備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語、不等式

第一章集合與常用邏輯用語、不等式1.1集合1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合.3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.4.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.5.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.7.能使用韋恩(Venn)【教材梳理】1.元素與集合（1）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A;如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.（4）常用數(shù)集及其記法：數(shù)集非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號NN*或ZQRC2.集合間的基本關(guān)系文字語言符號語言記法子集集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素x∈A?B（或B真子集集合A是集合B的子集，但B中存在元素不屬于AA?A?B（或B相等集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素A?A=空集不含任何元素的集合?x,x??，??A?3.集合的基本運算文字語言符號語言圖形語言記法并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{xA∪交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{xA∩補集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合{x?U4.集合運算性質(zhì)（1）并集運算性質(zhì)：A∪B?A;A∪B?B;A∪A=A;A∪?=（2）交集運算性質(zhì)：A∩B?A;A∩B?B;A∩A=A;A∩?=（3）補集運算性質(zhì)：?U(?UA)=A；?UU=?;?U?=（4）重要等價關(guān)系：A∩B=A?A?B【常用結(jié)論】5.子集的傳遞性：A?B,B?C6.子集個數(shù)：集合{a1,a2,…,an}的子集有27.元素個數(shù)：記含有限個元素的集合A，B的元素個數(shù)為card(A)，card(8.德摩根定律：又稱反演律，即?U(A9.五個關(guān)系式:A?B，A∩B=A，A∪B=1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）任何一個集合都至少有兩個子集.(×)（2）{x|y（3）若{x2,1}={0,1}，則x=0,（4）對于任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A（5）若(?UA)∪B=2.已知集合A={x∈N|A.?∈A B.{?}?A C.0?A[解析]解：因為A={x∈N|x<3}={0,1,2}，所以0∈A，3.（教材練習(xí)改編）已知集合A={x|x<1}，BA.A∩B={xC.A∪B={x[解析]解：A={x|x<1}故A∩B故A，B，C都錯誤，D正確.故選D.4.（教材習(xí)題改編）已知集合A={x∈Z|3<x<8}，A∩A.? B.{5} C.{4,5,7} D.{5,7,8}[解析]解：由題得A={4,5,6,7}，A∩所以5,7∈B，4,6?B所以{4,5,7}一定不是B的子集.故選C.考點一集合的含義與表示例1（1）[2020全國卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x,y∈N*A.2 B.3 C.4 D.6[解析]解：由題意，A∩B中的元素滿足y≥x，x+y=8，且x,y∈N*,由x+y=8≥2x，得x≤4，所以滿足x（2）【多選題】若集合A={x∈R∣ax2A.92 B.98 C.0 D.[解析]解：若集合A中只有一個元素，則方程ax2-當(dāng)a=0時，x=23，符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ=(-3)2-8a=0，得a【點撥】用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合,要知道{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},x{(x變式1.（1）[2022屆重慶市高三質(zhì)量檢測]已知集合A={1,2,3}，B={a-b|a∈A.5 B.6 C.8 D.9[解析]解：由題意，當(dāng)a=b時，有a-b=0，當(dāng)a>b時，a-b=1或a-b=2，當(dāng)a<b時，a-（2）已知集合M={2,a2}，P={-2,-2a}，若M∪A.{1,0} B.{-1,0,1} C.{-2,-1,0} D.{-2,0}[解析]解：因為M∪P中有三個元素，且2≠-2，a2≠-2，所以-2a=a2或-2a=2．①當(dāng)-2a=a2考點二集合間的基本關(guān)系例2（1）設(shè)A={x|x2-8x+15=0}，B={xA.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：因為A={x|x2-8x當(dāng)B=?時，則a=0，此時B當(dāng)B≠?時，則a≠0，此時B={x|ax-1=0}={1a}，則有1所以實數(shù)a的取值是0或13或15故實數(shù)a的值的個數(shù)為3.故選C.（2）已知a∈R，b∈R，若集合{a,baA.-2 B.-1 C.1 D.[解析]解：因為{a,ba,1}={所以ba=0,a=a+b故a=-1，b=0，a故選B.【點撥】①判斷集合關(guān)系主要有兩種方法：一是化簡集合，二是列舉或數(shù)形結(jié)合.②已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時,要根據(jù)集合間的關(guān)系來確定元素之間的關(guān)系,須關(guān)注子集是否為空集.一般地,當(dāng)集合為有限集時,往往通過列方程或方程組來處理,此時需注意集合中元素的互異性,當(dāng)集合為連續(xù)型無限集時,往往借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解,要注意運用分類與整合、數(shù)形結(jié)合等思想方法，尤其需注意端點值能否取到.變式2.（1）已知集合A={-1,a},B={-1,0,a2-a}A.1 B.0 C.2 D.0或2[解析]解：由A∪B=B當(dāng)a=0時，a2-a=0當(dāng)a=a2-a時，a=0（舍）或a=2綜上所述，a=2.故選（2）已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1<xA.(-∞,2] B.(2,4] C.[2,4] D.(-∞,4][解析]解：當(dāng)B=?時，有m+1≥2m-1當(dāng)B≠?時，若B?則m+1≥-2，2m-綜上，有m≤4.故選（3）【多選題】已知集合M={x∣x=kπ4A.M∩N≠? B.M?N C.[解析]解:對集合M，有x=kπ4+π4=(k+1)π4，k∈Z，對集合N，有x=kπ8-π4=(k-2)π8，k∈Z考點三集合的基本運算命題角度1交、并、補運算例3（1）已知集合A={x|(x+2)(x-3)<0}A.[-2,1) B.[1,3] C.(-∞,-2) D.(-2,1)[解析]解：因為A={x|-2<x<3}所以?RB={x|故選D.（2）已知集合A={x||x|<2}，B={A.(0,2) B.(0,3) C.(2,3) D.(-2,3)[解析]解：A={x||x|<2}={x|-2<x<2}，【點撥】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩(Venn)變式3.（1）記全集U=R，集合A={x||x|≥4}，集合A.(2,4] B.(1,4] C.(-4,0] D.(-4,0]∪[2,4)[解析]解：由|x|≥4得x≤-4或x≥4，則?UA=(-4,4)，由ln(x-1)2≥0得(x-（2）已知集合A={x|y=lg(x2A.(1,2] B.R C.(-∞,0)∪(1,2] D.(-∞,2][解析]解：由x2-x>0，解得x<0或x>1.所以A=(-∞,0)∪(1,+∞).由20≤2x≤2命題角度2由集合的運算求參數(shù)例4[2020年全國Ⅰ卷]設(shè)集合A={x|x2-4≤0}，B={xA.