高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (五)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（5）

一、單項選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.梯形ABCD中，AD//BC,/.DAB=120°,AC1BC,BC=2AD=2,現(xiàn)將△ABC沿AC折起，

使得二面角B-4C-D的大小為90。，若A,B,C,。四點在同一個球面上，則該球的表面積為

（）

A.等B.子C.1771D.哼^

2,已知球O是正三棱錐4-BCO（底面為正三角形，頂點A在底面8CQ的射影為底面中心）的

外接球，BC=3,AB=2b，點E在線段8。上，且8。=6BE,過點E作球。的截面，則所

得截面圓面積的取值范圍是（）

A.洋,4兀］B.岑,47rlC.旨4兀］D.［*4兀］

3.若三棱錐P-ABC的底面邊長與側(cè)棱長都是3,則它的內(nèi)切球的表面積為（）

A.yB.等C.苧D.y

4.在正方體4BCD-4B1GD1中，球。1同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以前為

公共頂點的三個面相切，且兩球相切于點F.若以尸為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過0「02,

設(shè)球01，G的半徑分別為72,則￡=（）

A.匹匚B.V3-V2C.1-—D.2-V3

22

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球

的表面積是（）

A29D25

A.丁B.兀D.25TT

6.三棱錐P-ABC的所有頂點都在半徑為2的球。的球面上,若ZP4C是等邊三角形，平面PAC1平

面ABC,AB1BC,則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

A.2B.3C.25/3D.3V3

二、多項選擇題（本大題共3小題，共12.0分）

7.已知正四面體紙盒的俯視圖如圖所示，其中四邊形A8C。是邊長為3或的正

方形，若在該正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，使正方體可以在紙盒內(nèi)任意

轉(zhuǎn)動，則正方體的棱長可以為

B.1

C.V2

D.V3

8.如圖，在正方體中，點P在線段BG上運動，有下列

判斷，其中正確的是（）

A.平面叫。1平面AC。1

B.ArP〃平面AC/

C.異面直線4P與4劣所成角的取值范圍是（0,外

D.三棱錐D1-4PC的體積不變

9.如圖，在棱長為1的正方體4BC0中，P,M分別為棱

CD,CCi的中點.。為面對角線4B上任一點，則下列說法正確的

是

A.平面內(nèi)存在直線與45平行

B.平面APM截正方體力BCD-&B1C1D1所得截面面積為；

O

C.直線AP和。。所成角可能為60。

D.直線AP和。Q所成角可能為30。

三、填空題（本大題共19小題，共95.0分）

10.棱長均為1，”的正三棱柱形透明封閉容器盛有。加3水，當(dāng)側(cè)面441當(dāng)8水平位置時，液面高為/un（

如圖1）;當(dāng)轉(zhuǎn)動容器至截面4BC水平位置時，水恰好充滿三棱錐A-&BC（如圖2）,則

CL—,/l=?

/i,

圖I圖2

11.如圖，在棱長均為2的正三棱柱4BC-4/Ci中，點M是側(cè)棱4Al

的中點，點P、。分別是側(cè)面85出、底面ABC內(nèi)的動點，且&P〃

平面BCM,PQ_L平面BCM,則點Q的軌跡的長度為.

12.在三棱錐S-ABC中，底面團ABC是正三角形且￡4=SB=SC,M是SC的中點，且AMJ.SB,

底面邊長AB=2魚，則三棱錐S-ABC體積為,三棱錐S-ABC外接球的表面為

13.己知棱長為1的無蓋正方體容器中裝有直徑為1的實心鐵球且盛滿了水，另將半徑為r(r>0)的

小球。'緩慢放入容器中，若小球0'能完全淹入水里，則，?的取值范圍是

14.在梯形ABC。中，AD//BC,AB1BC,AD=2AB=2BC=2,

將4ABC沿對角線4c翻折到△AMC,連結(jié)MD.當(dāng)三棱錐M-4CD的

體積最大時，該三棱錐的外接球的表面積為.

15.己知四棱錐P-ABCD,AB=3,BC=4,CD=1,AD=2^6,AC=5,

平面PADJ■平面4BCD,且PA1P。,則球O的體積為.

16.如圖,正方體4BC。的棱長為a,動點P在對角線BA上，

過點P作垂直于BO1的平面y,記這樣得到的截面多邊形(含三角形)

的周長為》設(shè)BP=x,則當(dāng)xe[fa,乎a]時，函數(shù)y=/(x)的值

域為.

17.在直四棱柱4BCD—4B1GD1中，底面ABC力是邊長為6的正方形，點E在線段4。上，且滿

足4E=2E。，過點E作直四棱柱4BCD-ABiGDi外接球的截面，所得的截面面積的最大值與

最小值之差為26兀，則直四棱柱4BC0外接球的半徑為.

