2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【課件】

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸

納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2024.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建微專題10幾何法求空間角與距離考點(diǎn)分類突破4課時(shí)跟蹤檢測PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.已知直線

l

1⊥平面α，直線

l

2?平面α，則

l

1與

l

2的位置關(guān)系一定成

立的是（

）A.相交B.

垂直C.異面D.

平行解析：

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，則

l

1⊥

l

2，故選B.2.如圖，正方形

SG

1

G

2

G

3中，

E

，

F

分別是

G

1

G

2，

G

2

G

3的中點(diǎn)，

D

是

EF

的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿

SE

，

SF

及

EF

把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面

體，使

G

1，

G

2，

G

3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為

G

，則在四面體

S

-

EFG

中必有（

）A.

SG

⊥△

EFG

所在平面B.

SD

⊥△

EFG

所在平面C.

GF

⊥△

SEF

所在平面D.

GD

⊥△

SEF

所在平面解析：

四面體

S

-

EFG

如圖所示，由

SG

⊥

GE

，

SG

⊥

GF

，且

GE

∩

GF

＝

G

得

SG

⊥△

EFG

所在的平面.故選A.3.已知

AB

是圓柱上底面的一條直徑，

C

是上底面圓周上異于

A

，

B

的

一點(diǎn)，

D

為下底面圓周上一點(diǎn)，且

AD

⊥圓柱的底面，則必有（

）A.平面

ABC

⊥平面

BCD

B.平面

BCD

⊥平面

ACD

C.平面

ABD

⊥平面

ACD

D.平面

BCD

⊥平面

ABD

解析：

因?yàn)?/p>

AB

是圓柱上底面的一條直徑，所以

AC

⊥

BC

，又

AD

垂直于圓柱的底面，所以

AD

⊥

BC

，因?yàn)?/p>

AC

∩

AD

＝

A

，所以

BC

⊥平面

ACD

.

由于

BC

?平面

BCD

.

所以平面

BCD

⊥平面

ACD

.

A.3πB.2πC.π

5.正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的大小為

?.

1.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這

個(gè)平面.2.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.3.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也

垂直.4.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)

平面.5.三垂線定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α內(nèi)的射影為

CO

，

l

?α，

l

⊥

CO

，則

l

⊥

PC

.

6.三垂線定理的逆定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α內(nèi)的射影為

CO

，

l

?α，

l

⊥

PC

，則

l

⊥

CO

.

1.已知

m

和

n

是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給

出的條件中一定能推出

m

⊥β的是（

）A.α⊥β且

m

?αB.

m

⊥

n

且

n

∥βC.

m

∥

n

且

n

⊥βD.

m

⊥

n

且α∥β解析：

由結(jié)論1可知C正確.2.（多選）下列命題為真命題的是（

）A.若兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合B.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也

垂直C.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行D.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)

平面解析：

對(duì)于A，兩個(gè)相交平面有一條交線，交線有無數(shù)個(gè)公

共點(diǎn)，但是這兩個(gè)平面不重合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由結(jié)論3可知正

確；對(duì)于C，由結(jié)論2可知正確；對(duì)于D，由結(jié)論4可知正確，故選

B、C、D.3.（多選）（2024·新高考Ⅱ卷10題）如圖，在正方體中，

O

為底面的

中心，

P

為所在棱的中點(diǎn)，

M

，

N

為正方體的頂點(diǎn).則滿足

MN

⊥

OP

的是（

）解析：

由結(jié)論5易知B、C正確.PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

⊥

AD

，

AC

⊥

CD

，∠

ABC

＝60°，

PA

＝

AB

＝

BC

，

E

是

PC

的

中點(diǎn).證明：（1）

CD

⊥

AE

；證明：在四棱錐

P

-

ABCD

中，∵

PA

⊥底面

ABCD

，

CD

?平面

ABCD

，∴

PA

⊥

CD

，又∵

AC

⊥

CD

，且

PA

∩

AC

＝

A

，∴

CD

⊥平面

PAC

.