-4 B.-2 C.2 D.[解析]解：由x2-4≤0,可得A={x|-2≤x≤2}，由2x+a≤0，可得B={x【點撥】集合運算中的求參數(shù)問題，首先要會化簡集合，因為在高考中此類問題常與不等式等知識綜合考查，以體現(xiàn)綜合性，其次注意數(shù)形結(jié)合（包括用數(shù)軸、韋恩(Venn)變式4.集合P={x∈R||x-1|<1}，Q={xA.{a|a≥3}C.{a|a≤-1[解析]解：P={x|0<x<2}，Q={x|a-1≤x≤a+1}，要使P∩考點四韋恩（Venn）圖及其應(yīng)用例5全集U=R，集合A={x∣xx-A.(-∞,0]∪[4,5] B.(-∞,0)∪(4,5]C.(-∞,0)∪[4,5] D.(-∞,4]∪(5,+∞)[解析]解：因為集合A={x|0≤x<4}由Venn圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為?U(A∪B所以?U(A∪【點撥】韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關(guān)系，先分析集合關(guān)系，化簡集合，再由韋恩(Venn變式5.已知全集U=R，集合A={x|x(A.(-2,1) B.[-1,0]∪[1,2) C.(-2,-1)∪[0,1] D.[0,1][解析]解：A={x|-2<x<0}由圖知陰影部分為?U(A∩B)∩(A∪B)所以?U(A∩B)={x例6（原創(chuàng)改編）“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》.某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機調(diào)查200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值是(A)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4[解析]解：如圖，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160+60-180=40，40-20=20，故由樣本估計總體，可得所求為20200=0.1.故選【點撥】較復(fù)雜集合關(guān)系的分析，常借助韋恩(Venn)變式6.已知M,N均為R的子集，且?RM?N，則A.? B.M C.N D.R[解析]解：如圖所示，設(shè)矩形ABCD表示全集R，矩形區(qū)域ABHE表示集合M，則矩形區(qū)域CDEH表示集合?RM,矩形區(qū)域CDFG表示集合N，滿足?RM?N，結(jié)合圖形可得思想方法·分類與整合在集合中的應(yīng)用典例已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-2<x<1}[解析]解：①當(dāng)a=0時,A=?,滿足A②當(dāng)a>0時,A={因為A?B,所以2a≤1③當(dāng)a<0時,A={因為A?B,所以2a≥-2,2+2aa綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪{0}∪[2,+∞).故填(-∞,-1]∪{0}∪[2,+∞).【點撥】①本例是由目標(biāo)的多種可能性引發(fā)的分類與整合.分類與整合思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)原問題的解決.對問題實行分類與整合，其分類標(biāo)準等于增加了一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題（或綜合性問題）分解成小問題（或基礎(chǔ)性問題），優(yōu)化了解題思路，降低了問題難度.簡而言之，分類與整合思想就是化整為零，各個擊破，再積零為整的數(shù)學(xué)思想.②分類與整合的原則:一是不重復(fù)，不遺漏；二是標(biāo)準統(tǒng)一，分類的對象確定，層次分明；三是能不分類的要盡量避免分類或盡量推遲分類.變式.已知集合A={x|x2-3x-4=0}，B={A.(-∞,-1] B.[4,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,4) D.[-1,2]∪[4,+∞)[解析]解：由題知A={-1,4}，因為A∩B=?，所以，當(dāng)B=?時，a≥a2，解得0≤a≤1，當(dāng)B≠?時，a2≤4，a≥-1【鞏固強化】1.[2022年新高考Ⅱ卷]已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}[解析]解：B={x|0≤x≤2}，故2.已知集合A，B滿足A={x|x>a},B={A.b<0 B.b≤0 C.b>0[解析]解：由題意，a+b≥a，所以b3.[2022年北京卷]已知全集U={x|-3<x<3}，集合A={A.(-2,1] B.(-3,-2)∪[1,3) C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3)[解析]解：?UA={x|-3<x≤-24.[2021全國乙卷]已知集合S={s|s=2n+1,n∈A.? B.S C.T D.Z[解析]解：任取t∈T，則t=4n+1=2×2n+1，其中n∈Z，所以t∈5.已知集合M={a,2a-1,2a2-1}A.3 B.1 C.-3 D.-[解析]解：若a=1，則2a若2a-1=1，則a故2a2-1=1，解得a=1故M={-1,-3,1}，所有元素之和為-3.6.設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，則滿足A.1 B.3 C.4 D.6[解析]解：由題意知，A={1,2}，則0∈B，所以當(dāng)集合B的元素個數(shù)為1個時，B={0}；當(dāng)集合B的元素個數(shù)為2個時，B={0,1}或{0,2}；當(dāng)集合B的元素個數(shù)為3個時，B7.【多選題】已知(?RA)∩BA.A∩B=A B.A∩B=B[解析]解：作Venn圖知B?A，故B,C成立.8.【多選題】已知集合A={x|x2-2xA.(?RA)∪C.A∩{(x,y)|x>3,y[解析]解：由x2-2x>0，得x<0或x>2，所以A={x|x<0或x>2}，?RA={x|0≤x≤2}，所以(?RA)∪B={【綜合運用】9.[2022屆浙江高三下二聯(lián)]已知集合A={x|x?B}，A.? B.{?} C.{1,2,3} D.{?,{1,2,3}}[解析]解：因為集合A={x|x?B}，B={1,2,3}，所以10.設(shè)集合P={m|-1<m≤0},A.P?Q B.P?Q C.P=[解析]解：Q={m∈R|mx2+4mx-4<0對任意實數(shù)x恒成立},對m分類:①當(dāng)m=0時,-4<0恒成立;②當(dāng)m11.某單位周一、周二開車上班的職工人數(shù)分別是14，10.若這兩天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這兩天中一天開車一天不開車上班的職工人數(shù)是(C)A.4 B.5 C.16 D.15[解析]解：設(shè)僅第一天開車人數(shù)為a,僅第二天開車人數(shù)為b,兩天都開車人數(shù)為x,則由圖知a+x+b+x=14+10,a+b+x12.已知集合A={x∣ax-1=0},B={x∣1<A.? B.{13} C.{1[解析]解：由A∩B=A，得A?B.因為B={x∣1<log2x≤2,x∈N*={x∣2<x≤4,x∈N*}={3,4}.當(dāng)A=?時，則方程ax-1=0無實數(shù)解，所以a=0，此時顯然有A?B13.【多選題】給出關(guān)于滿足A?B的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是(A.若任取x∈A，則x∈B是必然事件 B.若任取x?C.若任取x∈B，則x∈A是隨機事件 D.若任取x?[解析]解：對于A，由A?B知A是B的子集，集合A中的元素全在集合B中，故對于B，若x?A，則x∈B是有可能的，所以x對于C，任取x∈B，則x不一定是A中的元素，所以x∈A對于D，若x?B，則x一定不是A中的元素，所以x?A是必然事件，故D【拓廣探索】14.【多選題】在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]={5n+k|A.2B.-3∈[3]C.若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a-D.