18.仇章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵,

將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬（底面是長方

形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉席（四個面均為直

角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵中，BB［=

BC=2?AB=2,AC=4,且有鱉-和鱉腌G-ABC,

現(xiàn)將鱉膈G-ABC沿線BG翻折，使點C與點以重合，則鱉膈G-ABC經(jīng)翻折后，與鱉席C1一

ABB1拼接成的幾何體的外接球的表面積是.

19.如圖，在矩形A8C￡＞中，48=2,40=1,點E為CZ）的中點，F(xiàn)為線段CE（端點除外）上一動點

.現(xiàn)將團尸沿AF折起，使得平面ABD，平面ABC.設(shè)直線尸。與平面A8CF所成角為。，則sin。的

最大值為__________________

20.在高為I的正四面體P-ABC中，P在底面ABC上的射影為R作平行于平面A8C的平面，分

別交線段PA,PB,PC于點4,B',C'.當(dāng)三棱錐P'-4'B'C'的體積最大時，三棱錐P'-4'B'C'的

外接球的表面積為.

21.矩形ABCD中，AB=痘,BC=1,現(xiàn)將△4CD沿對角線AC向上翻折，得到四面體。一48C,

則該四面體外接球的表面積為;若翻折過程中的長度在［日,當(dāng)］范圍內(nèi)變化，則點

D的運動軌跡的長度是一.

22.已知長方體4BC0-AiBiGDi的每個頂點都在球。的球面上.若4B=AD=2,441=4,則球

。的體積是.

23..如圖已知菱形ABC。邊長為3,NB4D=60。，點E為對角線

AC上一點，AC=64E.將IZMBD沿80翻折到回4B0的位置，E

記為E',且二面角4-B0-C的大小為120。，則三棱錐&8C0的

外接球的半徑為;過E'作平面a與該外接球相交，所得截

面面積的最小值為.

24.如圖，在棱長為1的正方體48C0—4BiG￡)i中，點、E,尸分別是

棱BC,CG的中點，P是側(cè)面BCCiB］內(nèi)一點，若力/〃平面AEF,

點P的軌跡長度為.線段&P長度的取值范圍是.

25.如圖已知菱形A8CD邊長為3,Z.B/1D=60°,點E為對角線4c上一點，AC=64E.將44BD沿

BO翻折到4AB。的位置，E記為E',且二面角4-BD-C的大小為120。，則三棱錐4'BC。的外

接球的半徑為；過E'作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為.

26.我國古代仇章算術(shù)少中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童4BC0-E尸GH

有外接球，且4B=4A/3.AD=4,EH=2e，EF=6a，點、E到平面ABCD的距離為4,則

VC_BDE=___________;該芻童外接球的半徑為

27.矩形A8CD中，AB=6，BC=1,現(xiàn)將回力CD沿對角線AC向上翻折，得到四面體D—ABC,

則該四面體外接球的表面積為；若翻折過程中8。長度在［日,手］范圍內(nèi)變化，則點。

的運動軌跡的長度是.

28.(1)設(shè)函數(shù)〃工)=心沙若三>e其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，貼W))=

(2)某高中各年級男、女生人數(shù)統(tǒng)計如表：

高一高二高三

男生592563520

女生528517a

按年級分層抽樣，若抽取該校學(xué)生80人中，高二學(xué)生有27人，則表中a=—.

n

⑶已知數(shù)列5｝中，an=n,數(shù)列｛%｝的前n項和兀=2-1.若數(shù)列糕｝的前n項和7；<M對

于Vn￡N*都成立，則實數(shù)M的最小值等于.

(4)已知長方體ABCD的棱A4i=2,AB=4,4。=3,點E,F分別為棱BC,CQ上

的動點，若四面體占&EF的四個面都是直角三角形，則下列命題正確的是.(寫出所有正

確命題的編號)

①存在點E,使得EF14F；②不存在點E,使得BiElaF；③當(dāng)點E為BC中點時，滿足

條件的點F有3個；④當(dāng)點尸為CCi中點時，滿足條件的點E有3個；⑤四面體&B1EF四個面

所在平面，有4對相互垂直.

四、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

29.已知△4BC是邊長為4的等邊三角形，D,E分別是A8,AC的中點，將團40E沿。E折起，使

平面40EJ?平面BCEQ,則四棱錐A-BCED外接球的表面積為若P為四棱錐4一BCED

外接球表面上一點，則點尸到平面BCED的最大距離為_(2)_.

五、解答題(本大題共1小題，共12.0分)

30.如圖，在四邊形ABC。中，/.DAB=90°,乙40c=135。，AB=5,CD=2近,AD=2,求四

邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.

【答案與解析】

1.答案：c

解析：

本題考查外接球問題，屬于較難題目.

