高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)技巧-同構(gòu)構(gòu)造

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)技巧--同構(gòu)構(gòu)造

【知識清單】

一、知識儲備

在成立或恒成立問題中，有一部分是利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)

函數(shù)模型，可以加快解題速度，找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們就稱之為同構(gòu)法.

若已知能化為/,然后利用了(X)的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為

g(x)>h(x),這種方法我們稱為同構(gòu)不等式，簡稱同構(gòu)法.

考點(diǎn)一地位同等的雙變量同構(gòu)

雙變量同構(gòu)式模型：

(1)

>%(%<.)okX\-kx?o/(xJ-Ax,<f{x)-kx

Xj-%22

<=>y=/(x)—Ax為增函數(shù).

(1)

X)—x2XxX2x2X}X}W

<=>y=/(x)+—為減函數(shù).

含有地位相等的兩個(gè)變量王,々或P，4的不等式整理之后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，

往往暗示單調(diào)性(需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大小關(guān)系)，

筆記區(qū):

例1.(2020?新課標(biāo)卷n?12)若2*-2><3-*-37,則().

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.

ln|x->'|<0

答案：A

解析：由2'-2><3-*-3r移項(xiàng)變形為2'-37<2>-3一>,設(shè)〃力=2*-3-、,易知了㈤在定

義域?yàn)樵龊瘮?shù)，故由2*-3一*<2'-37得,所以y-x>Ony-x+l>l,從而

ln(y-x+l)>0,故選A.

【練習(xí)1-1】(2020?新課標(biāo)卷I理數(shù)?12)若2"+log2a=4"+21og/,則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2

D.a<b2

答案：B

解析：由4"+210g&8=226+1084〃=2?"+log?28-1

2Z,2h

f#2"+log2a=2+log22b-T+log2a<2+log22b?/(x)=2'+log2x,貝U

/(x)為增函數(shù)

所以/⑼</(2與，得a<2b故選A.

【練習(xí)1-2](2019?遼寧調(diào)研)不等式一1下+迫-/一5》>0的解集為______

(x+1)x+1

答案：{x|xv-2或-1〈工V1}

解析：原不等式化為：齡；?白

x3+5%

2

構(gòu)造函數(shù)/⑴=V+5x,在火上單增，所以—>x,解之得xv-2或-ivxvl

x+1

所以原不等式解集是{x|xv-2或-ivxvl}

【練習(xí)1-3】(2019?全國聯(lián)考)如果cos)-8S59V7?os%-si/q),qI[0,2/7),則q的取

值范圍是

答案:I當(dāng)

【練習(xí)1-4](2020?南通如皋創(chuàng)新班四月模擬?2)已知實(shí)數(shù)a,耳(0,2),且滿足

/_/_4=右_2"-46,則a+b的值為

答案：2

解析：由/-/-4=2-2"-4人，化簡為：/+2"=2"，+(6-2)2,即/+2"=(2-6)2+2?"

設(shè)函數(shù)f(x)=3+2，,/(x)在(0,2)上單增，

因?yàn)閍,6i(0,2)所以2-，？(0,2),且/(a)=/(2-6),所以a=2-6

所以。+。=2

【練習(xí)1-5】(2020?姜堰中學(xué)12月考?14)已知實(shí)數(shù)滿足二昌馬(吊入2-2)=/則

砧=______

答案：e5

解析：對玉e』二/兩邊取自然對數(shù)得：1口百+百=3,

對2)=/兩邊取自然對數(shù)得：lnx2+ln(lnx2-2)=5再變形得

(Inx2-2)+lnQnx2-2)=3

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+x,求導(dǎo)得了⑴在(0,+?)上單增，所以/(X)=3的解只有一個(gè)

5

\%1=Inx2-2,\XyX2=Qnx2-2)x2=e

考點(diǎn)二六大同構(gòu)函數(shù)

丟大同構(gòu)函數(shù)的外部同構(gòu)來解決函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間問題，核心是利用同形式，同結(jié)構(gòu)

轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)問題，單調(diào)區(qū)間注意內(nèi)外函數(shù)，最值問題要注意取等號條件，解答題中需要