又

AE

?平面

PAC

，∴

CD

⊥

AE

.

（2）

PD

⊥平面

ABE

.

證明：由

PA

＝

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝60°，可得

AC

＝

PA

.

∵

E

是

PC

的中點(diǎn)，∴

AE

⊥

PC

.

由（1）知

AE

⊥

CD

，且

PC

∩

CD

＝

C

，∴

AE

⊥平面

PCD

.

又

PD

?平面

PCD

，∴

AE

⊥

PD

.

∵

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

?平面

ABCD

，∴

PA

⊥

AB

.

又∵

AB

⊥

AD

，且

PA

∩

AD

＝

A

，∴

AB

⊥平面

PAD

，又

PD

?平面

PAD

，∴

AB

⊥

PD

.

又∵

AB

∩

AE

＝

A

，∴

PD

⊥平面

ABE

.

解題技法1.證明直線和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直線垂直于平面的傳遞性（

a

∥

b

，

a

⊥α?

b

⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)（

a

⊥α，α∥β?

a

⊥β）；

（4）面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β＝

a

，

l

⊥

a

，

l

?β?

l

⊥α）.2.證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線

面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂

直的基本思路.

在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，點(diǎn)

E

，

F

分別在

A

1

D

，

AC

上，

EF

⊥

A

1

D

，

EF

⊥

AC

，求證：

EF

∥

BD

1.證明：如圖所示，連接

A

1

C

1，

C

1

D

，

B

1

D

1，

BD

.

∵

AC

∥

A

1

C

1，

EF

⊥

AC

，∴

EF

⊥

A

1

C

1.又

EF

⊥

A

1

D

，

A

1

D

∩

A

1

C

1＝

A

1，∴

EF

⊥平面

A

1

C

1

D

，

①∵

BB

1⊥平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

A

1

C

1?平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

∴

BB

1⊥

A

1

C

1.∵四邊形

A

1

B

1

C

1

D

1為正方形，∴

A

1

C

1⊥

B

1

D

1，又

B

1

D

1∩

BB

1＝

B

1，∴

A

1

C

1⊥平面

BB

1

D

1

D

，而

BD

1?平面

BB

1

D

1

D

，∴

A

1

C

1⊥

BD

1.同理

DC

1⊥

BD

1.又

DC

1∩

A

1

C

1＝

C

1，∴

BD

1⊥平面

A

1

C

1

D

，

②由①②可知

EF

∥

BD

1.平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】

（2024·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°.（1）證明：平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

；解：證明：因?yàn)?/p>

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

BC

.

因?yàn)椤?/p>

ACB

＝90°，所以

AC

⊥

BC

.

因?yàn)?/p>

AC

∩

A

1

C

＝

C

，

AC

，

A

1

C

?平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因?yàn)?/p>

BC

?平面

BB

1

C

1

C

，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

.

（2）設(shè)

AB

＝

A

1

B

，

AA

1＝2，求四棱錐

A

1-

BB

1

C

1

C

的高.解：如圖，取棱

AA

1的中點(diǎn)

D

，連接

BD

，

CD

.

因?yàn)?/p>

AB

＝

A

1

B

，所以

AA

1⊥

BD

.

因?yàn)?/p>

BC

⊥平面

ACC

1

A

1，

AA

1?平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥

AA

1.因?yàn)?/p>

BC

∩

BD

＝

B

，

BC

，

BD

?平面

BCD

，所以

AA

1⊥平面

BCD

.

因?yàn)?/p>

CD

?平面

BCD

，所以

AA

1⊥

CD

.

因?yàn)?/p>

AA

1∥

CC

1，所以

CD

⊥

CC

1.又因?yàn)?/p>

CD

⊥

BC

，

BC

∩

CC

1＝

C

，

BC

，

CC

1?平

面

BB

1

C

1

C

，所以

CD

⊥平面

BB

1

C

1

C

.