利用補形法判斷出該棱錐的外接球與長、寬、高分別為2/，2,1的外接球相同，求出球半徑，即

可得其表面積.

解：由AO〃BC,Z.DAB=120°,AC1BC,BC=2AD=2,

可得NBAC=30°,AB=2BC=4,AC=2百，

在平面ABC內(nèi)作矩形ACBE,即4E1AC,而4。1AC,

所以NEAD為二面角B-AC-。的平面角，NE4D的大小為90。，

則該棱錐的外接球與長、寬、高分別為2W，2,1的外接球相同，

則外接球的半徑為A_J。可+25-V17,

22

故其表面積為JTTR2=17TT>

故選C.

2.答案：A

解析：

本題考查正三棱錐的外接球及球的截面的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題.

設(shè)ABDC的中心為?！盖?。的半徑為R,連接0m，OD,。止，OE,可得肥=3+(3-解得

R=2,過點E作圓。的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時，截面面積

最大，即可求解.

解：如圖:

A

設(shè)三角形80c的中心為Oi，球。的半徑為R,

連接。1。，0D,。送，0E,

則O\DIJsiiOrx-=\/3,AO】=yjAD2-D0^=3>

?5

在RtAOOW中，R2=3+(3-R)2,

解得R=2,

因為8。=6BE,

所以DE=|,

IpH__r

在40￡。1中，O[E=y3+—2x瓜xxco?3(P=,

所以。E=J0任2+。0/=J：+1=日工

過點E作圓。的截面，當(dāng)截面與。后垂直時，截面的面積最小,

此時截面圓的半徑為區(qū)―工=阻

\42

最小面積為:兀，

4

當(dāng)截面過球心時，截面的面積最大，最大面積為47r.

故截面圓的面積的取值范圍為E兀,4兀］.

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，簡單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、

棱臺的側(cè)面積、表面積和體枳和球的表面枳和體積.

利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征得三棱錐P-ABC的高為遙，棱錐與其內(nèi)切球的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合棱錐的體積等

量得其內(nèi)切球的半徑R=在，最后利用球的表面積公式計算得結(jié)論.

4

解：因為三棱錐P-4BC的底面邊長與側(cè)棱長都是3,

所以三棱錐P-4BC的高為遙.

若它的內(nèi)切球半徑為R,

則4x工x在x32xR=2x在x32x歷，

3434

解得R=漁，

4

因此它的內(nèi)切球的表面積為4kx（乎）=?.

故選A.

4.答案:D

解析：

本題考查拋物線的定義，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于一般題.

由題意，兩個球的球心。「。2和兩球的切點廠均在正方體ABC。-&當(dāng)。1歷的體對角線AQ上，作

出圖示，得到。2尸=「2=1，4。2=牛=遮，所以4尸=4。2-。2尸=6一1，結(jié)合力F=401+

OjF=V3rj+rP可解得①從而求出申

解：由題意，根據(jù)拋物線的定義，點。2到點F的距離與到直線4當(dāng)?shù)木嚯x相等，其中點。2到點F的

距離即半徑上，

也即點。2到平面CDD1G的距離，點。2到直線4B］的距離即點。2到平面的距離，

因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)廠2=1，兩個球心。1，。2和兩球的切點月均在體對角線上,

兩個球在平面力當(dāng)前。處的截面如圖所示，

則。2尸=72=1，4。2=殍=B，所以4F=4。2—。2尸=遮一1，

又4F=A01+01F=遍+■，因此(V5+l)rt=V3—1,解得=2—舊,

咤=23

故選。.

5.答案:A

解析：

本題考查由幾何體的三視圖求其外接球的表面積，考查空間想象能力，屬于中檔題.

由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當(dāng)于以俯視圖為底

面的三棱柱的外接球，進(jìn)而得到答案.

解：由圖可得該三棱錐的底面是一個等腰三角形，

底邊長為2,高為2.

左邊的一條側(cè)棱垂直于底面，且高為1,

所以其外接球相當(dāng)于以俯視圖為底面的三棱柱的外接球，

底面三角形的外接圓半徑，，貝U(2—r)2+l=r2,所以r=1

球心到底面的距離d=p

故球半徑R滿足，R2="+d2=g,

16

2929J

故該三棱錐的外接球的表面積為S：4TTx---7r.

164

故選A.

6.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的外接球，考查基本不等式求最值，屬于較難題.

由題意求得P4=AC=PC=2V3）則POi14C且POi=3,又由平面PAC1平面ABC,可得P011平

面A8C,即三棱錐P-ABC的高八=3,在△ABC中，利用基本不等式求得面積的最大值，進(jìn)而可得

三棱錐體積的最大值，得到答案.

