第21講 探索三角形相似的條件及證明（原卷版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第21講探索三角形相似的條件及證明1.相似三角形的概念.2.相似三角形的判定定理.3.進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺(jué)性，提高推理能力.一、相似三角形在和中，如果我們就說(shuō)與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)：(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.2．判定定理（二）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.3．判定定理（三）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.（簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似）考點(diǎn)1：利用兩角相等證明相似例1．已知：如圖所示，相交于點(diǎn)O，連接，且，求證：．例2．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在AC邊上，交BC于點(diǎn)E．求證：．例3．如圖，在中，，且，．寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比．例4．如圖，在中，，于D．求證：．例5．如圖，中，CD是斜邊AB上的高．求證：（1）；（2）．考點(diǎn)2：利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等證明相似例6．如圖，每組中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？例7．如圖，P是的邊上的一點(diǎn)．（1）如果，與是否相似？為什么？（2）如果，與是否相似？為什么？如果呢？例8．已知：D、E是的邊、上的點(diǎn)，，求證：．例9．如圖，在中，，D是邊上一點(diǎn)，．求證．考點(diǎn)3：利用三邊對(duì)應(yīng)成比例證明相似例10．根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說(shuō)明理由：（1），，∠A=40°，，；（2），，，，，．例11．如圖，．（1）求，，的值；（2）證明與相似．例12．如圖所示的6個(gè)三角形中，哪些三角形相似？為什么？例13．如圖，已知．求證：．考點(diǎn)4：相似的傳遞性例14．如圖，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分線，交AC于G，AD與BF交于點(diǎn)E．(1)求證：(2)，．考點(diǎn)5：添加一個(gè)條件證明相似例15．如圖，已知，相交于點(diǎn)O，若補(bǔ)充一個(gè)條件后，便可得到，則要補(bǔ)充的條件可以是_______．（填一個(gè)即可）例16．如圖，在中，為上的一點(diǎn)，補(bǔ)充條件，能使，這個(gè)條件可以是_________．（寫出一個(gè)即可）例17．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，則DF＝_________時(shí)，△ABC與△DEF相似．例18．如圖，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．例19．如圖，如果，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定與相似的是（

）A． B． C． D．例20．如圖，要使，需要具備的條件是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)6：判斷三角形相似例21．如圖，已知．下列四個(gè)三角形，與相似的是（）A．B．C．D．例22．如圖，在三角形紙片ABC中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（

）A． B．C． D．例23．和符合下列條件，其中使與不相似的是（

）A．，，B．，，，，，C．，，，，D．，，，，，考點(diǎn)7：三角形相似有關(guān)比例變形式例24．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)8：三角形相似的證明綜合題例25．如圖，已知正方形中，平分且交邊于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：

(1)；(2)．例26．如圖1，在中，，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，若的平分線交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)．①證明：；②證明：．一、單選題1．（2018·浙江杭州·中考真題）如圖，小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A．B．C．D．2．（2015·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．二、填空題3．（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．三、解答題4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．5．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號(hào)），并加以證明．一、單選題1．下列能判定的條件是(

)A． B．且C．且 D．且2．如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（

）A．AB∥CD B．C． D．3．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A． B． C． D．4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列條件判定△ABC∽△DEF的是（

）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．下列說(shuō)法中，正確的是（

）①有兩邊成比例且一對(duì)內(nèi)角相等的兩個(gè)三角形相似；②有一對(duì)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；③有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；④一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似．A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.6．如圖，已知，下列條件中不能判斷和相似的是（

）A． B．平分C． D．7．含角的直角三角板與含角的直角三角板如圖放置，它們的斜邊與斜邊相交于點(diǎn)E．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．張老師在編寫下面這個(gè)題目的答案時(shí)，不小心打亂了解答過(guò)程的順序，你能幫他調(diào)整過(guò)來(lái)嗎？證明步驟正確的順序是（）已知：如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，且，．求證：．證明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴．A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤9．如圖，在中，平分，點(diǎn)D在邊上，線段與交于點(diǎn)E，且，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（2，0），點(diǎn)C在第一象限，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4二、填空題11．如圖，已知，則_______，理由是______．12．如圖，D是的邊AB上一點(diǎn)，若，則∽，若，則∽．13．的邊長(zhǎng)分別為的邊長(zhǎng)分別，則與____________（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似14．如圖，若，則．15．如圖，已知，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使，你添加的條件是________（寫出一個(gè)即可）．16．如圖D，E兩點(diǎn)分別在線段和上，在下列四個(gè)條件中：①；②；③；④．其中能使與相似的是_______．(填序號(hào))17．如圖，在中，，則圖中相似三角形共有______對(duì)．18．定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度三、解答題19．根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說(shuō)明理由：（l），，，，，；（2），，，，，．20．如圖，在中和中，，，，和相似嗎？為什么？21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AD＝1，AB＝3，．求證：△ACD∽△ABC．22．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長(zhǎng)度．23．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．24．如圖，在四邊形中，，，．求證：∽．25．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點(diǎn)G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．26．如圖1，在中，，將線