【人教B版高中數(shù)學選擇性必修第二冊】隨機變量的數(shù)字特征（1）-課件

隨機變量的數(shù)字特征（1）

高二年級數(shù)學若P(X=xk)=pk，，則此表稱為X的概率分布或分布列．復習引入離散型隨機變量X的分布列：Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn情境與問題：一家投資公司在決定是否對某創(chuàng)業(yè)項目進行資助時，經(jīng)過評估后發(fā)現(xiàn)：如果項目成功，將獲利5000萬元；如果項目失敗，將損失3000萬元.設這個項目成功的概率為p，而你是投資公司的負責人，如果僅從平均收益方面考慮，則p滿足什么條件時，你才會對該項目進行資助？為什么?分析：成功的概率p，指的是如果重復這個創(chuàng)業(yè)項目足夠多次（設為n次），那么成功的次數(shù)可以用np來估計，而失敗的次數(shù)可以估計為n(1-p).因此，在這n次試驗中，投資方收益（單位：萬元）的n個數(shù)據(jù)估計為5000，5000，…，5000，-3000，-3000，…，-3000，np個n(1-p)個這一組數(shù)的平均數(shù)為因為上述平均數(shù)體現(xiàn)的是平均收益，所以不難想到，當

，即

時，應該對創(chuàng)業(yè)項目進行資助.另一方面，如果設投資公司的收益為X萬元，則X這個隨機變量的分布列如下表所示.從上面的分析看出，式子刻畫了X取值的平均水平.X5000-3000Pp1-p則稱為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望（簡稱為期望）．

如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn求離散型隨機變量的期望的步驟：求隨機變量的分布列求隨機變量的期望求隨機變量的所有可能取值；利用期望的定義．分別求出相應的概率值；寫出分布列．

例題已知隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，求E(X).解:隨機變量X服從兩點分布，其分布列為：所以E(X)=p.X01P1-pp（1）二項分布的均值如果隨機變量X~B(n,p)，則（2）超幾何分布的均值若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N

，n，M)，

則例題一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中僅有一個選項正確，每題選對得5分，不選或選錯不得分，滿分100分．學生甲選對任意一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個．分別求學生甲和學生乙在這次測驗中成績的均值．分析學生甲每一道題是否選擇正確是互相獨立的，并且每道題選對的概率相同，因此這是獨立重復試驗．學生乙也是如此．設學生甲和學生乙選對的題數(shù)分別為X1，X2，則X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根據(jù)二項分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值．分析但是題目中問的是成績的均值，相當于是問E(5X1)和E(5X2)，它們和E(X1)，E(X2)有什么關系呢？隨機變量均值的性質(zhì)已知隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是隨機變量．那么，X與Y的均值之間有什么聯(lián)系呢？由X與Y之間分布列的關系可知例題20個選擇題，4選1，每題選對得5分，不選或選錯不得分，滿分100分．甲選對一題的概率為0.9，乙選對一題的概率為0.25．分別求甲和乙成績的均值．解：設學生甲和學生乙選對的題數(shù)分別為X1，X2，則X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，所以由于每題選對得5分，所以學生甲和學生乙在這次測驗中的成績分別是5X1和5X2．這樣，他們在測驗中成績的均值分別是例題

體檢時，為了確定體檢人員是否患有某種疾病，需要對其血液進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾??；若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病.已知每位體檢人患有該疾病的概率均為0.1，化驗結(jié)果不會出錯，而且體檢人是否患有該疾病相互獨立.現(xiàn)有5位體檢人的血液待檢查，有以下兩種化驗方案：方案甲：逐個檢查每位體檢人的血液；方案乙：先將5位體檢人的血液混在一起化驗一次，若呈陽性，則再逐個化驗；若呈陰性，則說明每位體檢人均未患有該疾病，化驗結(jié)束.（1）哪種化驗方案更好？（2）如果每次化驗的費用為100元，求方案乙的平均化驗費用.解：（1）方案甲中，化驗的次數(shù)一定是5次.方案乙中，若記化驗的次數(shù)為X，則X的取值范圍為{1,6}.因為5人都不患病的概率為(1-0.1)5=0.59049,所以P(X=1)=0.59049,P(X=6)=1-0.59049=0.40951,從而E(X)=

1×0.59049+6×0.40951=3.04755.也就是說，方案乙的平均檢查次數(shù)不到5次，因此方案乙更好.（2）如果每次化驗的費用為100元，求方案乙的平均化驗費用.解：（2）若記方案乙中，檢查費用為Y元，則Y=100X,從而可知E(Y)=100E(X)=304.755則方案乙的平均化驗費用為304.755元.課堂小結(jié)離散型隨機變量的均值的定義兩點分布、二項分布、超幾何分布的均值離散型隨機變量的均值的性質(zhì)應用知識解決相關問題則稱為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望（簡稱為期望）．

如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn隨機變量均值的性質(zhì)若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則作業(yè)根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)