高中數(shù)學函數(shù)的最大(小)值練習題（含答案）

第2課時函數(shù)的最大(小)值

囪闌圖圃園圖(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.理解最值的概念，了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系.2.會用

導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

教學重點：在閉區(qū)間上求函數(shù)的最值.

教學難點：與函數(shù)最值有關(guān)的參數(shù)問題.

'新知I

1.對函數(shù)最值的兩點說明

(1)給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間，y=f(x)的圖象在開區(qū)間上雖然連續(xù)不斷，但

不能保證有最大值或最小值.

例如：函數(shù)f(x)=；,xW(O,2),y=f(x)的圖象在(0,2)上連續(xù)不斷，但y

=f(x)沒有最大值和最小值.

(2)在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即在閉區(qū)間上有間斷點也不能保證y=

f(x)有最大值和最小值.

2.函數(shù)極值與最值的內(nèi)在聯(lián)系

(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一

個整體性概念.最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是

整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.(關(guān)鍵詞：局部概念)

(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值

是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最大(小)值只能

有一個.(關(guān)鍵詞：整個定義區(qū)間)

(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得.有極值的未必有最值，

有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極

值.(關(guān)鍵詞：極值與最值的區(qū)別)

,畬i評價自測I

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.()

(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,句上的最大值和最小值一定在兩個端點處取

得.()

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

⑴設(shè)函數(shù)f(x)=e2*+3x(xeR),則F3(填“有”或“無”)最值.

(2)已知函數(shù)尸f—f—x,該函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的最大值是.

(3)已知函數(shù)/■(數(shù)=—A+3/+%(xW［―2,2］),f(x)的最小值為1,則加=

核心素養(yǎng).

-------------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG---------------------------------------------------------------------------

題型一求已知函數(shù)的最值

例1(1)求函數(shù)/'(才)=#-1*-2矛+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值；

(2)求函數(shù)f(%)=gx+sinx在區(qū)間［0,2n］上的最大值與最小值.

［跟蹤訓(xùn)練1］(1)求函數(shù)F(x)=一爐+3/—6x+5在［―1,1］上的最值；

(2)求函數(shù)f(x)=e'(3—f)在區(qū)間⑵5］上的最值.

題型二由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值

例2已知函數(shù)/U)=aV—6a2］的最大值為3,最小值為

-29,求a,8的值.

93

［跟蹤訓(xùn)練2］設(shè).函數(shù)/1(x)=*3—寧”+力在區(qū)間［―1,1］上的最大

0乙

值為1,最小值為一乎，求函數(shù)的解析式.

題型三利用函數(shù)最值證明不等式

例3已知函數(shù)F(x)=e'—ln(x+4.證明：當勿忘2時，f(x)>0.

［跟蹤訓(xùn)練3］設(shè)f(x)=x—：—21nx.證明：當時，f(x)20恒成立.

題型四利用函數(shù)最值解決不等式恒成立問題

例4已知/'(x)=xlnx>g(x)=己+@人一x+2.

(1)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意*e(0,+8),2f(x)Wg'(x)+2恒成立，求實數(shù)a的取值范

［跟蹤訓(xùn)練4］已知函數(shù)f(x)=xlnx(x>0).

(1)求/tr)的單調(diào)區(qū)間和極值;

—x+川x-3

(2)若對任意(0,+8),f(x)》恒成立，求實數(shù)加的最大值.

題型五與函數(shù)圖象有關(guān)的綜合問題

例5已知函數(shù)f(x)=—,xeR.

e

(1)寫出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

(2)作出函數(shù)的大致圖象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的個數(shù).

［跟蹤訓(xùn)練5］若函數(shù)f(x)=*,xe%+8).

(1)寫出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

(2)作出函數(shù)的大致圖象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的個數(shù).

