蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章 3.2 3.3(1).1　從函數(shù)觀點看一元二次方程2024新高一暑假自學(xué)課堂含答案

蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第3章3.23.3(1).1從函數(shù)觀點看一元二次方程2024新高一暑假自學(xué)課堂含答案3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1從函數(shù)觀點看一元二次方程1．理解函數(shù)零點的概念．(重點)2．能根據(jù)“兩個二次”之間的關(guān)系研究函數(shù)的零點．(重點、難點)通過以一元二次方程研究函數(shù)的零點的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．函數(shù)與方程有著一定的聯(lián)系，請嘗試完成下列兩個表格，并思考它們有著怎樣的聯(lián)系？a>0a<0一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象一元一次方程ax＋b＝0的根Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點知識點1二次函數(shù)的零點一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)當函數(shù)值取零時自變量x的值，即二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標，也稱為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點．二次函數(shù)一定有零點嗎？[提示]當二次函數(shù)的圖象與x軸不相交時，二次函數(shù)無零點．函數(shù)的零點不是點，而是一個實數(shù)，是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標，也是函數(shù)值為零時自變量的x的值，也是函數(shù)相應(yīng)的方程相異的實數(shù)根．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二次函數(shù)y＝x2的零點為(0,0)． ()(2)當Δ＝0時，二次函數(shù)有兩個相同的零點． ()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則函數(shù)有兩個零點． ()[答案](1)×(2)×(3)√知識點2函數(shù)零點的探究當a>0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點之間的關(guān)系如下表所示：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個相異的實數(shù)根x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有兩個相等的實數(shù)根x1,2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零點有兩個零點x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一個零點x＝－eq\f(b,2a)無零點2．二次函數(shù)y＝x2＋2x＋1的零點為()A．1B．2C．－1D．－2C[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函數(shù)y＝x2＋2x＋1的零點為－1．]類型1求函數(shù)的零點【例1】求下列函數(shù)的零點．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c,其圖象如圖所示．[思路點撥](1)直接解出相應(yīng)方程的根．(2)對于二次項的系數(shù)a分a＝0，a≠0兩類進行討論，當a≠0時，還要比較兩根的大?。?3)根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖象，找到其與x軸的交點的橫坐標．[解](1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－eq\f(1,3)，所以函數(shù)y＝3x2－2x－1的零點為1和－eq\f(1,3)．(2)(ⅰ)當a＝0時，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函數(shù)的零點為－1．(ⅱ)當a≠0時，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝eq\f(a＋1,a)，x2＝－1．又eq\f(a＋1,a)－(－1)＝eq\f(2a＋1,a)，①當a＝－eq\f(1,2)時，x1＝x2＝－1，函數(shù)有唯一的零點－1．②當a≠－eq\f(1,2)且a≠0時，x1≠x2，函數(shù)有兩個零點－1和eq\f(a＋1,a)．綜上：當a＝0或－eq\f(1,2)時，函數(shù)的零點為－1；當a≠－eq\f(1,2)且a≠0時，函數(shù)有兩個零點－1和eq\f(a＋1,a)．(3)函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標為－1和3，所以該函數(shù)的零點為－1和3．1．求函數(shù)的零點就是解相應(yīng)的方程，相應(yīng)方程互異的實根就是函數(shù)的零點．2．函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標就是函數(shù)的零點．3．求含有參數(shù)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點分類討論的步驟(1)若二次項系數(shù)中含有參數(shù)，則討論二次項系數(shù)是否為零；(2)若二次項系數(shù)不是零，討論對應(yīng)方程的根的判別式的符號，判定方程是否有實數(shù)．若可以因式分解，則一定存在零點．(3)若二次項系數(shù)不是零，且相應(yīng)方程有實數(shù)根，討論相應(yīng)方程的實數(shù)根是否相等．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．求下列函數(shù)的零點．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其圖象如圖所示．[解](1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝2x2－3x－2的零點為2和－eq\f(1,2)．(2)(ⅰ)當a＝0時，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函數(shù)的零點為－1．(ⅱ)當a≠0時，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，當Δ<0，即a<－eq\f(1,4)時，相應(yīng)方程無實數(shù)根，函數(shù)無零點；當Δ＝0，即a＝－eq\f(1,4)時，x1＝x2＝－2，函數(shù)有唯一的零點－2．當Δ>0，即a>－eq\f(1,4)時，由ax2－x－1＝0得x1,2＝eq\f(1±\r(1＋4a),2a)，函數(shù)有兩個零點eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a)．綜上：當a＝0時，函數(shù)的零點為－1；當a＝－eq\f(1,4)時，函數(shù)的零點為－2；當a>－eq\f(1,4)時，函數(shù)有兩個零點eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a)；當a<－eq\f(1,4)時，相應(yīng)方程無實數(shù)根，函數(shù)無零點．(3)由函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標為－3和1，所以該函數(shù)的零點為－3和1．類型2函數(shù)的零點個數(shù)的論證與探究【例2】若a>2，求證：函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．[思路點撥]要證明二次函數(shù)有兩個零點，需要證明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有兩個不相等實數(shù)根．[證明]考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，因為Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有兩個零點．[母題探究]求函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點的充要條件．