若a-b∈[0]，則整數(shù)a，b屬于同一[解析]解：對于A,因為2021=404×5+1，所以2021∈[1]對于B,因為-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故對于C,若a與b屬于同一類，則a=5n1+k，b=5n對于D,若a-b∈[0]，設(shè)a-b=5n,n∈Z，即a=5n+b,n∈Z，不妨令b=5m+k,m∈Z，k=0,1,2,3,41.2常用邏輯用語1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.3.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.4.通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.5.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.6.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.【教材梳理】1.充分條件、必要條件與充要條件如果p?q,則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件；每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個p是q的充分不必要條件記作p?q且qp是q的必要不充分條件記作p?q且qp是q的充分必要條件（簡稱充要條件）記作p?p是q的既不充分又不必要條件記作p?q且q?2.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”（2）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定（1）全稱量詞命題的否定全稱量詞命題否定結(jié)論?x∈M?x∈M全稱量詞命題的否定是存在量詞命題（2）存在量詞命題的否定存在量詞命題否定結(jié)論?x∈M?x∈M存在量詞命題的否定是全稱量詞命題【常用結(jié)論】4.充分、必要條件的傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條件.5.以下說法等價:p?q；p是q的充分條件；q是p的必要條件；p的一個必要條件是q；q的一個充分條件是6.關(guān)鍵量詞的否定（1）常用全稱量詞的否定每一個所有的一個也沒有任意存在一個有的至少有一個存在（2）常用存在量詞的否定至少有n個至多有一個存在至多有n-1至少有兩個任意（3）一些常見判斷詞的否定是一定是都是大于小于不大于不是不一定是不都是小于或等于大于或等于大于7.充分、必要條件與集合間的關(guān)系：集合A={x|p(（1）若A?B，則p是q（2）若A?B，則p是q（3）若B?A，則p是q（4）若B?A，則p是q（5）若A=B，則p是q（6）若A?B且B?A，則p是1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(√)（2）若p?q,則p是q的充分不必要條件.(（3）當(dāng)p是q的充要條件時，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(√)（4）“長方形的對角線相等”是存在量詞命題.(×)（5）命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”的否定是“所有素數(shù)都不是奇數(shù)”.(×)2.（教材改編）已知命題p:?n∈N，n2≥2n+5A.?n∈N，n2≥2n+5C.?n∈N，n2<2n+5[解析]解：由存在量詞命題的否定可知，?p為:?n∈N，n3.（教材改編）若a∈R，則“a3>1”是“a2>1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：解不等式a3>1可得a>1，解不等式a2>1可得a因為{a|因此“a3>1”是“a2>1”4.（教材改編）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，則“z為純虛數(shù)”是“z+z=0”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：由z為純虛數(shù)，設(shè)z=bi，b∈R,可得z當(dāng)z=0時，可得z=0，則z+z=0+0=0所以“z為純虛數(shù)”是“z+z=0故選B.考點一充分、必要條件的判定例1（1）若z為復(fù)數(shù)，則“z2<0”是“z為純虛數(shù)”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件[解析]解：設(shè)z=a+bi當(dāng)z2=a2如果b=0，a2如果a=0，b2>0，此時z=b如果a=0且b=0，則z=0，z2=0綜上知，a=0，z所以“z2<0”是“z為純虛數(shù)”當(dāng)z為純虛數(shù)，即z=bi(b所以“z2<0”是“z為純虛數(shù)”綜上所述，“z2<0”是“z為純虛數(shù)”故選C.（2）[2022年浙江卷]設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]解：（方法一）{x|sin（方法二）當(dāng)sinx=1時，由同角關(guān)系得cosx=0，充分性成立；當(dāng)cosx=0時，sinx=±1，必要性不成立.所以當(dāng)x∈R時，“sinx【點撥】充要條件的三種判斷方法:①定義法：分三步進行，第一步，分清條件與結(jié)論；第二步，判斷p?q及q?p的真假；第三步，下結(jié)論.②集合法：見本節(jié)“常用結(jié)論”，例1（2）可用此法求解變式1.（1）已知平面內(nèi)兩定點A，B及動點P，則“|PA|+|PB|是定值”是“點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：|PA|+|PB|是定值有兩種情況，|PA|+|PB|=|AB|，則動點P的軌跡為線段AB，或|PA|+|PB|>|AB|（2）f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則“f'(x0)=0”是“函數(shù)fA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：由極值定義知后者可得前者，但反之不一定，如f(x)=x3，在x0=0時考點二充分、必要條件的綜合應(yīng)用例2函數(shù)f(x)=x|A.ab=1 B.a+b=0 C.a[解析]解：因為f(-x即-x|-x+a|+b=-x|x+a|+b，因為x不恒為0，所以|-x+a|=|x+a|，由x的任意性可得a=0【點撥】①求解充要條件的應(yīng)用問題常根據(jù)相應(yīng)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組）求解;②求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意對區(qū)間端點值進行檢驗.變式2.[2022屆廣東茂名高三下調(diào)研]若不等式|x-1|<a的一個充分條件為0<x<1，則實數(shù)A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)[解析]解：由不等式|x-1|<a，可得-a+1<x<a+1，a<0不合題意,要使得0<x<1考點三全稱量詞命題與存在量詞命題命題角度1全稱、存在量詞命題的否定例3（1）設(shè)命題p:所有正方形都是平行四邊形，則?p為(A.所有正方形都不是平行四邊形 B.有的平行四邊形不是正方形C.有的正方形不是平行四邊形 D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形[解析]解：由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，C正確.故選C.（2）已知f(x)=sinx-tanx，命題pA.p是假命題，p:?x∈(0,π2B.p是假命題，p:?x0∈(0,πC.p是真命題，p:?x∈(0,π2D.p是真命題，p:?x0∈(0,π[解析]解：x∈(0,π2)時，sinx>0，0<cosx<1，則1cosx>1，sinxcosx>sinx，故sinx<tanx【點撥】①否定全稱（存在）量詞命題，一是改變量詞，二是否定結(jié)論，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞.②否定全稱量詞命題，常舉一反例即可，但否定存在量詞命題，往往要進行嚴格證明，因為其否定是全稱量詞命題.變式3.（1）命題“?n∈N*，f(n)∈N*A.?n∈N*,f(n)?N*且fC.?n0∈N*,f(n0)?N*[解析]解：原命題的否定形式是“?n0∈N*,f(n0（2）下列命題的否定中，是全稱量詞命題且為真命題的是(A)A.?x∈R，xC.?x<0，x2≥0 D.