題型六導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用

例6如圖所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線的岸邊力處，乙廠與

甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于距河岸40km的6處，乙廠到河岸的垂足〃與/相距

50km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站乙從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分

別為每千米3a元和5a元，間供水站。建在岸邊何處才能使水管費用最??？

CD

［跟蹤訓(xùn)練6］用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,

先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°,再焊接而成(如圖)，

問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.函數(shù)f(x)=2x—COSX在(-8,4-00)J2()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.有最大值D.有最小值

2.某產(chǎn)品的銷售收入必(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y,=17/a>0),生產(chǎn)

成本%(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：yz=2f—x"(x>0),為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)

()

A.6千臺B.7千臺

C.8千臺D.9千臺

3.(多選)已知In為一%一弘+2=0,在+2.2—4—21112=0,記/仁(為一苞尸

2

+(y-y2),則以下正確的為()

212

A."的最小值為￡B.當〃最小時，x=—

520

46

C."的最小值為￡D.當科最小時，尼=￡

55

4.函數(shù)/'5)=7"，xe［—2,2］的最大值是,最小值是.

5.已知函數(shù)f(x)=lnx—x+1,xG(0,+8),求函數(shù)f(x)的最大值.

課后課時精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.函數(shù)F(x)=x3—12x+l在閉區(qū)間［―3,0］上的最大值、最小值分別是()

A.1,—1B.1,-17

C.17,1D.9,-19

2.g(x)=|J|,—加(注1)在區(qū)間［0,1］上的最小值為()

11

A.21B.-2一

C.1D.-1

3.已知函數(shù)f(力,g(x)均為［a,物上的可導(dǎo)函數(shù)，在［a,6］上連續(xù)且

F(x)〈g’3,則f(x)—g(x)的最大值為()

A.f(a)—g(a)B.f(6)—g(6)

C.f(a)—g(0D.f(6)一g(a)

JI

4.函數(shù)尸x+2cosx在0,5上取最大值時，x的值為()

冗

A.0B.—

6

Jiit

C.-D.-

O乙

5.(多選)已知函數(shù)/'(x)的定義域為部分對應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)

函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()

X-1045

/U)1221

A.函數(shù)/'(x)的極大值點有2個

B.函數(shù)f(x)在［0,2］上是減函數(shù)

C.若—句時，F(xiàn)(x)的最大值是2,則亡的最大值為4

D.當l〈a<2時，函數(shù)尸F(xiàn)(x)—a有4個零點

二、填空題

6.函數(shù)y=x^\xG［0,4］的最大值為.

7.某公司租地建倉庫，每月土地占用費必(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，

而每月庫存貨物的運費必(萬元)與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10

km處建倉庫，封和兵分別為2萬元和8萬元，那么當倉庫建在離車站km

處時，費用之和最小，費用之和的最小值為萬元.

8.若a為實數(shù)，對任意46當*6(0,4］時，不等式61nx+系-9X

+aW府恒成立，則實數(shù)a的最大值是.

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=e*-#x-喙.

(1)求f(x)的最小值；

OQ

(2)求證：e*—Inx>而.(參考數(shù)據(jù)：65)

10.如圖，在尸地正西方向8km的1處和正東方向1km的6處各有一條正

北方向的公路力。和BD,現(xiàn)計劃在力。和初路邊各修建一個物流中心￡和F,為緩

解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路陽和卯，設(shè)/由1=。(0〈

北

(1)為減少對周邊區(qū)域的影響，試確定反尸的位置，使△必￡與的面積

之和最?。?/p>

(2)為節(jié)省建設(shè)成本，求使出十爐的值最小時和跖的值.

B級：“四能”提升訓(xùn)練

1.已知函數(shù)/'(x)=lnx+a(1—T).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當/'(x)有最大值，且最大值大于2a—2時，求a的取值范圍.

2.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖象在點(大，f(力)處的切線方程為丁=3X一

1.

(1)求a的值；

(2)已知4W2,當x>l時，f(x)〉dl—；|+2x-l恒成立，求實數(shù)4的取值范

圍;

(3)對于在(0,1)中的任意一個常數(shù)b,是否存在正數(shù)如使得e^+,,-^-2+^

<1,請說明理由.