[解](必要性)因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點，當a＝2時，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0無解，函數(shù)無零點；當a≠2時，因為函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有實數(shù)根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a＋2≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≤0，,a＋2≤0，))解得a≥2或a≤－2，又a≠2，所以a>2或a≤－2，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點，則a>2或a≤－2．(充分性)當a>2或a≤－2時，對于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，所以函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點．綜上，函數(shù)y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零點的充要條件是a>2或a≤－2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0的零點的論證對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判別式Δ＝b2－4ac.1Δ>0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0有兩個零點.2Δ＝0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0有一個零點.3Δ<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋ca≠0無零點.eq\o([跟進訓(xùn)練])2．求證：函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點．[證明]當a＝0時，y＝－x，該函數(shù)有零點0；當a≠0時，對于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函數(shù)y＝ax2－x－a有兩個零點．綜上，函數(shù)y＝ax2－x－a(a∈R)有零點．類型3二次函數(shù)的零點分布探究【例3】(1)判斷二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零點；(2)二次函數(shù)y＝x2－3x＋k至少有一個零點為正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．[思路點撥](1)直接求出函數(shù)的零點，再加以判定．(2)結(jié)合相應(yīng)一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行研究．[解](1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2)，因為－3<－1－eq\r(2)<－2，所以二次函數(shù)y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零點．(2)因為二次函數(shù)y＝x2－3x＋k至少有一個零點為正數(shù)，所以關(guān)于x的方程x2－3x＋k＝0至少有一個正實根，有以下三種情況：①有一正一負兩個實根，由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝－32－4k＞0,x1x2＝k＜0))，所以k＜0；②有兩個正實根，由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝－32－4k≥0,x1＋x2＝3＞0,x1x2＝k＞0))，所以0＜k≤eq\f(9,4)；③有一個實根為零，易知此時k＝0，方程x2－3x＋k＝0的兩個實根為0和3，符合題意．綜上知，實數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))．1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點的分布探究結(jié)合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac和根與系數(shù)的關(guān)系處理(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個正零點．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0))?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個負零點．(3)x1x2<0?函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有兩個異號零點．2．二次函數(shù)的零點如果能夠求出，再研究其分布就很方便．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．已知函數(shù)y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．(1)若該函數(shù)有兩個正的零點，求a的取值范圍；(2)若該函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另外一個小于1，求a的取值范圍．[解]法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a．(1)因為該函數(shù)有兩個正的零點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－a>0，,a≠1－a，))解得0<a<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<a<1，所以a的取值范圍是0<a<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<a<1．(2)因為函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另外一個小于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1－a，,a>1，,1－a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1－a，,1－a>1，,a<1，))解得a>1或a<0．所以a的取值范圍是a>1或a<0．法二：(1)因為該函數(shù)有兩個正的零點，該函數(shù)其相應(yīng)方程為x2－x－a2＋a＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4－a2＋a＝2a－12>0，,x1＋x2＝1>0，,x1x2＝－a2＋a>0，))解得0<a<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<a<1，所以a的取值范圍是0<a<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<a<1．(2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，設(shè)其兩實數(shù)根分別為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝－a2＋a，))因為函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另外一個小于1，所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．所以a的取值范圍是a>1或a<0．1．函數(shù)y＝x2＋4x－5的零點為()A．－5和1 B．(－5,0)和(1,0)C．－5 D．1A[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]2．(多選題)已知函數(shù)y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零點，則實數(shù)a的取值可能是()A．－4B．2C．3D．－1ABC[當a＝0時，y＝3無零點．當a≠0時，由2ax－a＋3＝0得x＝eq\f(a－3,2a)，所以－1<eq\f(a－3,2a)<1．當a>0時，－2a<a－3<2a，解得a>1，當a<0時，－2a>a－3>2a，解得a<－3．所以a的取值范圍為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]3．