過程來說明。

/3=城在(-1,+可;(-?,1)?,i)=-j

g(x)=xlnx在機(jī)；在g,+*g(x)?g普

/(x)re1與g(x)=xlnx兩函數(shù)單調(diào)性一

致，有相同的最小值，可化為形式相同結(jié)構(gòu)

相同：

f^=xe,gfe1)

g^x)=xlnx=etaIlnx=/(Inx)

y1

/(幻二丁在區(qū)間卜卻齊，在區(qū)間(1,+8)1;f(X)<f{\]=~

ee

g(x)=在xw(0,e)T,在xw(e,+oo)J.g(x)Kg(e)=一

xe

X

X

/(x)號與g(x)=W兩函數(shù)單調(diào)性一致，

有相同的最小值，可化為形式相同結(jié)構(gòu)

相同：

/、taxlux

g(*)===正

f(x)=—,當(dāng)xe(0,+oo)在區(qū)間(0,1)J,在區(qū)間(l,+oo)T；/(x)>/(l)=e

g(x)=^-,當(dāng)xw(l,+oo)在xe(l,e)J,在xe(e,+oo)T；g(x)?g(e)=e

/(X)=4■與g(￡)=兩函數(shù)單調(diào)性一致，

xlax

有相同的最小值，可化為形式相同結(jié)構(gòu)相同：

〃X)=J=Y^T=g(/)

xIne''

Inx

g(x)=i^=啟=/儂、)

________________________________________/

例1.(2020?福建模擬)函數(shù)/(力=(尤+1)/的最小值為.

答案：--y

解析：由/G)=(x+l)，=(x+l)*S，因?yàn)閥=B的最小值為」，所以

【練習(xí)Ll】（2020?惠州期末）函數(shù)，（力=《'（》>0）的最小值為.

答案：1

解析：由〃力=《二='《，因?yàn)閥=C在x>o的最小值為e,所以/（x）=e,=l.

xexxe

【練習(xí)1-2］（2020?韶關(guān)期末）函數(shù)〃x）=4（x>0）的最小值為.

答案：—

4

pT,2

解析：由=因?yàn)楫a(chǎn)J在x>0的最小值為e,所以〃x）,=e24=J.

7v'x24x"""44

uJ

例2.（2020?荊州期末）函數(shù)/（刈=工+皿的單調(diào)增區(qū)間為（）

XX

A.（70,1）B.（0,1）C.（0,e）

D.（l,+oo）

答案：B

解析：由/（x）=，+5H=3f=止二e,因?yàn)槎?膽在（0,e）單調(diào)遞增，所以

xxxexx

ex￡（0,e）,...x￡（0,l）故選B

【練習(xí)2-1］（2020?廣州越秀月考）函數(shù)外力=\坦的最大值為.

答案:-

2

解析：由〃切=皿里=電"=網(wǎng)回=蛇巴"=心蛇巴4^，」,所以

X2x22e2x22e2x22e2x22e2

/(x)=-

J\/max2

【練習(xí)2-2］（2020?廣州越秀月考）函數(shù)〃x）=W，g（x）=xeT,若存在占e（0,+oo）,%eR

/、2

使得八%）=8（々）=%小>0）成立，則AM的最大值為.

,41

A.c~B.cC.—-D.——

ee

答案：C

解析：

由電士二太皿為=3,

2=k

*

所以"=黑='=后(％<0)=1|1%=々=%得手=后

(Y(八2bL1(八2

所以上x"“=3*=4?k與2因?yàn)?<0所以0>與22,，4?k與2<4-4=4

⑺12J2e12Je2e2

考點(diǎn)三指對同構(gòu)(內(nèi)部同構(gòu))

在遇見指對跨階問題，通過尋找母函數(shù)：例如：/(力=無/為母函數(shù)，則

/(lnx)=xlnx就是它的同構(gòu)形式。再利用符合函數(shù)思想，同增異減來求解參數(shù)取值范圍。

尋找母函數(shù)，通常情況下要求母函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)且最值易求。例如：

f^x)-xe',/(x)=x+e',/(x)=xe*+x

［指對分家:即指數(shù)形式和對數(shù)形式需要分開，再利用同構(gòu)變?yōu)橥问酵Y(jié)

構(gòu)尋找母函數(shù)?！?/p>

內(nèi)部同構(gòu).