第2課時函數(shù)的最大(小)值

囪闌圖圃園國(教師獨具內(nèi)容)

課程標準：1.理解最值的概念，了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系.2.會用

導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

教學重點：在閉區(qū)間上求函數(shù)的最值.

教學難點：與函數(shù)最值有關(guān)的參數(shù)問題.

'新知I

1.對函數(shù)最值的兩點說明

(1)給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間，y=f(x)的圖象在開區(qū)間上雖然連續(xù)不斷，但

不能保證有最大值或最小值.

例如：函數(shù)=-,xW(0,2),y=f(x)的圖象在(0,2)上連續(xù)不斷，但y

X

=f(x)沒有最大值和最小值.

(2)在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即在閉區(qū)間上有間斷點也不能保證y=

f(x)有最大值和最小值.

'|x\TWxWl,,

例如：函數(shù)/作圖可知/'(X)無最小值.

,1*=0,

2.函數(shù)極值與最值的內(nèi)在聯(lián)系

(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點附近的局部概念,函數(shù)的最大值和最小值是一

個整體性概念.最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是

整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.(關(guān)鍵詞：局部概念)

(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值

是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最大(小)值只能

有一個.(關(guān)鍵詞：整個定義區(qū)間)

(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得.有極值的未必有最值,

有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極

值.(關(guān)鍵詞：極值與最值的區(qū)別)

:■評價自測E

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.()

(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,6］上的最大值和最小值一定在兩個端點處取

得.()

答案⑴X(2)V(3)X

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

⑴設(shè)函數(shù)F(x)=e2'+3x(xdR),則f(x)(填“有”或“無”)最值.

(2)已知函數(shù)尸該函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的最大值是.

(3)已知函數(shù)f(x)=-1+3戈+m(xW［—2,2］)，f{x}的最小值為1,則m=

答案(D無(2)15(3)1

核心素養(yǎng).

-------------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG---------------------------------------------------------------------------

題型一求已知函數(shù)的最值

例1(1)求函數(shù)/'(*)=第一21—2*+5在區(qū)間［—2,2］上的最大值與最小值；

(2)求函數(shù)M=；x+sinx在區(qū)間［0,2"］上的最大值與最小值.

［解］(1)因為f(x)=爐一1y一28+5,所以f(x)=3/—x—2.令/(x)

2

=0,得否=一鼻，x=l.

o2

因為/-1］=嗎，〃。:"又〃一？)：一［,*2)=7,所以函數(shù)/'(x)在［一

yOyZILt

2,2］上的最大值是7,最小值是一1.

(2)f(x)=J+cosx,令F(x)=0,

乙

2冗4n

解得x=F~或^=—

oo

所以函數(shù)F(x)在［0,2n］上的最大值是Ji,最小值是0.

「一博隰展陶…..................-.....

求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，一般是找出該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)為零的點，無需

判斷出是極大值點還是極小值點，只需將這些點對應(yīng)的函數(shù)值與端點處的函數(shù)值

進行比較，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.

［跟蹤訓(xùn)練1］⑴求函數(shù)f(x)=一f+3/-6矛+5在［-1,1］上的最值；

(2)求函數(shù)f(x)=e'(3—力在區(qū)間⑵5］上的最值.

解(l)：/(x)=—3y+6x—6=—3(V—2x+2)=—3(x—1)'—3,

：.f(x)在［一1,1］內(nèi)恒小于0.

在［―1,1］上為減函數(shù),

.?.當X=—1時，取得最大值為f(-1)=15；

當x=l時，取得最小值為f(l)=l.

即f(即在上的最小值為1,最大值為15.

