廣西專版2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性課后訓練新人教A版必修第一冊

3.2.2奇偶性課后·訓練提升基礎(chǔ)鞏固1.已知f(x)是奇函數(shù),且f(a)=-2,則f(-a)等于 ()A.-2 B.2 C.±2 D.0答案B解析因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-a)=-f(a)=2.2.對于定義域為R的奇函數(shù)f(x),都有()A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)f(-x)≤0D.f(x)f(-x)>0答案C解析因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0.3.下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)=x2B.函數(shù)f(x)=(1-x)1+xC.函數(shù)f(x)=x+x2D.函數(shù)f(x)=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案C解析對于A,函數(shù)f(x)=x2-2xx-2的定義域是(-∞,2)∪(2,+∞),不關(guān)于原點對稱,故不是奇函數(shù);對于B,函數(shù)f(x)=(1-x)1+x1-x的定義域是[-1,1),不關(guān)于原點對稱,故不是偶函數(shù);對于C,函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1]∪[1,+∞),定義域關(guān)于原點對稱,但f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠4.在下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的函數(shù)為()A.y=x+1 B.y=-x2C.y=1x D.答案D解析依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義知y=x+1是非奇非偶的增函數(shù);y=-x2是偶函數(shù),但不是單調(diào)函數(shù);y=1x是奇函數(shù),但在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;D中函數(shù)可化為y=x25.(多選題)若函數(shù)y=f(x),x∈R是奇函數(shù),則下列點肯定在函數(shù)y=f(x)圖象上的是()A.(0,0) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))答案AB解析因為y=f(x),x∈R是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),又x∈R,所以令x=0,則f(-0)=-f(0),得f(0)=0,所以點(0,0),(-a,-f(a))肯定在函數(shù)y=f(x)的圖象上.故選AB.6.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則()A.f(3)>f(-4)>f(-π)B.f(-π)<f(-4)<f(3)C.f(3)<f(-π)<f(-4)D.f(-4)<f(-π)<f(3)答案C解析因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4).7.已知函數(shù)f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數(shù),則實數(shù)a=.

答案4解析因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4),即x2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x-4a,所以4-a=a-4,解得a=4.8.求證:函數(shù)f(x)=x2+1x2的圖象關(guān)于y證明函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).因為?x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)2+1(-x)2=x2+1x2=f(x故f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.9.已知函數(shù)f(x)=2x4.(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)分別指出函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,6)和(-6,-1)內(nèi)的單調(diào)性,并加以證明;(3)由此你能發(fā)覺什么結(jié)論?解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R.因為?x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=2(-x)4=2x4=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,6)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-6,-1)內(nèi)單調(diào)遞減.證明如下:?x1,x2∈(1,6),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=2x14-2x24=2(x12+x22)(x12-x22∵1<x1<x2<6,∴x1-x2<0,x1+x2>0,x12∴f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,6)內(nèi)單調(diào)遞增.同理可證函數(shù)f(x)在區(qū)間(-6,-1)內(nèi)單調(diào)遞減.(3)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)和(-b,-a)內(nèi)具有相反的單調(diào)性.其中ab≥0,且a<b.實力提升1.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對?x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1A.f(1)<f(-2)<f(3) B.f(-2)<f(3)<f(1)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)答案B解析對隨意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,即對隨意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),不妨設(shè)x1<x2,都有f(x1)>f(x2),所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.又函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),所以f(x+1)=f(1-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.所以f(-2)=f2.已知f(x)為奇函數(shù),當1≤x≤4時,f(x)=x2-4x+5,則當-4≤x≤-1時,f(x)的最小值是()A.-6 B.-5 C.-2 D.-1答案B解析因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,故只需求當1≤x≤4時f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的最大值.因為f(4)=5最大,故當-4≤x≤-1時,f(-4)=-5最小.3.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)B.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)C.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)D.|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)答案BD解析A中,令h1(x)=|f(x)|g(x),則h1(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h1(x),∴A中函數(shù)是偶函數(shù),A錯誤;B中,令h2(x)=f(x)|g(x)|,則h2(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h2(x),∴B中函數(shù)是奇函數(shù),B正確;C中,由f(x)是奇函數(shù),可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函數(shù),可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C錯誤;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正確.故選BD.4.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,則不等式3f(x)-A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)答案D解析因為奇函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)在區(qū)間(-∞,0)上也單調(diào)遞增,圖象過點(-1,0),所以可將函數(shù)f(x)的圖象大致畫出,如圖所示,因為f(-x)=-f(x),所以不等式3f(x)-2f(-x)5x<0可化為f(x)x<0,即xf(x5.若函數(shù)f(x)=-x2+x,x答案1解析∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).當x>0時,-x<0,則f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,∴-f(x)=ax2-x,即f(x)=-ax2+x.∵x>0時,f(x)=-x2+x,∴-ax2+x=-x2+x,∴a=1.6.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則滿意f(2x-1)<f13的x的取值范圍是.答案1解析因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故由f(2x-1)<f13,得f(|2x-1|)<f1又因為f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以|2x-1|<13,即-13<2x-1<13,解得17.已知函數(shù)f(x)對一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證:f(x)是奇函數(shù);(2)若f(-3)=a,試用a表示f(12).(1)證明由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函數(shù).(2)解因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),所以f(12)=-4a.8.已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在區(qū)間((1)確定函數(shù)f(x)的解析式;(2)用定義證明:f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是增函數(shù);(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.(1)解由題意知,f即b=0,a2+b1+14=(2)證明?x1,x2∈(-1,1