解：由題意知，三棱錐P-4BC的所有頂點都在半徑為2的球。的球面上，△P4C是等邊三角形,

如圖所示，可得P4=AC=PC=2

則POi1ACS.POy=3,

又由平面P4CJ■平面ABC,平面P4Cn平面力BC=4C,P。1u平面PAC,

所以POi_L平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高h(yuǎn)=3,

又在三角形ABC中，AB1BC,

設(shè)4B=a,BC=b,則a2+從=AC2=12,

22

所以S—BC=[ab<|-1（a+b）=3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，即SMBC的最大值為3，

所以三棱錐P-4BC體積的最大值為V=l（S^ABC）max/i=|x3x3=3.

故選B.

7.答案：ABC

解析：

本題考查三視圖、棱錐的內(nèi)切球問題，屬于較難題.

利用正方體與正四面體的內(nèi)切球內(nèi)接時，棱長最大，根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球半徑,進(jìn)一步可求出

正方體的最大棱長，

根據(jù)選項即可解答.

解：這個正四面體的位置是AC放在桌面上，80平行桌面，幾何體如圖，

D

則正視圖中BD=6,

設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,

要使在該正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，且正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,

正方體與正四面體的內(nèi)切球內(nèi)接時，棱長最大，

設(shè)內(nèi)切球半徑為廠，

22

根據(jù)體積相等可得4xixrx^x6=ix^x6x卜_(2x逅x6/，

3434

?,?T_——V6?

2

2

設(shè)正方體的最大棱長為a,3a2=(V6)>Aa=V2>

故選ABC.

8.答案：ABD

解析：

本題主要考查三棱錐體積、線面平行的判定、面面垂直的判定以及異面直線所成角,要注意使用轉(zhuǎn)

化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

連結(jié)。8,容易證明。BiJL平面,從而可以證明面面垂直；連接aG容易證明平面

平面AC。1，從而由面面平行的性質(zhì)可得；分析出41P與4久所成角的范圍，從而可以判斷真假

；VD1_APC=VP_AD1C,P到平面的距離不變，且三角形4D1C的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對于A,連結(jié)力8,

因為正方體中，BBil平面ABC。，ACu平面ABC。，所以B/lAC,

又因為OBIAC,DB,BBi為平面DBBi內(nèi)兩條相交直線，所以4C_L平面

因為u平面。所以O(shè)/IAC,

同理可得QB114。1，

因為4Di、AC為平面AC，內(nèi)兩條相交直線，

可得g，平面4血，

u平面PBi。，從而平面PBi。_L平面A正確；

對于8，連接4遇，4G，

A\C\"AC,&GC平面ZCDi，ACu平面AC。1，所以&G〃平面ACD1，

同理BG〃平面

又8C］為平面B&G內(nèi)兩條相交直線，

所以平面BAG〃平面ACDi，

因為aPu平面B4G，所以&P〃平面ACDi，故B正確；

對于C,因為4D//BG，所以&P與4。1所成角即為41P與BG的所成角，

ArB=BC1=ArCi，AB&G為等邊三角形，

當(dāng)P與線段Bq的兩端點重合時，&P與4劣所成角取最小值梟

當(dāng)P與線段8cl的中點重合時，4P與力5所成角取最大值今

故AJ與4劣所成角的范圍是槨用，故C不正確；

對于。，由選項8得Bq〃平面4。傳，故eg上任意一點到平面;4。修的距離均相等，

所以以P為頂點，平面力。停為底面，則三棱錐P-ADiC的體積不變，

又力「.pc=VP-AD.C所以三棱錐Di-4PC的體積不變，故。正確.

故選ABD.

9.答案：BC

解析:

本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，截面問題，空間向量求出異面直線所成的角，屬于中檔題.

對各選項逐一求解，判定正誤，即可得到答案.

對于選項A,在正方體4BC。中，BC"A[D”

在平面ABC。中，直線4P,BC相交，所以直線BC與平面APM相交，

故直線治仇與平面APM相交，則平面APM內(nèi)不存在直線與&D1平行，所以選項A錯誤；

對于選項B,連接G。，AB1，P,“分別為棱CQ,CQ的中點，

所以PM〃G。，PM=^CrD,在正方體4BC0-ABiGDi中,

AB、〃C、D,所以連當(dāng)“，則梯形481Mp為所求的截面，

AP=BiM=J1+；=導(dǎo)

所以等腰梯形ZBiMP的高為

加2—修)，歷穿=等

所以梯形力B】MP的面積為三x辿x迪=2,選項8正確；

2248

對于選項C,D,以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，4(1,0,0),P(0,|,0),B(l,l,0),4(1,0,1),

設(shè)項=4硒=4(0,1,-1)=(0,九-4),0<A<1,

.?.麗=西+初=(1,4,1-；I)，PA=

|3間，的〃=如黑房=而暴而

2—A2—A

~V107[(2-2)-2]2+(2-2)-1-7107(2-A)2-3(2-A)+3

y=3t2-3t+1=3(t-024-i>

?w一苧高§房

??.叵wlcos（PA，DQ）逗，而叵〈工〈叵〈理,

1017I510252

.??直線AP和。。所成角可能為60。，但不可能為30。，

選項C正確，選項。錯誤.