(2)Vf(x)=3e'—exx-2e'x,

f(x)=—e'(*+2x—3)—'—e"(x+3)(x—1),

???在區(qū)間⑵5］上，f(x)=—e*(x+3)(x—1)<0，

函數(shù)f(x)在區(qū)間⑵5］上單調(diào)遞減，

.,.當x=2時，函數(shù)f(x)取得最大值/'(2)=-e:

當x=5時,函數(shù)f(x)取得最小值f(5)=-22e1

題型二由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值

例2已知函數(shù)/'(x)=a/-6a*+6,—1,2］的最大值為3,最小值為

-29,求a,8的值.

［解］由題設(shè)知aWO,否則/'5)=6為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾.

f(x)=3。*-12ax=3a*(x—4),令■F(x)=O,得

%=0,均=4(舍去).

(1)當a>0,且x變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X-1(―1,o)0(0,2)2

f(X)+0—

f(x)Ta+b/b—16z+6

由表可知，當x=O時，/tv)取得極大值，也就是函數(shù)在［-1,2］上的最大值,

Af(0)=3,即6=3.

又F(—l)=-7a+3,f(2)=-16a+3〈f(—l),

F(2)=-16a+3=—29,解得a=2.

(2)當a<0時，同理可得，當x=0時，f(x)取得極小值，也就是函數(shù)在[-1,2]

上的最小值，

/./(0)=-29,即6=—29.

又f(-l)=-7a-29,f(2)=—16a—29>/■(—1),

；"(2)=-16a—29=3,解得a=—2.

綜上可得，a=2,8=3或a=—2,6=—29.

直弱國晝........................

由函數(shù)的最值來確定參數(shù)的問題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的逆向運用，解題時

一般采用待定系數(shù)法，列出含參數(shù)的方程或方程組，從而求出參數(shù)的值，這也是

方程思想的應(yīng)用.

93

［跟蹤訓(xùn)練2］設(shè)鼻<a<l,函數(shù)/'(才)=f一謨/+8在區(qū)間上的最大值

O乙

為1,最小值為一平，求函數(shù)的解析式.

解f(x)=34—3ax,令/(x)=0,

得x=0或x=a.

當x變化時，f1(x),f(x)的變化情況如下表:

X-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1

f'(X)+0—0+

3,33.

f{x)—1^-a+b/b—y+Z>1—b

乙

從上表可知，當x=0時，f(x)取得極大值6,而/'(0)>f(a),f(l)〉f(—1),

故需比較f(0)與/'(1)的大小及/'(一1)與f(a)的大小.

3

因為A0)-/(l)=7a-l>0,

乙

所以f(x)的最大值為/'CO)=6,所以，=1.

又/'(—1)—/(a)=^(a+l)-(a—2)<0,

33

所以F(x)的最小值為A-1)=-1—7.a+b=~~a,

乙乙

所以一去?=一乎，

所以a=*.

O

故所求函數(shù)的解析式是f(x)-乎f+l.

題型三利用函數(shù)最值證明不等式

例3已知函數(shù)f(x)=e'—ln(x+血.證明：當/W2時，f{x}>0.

［證明］當xG(—m,+8)時，In(x+勿)<ln(x+2),

故只需證明當勿=2時，f{x}>0.

當加=2時，函數(shù)-(x)=。,一一^在(一2,+8)上單調(diào)遞增.

x十2

又f(-1X0,f(0)>0,故/(x)=0在(-2,+8)有唯一實根的且

吊￡(—1,0).

當(―2,吊)時，fr(x)<0；當(吊，+8)時，ff(才)〉0,

從而當才=劉時，f(x)取得最小值.

由/(小)=0得e劉="：2'第

(及+2)=一即,

1￥2

故f(x)°,9>0.

吊十Z&i十乙

綜上，當加W2時，f{x}>0.

:…得牌鼎廨........................

本題的證明遵循了一般解法，但要注意到兩個函數(shù)分別是對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函

數(shù)，因此需要進行分離.事實上，還可以利用搭橋的方式，通過傳遞進行證明.應(yīng)

選擇一個一次式或多項式，使之能夠在指數(shù)和對數(shù)之間起到橋梁作用，而且不增

加計算量，此時經(jīng)驗的作用凸顯，因為e*21+x,所以找到使l+*21n(加+x)

成立的力是解決本題的關(guān)鍵.