函數(shù)y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零點的個數(shù)為________．2[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函數(shù)零點的個數(shù)為2．]4．二次函數(shù)y＝x2＋2x－8在區(qū)間(1,3)內(nèi)的零點為________．2[方程x2＋2x－8＝0的兩個根為x1＝2，x2＝－4．因此二次函數(shù)y＝x2＋2x－8在區(qū)間(1,3)內(nèi)的零點為2．]5．函數(shù)y＝x2＋2x－1的零點在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)，則n的取值集合為_________．{－3,0}[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－eq\r(2)，x2＝－1＋eq\r(2)，因為－1－eq\r(2)∈(－3，－2)，－1＋eq\r(2)∈(0,1)，所以n的取值集合為{－3,0}．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．求函數(shù)零點的方法是什么？你是如何求函數(shù)零點的？[提示](1)觀察圖象看圖象與x軸交點的橫坐標．(2)解相應(yīng)地方程，方程的解即為函數(shù)的零點．(3)含參函數(shù)的零點求解需分類討論．根據(jù)相應(yīng)地方程來求解零點為常用方法．2．怎樣判定二次函數(shù)零點的個數(shù)？[提示]論證相應(yīng)一元二次方程的根的判別式與0的大小關(guān)系．3．怎樣研究二次函數(shù)零點的分布？[提示]研究相應(yīng)的一元二次方程，利用根與系數(shù)求解．課時分層作業(yè)(十二)從函數(shù)觀點看一元二次方程一、選擇題1．函數(shù)y＝x2－(a＋1)x＋a的零點的個數(shù)是()A．1 B．2C．1或2 D．0C[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，當a＝1時，函數(shù)的零點為1個；當a≠1時，函數(shù)的零點有2個，所以該函數(shù)的零點的個數(shù)是1或2．]2．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點為－2和3，那么函數(shù)y＝cx2－bx＋a的零點為()A．－eq\f(1,3)和eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)和－eq\f(1,2)C．－3和2 D．無法確定A[由題意知，－2＋3＝－eq\f(b,a)，－2×3＝eq\f(c,a)，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝eq\f(1,2)，故選A．]3．關(guān)于x的函數(shù)y＝x2－2ax－8a2(a>0)的兩個零點為x1,x2，且x2－x1＝15，則a＝()A．eq\f(5,2)B．eq\f(7,2)C．eq\f(15,4) D．eq\f(15,2)A[由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq\f(5,2)．故選A．]4．(多選題)已知函數(shù)y＝x2－6x＋5－m的兩個零點都大于2，實數(shù)m的可能取值為()A．－5B．－eq\f(15,4)C．－eq\f(7,2) D．－3BC[x2－6x＋5－m＝0的兩根都大于2，則二次函數(shù)y＝x2－6x＋5－m的圖象與x軸的兩個交點都在x＝2的右側(cè)，根據(jù)圖象得：方程的判別式Δ>0．當x＝2時函數(shù)值y>0，函數(shù)對稱軸x＝3>2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(62－45－m>0，,4－12＋5－m>0))解得－4<m<－3．]5．(多選題)已知關(guān)于x的函數(shù)y＝x2＋kx＋k＋4＝0有兩個零點，且一個大于2，一個小于2，則實數(shù)k的可能取值為()A．－2B．－3C．－4 D．－5BCD[由題意知函數(shù)的兩個零點分別在2的左右兩側(cè)．由圖象知當x＝2時對應(yīng)的函數(shù)值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－eq\f(8,3)．]二、填空題6．若函數(shù)y＝x2－ax＋a的兩個零點分別為m，n，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________．1[因為函數(shù)y＝x2－ax＋a的兩個零點分別為m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝a，,mn＝a，))所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(m＋n,mn)＝1．]7．若函數(shù)y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零點為－2，則實數(shù)a的取值集合為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[當a＝0時，由y＝0得x＝－2符合題意，當a≠0時，由y＝0得x1＝－2，x2＝－eq\f(1,a)，因為函數(shù)y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零點為－2，所以－eq\f(1,a)＝－2，即a＝eq\f(1,2)，所以實數(shù)a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．]8．函數(shù)y＝x2＋3x＋m有唯一一個零點，則m的取值為________，若函數(shù)有兩個負的零點，則m的取值范圍為________．eq\f(9,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4)))[因為y＝x2＋3x＋m有唯一零點，所以方程x2＋3x＋m＝0有兩個相等的實根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝eq\f(9,4)．若y＝x2＋3x＋m的兩個零點都是負數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－4m>0，,x1＋x2＝－3<0，,x1x2＝m>0，))解得0<m<eq\f(9,4)．]三、解答題9．求下列函數(shù)的零點．(1)y＝x－2eq\r(x)－3；(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．[解](1)由x－2eq\r(x)－3＝0得(eq\r(x)＋1)(eq\r(x)－3)＝0，又eq\r(x)≥0，所以eq\r(x)＝3，即x＝9，所以函數(shù)y＝x－2eq\r(x)－3的零點為9．(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0得[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0，①當a＋1＝2(a－1)，即a＝3時，函數(shù)有唯一零點4；②當a＋1≠2(a－1)，即a≠3時，函數(shù)有兩個零點a＋1和2(a－1)．10．求證：函數(shù)y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有兩個零點．[證明]法一：對于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，所以函數(shù)y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有兩個零點．法二：因為函數(shù)y＝x2－ax－a－2(a∈R)的圖象為開口向上的拋物線，無論a為任何實數(shù)，x＝－1時，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函數(shù)的圖象始終經(jīng)過點M(－1，－1)，所以函數(shù)y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有兩個零點．11．(多選題)對于函數(shù)y＝ax2－x－2a，下列說法中正確的是()A．函數(shù)一定有兩個零點B．a(chǎn)>0時，函數(shù)一定有兩個零點C．a(chǎn)<0時，函數(shù)一定有兩個零點D．函數(shù)的零點個數(shù)是1或2BCD[當a＝0時，由y＝0得x＝0，函數(shù)有一個零點；當a≠0時，相應(yīng)方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函數(shù)一定有兩個零點，所以A選項錯誤，故選BCD．]12．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1．給出下面四個結(jié)論：①b2>4ac