2.緊扣內(nèi)層：及指對函數(shù)的指數(shù)位置，以及對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置為內(nèi)函數(shù)

再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來求解，注意內(nèi)值外定，即內(nèi)函數(shù)的值域?yàn)橥夂瘮?shù)的定義域。

例1.(2020?武漢模擬)設(shè)實(shí)數(shù)4>0,若對任意的xe(0,3),不等式學(xué)20則4的取

值范圍為.

答案：

解析：由e"'>——得>xlnx

X

令，(x)券xe*,

當(dāng)lnx4O,x〈l時(shí)，原不等式恒成立。

當(dāng)lnx>O,x>l時(shí)，〃x)=xe*在xe(O,e)單調(diào)遞增。

2-xlnx即/(/m)>/(lnx)即Ax>lnx^2>f—=1所以4的取值范圍

I-max右

%+8).

【練習(xí)1?1】(2020?全國四模)若不等式加4'〉Ninx恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為

().

答案：B

解析：由mxena21nx得nvCe"1'>xlnx>

令/(x)=xex,即f^mx2)>/(inx)即wx221nxnm2寫=1

故選B

【練習(xí)L2］（2020?貴州調(diào)研）設(shè)實(shí)數(shù)〃oO,若對任意的x^e,若不等式/gx一〃/>0恒

人111人114VU

成立，則”?的最大值為（）.

1e

A.-B.-C.2eD.e

e3

答案：D

m

解析：由Ylnx-a/wO得xlnx^We*''

令〃x）=x",即〃lnx）2/（小即"zqxInxL=e

故選D

【練習(xí)1-3](2020?衡水期末)已知無。是方程2x2/*+lnx=0的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)%的判斷

正確的是().

A.x0>In2B.x0<-C.2x0+Inx0=0

e

D.2e^+Inx0=0

答案：C

解析：由2%2/*=-]nx得2xe'=-，lnx='ln(L],?

XX\XJ

令=xe[得/(2x)=/(In1即2%=In，=_In/

kxJxo

故選c

例2.(2020?四月全國模考)已知對任意的xe(0,+oo),都有％(e"+I)-1+Jlnx>0則左的

取值范圍為_____.

答案：(g+8)

解析：由((*+1)—(1H—)lnx>0得A(e"+1)>(1H—)lnx

即fcr(/v+l)>(x+l)lnx

令/(x)=x(e*+l),

W所以九的取值范圍j+8

即/(Ax)>/(Inx)BpAx>Inx=>A:>

【練習(xí)2-1］（2020?安徽劉安一中?？迹┮阎瘮?shù)不/（尤）=，一“加（以-〃）+“（。>0）,若關(guān)

于X不等式f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案：(04)

解析：由e'>ain(ax-a)-a得e*,,

即Czina+In(x+1)-1,即e'』">Ina+ln(x—1)-1

即cx+x—In>In(x-1)+元-1

令/(x)=x(e"l),即/(x-lna)>/(ln(x-l)》|]

et_,Y

x-lntz>ln(x-l)=>Intz<x-ln(x-l)=ln-----=Ine------=2,所以

Il八I而“

\x\a<a=>Q<a<e1

考點(diǎn)四朗博同構(gòu)

xe*=eiNx+lnx+l(x>0)

—=ex~'nx>x-lnx+l(x>0)

x

1.廣義朗博：叱=**=*.

ae'(a>0)=elnV=elna+x

x2ex=e2lnx+Jt

2.母函數(shù)：g(x)=e'-x-l.()(e'>%+1)

g(x)=e*TN。

.?.xe(0,+oo),g(x)單調(diào)遞增

，g(X)min=g(0)=°

例1.(2020?江蘇期末)函數(shù)f(x)=xe'?x-In冗的最小值為.