［跟蹤訓(xùn)練3］設(shè)f(x)=x—，—21nx.證明：當時，/(*)20恒成立.

X

證明F(X)=X—%—21nx的定義域為(0,+8).

(x)=1+J2x—2x+1%—1

7二/—20,

在［1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，

.?.F(x)在］,+8)上的最小值為f(i).

.?.f(x)2F(l)=l—1—251=0對于*￡［1,+8)恒成立.

題型四利用函數(shù)最值解決不等式恒成立問題

例4已知f(x)=xlnx,g{x)=xaY—x+2.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意xe(0,+8),2F(x)Wg'(x)+2恒成立，求實數(shù)a的取值范

［解］(1)函數(shù)f(x)=xln*的定義域為(0,+8),

f(x)=lnx+1.

令f(x)〈0,得lnx+l<0,解得0<水工

e

.?.〃*)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,

令f(x)>0,得Inx+l>0,解得x>士

e

???Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間是g,+8).

(2)g'(才)=3/+2HX—1,

由題意得2xlnxW3V+2ax+l恒成立.

31

V^>0,21nx—J*一二在入￡(°，+8)上恒成立.

乙乙x

31

設(shè)力(x)=ln—(^>0),

乙c?X

令力'(x)=0,得名=1,a=一：(舍去).

O

當X變化時，力'(X),力(X)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1，+°°)

力'3+0—

力(才)/極大值

二當X=1時，力(X)取得最大值，且力(X)皿=力(1)=-2,

.,.若a2/?(x)在xW(0,+8)上恒成立，

則力(x)皿=-2,即a?—2,

故實數(shù)a的取值范圍是[—2,+8).

「一圓園居周........................

(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問題時，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來

解決.若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論.

(2)不等式恒成立、能成立常見的轉(zhuǎn)化策略

①a>/1(x)恒成立Qa>f(x)1rax，a</'(x)恒成立oaVf(x)加”；

②/'(*)>g(x)+4恒成立=A<"(x)—gj)].；

③/'(x)>g(x)恒成立o[f(x)—g(x)]3rl>0；

④a>F(x)能成立oaAMxUn，aVf(x)能成立QaVf(x)1rax.

[跟蹤訓(xùn)練4]已知函數(shù)f(x)=xlnx(x>0).

(1)求/'(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若對任意*6(0,+8),f(x)三——----恒成立，求實數(shù)力的最大值.

解(1)由/'(x)=xln*(*>0),得/(x)=l+lnx,令/(*)>0,得*>\

e

令/(x)<0,得0<矛<上

e

的單調(diào)遞增區(qū)間是g,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,

故f(x)在處有極小值0=一%無極大值.

(2)由f(x)27y-3及/J)=*5x,得/次在@±±斗亙成立，

2x

問題轉(zhuǎn)化為-----------

.,、2xlnx+系+3/.e,/、2矛+*—3

令g(x)=------;-----(*>0),則g'(x)=——'—，

XX

由g'(x)>00x>l,由g'(x)<0=0〈x〈l.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)*n=g(l)

=4,

因此必忘4,所以實數(shù)力的最大值是4.

題型五與函數(shù)圖象有關(guān)的綜合問題

x

例5已知函數(shù)f(x)=—,xeR.

e

(1)寫出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

(2)作出函數(shù)的大致圖象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的個數(shù).

］-V

［解］(1)已知函數(shù)的定義域為R,f'(x)=一、，

e

令f(x)=0,得x=l.

當xe(—8,1)時，f'(才)〉0,當xe(l,+8)時，f(才)<0,

所以/'(x)的極大值為f(l)='

e

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

極大值為士無極小值.

e

x

(2)顯然，當—8時，f(x)=———co,

e

x

又x>0時，F(xiàn)(x)>0,且尸+8時，f(^)—0,

e

V

所以作出f(X)=F的圖象如下.

e

(3)由函數(shù)F(x)的圖象得，當x=l時，f(x)有最大值f(l)='故方程f(x)

e

=a(a6R)解的個數(shù)為當a<0或a=：時，方程有一解；

當a〉(時，方程無解；

當0<ad時，方程有兩解.

e

廠-爵噴國國-...........................