至少有一個實數(shù)x[解析]解：A中，命題的否定是：?x∈R，x2-B中，命題的否定是：有的正方形不是矩形，是假命題，也是存在量詞命題，B錯誤.C中，命題的否定是：?x<0,x2<0D中，命題的否定是：?x∈R，x3+1≠0，是假命題，也是全稱量詞命題，命題角度2依據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍例4若命題“存在x0∈R，x02-2axA.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-3,3)C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.[-3,3][解析]解:命題“存在x0∈R，x02-2ax0+9<0”為假命題，等價于“?【點撥】已知命題真假求參數(shù)范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域（或最值）求解，另外注意轉(zhuǎn)換，如本例，將存在量詞命題為假命題轉(zhuǎn)換為全稱量詞命題為真命題，從而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題.變式4.已知“命題p:?x0∈R，ax02+2A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1][解析]解：（方法一）當(dāng)a=0時，2x+1<0，可得x<-12，此時命題p為真；當(dāng)a≠0時，要使命題p為真，只要Δ=4-4a>0，即a（方法二）命題p的否定是“?x∈R，ax2+2x+1≥0”.當(dāng)a=0時，顯然命題?p為假；當(dāng)a≠0時，命題?p為真的充要條件是a>0且Δ=4-4a≤0，即a≥1.故?p學(xué)科素養(yǎng)·基于數(shù)學(xué)知識的邏輯推理典例關(guān)于x的方程x2+甲：x=1乙：x=3丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命題，則該命題是(A)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁[解析]解：因為1×3>0,1+3≠2,又四個命題三真一假，故甲、乙必有一個是假，由甲為假易知,符合題意，由乙為假推出矛盾.故選A.【點撥】此題是基于數(shù)學(xué)知識背景下的邏輯推理問題，實際考查中，也可能基于數(shù)學(xué)文化，生活生產(chǎn)等，體現(xiàn)對邏輯推理素養(yǎng)及批判性思維能力的考查.邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比，一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.變式.數(shù)學(xué)老師給出一個定義在R上的函數(shù)f(x甲：在(-∞,0]上函數(shù)單調(diào)遞減；乙：在[0,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞增；丙：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線?。篺(0)不是函數(shù)的最小值老師說：你們四個同學(xué)中恰好有三個人說的正確，那么，你認為說法錯誤的同學(xué)是乙，寫出一個符合要求的函數(shù)f(x)=[解析]解：假設(shè)甲，乙兩個同學(xué)回答正確，因為在[0,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞增，所以丙說“函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱”錯誤.此時f(0)是函數(shù)的最小值，所以丁的回答也是錯誤的，這與“四個同學(xué)中恰好有三個人說的正確”矛盾，所以只有乙回答錯誤.函數(shù)f(x)在(-∞,0]單調(diào)遞減，關(guān)于x=1對稱，則f(x)=|【鞏固強化】1.已知命題p:?x∈Q，使得x?N，則A.?x?Q，都有x?N B.C.?x∈Q，都有x∈N D.[解析]解：因為p:?x∈Q，使得x?N，所以?p為：?2.“x2>y2”是“x>yA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：令x=-2，y=1令x=1,y=-2知必要性不成立.3.已知命題p:高三（一）班所有的男生都愛踢足球，則命題?p為(A.高三（一）班至多有一個男生愛踢足球B.高三（一）班至少有一個男生不愛踢足球C.高三（一）班所有的男生都不愛踢足球D.高三（一）班所有的女生都愛踢足球[解析]解：命題p是一個全稱量詞命題，它的否定是一個存在量詞命題，結(jié)合選項知，B正確.故選B.4.[2021年浙江卷]已知非零向量a，b，c，則“a?c=b?c”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：充分性不成立，若a⊥c且b⊥c，則a?c=b?c=0，但a必要性成立，由a=b，可得a-b=0，則(a-b)?c綜上所述，“a?c=b?c”是“5.已知集合A={x|x2-x-6>0},B={x|0<x+a<4}，若A.(-3,6) B.[-3,6]C.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-3]∪[6,+∞)[解析]解：A={x|x2-x-6>0}={x|x<-2或x>3},B={x|-a<x<4-a}，因為“x∈6.【多選題】下列命題中，真命題是(AD)A.若x,y∈R且x+y>2，則xB.?x∈RC.a+b=0D.命題“?x<1,x2<1”的否定是“?[解析]解：對于A，若實數(shù)x,y都小于等于1，那么可以推出x+y≤2，所以對于B，當(dāng)x=2時，2x=x2對于C，當(dāng)a=b=0時，滿足a+b=0，但對于D，命題“?x<1,x2<1”的否定是“?x0<1,x07.【多選題】下列各項中，p是q的充分不必要條件的是(AC)A.p:x=1B.p:a=bC.p:四邊形為菱形；q:D.p:a>b[解析]解：對于A，當(dāng)x=1時，可得x2=1，即充分性成立；反之,當(dāng)x2=1，可得x=±1，所以必要性不成立，所以p對于B，當(dāng)a=b時，可得a+c=b+c，即充分性成立；反之,當(dāng)a+c=b+對于C，由四邊形為菱形，可得四邊形的對角線垂直，即充分性成立；反之,當(dāng)四邊形的對角線垂直，四邊形不一定是菱形，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要條件，所以C正確；對于D，當(dāng)a>b，且c<0時，可得ac<bc，即充分性不成立，反之，當(dāng)ac>bc，且c>0時，可得a>b；當(dāng)c<0時，可得a<b8.[2022屆人大附中學(xué)高三三模]能夠說明“若a,b,m均為正數(shù)，則b+ma+m[解析]解：b+ma+m-ba=(a-b)ma(a+【綜合運用】9.已知α，β是兩個不重合的平面，直線a?α，p:a//β，q:α//βA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：一個面上有兩相交直線都和另一個面平行，則這兩個面平行，所以p:a//β不能推出q:α//β.兩個平面平行，其中一個面上的任何一條直線都和另一個平面平行，所以q:α//β可以推出10.“0<m<2”是“方程x2m+y2A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：方程x2m+y2得0<m<2且m≠1，所以“0<m<2”是“方程x2m11.已知函數(shù)f(x)=x+4x，則“x>4”是A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：當(dāng)x<0時，f(x)<0當(dāng)x>0時，f(x)=x+4x>5，整理得所以“x>4”是“f(x)>5”12.【多選題】下列命題中的真命題是(ACD)A.?x∈R，ex-1>0C.?x，y∈Z，使得2x+y=4[解析]解：對于A，因為x-1∈R，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域為(0,+∞)，即y=對于B，當(dāng)x=0時，x2=0對于C，當(dāng)x=0,y=4時，2x+對于D，因為y=tanx的值域為(-∞,+∞)，故?x∈R,使得tanx13.“(a-x)5（a為常數(shù)）的展開式各項系數(shù)和不超過243”是“‘?x0∈R，使A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件[解析]解：(a-1)5≤35?a≤4.