因?yàn)?/p>

AA

1＝2，所以

CD

＝1.易知

AA

1∥平面

BB

1

C

1

C

，所以四棱錐

A

1-

BB

1

C

1

C

的高為

CD

＝1.解題技法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（

a

⊥β，

a

?α?α⊥β）.2.已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作

交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

（2024·全國乙卷18題）如圖，四面體

ABCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

為

AC

的中點(diǎn).（1）證明：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：證明：因?yàn)?/p>

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

DB

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

CDB

，所以

BA

＝

BC

，又

E

為

AC

的中點(diǎn)，所以

AC

⊥

BE

，

AC

⊥DE

，因?yàn)?/p>

BE

∩

DE

＝

E

，且

BE

，

DE

?平面BED

，所以

AC

⊥平面

BED

，又

AC

?平面

ACD

，所以平面

BED

⊥平面

ACD

.

（2）設(shè)

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，點(diǎn)

F

在

BD

上，當(dāng)△

AFC

的面積

最小時(shí)，求三棱錐

F

-

ABC

的體積.

法一因?yàn)?/p>

DE

⊥

AC

，

DE

⊥

BE

，

AC

∩

BE

＝

E

，所以

DE

⊥平面

ABC

，

法二由（1）知

BD

⊥

AC

，又

BD

⊥

EF

，所以

BD

⊥平面

ACF

，所以

BF

即為

B

到平面

ACF

的距離，

平行與垂直的綜合問題考向1

平行與垂直關(guān)系的證明【例3】在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

AC

，

B

1

C

⊥平面

ABC

，

E

，

F

分別是

AC

，

B

1

C

的中點(diǎn).（1）求證：

EF

∥平面

AB

1

C

1；證明：因?yàn)?/p>

E

，

F

分別是

AC

，

B

1

C

的中點(diǎn)，所以

EF

∥

AB

1.又

EF

?平面

AB

1

C

1，

AB

1?平面

AB

1

C

1，所以

EF

∥平面

AB

1

C

1.（2）求證：平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.證明：因?yàn)?/p>

B

1

C

⊥平面

ABC

，

AB

?平面

ABC

，所以

B

1

C

⊥

AB

.

又

AB

⊥

AC

，

B

1

C

?平面

AB

1

C

，

AC

?平面

AB

1C

，

B

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

AB

⊥平面

AB

1

C

，又因?yàn)?/p>

AB

?平面

ABB

1，所以平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.解題技法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂

直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的綜合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的

綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作

交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.考向2

平行、垂直關(guān)系與幾何體的度量【例4】如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

為平行四邊形，△

PCD

為等邊三角形，平面

PAC

⊥平面

PCD

，

PA

⊥

CD

，

CD

＝2，

AD

＝3.（1）設(shè)

G

，

H

分別為

PB

，

AC

的中點(diǎn)，求證：

GH

∥平面

PAD

；解：證明：連接

BD

，易知

AC

∩

BD

＝

H

，

BH

＝

DH

.

又由

BG

＝

PG

，故

GH

為△

PBD

的中位線，所以

GH

∥

PD

.

又因?yàn)?/p>

GH

?平面

PAD

，

PD

?平面

PAD

，所

以

GH

∥平面

PAD

.

（2）求證：

PA

⊥平面

PCD

；解：證明：取棱

PC

的中點(diǎn)

N

，連接

DN

.

依題意，得

DN

⊥

PC

.

因?yàn)槠矫?/p>

PAC

⊥平面

PCD

，平面

PAC

∩平面

PCD

＝

PC

，

DN

?平面

PCD

，所以

DN

⊥平面

PAC

.

又

PA

?平面

PAC

，所以

DN

⊥

PA

.

又已知

PA

⊥

CD

，

CD

∩

DN

＝

D

，所以

PA

⊥平面

PCD

.

（3）求直線

AD

與平面

PAC

所成角的正弦值.