答案：1

解析：/(x)=elnx+x-(x+lnx)=g(lnx+x)+l>l

當(dāng)且僅當(dāng)111%+/=0時(shí)，等和成立。

令〃(x)=lnx+x,單調(diào)遞增，/2(1)=-1+1<0,/?(1)=()+1>()

ee

.,.3x0G(-,1),使得〃(%0)=0。

e

【練習(xí)1-1】(2020?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)若x>0時(shí)，恒有-63*一(&+3)%-2111%-120成

立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

答案：(—8,0]

解析：/(x)=e21nA3,_(21nx+3x)-l-fcc>0

g(21nx+3x)-Ax>0

g(2Inx+3x)20

/.-fcv>Oo(同構(gòu)保值性)

【練習(xí)1-2】(2020?湘豫名校聯(lián)考)不等式/e'-alnxNx+l對任意的xe(l,長。)恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,l-e]B.(-00,2-e2]C.(-oo,-2]D.

答案：D

解析：e-3lnx+x-(-31nx+x)-l-(a+3)lnx>0

g(—31nx+x)-(a+3)lnx>0

,.,g(-31nx+x)>0

.-.-(a+3)lnx>()?(同構(gòu)保值性)

【練習(xí)1-3](2020,全國模擬)若函數(shù)f(x)=x(e2*—a)-Inx-1無零點(diǎn),則整數(shù)a的最大

值是()

A.3B.2C.1D.0

答案：C

解析：/(xAeMg—ax—inx—1

=elnt+2x-(Inx+2x)-1+(2-a)x>0

?「g(lnx+2x)20

二(2—a)x〉0,即2-a>0,a<2

【練習(xí)1-4】（2020?山東新高考）已知函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性.

ex

(2)若方程二+〃nx=x+l有實(shí)根，求實(shí)數(shù)，的取值范圍

x

答案：(1)略(2)(-00-

x

e

解析：由一+冗=%+1得"-'11'=x-zlnx+l,vex>x+1

x

."Tin”2x-Hnx+i當(dāng)且僅當(dāng)尤一八nx=0時(shí)取“二”

亂Inx,1

即t=——<-

xe

【練習(xí)1?5】(2020?山東新高考)已知函數(shù)/(x)=。/--Inx+lno.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(l))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面

積；

(2)若/(x)21,求a的取值范圍.

2

答案：(1)——,(2)a>\

e-1

解析：(1)略

(2)由題意得：對Vx￡(0,+8),ae"”-Inx+lnaNl恒成立

??.Vxe(0,+8),匕限+1-Inx+Ina—120恒成立

/.VxG(0,+oo),elnt?+x-1+lnfl+x-1>x+lnx恒成立。(母函數(shù):g(x)=e*+x單

調(diào)遞增)

，VxG(0,+oo),g(Ina+X-1)2g(lnx)恒成立

Vxe(0,+oo),Ina+x—12Inx恒成立

VxG(0,+oo)/naNInx—x+1恒成立

令令x)=Inx-x+l,求/z(x)的max

h(x)<0

/.lntz>0,HPtz>1o

考點(diǎn)五差一同構(gòu)(切線找點(diǎn))