“?x0∈R，使ax02-ax0+1≤0成立”為假命題，則“?x∈R，ax2-ax+1>0”為真命題，當(dāng)a【拓廣探索】14.設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，能說明“存在x0∈R，使得f([解析]解：“?x0∈R,f(x0)<1”為假命題，則“?x∈R,f(x)≥1”1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).【教材梳理】1.基本事實（1）a>b?（2）a=b?（3）a<b?2.等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果a=b，那么b性質(zhì)2：如果a=b,b=c性質(zhì)3：如果a=b,那么a性質(zhì)4：如果a=b,那么性質(zhì)5：如果a=b,c≠0,3.不等式的基本性質(zhì)序號性質(zhì)簡稱性質(zhì)1a>b?對稱性性質(zhì)2a>b,b>傳遞性性質(zhì)3a>b?可加性性質(zhì)4a>b,c>0?a>b,c<0?乘法法則性質(zhì)5a>b,c>相加法則性質(zhì)6a>b>0,c相乘法則性質(zhì)7a>b>0?a乘方法則【常用結(jié)論】4.基本性質(zhì)的推論（1）開方法則：a>（2）倒數(shù)法則：a>b,（3）異向相減：a>b,（4）異向相除：a>b>05.分數(shù)性質(zhì)若a>b>0，（1）真分數(shù)性質(zhì)：ba<b+（2）假分數(shù)性質(zhì)：ab>a+其中真分數(shù)性質(zhì)也常被稱為“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（濃度變大）；糖水析出糖后，糖水變淡（濃度變?。?”1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若ab>1，則a>b（2）一個不等式的兩邊加上或乘以同一個實數(shù)，不等號方向不變. (×)（3）一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越大. (×)（4）a>b>0，c>（5）若a>b>c，且a+b+c=0,則2.（教材改編）已知x∈R,M=2x2-1,N=4x-A.M>N B.M<N C.[解析]解：由題意，M-N=2x2-1-(4x3.若a>b，則(A.ln(a-b)>0 B.3a<[解析]解：a>b?a3>b34.已知a,b,c,d∈R，且a<b<c,c≠A.d<a B.a<d<b[解析]解：由題意，知(a-d)(b-d)(c-d)=d-c，又c≠d，所以(a-d)(b-d考點一不等式的基本性質(zhì)例1（1）【多選題】若a>b>1>c>0A.logca>logC.a(b+c[解析]解：對于A,因為y=logcx在(0,+∞)對于B,因為y=xc在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以對于C,因為a(b+c)-對于D,因為ab-bc=ac-b（2）【多選題】已知logb2023>logA.0.2a<0.2bC.lnb-b>lna-a[解析]解：因為logb2023>loga2023>0，即ln2對于A，0.2a<0.2b對于B，1a2-1b2=對于C，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx則f'(x)=1x-1=1-因為a>b>1，故f(a)<f(對于D，因為m>0則ab-a+mb+m=a【點撥】利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷（判斷成立時）或反例說明（判斷不成立時），在實際考查中，多與一些常見函數(shù)單調(diào)性結(jié)合考查，此時需要先根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)靈活構(gòu)造函數(shù).變式1.（1）【多選題】若a>b>0，且ab=1A.a>b+1 B.1a2+1<[解析]解：由題意知，a>1>b>0，對于A，a-b-1=1b對于B,因為a>1>b>0，所以a2+1>b2對于C,因為f(x)=(12)x為減函數(shù)，所以f對于D,因為a>1>b>0，所以a+b>2ab，log（2）【多選題】設(shè)a=log26，b=A.ab<0 B.1a-1b=1[解析]解：已知a>0，b<0，所以1a-1b=log62-1a+1b=log62+log因為ab<0，所以a+b>0因為1a2+1b2>(1a考點二利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例2（1）【多選題】（教材習(xí)題改編）設(shè)x,y為實數(shù)，滿足-1≤x≤2,0<y≤1A.x+y的取值范圍是(-1,3] B.x-yC.xy的取值范圍是[-1,2] D.x2y的取值范圍是[解析]解：由于-1≤x≤2，0<y≤1,所以-1<x+y≤3,A正確.由于-1≤x≤2,-1≤-y<0,所以-2≤x-y<2,B正確.當(dāng)-1≤x<0,0<y≤1時，-1≤-y<0,則0<-xy≤1,則-1≤xy<0,所以xy的取值范圍是[-1,0)（2）已知-1<x+y<4且2<x-[解析]解：（方法一）設(shè)2x=(λ+則λ+所以2x-而-2<-12(x所以3<2x-3y<8（方法二）令a=x+y且-1<a<4，所以2x-因為-1<a<4，所以-2<-a2<1所以3<-a2+52故填(3,【點撥】①由不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍，要注意端點值的取舍.②由a<f(x,y)<b，c<g(x,y)<d，求F(x,y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x,y變式2.（1）若1<a<3，-4<b<2，則aA.(-3,0) B.(-3,3) C.(0,3) D.(-3,5)[解析]解：因為-4<b<2，所以0≤|b|<4，所以-4<-|b|≤0.又因為（2）已知-π2<α<β<πA.(-π,π) B.(-π2,π2[解析]解：因為-π2<α<β<π2，所以-π2-π2<α（3）若-1≤lgxy≤2，1≤lg([解析]解：由1≤lg(xy)≤4得1≤lgx+lgy則lgx2y=2lgx-lgy考點三作差或作商比較大小例3（1）若a<0，b<0，則p=b2a+aA.p<q B.p≤q C.p[解析]解：（方法一）（作差法）p-q因為a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0，(b-a)（方法二）（特值法）當(dāng)a=b=-1時，p=-2=q.當(dāng)a=-1，b=-2時，p=-92，q=-3，則p<q（2）若實數(shù)m，n，p滿足m=4e35，n=5e23A.p<m<n B.p<n<[解析]解：由題意得mn=4e3又mp=4e3所以p<m<n【點撥】作差（商）比較法的步驟是：①作差（商）；②變形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；③判斷符號（判斷商和“1”的大小關(guān)系）；④給出結(jié)論.變式3.（1）已知a=c+1+c+4,b=c+2+cA.a>b B.b>a C.[解析]解：a2=2c+5+2(c+1)(c+4)，b2=2c+5+2(c（2）已知a=0.40.3，b=0.30.3，A.a>c>b B.a>b>[解析]解：0.30.30.30.4=0.3-0.1>1,所以0.30.3>0.3所以a>b另解：用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性比較.故選B.【鞏固強化】1.已知a,b,c,d均為實數(shù)，則下列命題中錯誤的是(A)A.若ab<0，bc-ad>0，則ca-db>0 B.C.若bc-ad>0，ca-db>0，則ab[解析]解：對于A，因為ab<0，bc-ad>0，所以c對于B，因為ab>0，ca-db=bc對于C，因為bc-ad>0，ca-db對于D，由1a<1b<0可得b<a<0，所以2.設(shè)b>a>0,c∈RA.a12<b12 B.1a[解析]解：當(dāng)b>a>0時，因為y=x?12在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以a?12<b12，故A恒成立；因為y=1x-c在(0,+∞)上是減函數(shù)，所以1a-c>1b-c,故B恒成立；因為a3.已知a<b<c且a+A.a2<b2<c2 B.a[解析]解：（方法一）因為a<b<c且a+b+c=0，所以a<0（方法二）（賦值法）依據(jù)條件不妨取a=-2，b=0，c=2，可排除A，B，D4.