解題技法1.平行、垂直關(guān)系應(yīng)用廣泛，不僅可以判斷空間線面、面面位置關(guān)

系，而且常用于求空間角和空間距離、體積.2.綜合法求直線與平面所成的角，主要是找出斜線在平面內(nèi)的射影，

其關(guān)鍵是作垂線，找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.

（2024·全國甲卷19題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面

ABCD

是邊長為8（單位：cm）

的正方形，△

EAB

，△

FBC

，△

GCD

，△

HDA

均為正三角形，且它們

所在的平面都與平面

ABCD

垂直.（1）證明：

EF

∥平面

ABCD

；解：證明：如圖，分別取

AB

，

BC

的

中點(diǎn)

M

，

N

，連接

EM

，

FN

，

MN

，∵△

EAB

與△

FBC

均為正三角形，且邊長均為8，∴

EM

⊥

AB

，

FN

⊥

BC

，且

EM

＝

FN

.

又平面

EAB

與平面

FBC

均垂直于平面

ABCD

，平面

EAB

∩平面

ABCD

＝

AB

，平面

FBC

∩平面

ABCD

＝

BC

，

EM

?平面

EAB

，

FN

?平面

FBC

，∴

EM

⊥平面

ABCD

，

FN

⊥平面

ABCD

，∴

EM

∥

FN

，∴四邊形

EMNF

為平行四邊形，∴

EF

∥

MN

.

又

MN

?平面

ABCD

，

EF

?平面

ABCD

，∴

EF

∥平面

ABCD

.

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

PART3微專題10幾何法求空間角與距離幾何法求空間角與距離主要是轉(zhuǎn)化構(gòu)造三角形，即把空間角轉(zhuǎn)化

為平面角，空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解三角形的邊、

角問題.一、幾何法求空間角【例1】

（1）在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝

AA

1，

D

，

E

分別為

AC

，

BC

的中點(diǎn)，則異面直線

C

1

D

與

B

1

E

所成角

的余弦值為（

）（2）如圖，已知正四棱錐

P

-

ABCD

底面邊長為2，側(cè)棱長為4，

M

為側(cè)棱

PC

的中點(diǎn)，則直線

BM

與底面

ABCD

所成角的正弦值為（

）

60°

點(diǎn)評(píng)

幾何法求空間角主要分為3個(gè)步驟：①作（找）角；②證

明這個(gè)角就是要求的角；③計(jì)算.其中作（找）角是關(guān)鍵，對(duì)于

異面直線所成的角，一般是通過平移一條直線直至與另一條直

線相交，從而得到所求角的平面角；對(duì)于線面所成的角，一般

是在直線上找一點(diǎn)，作平面的垂線，連接斜足與垂足得到直線

在平面上的射影，直線與它在該平面上的射影所成的角就是所

求角的平面角；對(duì)于平面與平面所成的角（二面角），一般可

通過定義法、垂面法、垂線法等得到所求角的平面角.

1.在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)

D

是

BC

1與

B

1

C

的交點(diǎn)，則

AD

與平面

BB

1

C

1

C

所成角的正弦值是（

）

2.在正四棱錐

P

-

ABCD

中，

M

為棱

AB

上的點(diǎn)，且

PA

＝

AB

＝2

AM

，

設(shè)平面

PAD

與平面

PMC

的交線為

l

，則異面直線

l

與

BC

所成角的正

切值為

?.

二、幾何法求距離【例2】

（1）如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，

PB

⊥平面

ABCD

，

PB

＝

AB

＝2

BC

＝4，

AB

⊥

BC

，則點(diǎn)

C

到直線

PA

的距離為（

）D.4

（2）如圖所示，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AD

＝

AA

1＝2，

AB

＝4，點(diǎn)

E

是棱

AB

的中點(diǎn)，則點(diǎn)

E

到平面

ACD

1的距離為（

）A.1

點(diǎn)評(píng)

（1）求點(diǎn)線距一般要作出這個(gè)距離，然后利用直角三角

形求解，或利用等面積法求解；（2）求點(diǎn)面距時(shí)，若能夠確定過點(diǎn)與平面垂直的直線，即作出這個(gè)距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點(diǎn)面距，可借助于等體積

法求解.