畫函數(shù)f(x)大致圖象的步驟如下：

(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)及函數(shù)/(x)的零點；

(3)用F(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出F(x)在

各區(qū)間上的正負，并得出/1(X)的單調(diào)性與極值；

(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；

(5)畫出f(x)的大致圖象.

［跟蹤訓(xùn)練5］若函數(shù)f(x)=0：+8).

xe)

(1)寫出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值;

(2)作出函數(shù)的大致圖象；

(3)求出方程f(x)=a(aGR)解的個數(shù).

解(1)已知函數(shù)的定義域為%+8)；

令f(x)=0,得x=#,

當xC(O,十)時，f(x)>0,

當xS(也,+8)時，f(x)<0,

所以f\x)=*的極大值為f?)=號12=!，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為%單調(diào)遞減區(qū)間為+8),

極大值為《，無極小值.

Inx

(2"(1)=。，當X-+8時，4)=丫-0,

1nx

所以作出/'(x)=r的圖象如下.

X

釉^金)

1()15X

(3)由函數(shù)f(x)的圖象得，當時，f(x)有最大值?.故方程/U)=a(a

GR)解的個數(shù)為當水一e?或a>4時，方程無解；

當一e^WaWO或a=4時，方程有一解;

當0＜水;時，方程有兩解.

ze

題型六導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用

例6如圖所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線的岸邊力處，乙廠與

甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于距河岸40km的8處，乙廠到河岸的垂足〃與4相距

50km,兩廠要在此岸邊合建一個供水站從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分

別為每千米3a元和5a元，問供水站。建在岸邊何處才能使水管費用最省？

［解］設(shè)。點距〃點xkm,則區(qū)9=40,AC=50—x,

BC=y［cJ+B^=,+40：

又設(shè)總的水管費用為y元，依題意，得尸3a(50—才)+5八嚴后(0＜冢50).

則/卜行;4產(chǎn)令y'解得耳=30,而=一30(舍去).

在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在x=30km處

取得最小值，此時是=50-矛=20(km).

故供水站建在4〃之間距甲廠20km處時，可使水管費用最省.

：-????■—............

(1)根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學模型，借助圖象尋找各條件間的聯(lián)系，適當選定變量,

構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)或其他方法求出最值.

(2)在實際問題中，若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則只要根據(jù)實際意義

判斷是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較.

［跟蹤訓(xùn)練6］用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,

先在四個角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°,再焊接而成(如圖),

問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

解設(shè)容器的高為Xcm,容器的容積為，(x)cm3,

貝U，(x)=x(90—2x)(48—2x)=4系一276/+4320X(0〈矛〈24),

V(x)=127-552x+4320=12(7-46x+360)=12(x—10){x-

36)(0<K24).

令，'(x)=0,解得x1=10,而=36(舍去).

當0<水10時，V(x)>0,，(x)是增函數(shù)；

當10<“<24時，V(x)〈0,KY)是減函數(shù).

因此，在定義域(0,24)內(nèi)，只有當x=10時函數(shù)/(X)取得最大值，其最大值

為K(10)=10X(90-20)X(48-20)=19600.

故當容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積是19600cm3.

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.函數(shù)f(x)=2x—cosx在(一8,十8)上()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.有最大值D.有最小值

答案A

解析因為F(x)=2+sinx>0恒成立，所以f(x)在(一8,+8)上單調(diào)遞

增.