故選：BC.

10.答案：患V2

2

解析：

本題考查了棱柱、棱錐的體積計算.

在圖2中計算以_&BC得出水的體積。，根據(jù)水的體積不變列方程求出四邊形ABDE的面積，再利用

相似三角形的相似比求出h.

解：由題意，正三棱柱的棱長均為1m，

2

???S^ABC=-x1x1xsin60"=ixlxlx—=—(m).

2224

又=lm'???VA-ABC—3sAABC,AAi=；x曰x1=*=Q.

由以BEDTi&EiDi=得JBED，4"1=&S團'力必,

日叱—1cDE瓜DCDEV6

即=§304BC，二而=三,*'.瓦=布=不，

???DC=fm,:.AD=(1--y)m.

在等邊三角形ABC中，AB邊上的高為隹m,

2

"一4?！?卜_近V2

?-―-------，..tl=-----------.

在AC122

2

11.答案：I

解析：

本題考查的知識點是平面與平面之間的位置關(guān)系，棱柱的幾何特征，動點的軌跡，難度中檔.

根據(jù)已知可得點。的軌跡是過△MBC的重心，且與BC平行的線段，進(jìn)而根據(jù)正三棱柱ABC-&B1G

中棱長均為2,可得答案.

解：???點P是側(cè)面BCG/內(nèi)的動點，且&P〃平面BCM,

則尸點的軌跡是過&點與平面M8C平行的平面與側(cè)面BCCiG的交線，

則P點的軌跡是連接側(cè)棱BBi，CC］中點的線段I,

???Q是底面4BC內(nèi)的動點，且PQ_L平面BCM,

則點Q的軌跡是過I與平面MBC垂直的平面與平面MBC的相交線段m,

故線段加過AMBC的重心，且與BC平行,

由正三棱柱ABC-AiBiG中棱長均為2,

故線段機的長為：|x2=p

故答案為3

12.答案：|；127r

解析：

本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐體積與球的表面積求解，難度較高.

設(shè)棱錐的高為SO,則由正三角形中心的性質(zhì)可得AC_L0B,4C_LSO,于是4C，平面SBO,得SBLAC,

結(jié)合SB1AM可證SB_L平面SAC,同理得出SA,SB,SC兩兩垂直，從而求得側(cè)棱長，計算出體積，

外接球的球心N在直線SO上，設(shè)SN=BN=r,則。N=|SO-r|,利用勾股定理列方程解出八

解：易知該三棱錐為正三棱錐

設(shè)。為S在底面ABC的投影，

則0為等邊三角形ABC的中心，

vSO_L平面ABC,ACu平面ABC,

：.AC1SO,

5LBOLAC,SOBO=0,SO、B。u平面SBO,

AC1平面SBO,

SBu平面SBO,

：.SB1AC,

又4M1SB,AMu平面SAC,

ACu平面SAC,AMryAC=A,

SB1平面SAC,

所以SBISA,SBISC

根據(jù)正三棱錐對稱性，則SA,SB,SC兩兩垂直，

vSA=SB=SC,

vAB=2V2,

:.SA=SB=SC=2,

???三棱錐的體積U=|SAS,IC-SF=|X|X2X2X2=1.

設(shè)外接球球心為N,則N在SO上，

遍AC瓜

???B“O=2-x—AB=—2，

323

SO=7sB2-BO2=獨，

3

設(shè)外接球半徑為r,

則N。=SO—r=——r,NB=r,

3

vOB2+ON2=NB2,

...8（2_丁）2_r2,

3k3）

解得r=V3,

???外接球的表面積S=4TTx3=127r.

故答案為g;127r.

13.答案：（0,管

解析:

本題主要考查空間正方體與球的內(nèi)切問題，根據(jù)條件建立球半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

找出臨界條件，計算出最大值即可求出范圍，臨界條件為小球0'與正方體的三個面及大球均相切,

作出對應(yīng)圖象的軸截面圖，利用相應(yīng)的關(guān)系建立條件關(guān)系，即可求球的半徑.

解：根據(jù)題意臨界條件為小球0'與正方體的三個面及大球均相切，如圖所示

設(shè)大球的球心為O,正方體的棱長為1,

.??正方體的內(nèi)切球的半徑R=p正方體的體對角線為V3,

設(shè)小球球。，的半徑為r,

作出對應(yīng)的軸截面圖如圖，

]HWE//C'C,

且ON=V3r>O'O=r+

???O'A+O'O=0A=—>

2

即V3r+r+工=—,

22

（V3+l）r=

V3-12-V3

r=2（V3+1）=

故0<rW

故答案為（0,2薩］.