【多選題】設(shè)x，y為實數(shù)，滿足1≤x≤4，0<y≤2A.1<x+y≤6 B.1<x-y[解析]解：對于A，0+1<x+y≤2+4，即1<對于B，-2≤-y<0，則-1≤對于C，0×1<xy≤4×2，即0<xy≤8對于D，由題知1y≥12，則xy≥1×15.【多選題】若a，b為非零實數(shù)，且a>b，則下列不等式成立的是(A.ba>ab B.1ab2[解析]解：令a=1,b=-1，則ba=-1=a-1a=0=1ab2-1a2b=a-ba因為a>b，所以a設(shè)冪函數(shù)y=xα，當(dāng)α>0時，y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且12>16.已知a>0且a≠1，P=loga(a3+1)，Q=logA.P>Q B.P<Q C.P[解析]解:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=logaa3+1a2+1.當(dāng)a綜上可知，當(dāng)a>0且a≠1時，P-Q>0，即7.能夠說明“設(shè)a,b是任意非零實數(shù).若ba>1，則b>a”是假命題的一組整數(shù)a,b的值依次為-1[解析]解：要使“設(shè)a,b是任意非零實數(shù).若ba>1，則b>a”是假命題，只需滿足b<a<0且a,b∈Z即可，可取a=-1,b8.若實數(shù)α,β滿足-1≤α+β≤1，1≤α+2[解析]解：設(shè)α+3β=λ(α+β)+μ(又-1≤α+β≤1，1≤α+2β≤3，所以-1≤-(α+【綜合運用】9.若{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比q≠1，則(a1+aA.a1+a4>C.a1+a4[解析]解：由題意可得a1>0,q>0且q≠1，則(a1+10.若a-b>0，則下列不等式一定成立的是A.a2>b2 B.tana>tan[解析]解：當(dāng)a=2,b=-3時，滿足a-b>0，但a當(dāng)a=2π3,b=π3時,tanπ當(dāng)a=3,b=2時，滿足a-b>0，但此時lgy=x∣x∣=x2,x11.設(shè)a=ln2,b=logA.a+b>aC.a+b>ab[解析]解：0<ln2=a<lne所以ab>0，a+b>0，1a因為a+bab=1因為(a+b)-(aa-b則a-bab=1綜上，a+b>ab12.已知a=0.8-0.4，b=log53A.a<b<c B.b<c<[解析]解：bc=log53log85=ln3?ln813.【多選題】已知0<a<b<c，且|A.a+c>2 B.cba>b[解析]解：由題意得lga=-lgc=lg1c，所以ac=1，且c>1因為cbabca=c令a=12，c=2，b=1，則clogab=0>bloga【拓廣探索】14.某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).（1）若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為6；（2）該小組人數(shù)的最小值為12.[解析]解：設(shè)男學(xué)生人數(shù)、女學(xué)生人數(shù)、教師人數(shù)分別為a，b，c,則2c>a>b>c，a（1）若c=4，則2c=8，所以8>a>b>4，當(dāng)a=7時，b=6或5；當(dāng)a（2）因為2c>a>b>c，a，b，c∈N*，所以c與2c之間至少有兩個整數(shù)，所以2c-c≥3，所以c≥3，所以cmin=3故填（1）6；（2）12.1.4一元二次不等式（與幾類重要不等式）的解法1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù).2.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.【教材梳理】1.一元二次不等式一元二次不等式定義一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一般形式ax2+bx+ax2+bx+其中a,b,c均為常數(shù)，a≠02.二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，我們把使ax3.三個“二次”的對應(yīng)關(guān)系ΔΔΔΔy=aax2有兩個不相等的實數(shù)根x1,有兩個相等的實數(shù)根x沒有實數(shù)根ax2{{Rax2{??【常用結(jié)論】4.一元二次不等式恒成立（1）ax2+bx注意：若a=0,則恒成立的充要條件為b=0,（2）ax2+bx注意：若a=0,則恒成立的充要條件為b=0,5.單、雙變量恒成立、有解、無解的轉(zhuǎn)化（1）單變量①對任意的x∈[m,n]，a若存在x∈[m,n]，a若對任意x∈[m,n]，②對任意的x∈[m,n]，若存在x∈[m,n]，a若對任意x∈[m,n]，（2）雙變量①對任意的x∈[a,b]，不等式②存在x0∈[a,b]③對任意x1∈[a,b]，x2④存在x1∈[a,b]，x2⑤對任意x1∈[a,b]，存在x21.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）-x2+x>0（2）若二次不等式ax2+bx+c>0的解集為（3）不等式ax2+bx+c>0恒成立，則（4）ax<b的解集是(（5）x(x+2)2>02.[2023屆湖湘名校高三聯(lián)考]設(shè)集合A={x|x+1x-2≤0}A.{x|-1≤x≤1} B.{x|1≤x[解析]解：由題得(x+1)(x-2)≤0，x-2≠0，則A3.當(dāng)x∈R時，不等式x2-2x-1-A.(-∞,-2] B.(-∞,-2) C.(-∞,0] D.(-∞,0)[解析]解：由題意，當(dāng)x∈R時，不等式x2-2x-1-a≥0恒成立，故Δ=(-2)24.（教材題改編）某城市對一種每件售價為160元的商品征收附加稅，稅率為R%（即每銷售100元征稅R元），若年銷售量為(30-52R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則RA.[4,8] B.[6,10] C.[4%,8%] D.[6%,10%][解析]解：根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，則(30-52整理得R2-12R+32≤0所以R的取值范圍是[4,8].故選A.考點一一元二次不等式的解法例1（1）設(shè)集合A={x|x<x2}A.(0,1) B.(-3,0)∪(1,2) C.(-3,1) D.(-2,0)∪(1,3)[解析]解：因為A={xB={x所以A∩B=(-3,0)∪(1,2)（2）[2023屆哈爾濱高三質(zhì)檢]已知不等式ax2+bx-2<0的解集為{x|-1<A.R B.?C.{x|-1<x<3}[解析]解：因為不等式ax2+bx-2<0的解集為{x|-1<x<2}，故a>0，且x=-1與x=2為方程ax2+bx-2=0的兩根，故-（3）解關(guān)于x的不等式ax[答案]解：原不等式可化為ax2即(ax-當(dāng)a=0時，原不等式可化簡為x+1≤0原不等式的解集為{x|當(dāng)a≠0時，原不等式的解集由2a和-1的大小決定，當(dāng)a>0時，2a>-1;當(dāng)a<0所以不等式的解集為：當(dāng)a=0時，{x當(dāng)a>0時，{x|當(dāng)-2<a<0時，當(dāng)a=-2時，{x當(dāng)a<-2時，{x【點撥】①解一元二次不等式的步驟：第一步，將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解相應(yīng)的一元二次方程；第三步，根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；第四步，寫出不等式的解集.②對于含參一元二次不等式的求解，常需要分類討論，分類標(biāo)準有：二次項系數(shù)符號、不等式對應(yīng)方程根的大小及判別式符號等.變式1.（1）對于實數(shù)x，規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，那么使不等式4[x]2-36[xA.(32,152) B.[2,8][解析]解:由4[x]2-36[x]+45<0，得32<[x]<152（2）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{xA.(-3,12)C.