊成比例”的充分必要條件.

故選：C.

二、多選題

4.（2022?江蘇?高一單元測試）（多選）下列“若p,則（?”形式的命題中，p是q的必要條件的有（）

A.若x,y是偶數(shù)，則x+y是偶數(shù)B.若。<2,則方程N—2x+a=0有實根

C.若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形D.若帥=0,則。=0

【答案】BCD

【分析】根據(jù)必要條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】A：x+y是偶數(shù)不一定能推出x,y是偶數(shù)，因為x,y可以是奇數(shù)，不符合題意；

B：當方程2r+a=0有實根時，貝!］有（-2）?-4a*0=>a41,顯然能推出a<2,符合題意；

c：因為菱形對角線互相垂宜，所以由四邊形是菱形能推出四邊形的對角線互相垂直，符合題意；

D：顯然由。=0推出必=0,所以符合題意，

故選：BCD

三、填空題

5.(2022?全國?高一)給出下列命題：

①己知集合A={xl/-4<0,且xeN},則集合A的真子集個數(shù)是4；

②“x=—l"是“_5》-6=0”的必要不充分條件；

③是“方程x2+x+a=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件

④設,則“"0”是"而*0”的必要不充分條件

其中所有正確命題的序號是.

【答案】③④

【分析】①根據(jù)集合描述列舉出元素，進而判斷真子集個數(shù)；②③④由充分、必要性的定義判斷條件間的

推出關(guān)系，即可判斷正誤.

【詳解】①A={x]-2<x<2,x€N}={0,l},故真子集個數(shù)為2?—1=3個，錯誤；

②由/一5工一6=0—6)(工+1)=0,可得％=6或x=-l,故“工二一1”是一5%一6=0”的充分不必要條件，錯

誤；

③由/(x)=x2+x+。開口向上且對稱軸為了=-《，只需，(0)=。<0即可保證原方程有一個正根和一個負根,

故是“方程*2+》+〃=()有一個正根和一個負根，，的必要不充分條件，正確；

④當“W(),6=0時，而w0不成立；當必40時，“HO且故“awO”是“而*0”的必要不充分條件,

正確.

故答案為：③④

6.(2021?湖北孝感?高一期中)寫出土彳<0的一個必要不充分條件

【答案】x<3(答案不唯一)

【分析】解分式不等式的解集，再寫出一個集合真包含不等式的解集的條件；

x-2

【詳解】—<0^-l<x<2,

X+1

{x|-l<x<2)c(x|x<3),所以x<3滿足題意

故答案為：X<3

四、解答題

7.(2022?全國?高一專題練習)已知命題P：方程/+戊+/=0沒有實數(shù)根.

(1)若「是真命題，求實數(shù)，的取值集合A；

(2)集合8=若reA是/€8的必要條件，求a的取值范圍.

【答案】(l)4="|0vf<4},⑵/：

【分析】(1)列出關(guān)于f的不等式即可求得實數(shù)f的取值集合4

(2)分類討論并列不等式組去求a的取值范圍.

(1)若P是真命題，則△=??—4f<0,解得0<f<4,則A={“O<f<4}.

(2)因為是feB的必要條件，所以8=4,

當8=0時，由2a—得aN2,此時8=A,符合題意；

2?！?<a+1

當840時，則有，2a-120,解之得;4a<2,

a+1<4

綜上所述，a的取值范圍為“zg.

考點二：充要條件

題型七：充要條件的證明

一、單選題

1.(2021.河南.高一階段練習)已知實數(shù)小b,則“(a+l)|a+l|+S+l)M+U<0”是“a+6+2<0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷，求解注意分類討論.

【詳解】當(a+l)|a+l|+S+l)|b+l|<0時，則a+1,》+1中至少有一個數(shù)小于0,不妨設此數(shù)為a+1,

若匕+1>0,則一(a+1)+(6+1)2=(—+a+2)(l-a)v0,因為b—a>0,所以a+b+2<0.

若b+l=0,則a+匕+2<0顯然成立.