14.答案：4兀

解析：

本題考查空間幾何體的體積、球的表面積問題，屬于較難題目.

可利用題設(shè)條件分析，三角形棱長關(guān)系，得知三角形AC。、三角形AMC均為等腰直角三角形，然

后利用該三棱錐的外接球定義進(jìn)行解答.

解：因為三棱錐M-ACC的底面ACO固定，

因此其體積最大時，即點M到底面ACO距離最大，此時必有平面4cM垂直平面ACD,

由題設(shè)知三角形AMC為等腰直角三角形，

根據(jù)題意和勾股定理，有AC=7AB2+BC,2=V2,

設(shè)AO中點為E,于是4E=CE=1,

因此四邊形A8CE為正方形，CD=VDE2+CE2=企，

又AD=2,則4Z)2=即4c_LCO,

故三角形AC。為等腰直角三角形，

因此三棱錐M-ACD外接球的球心必在過E于底面AC力垂直的直線上，

又設(shè)AC中點為凡則EF〃CD,EF1AC,MFLAC,

因為平面M4C_L平面AC。，所以NMFE=90。,

于是三角形MFE為直角三角形,

其中EF=LCD=更，MF=-AC=—>

2222

于是三角形為等腰直角三角，且ME=&xMF=l,

于是點E到三棱錐M-AC。的四個頂點距離相等，均為1,

顯然E為三棱錐M-ACD的外接球球心，

即該外接球的半徑為1，于是其表面積為47r.

故答案為47r.

15.答案：華兀

O

解析：

本題考查棱錐及其結(jié)構(gòu)特征，球的體積公式，考查空間思維能力，考查分析與計算能力，屬于較難

題.

取AC中點。，AQ中點為4,連接。從OB、OD、PH,證得。為四棱錐P-4BC0的球心，R=|,

再根據(jù)球的體積公式計算即可得到答案.

解：取AC中點O,AD中點為H,連接?！啊B、0D、PH,

???AB—3,BC—4?CD—1,AD=2A/6>AC—5>

AD2+CD2=AC2,AB2+BC2=AC2,

AD1CD,AB1BC,

???0至IJ4、B、C、。四點距離相等，

???平面P/W，平面ABCD,平面R4Dn平面4BCD=AD,

CD1AD,CDABCD,

：.CD_L平面PAD,

???0、”分別為AC、AO的中點,

???0H//CD,

：.OH_L平面PAD,

又PA1PD,。到P、A、。三點距離相等,

???。為四棱錐P-ABC。的球心,

5

???R=0P=0D=0A=0B=70H2+DH2

2

1

???球。的體積為V"中

36

故答案為fTT.

6

16.答案：{3夜a}

解析：

本題考查了幾何體中動點問題，截面周長問題.轉(zhuǎn)化思想，平移平面，找到截面最大時動點位置是

關(guān)鍵，考查運算求解能力，是中檔題.

正方體4BCD-4B1GD1的棱長為“，體對角線幽=島，根據(jù)對稱性，只需研究xe哼a,當(dāng)a],

函數(shù)y=/(x)的值域即可.

解：由題意，連接AB】，BCAC,BD,設(shè)AC、8。交于點O,

貝|J4C1BD,AC10。1，

又BDDDD\=D,BD,DD\C平面BOQ,

，.ACJ.平面B。。，又BOiU平面30。，

■■ACIBDr,同理，ABr1BDr,

：ACHABi=A.AC.A131C平面ABQ,

BDi1平面ABC

故過點尸作垂直于BA的平面y均平行于平面4B1C,

當(dāng)8。=梟時，Bi，P,0三點在一條直線上，BQU平面.A3C，

所以截面周長為△4B1C的周長，即3&a,

當(dāng)BP=?a時，即當(dāng)截面過體對角線8久的中點時，此時截面為正六邊形,

其余各點為各個棱的中點，（如圖）截面周長為6歸+貯=3國，

易知隨著BP的變化，結(jié)合相似比關(guān)系，中間的六邊形長度始終為定值,

再由對稱關(guān)系可知，BP長度從fa到苧a，周長依然保持定值，

二函數(shù)y=/（x）的值域為｛3聲研.

故答案為：｛3&a｝.

17.答案：V34

解析：

本題考查求幾何體外接球的半徑，考查直四棱柱以及球的結(jié)構(gòu)特征即可，考查空間想象能力，屬于

較難題.