(-2,13)[解析]解：因為不等式ax2+bx+所以a<0,-ba所以不等式cx2+bx+a<0變形得ca則cx2+bx+a<0（3）已知不等式ax2-3（Ⅰ）求a，b；[答案]解：因為不等式ax2-3x+6>0的解集為{x|b<x所以1+b=3a（Ⅱ）解不等式ax[答案]解：由（Ⅰ）知a=-3,所以原不等式可化為-3x即(3x-因為原不等式對應(yīng)的方程(3x-2)(x-c)=0的根為x1=23當(dāng)c<23時，原不等式的解集為{當(dāng)c=23時，原不等式的解集為當(dāng)c>23時，原不等式的解集為考點二其他幾類重要不等式的解法命題角度1分式不等式的解法例2不等式x-1x≥2A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞)[解析]解：由x-1x≥2得-1-x解得-1≤x<0【點撥】分式不等式解法:①化分式不等式為標(biāo)準型.方法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為f(x)g(x)的形式.②將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解：f變式2.[2023年遼寧名校聯(lián)考]不等式x+10(x-[解析]解：由x+10(x-2)2>1，得x+10>(x-2)2=x2-4x+4命題角度2高次不等式的解法例3不等式x2-x-4A.{x∣x<-1C.{x|-1<x<1[解析]解：原不等式可化為x2-x-4x-1-1>0如圖,由穿針引線法得-1<x<1或所以原不等式的解集為{x|-1<x<1【點撥】解高次不等式的基本思路：先因式分解，再用穿根法.注意因式分解后，整理成每個因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.穿根法的一般步驟為：第一步，在數(shù)軸上標(biāo)出化簡后各因式的根，使等號成立的根標(biāo)為實點，等號不成立的根標(biāo)為虛點;第二步，自右向左、自上而下穿線，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）；第三步，數(shù)軸上方曲線對應(yīng)區(qū)域使“＞”成立，下方曲線對應(yīng)區(qū)域使“＜”成立.變式3.設(shè)x∈R，則“x2-x-6x2-4A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件[解析]解：x2-x-6x2-4≥0?(x2-x-6)(x2-4)≥0且x2≠4,即(x+2)(x-3)(x命題角度3無理不等式的解法例4不等式x+27-x+3>0[解析]解：原不等式可化為x+27>x-3，等價于解得-27≤x<3,或3≤x<9故填[-27,【點撥】解無理不等式的關(guān)鍵在于將其轉(zhuǎn)化為有理不等式（組）求解，變形要是同解變形.變式4.不等式4x-x2[解析]解：由題意x>0,4x-x2≥0,4x命題角度4含絕對值不等式的解法例5不等式|x-1|≥3的解集為(-∞,-2]∪[4[解析]解：|x-1|≥3等價于x-1≥3或x-1≤-3對于|x-（方法一）零點分段法，當(dāng)x≤-1時，1-x當(dāng)-1<x<1時，1-當(dāng)x≥1時，x-綜上，|x-1|+|x+1|≥3（方法二）利用幾何意義，即借助數(shù)軸及絕對值定義求解.故填(-∞,-2]∪[4,+∞)【點撥】①|(zhì)f(x)|<a?-a<f(變式5.不等式|x-1|<4的解集為(-3,5)[解析]解：|x-1|<4?-4<x-1<4對于|2x+1|<1-（方法一）當(dāng)x≥-12時，2x+1<1-x，得-12≤x<0故|2x+1|<1-x的解集為（方法二）|2x+1|<1-x?x-（方法三）顯然x<1,兩邊平方得x2+2x<0?-2<x<0.考點三與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題命題角度1在R上的恒成立例6對?x∈R，不等式(a-2)x2A.(-2,2] B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)[解析]解：依題意，當(dāng)a-2=0，即a=2時，當(dāng)a-2≠0需a-2<0,Δ<0,解得-2<a綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為(-2,2].故選A.【點撥】在R上的恒成立，結(jié)合本節(jié)常用結(jié)論處理即可，注意討論二次項系數(shù).變式6.若函數(shù)y=ax2+2ax+1的圖象恒在直線y=-2A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.{0}∪(3,+∞)[解析]解：因為函數(shù)y=ax2+2ax+1的圖象恒在直線y=-2上方，則?x∈R，ax2+2ax+1>-2成立，即ax2+2ax+3>0恒成立，當(dāng)a=0時，3>0恒成立，則a命題角度2在給定區(qū)間的恒成立例7設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1，若對于任意的x∈{A.(-∞,57) B.[0,57)[解析]解：（方法一）當(dāng)1≤x≤3時，0<1≤故原不等式變?yōu)閙<5x2-x+1,當(dāng)1≤x（方法二）若對于任意的x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<-m+4恒成立,即mx2-當(dāng)m=0時，-5<0當(dāng)m<0時，有g(shù)(x)的圖象開口向下且在[1,3]上單調(diào)遞減，所以在[1,3]上,g(x)max=g(1)=m-5<0，得m<5,故有m<0；當(dāng)m>0綜上，實數(shù)m的取值范圍為(-∞,57)【點撥】在給定區(qū)間上的恒成立，?？捎梅蛛x參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，很多時候都可以減少不必要的討論，其中：f(x)≤a恒成立?a≥f變式7.若對任意x∈[0,2]，都有x2+mx-1<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-32)；若對于任意x∈[[解析]解：當(dāng)x=0時，m∈R，當(dāng)x∈(0,2]時，m<1x-x，而y=1x-x在(0,+∞)是減函數(shù)，所以m<-32.由題可得f(x)=x命題角度3給定參數(shù)范圍的恒成立例8對任意a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=x2+(aA.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞)C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)[解析]解：設(shè)g(a由g(a)>0在得g(1)=x2-所以x<1或x>3所以x的取值范圍是(-∞,1)∪(3,+∞).故選B.【點撥】給定參數(shù)范圍的恒成立，常采用變更主元的方法,轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]變式8.已知集合A={t|t2-4≤0}，對于任意t∈A，使不等式A.{x|x<1C.{x|x<-1}[解析]解：由t2-4≤0，得-2≤t不等式x2+tx-t即不等式x2+(t-2)x+1-t>0對所以只需x-1>0,x+t-1>0所以只需x>1,x>1-t或x<1,x因為-1≤1-t≤3，所以x>3另解：構(gòu)造f(t)=(x-1)t+x2-2x+1故選B.【鞏固強化】1.已知兩個集合A={x|y=ln(-x2A.[-12,2) B.(-1,-12][解析]解：由題意得A={x|-x2+x+2>0}={x|-1<2.使不等式x<1x成立的x的取值范圍是A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)[解析]解：x<1x?x-1x<0?x3.已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1的定義域為A.(0,1] B.[0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)[解析]解：由題意知，不等式ax2+2ax+1≥0對任意的x∈R恒成立，當(dāng)a=0當(dāng)a≠0時，則a>0,Δ=4a2-4a≤0，得a>0,0≤a4.[2022屆合肥第八中學(xué)高三月考]已知a>0>b，則不等式a>1xA.1b<x<0或0<x<1C.x<1b或x>[解析]解：因為a>1x>b由ax2>x可得x<0由x>bx2可得x>0求交集可得，x<1b或x>5.若不等式|x-3|<4的解集為{x|a<xA.(-∞,-3] B.(-∞,-3]∪{2} C.(-∞,2] D.(-∞,-2]∪[2,3][解析]解：由|x-3|<4,得因為不等式|x-3|<4的解集為所以a=-1,b=7所以由(x-得(x-所以(x-則x≤-3或x=2所以不等式的解集為(-∞,-3]∪{2},故選B.6.