若匕+1<0,則a+b+2<0也顯然成立，所以充分性滿足；

當a+b+2<0時，則。+1,6+1中至少有一個數(shù)小于0,不妨設此數(shù)為a+1,

若b+l>0,則6-a>0,所以(a+l)-|a+l|+S+l)?物+1|=-(4+1丫+9+1)2=(匕+a+2)伍一a)<0,所以

(a+l)|a+l|(/?+l)|/?+l|<0.

若b+l=O,則a+l<6+l=0,此時(a+l)|a+l|+(b+l)M+U<0顯然成立.

若6+1<0,此時(4+1)卜+1|+。+1)|。+1|<0也顯然成立，所以必要性滿足.

所以“(4+1),+1|+(/?+1)卜+1|<0”是“4+6+2<0''的充要條件.

故選：C.

二、填空題

2.(2022?江蘇?高一)從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中

選出適當?shù)囊环N填空：

(1)MC中，/。=90°是482=4。2+3。2的；

(2)x>0是xNl的；

(3)x=2是W=4的；

(4)0cx<2是l<x<3的.

【答案】充要條件；必要而不充分條件；充分而不必要條件：既不充分又不必要條件.

【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義逐一判斷即可.

【詳解】空1：由NC=90°能推出A4uAC'BC:由AB2=AC、BC2能推出NC=90。，

所以ABC中，NC=90。是AC?+BC?的充要條件；

空2；由x>0不一定能推出xNl,比如x=g,由xNl能推出x>0,

所以x>0是的必要而不充分條件；

空3：由x=2推出Y=4,由r=4不一定能推出x=2,比如x=-2,

所以x=2是/=4的充分而不必要條件；

空4：由0cx<2不一定能推出1cx<3,比如％=,，由1cx<3不一定能推出0<x<2,比如x=2.1,所

2

以0<x<2是l<x<3的既不充分又不必要條件.

故答案為：充要條件；必要而不充分條件；充分而不必要條件；既不充分又不必要條件.

三、解答題

3.(2022?湖南?高一課時練習)求證：(42+4；)(6+以"(4也+生優(yōu))2對任意實數(shù)為，/，瓦,b2成立，等

號成立的充分必要條件。色-4仇=0.

【分析】化簡⑷+短岫2+仔)-(3+wa)?可得(3-02)2，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得

出結(jié)論.

【詳解】證明：⑷+/2乂牙+&2）_（她+外包）2

=Qj6j4~6f|~^2~+Q/4-+Q2""4——〃「"］一-2%瓦61加2—〃2~4一

=+a；b：-2〃也生包

二（她-妙2）220，

當且僅當。也-出仇=。時，取等號,

所以當?shù)?她=0時，（“；+。；）（斤+“）2（3+生4）2對任意實數(shù)”|，出，耳,打成立，等號成立，

當（4；+用）（月+記）44向+生&）2對任意實數(shù)4,a2,b1,與成立，等號成立時，afi2-a^=0,

所以（a；+W）傳+以”（3+32）2對任意實數(shù)4,%，4，4成立，等號成立的充分必要條件哂-她=。.

題型八：探求命題為真的充要條件

一、單選題

1.（2022?全國?高一）“尸2”是“尸4=0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】對V-4=0求解，結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得出答案

【詳解】由題，將尸2代入戶4=0,等式成立，所以“L2”是“后4=0”的充分條件；

求解丁-4=0,得到戶±2,故"齊=2”是“犬-4=0”的不必要條件；

故選：A

二、多選題

2.（2021?黑龍江?齊齊哈爾市第一中學校高一階段練習）下列說法正確的是（）

A.“9-2》=0"是晨=2”的必要不充分條件

B."x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要條件

C.當"0時，"2_4“c<0”是“方程加+法+c=o有解，，的充要條件

D.若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件

【答案】ABD

【分析】對命題進行正反邏輯推理，并結(jié)合四種條件的定義即可判斷答案.