先根據(jù)直四棱柱的特征，得到其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作0,過點。向底面ABC。

作垂線，垂足為G,連接8。，取AZ）中點為凡連接OF,OE,OB,設(shè)441=2a,根據(jù)題意，先得

到外接球半徑R=0B=叱+18,求出。E=Va2+10,根據(jù)球的特征，分別求出截面面和的最大

值與最小值，列出方程求解，得出a2=19,即可求出半徑.

解：因為四棱柱4BC0-4B1GD1是直棱柱，且底面是正方形，

所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作0，

過點。向底面ABC￡＞作垂線，垂足為G,則OG=：A①,

連接BD,因為底面ABC。是邊長為6的正方形，所以點G為8。的中點，

取A。中點為F'連接OE'OE,OB,

設(shè)=2a,則。G=a,所以外接球的半徑為R=OB=JoG2+(|BD)2=Va2+18,

因為點E在線段AQ上，且滿足4E=2ED,則EF=DF-DE==1,

又FG=：4B=3,所以。尸=依”，

因為直四棱柱中，4B_1側(cè)面4。。送1，F(xiàn)G//AB,所以FG1側(cè)面4DD遇L

所以FG14D,XOGIjRiffABCD,所以0G14D

又產(chǎn)GCOG=G,所以O(shè)F_LAD,

則OE=VOF24-EF2=y/a2+10;

根據(jù)球的特征，過點E作直四棱柱ABCO-&B1C1D1外接球的截面，

當(dāng)截面過球心時，截面圓面積最大，此時截面面積為S=TTR2

當(dāng)OE1截面時，此時截面圓半徑為VR2-0E2,

所以此時截面圓面積為a=?r(V/?2-OF2)2=兀(R2-0E2);

又截面面積的最大值與最小值之差為26兀，

所以S—Si=nR2-TT(/?2-OE2)=TT-OE2=267T

因此a?+10=26,即a?=16,所以R=Va2+18=V34-

故答案為

o

解析:

【試題解析】

本題考查了空間幾何體外接球的表面積的計算問題，是中檔題.

根據(jù)題意可知，鱉麻G-4BC經(jīng)翻折后，所拼成的幾何體為三棱錐G-4EB1，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特

征及球的表面積公式求解即可.

解：當(dāng)G-4BC沿線BG翻折，使點C與點名重合，

則鱉脯Q-4BC經(jīng)翻折后，A點翻折到E點，4E關(guān)于B對稱，所拼成的幾何體為三棱錐的-

如圖，

由BBi=BC=2痘,AB=2,AC=4,

可得力B]=yjBB^+AB2=4，GE=+BE2=4,

即4Bp4E為正三角形，所以外接圓圓心為三角形中心Oi，

設(shè)三棱錐外接球球心為O,連接內(nèi)。，則/。_L平面

連接0G，0B],在團OBiQ中作0M18傳1，垂足為M,

如圖，因為0G=0B】=R,OMIBiG，

所以M是BiG的中點，由矩形MORBi可知。。1=并心=,BC=遮,

因為01為三角形的中心,

所以為。1=|318=|*28=產(chǎn)

Joo：+B@=小+冷產(chǎn)，

在Rt圖Bi。。]中,R=

所以5=4兀/?2=罟,

故答案為竽.

19.答案：；

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)果特征，考查線面角的求法，屬中檔題.

在矩形ABCD中，過點。作AF的垂線交A尸于點0,交AB于點M,則在翻折后的幾何體中，有NMFD

是直線與平面ABCF所成角，利用解三角形的方法可求其正弦值的最大值.

解：矩形ABCZ）中，過點。作AF的垂線交AF于點。，

交A8于點M.設(shè)CF=x(0<x<1),AM=t.

由△ZMM?△4DF,得翌=翌，即有t=1~，

ADDF2-x

由0<x<1,得：<t<1.

在翻折后的幾何體中，

???AF1OD,AF±OM,ODdOM=O,OD,OMuODM,

：.AF，平面ODM,AFu面ABC,

從而平面ODM1平面ABC,又平面4BD1,平面ABC,貝ijDM1平面ABC.

連接MF,則NMFD是直線尸。與平面ABCF所成角，即Z_MFD=0.

而2DF=2-x=-,則9=—=t242

DM=V1—t,tsinDFtVl-=V-t+t.

由于則當(dāng)t2書時，sin。取到最大值，其最大值為也

故答案為

20.答案:7T

解析：

本題考查三棱錐及三棱錐的外接球的表面積，設(shè)P'H=?(0<a<1),兩底面面積之比為(1-。產(chǎn).得

出三棱錐尸'-AB'C'的體積，由基本不等式得當(dāng)三棱錐P'-A'B'C'的體積最大時，正三角形4'B'C'的

邊長為"連接C'H,取截面P'C'H分析.可得外接球的半徑，可得三棱錐P'-4B'C'的外接球的表面

3

積.

解：如圖(1),設(shè)PP'與平面AB'C'交于點"，則P'H為三棱錐P'-A'B'C'的高.