2.某產(chǎn)品的銷售收入%(萬元)是產(chǎn)量”(千臺)的函數(shù)：y,=17/a>0),生產(chǎn)

成本%(萬元)是產(chǎn)量*(千臺)的函數(shù)：j^=2/-/U0),為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)

()

A.6千臺B.7千臺

C.8千臺D.9千臺

答案A

解析設(shè)利潤為y,則y=yi—y2=17^—(2/—/)=-27+18/(^>0),.*./

=-6f+36入=—6x(x—6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,經(jīng)檢驗知x=

6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點.

3.(多選)已知In為一必+2=0,總+2%一4—21n2=0,記/仁(為一房尸

+5—必)2,則以下正確的為()

212

A.〃的最小值為三B.當,"最小時，x=~

525

,46

C.〃的最小值為三D.當"最小時，x=~

525

答案BC

解析由In為一冬一弘+2=0,得弘=ln芯一為+2,故(及一也尸十(%一%)''

的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx-x+2圖象上的點到直線x+2y—4—21n2=0

上的點的距離的最小值的平方.由y=lnx—x+2,得y'=~—1,與直線x+2y

X

—4—21n2=0平行的直線的斜率為一］則令，-1=一］解得*=2,.?.切點坐

乙X乙

標為(2,In2),...點(2,In2)到直線x+2y—4—21n2=0的距離d=

4

|2+21n彳1：21n2|=羋,即函數(shù)尸］口x-x+2圖象上的點到直線x+2y

勺1+45

-4-21n2=0上的點的距離的最小值為羋，I.(必一%)2的最小值為

□

4

過點(2,In2)與x+2y—4—21n2=0垂直的直線為y—In2=2(x—2),

□

由產(chǎn)I—21n2=0,

即2x—y—4+ln2=0,解得即當〃最小時，

[2x—y-4+ln2=0,

蒞=守故選BC.

4.函數(shù)f(x)=741,xd［—2,2］的最大值是,最小值是.

答案2—2

4/+1~2x?—4/+4

解析V//+12=/+12,

令y'=0可得x=l或x=-1.

又.."(1)=2,f(-D=-2,A2)4A-2)=4

...最大值為2,最小值為-2.

5.已知函數(shù)f(x)=lnx—x+1,xG(0,+8),求函數(shù)F(x)的最大值.

解f(x)的定義域為(0,+8),/-1.

令F(x)=0,解得x=L

當時，f(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函數(shù)；

當x>l時，f(%)<0,f(x)在(1,+8)上是減函數(shù),

故函數(shù)/Xx)在x=l處取得最大值f(D=o.

課后課時精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級：“四基”鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.函數(shù)F(x)=f—12x+l在閉區(qū)間［―3,0］上的最大值、最小值分別是()

A.1,-1B.1,-17

C.17,1D.9,-19

答案C

解析令F(才)=3/—12=0,得入=±2,f(—2)=17,￡(—3)=10,/(0)

=1,所以最大值為17,最小值為1.故選C.

2.g(x)=—Iog2(x+1)在區(qū)間［0,1］上的最小值為()

11

1-

A.2B.-2

C.1D.-1

答案B

解析因為g(x)=/)—log2(x+l)是減函數(shù)，所以g(x)在區(qū)間［0,1］上的最

小值為g(l)=—故選B.

3.已知函數(shù)f(x),g(x)均為［a,8］上的可導(dǎo)函數(shù)，在［a,8］上連續(xù)且

f(x)<g'(x),則/<x)—g(x)的最大值為()

A.Aa)—g{a}B.f(6)—g(6)

C.f(a)—g(b)D.f(8)—g(a)

答案A

解析令方(x)=f(x)—g(x),xd［a,b\,則/?'(x)=f(x)—g'(x)〈0,

.."(x)是［a,8］上的減函數(shù)..,"(x)max=［f(x)—g(x)］噸x=f(a)—g(a).故選A.

JT

4.函數(shù)y=x+2cosx在0,5上取最大值時，x的值為()

A.0B.~

b

JIJI

C.-D.—

o乙

答案B

解析f(x)=l—2sinx,令f(x)=0,得*=瓦，當xW0,a)時，

f'(x)>0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，當xW田，5時，f(x)<0,f(x)為單調(diào)遞

減函數(shù)，所以｛看)為f(x)在0,5上的極大值，也是最大值.故f(x)在區(qū)間

JI1JI

0,不上取最大值時，X的值為三.