【詳解】對A,由Y-2x=0得至lJx=0或x=2.所以由x=2可以得至l]x?一2x=0，反之，若x=0,滿足x?-2x=0

成立，但顯然得不到x=2.所以A正確；

對B,由x>2且y>3顯然可以得到x+y>5,但若x=6,y=l,滿足x+y>5,但不滿足x>2且y>3.所以

B正確;

對C,a*0時，方程+fex+c=0有解-4ac20.所以由6?-4ac<0得不到方程ax?+bx+c=0有解，

反之方程62+反+c=0有解，也無法得到從-4ac<0.所以C錯誤.

對D,若〃是q的充分不必要條件，則g是p的必要不充分條件.所以D正確.

故選：ABD.

3.（2021?安徽?高一期中）已知。是『的充分不必要條件，9是，?的充分條件，s是r的必要條件，夕是s的必

要條件，下列命題正確的是（）

A.『是4的必要不充分條件B.『是,，的充要條件

C.「是'的充分不必要條件D.4是s的充要條件

【答案】BD

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義逐項判斷可得出結(jié)論.

【詳解】由題意得，P=>r,?p,qnr,r=>s,snq,所以g=s,5<=>r,qor,

所以「是s的充要條件，夕是5的充要條件，「是夕的充要條件，

故選：BD.

4.（2022.廣東肇慶.高一期末）下列說法中正確的有（）

A.“x>3”是“x>2”的必要條件

B.“x>l”是“7>1”的充分不必要條件

C."x=2或x=-3”是“d+x—6=0”的充要條件

D.“a>b”是“/>從,，的必要不充分條件

【答案】BC

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的知識，結(jié)合不等式或方程的知識對選項逐一判斷即可選出答案.

【詳解】對于A,“x>2”成立，“x>3”不一定成立，A錯誤；

對于B,“x>l”可以推出“爐>[，，,

取x=-2,得/>1,但一2<1,

所以不能推出“x>l”，B正確；

對于C,V+x—6=0的兩個根為x=2或x=—3,C正確；

對于D,"a"”不能推出“/>〃，，，同時也不能推出“”>6”，口錯誤.

故選:BC.

5.(2021.浙江?麗水外國語實驗學校高一階段練習)在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為人的所有整數(shù)組成一

個“類”，記為因，即伙]={5n+布eZ},%=0,1,2,3,4.則下列結(jié)論正確的是()

A.2011e[l];B.Z=[0]51]52]53]54]；

C.-3e[3]；D.整數(shù)0，b屬于同一“類”的充要條件是“"北⑼”.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)因的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】A：2011除以5,所得余數(shù)為1,滿足[1]的定義，故正確；

B：整數(shù)集Z就是由除以5所得余數(shù)為0」,2,3,4的整數(shù)構(gòu)成的，故正確；

C：-3=5x(—1)+2,故—3磯3],故錯誤；

D：設。=5〃|+肛,6=5丐+”，《],%GZ,小，叱e(0,1,2,3,4),

則a-b-5^-%)+〃?1-叱；

若整數(shù)。，b屬于同一“類”，則叫一嗎=0,所以a-赤身；

反之，若a-be[0],則叫-瑕=0,即〃4=嗎，a,6屬丁,同一“類”.

故整數(shù)。，b屬于同一“類”的充要條件是““-6e[0]”，正確.

故選：ABD.

三、解答題

6.(2022?湖南?高一課時練習)通過分析初中學過的數(shù)學知識，探討邏輯用語和集合的聯(lián)系.(例如，“若xN2,

則x>l,反之不然”可表述為[2,田)(1.-KX)).)

[分析】把邏輯用語的知識等價轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系得解.

【詳解】解：X22是xNl的充分條件，U\ix>2=>x>\,可表述為[2,+co)[l,+oo)；

xNl是xN2的必要條件，EPx>2=>x>l,可表述為U,+oo)[2,+<?);

XN2是xNl的充分不必要條件，即x22=xNl,xNl不能推出XN2,可表述為[2,y)[1,+a))；

xNl是XN2的必要不充分條件，即x