由題意知PP'=1.設(shè)P'H=a(0<a<1),則44'8'。'與44BC的相似比為1-a,

兩者面積之比為(l-a)2.

1121

???V三棱錐Pf-A'B'C，=3a'S^'B'c，=ya(l_a)?SA4BC=12a(l_a)(l_a)-SgBC

12:a+(l-a)+(l-a).

/r3，

3■]*S&ABC=￡SfBc

當(dāng)且僅當(dāng)2a=1—a,即a號時，取等號.

易知，正四面體PTBC的棱長為爭

???當(dāng)三棱錐P-A'B'C的體積最大時,正三角形4B'C'的邊長為爭

連接C'H，易知C，H號

設(shè)三棱錐P'-AB'C'的外界球半徑為r,球心為0,

如圖(2),取截面P'C'”分析.易知點。在直線P'H上，連接0C',

圖⑵

則「2=G_^2+(￥)2,解得「二：,

三棱錐P'-4'8'C’的外接球的表面積S=4nr2=n.

故答案為兀.

21.答案:4TT>

12

解析：

本小題主要考查翻折問題，考查空間想象能力和動態(tài)分析能力，屬于中檔題.

可知AC的中點。為四面體D-ABC的外接球球心，從而可得四面體D-ABC的外接球半徑和表面積;

過。作直線DF1AC,交AC于F,交AB與G,過8作BE1DF,交DF于E.計算出DF,EF,BE的長，計

算折疊后DE的長，計算出翻折過程中NDFE經(jīng)過的角度，利用弧長公式計算出。的運動軌跡的長度.

解：取4C的中點0,連接08,0D,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可知。4=OB=0C=。。，

即四面體D-ABC的外接球球心為0,半徑為。4=[4C=[x1,表面積為

S=4?rx1'=4?r.

過。作直線DFJ.AC,交AC于尸，交AB與G,過B作BEJ.DF,交DF于E.

所以點D的運動軌跡是以F為圓心，以O(shè)F為半徑的圓弧，

ZDFE為二面角。-AC-B的平面角.

由于AB=V3,AD=1,所以￡)/7===二。?=三，

AC232

EF=sin^ACBxBC=巫，BE=CF-cos^ACBxBC=1.

2

在翻折過程中，BE1DF,BE1EF,DFC\EF=F,DF,EFu平面DEF,

所以BEJ?平面DEF,由DEu平面DEF,所以BE_LDE.

當(dāng)BD=7時，DE=——BP號,

即三角形DFE為等邊三角形，NDFE==

當(dāng)BO=學(xué)時'DE=v^^=乎'

DF^EF^-DE2

CUM2DFE=o.NDFE得

2DFEF

所以翻折過程中。點運動的圓弧對應(yīng)的圓心角為J:，

故弧長為0.T=巴漁=邈*

6212

22.答案：8x/67r

解析:

本題主要考查了長方體外接球體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

由已知條件設(shè)長方體的外接球的半徑為R即可得（2/?尸=22+22+42=24再解出R,再根據(jù)球的體

積公式計算即可得解.

解:在長方體4BCD-4/16/中，4B=力。=2,441=4,設(shè)長方體的外接球的半徑為R,則（2/?v=

22+22+42=24,

解得R=V6>

則球。的體積為V,1TTR38、而TT.

3

故答案為8v石7T.

23.答案：叵;-

24

解析：

本題考查了幾何體中的截面問題，二面角，球的相關(guān)知識，屬于較難題.

根據(jù)圖形確定球心位置，根據(jù)二面角，三角形知識和勾股定理計算球的半徑，由條件可知過E'且與。E'

垂直的截面圓面積最小，求出截面圓的半徑，即可得解.

解：如圖：

取8。的中點H,連接AH,CH,

則BD1CH,

???NA'HC為二面角A-BD-C的平面角，

故N4HC=120°,

由題意可知△480和^BCD都是邊長為3的等邊三角形，

設(shè)M,N分別是△4'B。和△BCO的中心，過M,N分別作兩平面的垂線,

則垂線的交點就是三棱錐外接球的球心，

vA'H=CH=.一（I?=竽，

：.MH=NH=jCN=?

由^OMHKONH可得40HM=乙OHN=60°,

3

「?ON”，

??.OC=,ON2+NC2=J(|)2+(百)2=寫,即外接球的半徑為亨.

由條件可知過E'且與OE'垂直的截面圓面積最小，

又"=6AE=3V3.

所以AE=^，即E為AH的三等分點，靠近A端，

2

所以

2

由圖可知。E'=VOM2+E'M2=V3?

則OE',與。E'垂直的截面圓半徑，外接球的半徑構(gòu)成直角三角形，

所以修”而二|，

―步斗