2025年高考數(shù)學一輪復習4.1導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算【課件】

必備知識·逐點夯實第一節(jié)導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算第四章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用核心考點·分類突破【課標解讀】【課程標準】1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象,理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).【核心素養(yǎng)】數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象.【命題說明】考向考法高考命題常以導數(shù)的運算和幾何意義為重點考查內(nèi)容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.預測預計2025年高考將會涉及導數(shù)的運算及幾何意義.以客觀題的形式考查導數(shù)的定義,求曲線的切線方程.導數(shù)的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查.必備知識·逐點夯實

斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)微點撥

求曲線的切線時,要分清在點P處的切線與過點P的切線的區(qū)別,前者點P是切點,只有一條切線,而后者點P可以不是切點包括了前者.3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=__f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=_______f(x)=sinxf'(x)=______f(x)=cosxf'(x)=______f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=______f(x)=exf'(x)=___f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x)=lnx0

cosx-sinxaxlnaex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)(1)一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復合函數(shù),記作y=_______.(2)復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為y'x=_______,即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.f(g(x))y'u·u'x微點撥

在復合函數(shù)求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導,不能混淆.

基礎診斷·自測類型辨析改編易錯高考題號13421.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的瞬時變化率.(

)(2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導數(shù)f'(x)=cosx.(

)(3)求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0).(

)(4)曲線y=f(x)在某點處的切線與曲線y=f(x)過某點的切線意義是相同的.(

)

√×××提示:(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,則f'(x)=-cosx.×(3)求f'(x0)時,應先求f'(x),再代入求值.×(4)“在某點”的切線是指以該點為切點的切線,因此此點橫坐標處的導數(shù)值為切線的斜率;而對于“過某點”的切線,則該點不一定是切點,要利用解方程組的思想求切線的方程,在曲線上某點處的切線只有一條,但過某點的切線可以不止一條.×

-1核心考點·分類突破考點一平均變化率與瞬時變化率及導數(shù)的概念1.如圖,函數(shù)y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]這幾個區(qū)間內(nèi),平均變化率最大的一個區(qū)間是(

)A.[x1,x2] B.[x2,x3]C.[x1,x3] D.[x3,x4]

2.(多選題)已知某物體的運動方程為s(t)=7t2+8(0≤t≤5),則(

)A.當1≤t≤3時,該物體的平均速度是28B.該物體在t=4時的瞬時速度是56C.該物體位移的最大值為43D.該物體在t=5時的瞬時速度是70

-3

-2

3.(2023·濟南模擬)已知f(x)=2xlnx-f'(1)x,則f(e)=(

)A.e B.0 C.-e D.-1【解析】選A.f'(x)=2lnx+2-f'(1),令x=1,得f'(1)=2ln1+2-f'(1),解得f'(1)=1,所以f(x)=2xlnx-x,f(e)=2elne-e=e.4.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(3x3-4x)(2x+1);【解析】(1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.

解題技法導數(shù)的運算技巧(1)連乘積形式函數(shù)式求導:先展開化為多項式的形式,再求導.(2)分式形式函數(shù)式求導:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導.(3)對數(shù)形式函數(shù)式求導:先化為和、差的形式,再求導.(4)根式形式函數(shù)式求導:先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,再求導.(5)三角形式函數(shù)式求導:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導.考點三導數(shù)的幾何意義角度1

求切線方程[例1](1)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰已知曲線f(x)=x3-4x2+5x-4.①曲線在點(2,f(2))處的切線方程為____________________;

②曲線過點(2,f(2))的切線方程為______________________.

x-y-4=0x-y-4=0或y+2=0

(2)(2023·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=xln(-x),則曲線y=f(x)在x=-e處的切線方程為_____________.

【解析】易得切點為(-e,-e),f'(x)=ln(-x)+1,則f'(-e)=2,所以切線方程為y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.2x-y+e=0(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程分別為______________,______________.

解題技法求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:第一步:設出切點坐標P'(x1,f(x1));第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.

(0,0)解題技法求切點坐標的思路(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù),再讓導數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標.(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯(lián)立方程組求出切點坐標.

e(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是__________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

解題技法利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組),進而求出參數(shù)的值或取值范圍.提醒:(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.

ln2

類型一

求兩曲線的公切線[例1](2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y=ex-1與y=lnx+1的公共切線,則l的方程為________________.

y=ex-1或y=x

類型二切點相同的公切線問題[例2](2023·金華模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2與g(x)=lnx的圖象在公共點處有共同的切線,則實數(shù)a的值為________.

類型三

切點不同的公切線問題[例3]若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=__________.

1-ln2

對點訓練1.若曲線f(x)=acosx與曲線g(x)=x2+bx+1在交點(0,m)處有公切線,則a+b=(

)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.依題意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b