差一同構(gòu)是指指對跨階以及指數(shù)幕和對數(shù)真數(shù)差1可同構(gòu)，例如：

由常見的切線不等式得〃(x)=e'-x-120,當(dāng)且僅當(dāng)："x=0"等號成立

而/?(x)的同構(gòu)式〃(lnx)=x—lnx-120,當(dāng)且僅當(dāng)："x=l"等號成立

不難發(fā)現(xiàn)兩式取等號的條件不一致，因此對上面兩個(gè)不等式相加之后的式子取不到最大值,

因此得：

/?(jc-l)=ev-'-x>0,當(dāng)且僅當(dāng)："x=l"等號成立，所以，〃(lnx)之0和之0

都在"x=l"取等號

又由〃(x)=e*-x-l的單調(diào)性當(dāng)xw[l，+8)時(shí)〃當(dāng)"x=l"等號成立

同理xe[l,+8)時(shí)兩式相加得：〃(x-l)+〃(lnx)?O當(dāng)"x=l"等號成

/z[ln(x+l)]=x-ln(x+l)>0,當(dāng)且僅當(dāng)："x=()”等號成立，所以，/?[ln(x+l)]>0

和h(x)>。都在"%=()"取等號

又由xw[0,+8)由〃(x)=e'-x-l的單調(diào)性得：h(x)>/?[ln(x+l)]當(dāng)"％=0"等號

成立

同理龍W1,+8)時(shí)兩式相加得：/z[ln(%+l)]+h(x)20當(dāng)"尤=0"等號成

因此取等號條件是差一同構(gòu)的關(guān)鍵

例1.(2020?河南濟(jì)源?？?已知函數(shù)〃x)=lnx-〃?(x-l).

(1)若加=3,求函數(shù)f(x)的極值.

(2)當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，e'+ef(x)>e,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

答案：(1)略(2)

解析：(1)略

(2)由e'+4(x)2e兩端同除e得ei+lnx-m(x-l)-120注意區(qū)間端點(diǎn)為x=l

令g(x)=e"-x-1,在xe(O,y)單調(diào)遞增，得：^(x-l)=ex-1-x,g(lnx)=x-lnx-l

g(x-l)_g(lnx)=e*T+lnx—2x+]

所以原不等式為：g(x-l)-g(lnx)+2(x-l)-zn(x-l)>0

即(2-m)(x-l)>g(lnx)-g(x-l)

因?yàn)間(lnx)4g(x-l)所以g(lnx)-g(x-l)40當(dāng)且僅當(dāng)》=1等號成立

所以(2-M(x—1)20恒成立，即2—機(jī)20所以a42,當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號成立

綜上：m<2

【練習(xí)1-1】(2020?原創(chuàng)模擬)函數(shù)e、+lnx-2m(x-l)-e>0對也>1恒成立，則實(shí)數(shù)”，

的取值范圍為

答案：m<---

2

解析：令g(x)=，-x-l,在X￡(o,y)單調(diào)遞增，得：g(x-l)=ei-x,

^(lnx)=x-lnx-l

所以空(X_1)={65_(工_1)_1),由eg(x-l)-g(lnx)=er+\nx-ex-x+1

所以原不等式等價(jià)于鋁(尤-1)-屋1口力+(6+1-2〃職工-1)〉0

又因?yàn)楫?dāng)x>Lg(xT)>0,g(lnx)>0,且g(%T)>g(lnx)

c+]

所以(e+1—2〃。(無一1)20=>e+1—2m之0=>加《—^―

...e+1

綜上：加W---

2

【練習(xí)1-2](2019?宜春月考)已知函數(shù)〃x)=e*+,nr-l,其中e是自然對數(shù)得底數(shù)

(1)若“=-e,求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)+ln(x+l)20在[0,行)上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案：(1)略(2)m>-2

解析：令g(x)=e*-X-1N0,在xe(0,+oo)單調(diào)遞增，得g(ln(x+l))=x-ln(x+l)

由g(x)-g(ln(x+l))=e*+ln(x+l)-2x-l

原不等式為e*+叭X+1)+曜-120等價(jià)于8(力-式111(*+1))+(2+"卜20

因?yàn)間(x)Zg(ln(x+l))當(dāng)且僅當(dāng)犬=0等號成立

即：(2+m)x>0=>m>-2

綜上〃2之一2

考點(diǎn)六零點(diǎn)問題

ex>x+1

ex>ex

1.零點(diǎn)問題=圖像交點(diǎn)問題：\\nx<x-l

lnx<—

.e

2.復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)：外零內(nèi)橫。（內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，則復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)由外層函數(shù)決

定）

3.極值點(diǎn)個(gè)數(shù)：“導(dǎo)中切”。（導(dǎo)數(shù)穿越零點(diǎn)個(gè)數(shù)）

例1（2020?湖北模擬）已知/是函數(shù)/（》）=》2"-2+加工—2的零點(diǎn)，則62/+坨/=_

答案：2