【多選題】一元二次不等式x2+ax+aA.[-1,1-a] B.{-1} C.[1-a,-1][解析]解：Δ=a2-4(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,當(dāng)Δ=0,即a=2時，不等式的解集為{-1}；當(dāng)Δ>0,即a≠2時，不等式為(7.【多選題】已知關(guān)于x的不等式t(x+1)(x-2)-1>0的解集是(x1A.x1+x2C.|x1-x[解析]解：t(x+1)(x-2)-1>0，即tx2-tx-2t-1>0的解集為(x1,x2)，可知t<0，且x1+x2=1，①,x1x8.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x（1）已知對于任意的實數(shù)x,不等式f(x)≥0恒成立，求實數(shù)[答案]解：由題意f(0)=b=1,所以因為對于任意的實數(shù)x,不等式f(x)≥0恒成立，即因此只需Δ=a2-4≤0所以實數(shù)a的取值范圍是[-2,2].（2）若對于任意的a∈[-8,-7],不等式f(x)+11≤0恒成立，求實數(shù)[答案]令g(a)=f(x)+11=ax若g(a)=ax+x2+12≤0對于任意的a所以實數(shù)x的取值范圍是[3,4].【綜合運用】9.已知集合P={x|2x+1>xA.(1,2) B.(2,4) C.(2,5) D.(1,4)[解析]解：對于P，x≥-12，當(dāng)x≤1時恒成立；當(dāng)x>1時，平方得0<x<4,故P=[-12,4).由10.已知不等式x-2x-1≤12的解集為M，關(guān)于x的不等式ax2-x+1>0A.(0,+∞) B.(14,+∞) C.(2[解析]解：x-2x-1≤12?x-因為M∪N?N，所以M?N，由題意可得a即a>x-1x2在x∈(1,3]上恒成立，故只需a>(x-1x2)max,令f故選B.11.[2023屆陜西咸陽高三上階段性檢測]若關(guān)于x的不等式x2+mx-2>0在區(qū)間[1,2]上有解，則實數(shù)[解析]解：（方法一）m>2x-x=h(x)在[1,2]上有解，則m>h(x)（方法二）由題可得f(x)=x2+mx-2>0在區(qū)間[1,2]上有解，若f(x)>0在[1,2]上無解，由于f(x)的圖象開口向上，故只需1+故填(-1,+∞)12.某文具店購進一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是(B)A.(10,20) B.[15,20) C.(18,20) D.[15,25)[解析]解：由題意，得x[45-3(x-15)]>600，即x2-30x+200<0,所以(x-10)(x13.若不等式sin2x-asinx+2≥0對任意的x[解析]解：設(shè)t=sinx，因為x∈(0,π即不等式t2-at+2≥0即a≤t2+2t由對勾函數(shù)知y=t+2t在t∈(0,1]上單調(diào)遞減，故ymin=1+2【拓廣探索】14.若函數(shù)f(x)=(x-3)(ax-b)[解析]解：因為f(x)=(x-3)(ax-b)=ax所以f(x因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以由f(2-x解得x<-1或x>5（或由2-x>3或所以不等式的解集為(-∞,-1)∪(5,+∞).故填(-∞,-1)∪(1.5基本不等式掌握基本不等式ab≤a+【教材梳理】1.基本不等式如果a>0,b>0,那么ab≤a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.該式叫基本不等式，其中，a+b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)2.幾個重要不等式重要不等式使用前提等號成立條件a2+a,baba+ababa+abaab≤(a,ba(a+a,ba3.基本不等式求最值（1）設(shè)x,y為正數(shù)，若積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2P（2）設(shè)x,y為正數(shù)，若和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值【常用結(jié)論】4.常用推論（1）(a+（2）a2（3）|2ab（4）21即有：正數(shù)a,b的調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù).5.三元均值不等式（1）a+（2）a3以上兩個不等式中a,b,c∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=6.二維形式柯西不等式:若a,b,c,d都是實數(shù)，則(a2+b2)(1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）?a,b∈R,(（2）a≥0，b≥0，則a2（3）函數(shù)y=x+1x（4）函數(shù)y=cosx+4cosx（5）“x>0且y>0”是“xy+yx2.（教材題改編）已知a,b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是A.a2+b2 B.2ab C.[解析]解：因為a,b∈(0,1)，所以a2<a,b2<b，a<a,當(dāng)a≠b時，由均值不等式可知a+b2由上可知,a+b>2ab>2所以四個式子中a+b最大.3.（教材題改編）設(shè)x>0,則3-3x-1xA.3 B.3-22 C.-1 D.[解析]解：因為x>0,所以y=3-3x-1x=3-(3x+1x4.（教材題改編）點(m,n)是一次函數(shù)y=1-x[解析]解：由題意可知m+n又因為2m>0,2所以2m+2n≥22m?2n所以2m+2n的最小值是22考點一利用基本不等式求最值命題角度1直接求最值例1已知a>0，b>0，且4a+b=1[解析]解：（方法一）因為a>0，b>0，4a+b=1，所以1=4a+b≥24ab=4ab，當(dāng)且僅當(dāng)4a=b=12，即（方法二）因為4a+b=1，所以ab=14?4a?b≤14(4a+b2【點撥】在利用基本不等式求最值時，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項（必要時，還要考慮常數(shù)項）必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號成立的條件，使待求式能取到最大或最小值.變式1.直角邊之和為12的直角三角形面積的最大值為(B)A.16 B.18 C.20 D.不能確定[解析]解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a,b，面積為S，則a+bS=1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時，等號成立命題角度2配湊法求最值例2（1）已知x>2，則函數(shù)f(x)=xA.2+2 B.2+22 C.2 D.[解析]解：當(dāng)x>2時，f(x)=x+12所以f(x)的最小值為2+2（2）已知a>0,b>0,則ba+[解析]解：當(dāng)a>0,b>0時，ba+4aa+b=a【點撥】常見的配湊有配系數(shù)、常數(shù)項、平方等.遇到分式，關(guān)鍵在于配出互倒的結(jié)構(gòu)，再用基本不等式求解.變式2.（1）已知x<54，則f(xA.0 B.1 C.3 D.5[解析]解：因為x<54，所以5-4x>0，則f(x)=4x-2+14（2）若0<x<12，則y=A.1 B.12 C.14 D.[解析]解：因為0<x<12，所以y=x1-4x2=x2(1-4x2)=12（3）函數(shù)y=x2+2[解析]解：當(dāng)x>1時，y=(x2-2x+1)+(2x-2)+3x-命題角度3常數(shù)代換求最值例3（1）設(shè)正實數(shù)m，n滿足m+n=2，則nm+A.32 B.52 C.54[解析]解：因為m+n=2，所以nm+12n=nm+m+n4n（2）已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足f(2a)+f(A.23 B.43 C.2 D.[解析]解：因為f(2a)+f(b-4)=0，所以f所以f(2a所以2a=4-b，即所以2(a+1)+所以1a=1≥16當(dāng)且僅當(dāng)ba+1=4(a+1)b所以1a+1+2b的最小值是【點撥】在求最值中,如果兩個代數(shù)式中一個是整式ax+by,另一個是分式mx+ny,則常湊出可以使用基本不等式的形式：變式3.（1）[2023屆江西上饒六校聯(lián)