5.(多選)已知函數(shù)Hx)的定義域為部分對應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)

函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正確的是()

K

-104\5x

X-1045

1221

A.函數(shù)/(*)的極大值點有2個

B.函數(shù)f(x)在［0,2］上是減函數(shù)

C.若—句時，F(xiàn)(x)的最大值是2,則亡的最大值為4

D.當1〈水2時，函數(shù)尸f(x)—a有4個零點

答案AB

解析由尸(x)的圖象可知，當一1WK0或2〈矛<4時，/(x)>0,函數(shù)/<x)

為增函數(shù)，當0<底2或4<xW5時，f(x)<0,函數(shù)/'(x)為減函數(shù)，即當x=0時,

函數(shù)/'(x)取得極大值，當x=4時，函數(shù)f(x)取得極大值，即函數(shù)f(x)有兩個極

大值點，故A正確；函數(shù)/'(x)在［0,2］上是減函數(shù)，故B正確；作出f(x)的圖象

如圖1,若—句時，f(x)的最大值是2,則［滿足0WtW5,即右的最大

值是5,故C錯誤；由y=f{x)—a=0得f{x)=a,若F(2)Wl,當l<a<2時，f(x)

=a有四個根，如圖2.若1<F(2)<2,當l〈a<2時，F(xiàn)(x)=a不一定有四個根，有

可能是兩個或三個，如圖3,故函數(shù)y=f(x)-a不一定有4個零點，故D錯誤.故

選AB.

二、填空題

6.函數(shù)〃=小b,,xW［0,4］的最大值為.

答案-

e

解析令y=f(x)=xe->,則/(x)=e~x—xe~'=e~\l—x),令f(x)=0,

411

得x=l.,.,/(())=0,/(4)=—,f(l)=e-=-,.,.函數(shù)的最大值為f(l)=一.

eee

7.某公司租地建倉庫，每月土地占用費乃(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，

而每月庫存貨物的運費%(萬元)與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10

km處建倉庫，y和%分別為2萬元和8萬元，那么當倉庫建在離車站km

處時，費用之和最小，費用之和的最小值為萬元.

答案58

解析依題意可設(shè)每月土地占用費弘=2,每月庫存貨物的運費加=人尤其

X

k

中X是倉庫到車站的距離，ki，%是比例系數(shù).由2=77得4=20；由8=10人得

4204x204

左=5.因此，兩項費用之和為尸U>>0),/=一7+于令V=0,得X

=5或*=一5(舍去).當(KK5時，y'<0；當x>5時，y'〉0.因此，當x=5時,

y取得極小值，也是最小值，故當倉庫建在離車站5km處時，費用之和最小，費

用之和的最小值為?+*=8萬元.

8.若a為實數(shù)，對任意AW［—1,1］,當xe(0,4］時，不等式61nx+V—9x

+aWM恒成立，則實數(shù)a的最大值是.

答案7

解析因為對任意［—1,1］,當才金(0,4］時,不等式61nx+V—9*+aWAx

61rlx~\~x—QY~\~/?

恒成立，所以對任意在e［—1,1］,當xe(0,4］時，不等式一’十［一'一Wk

2

—a-nr161nx+第-9x+a),61nx+x-9x+a)”，

怛成立，即---------------WEn=---------------W—loaW-61n矛一半+

8x,所以當xW(0,4］時，不等式aW—61nx—興+8x恒成立.令/'(*)=-61nx

_2x?+8x—6

—x+,xG(0,4]則aWf(x)Mi.，f'(x)=-----------

X

—2x—2*一32x—2x—3<0,

，當尸(x)>0時，'=>1<K3,

x0G<4

2x—2x一3>0,

當F(*)<0時，<'00<水1或3<xW4,所以函數(shù)F(x