1.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐

P

-

ABCD

中，側(cè)棱

PA

⊥底面

ABCD

，∠

ABC

＝90°，

PA

＝

AB

＝

BC

＝2，

AD

∥

BC

，則

AD

到平

面

PBC

的距離為

?.

2.如圖，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝4，

AC

＝

BC

＝3，

D

為

AB

的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)

C

到平面

A

1

ABB

1的距離；

（2）若

AB

1⊥

A

1

C

，求二面角

A

1-

CD

-

C

1的余弦值.解：如圖，取線段

A

1

B

1的中點(diǎn)

D

1，連接

DD

1，則

DD

1∥

AA

1∥

CC

1.又由（1）知

CD

⊥平面

A

1

ABB

1，故

CD

⊥

A

1

D

，

CD

⊥

DD

1，所以∠

A

1

DD

1為所求的二面角

A

1-

CD

-

C

1的平面角.

PART4課時(shí)跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.已知平面α，直線

m

，

n

，若

n

?α，則“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的

（

）A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

由

n

?α，

m

⊥

n

，不一定得到

m

⊥α；反之，由

n

?α，

m

⊥α，可得

m

⊥

n

.∴若

n

?α，則“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的必要不充

分條件.2.如圖，在斜三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，∠

BAC

＝90°，

BC

1⊥

AC

，則

C

1在底面

ABC

上的射影

H

必在（

）A.直線

AB

上B.

直線

BC

上C.直線

AC

上D.△

ABC

內(nèi)部解析：

連接

AC

1（圖略），由

AC

⊥

AB

，

AC

⊥

BC

1，

AB

∩

BC

1＝

B

，得

AC

⊥平面

ABC

1.∵

AC

?平面

ABC

，∴平面

ABC

1⊥平面

ABC

，∴

C

1在平面

ABC

上的射影

H

必在兩平面的交線

AB

上.3.（2024·九省聯(lián)考）設(shè)α，β是兩個(gè)平面，

m

，

l

是兩條直線，則下列

命題為真命題的是（

）A.若α⊥β，

m

∥α，

l

∥β，則

m

⊥

l

B.若

m

?α，

l

?β，

m

∥

l

，則α∥βC.若α∩β＝

m

，

l

∥α，

l

∥β，則

m

∥

l

D.若

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥

l

，則α⊥β解析：

如圖，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

對(duì)于A：設(shè)平面α為平面

ABCD

，平面β為平面

ADD

1

A

1，

m

＝

B

1

C

1，

l

＝

BC

，

m

∥α，

l

∥β，α⊥β，

但

m

∥

l

，故A錯(cuò)；對(duì)于B：

m

＝

BC

，平面α為平面

ABCD

，

l

＝

AD

，平面β為平面

ADD

1

A

1，此時(shí)

m

?α，

l

?β，

m

∥

l

，但α與β不平行，B錯(cuò)；對(duì)于D：平面α為平面

ABCD

，平面β為平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

m

＝

AA

1，

l

＝

BB

1，此時(shí)

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥l

，但α與β平行不垂直，D錯(cuò).4.如圖，設(shè)平面α∩平面β＝

PQ

，

EG

⊥平面α，

FH

⊥平面α，垂足分

別為

G

，

H

.

為使

PQ

⊥

GH

，則需增加的一個(gè)條件是（

）A.

EF

⊥平面αB.

EF

⊥平面βC.

PQ

⊥

GE

D.

PQ

⊥

FH

解析：

因?yàn)?/p>

EG

⊥平面α，

PQ

?平面α，所以

EG

⊥

PQ

.

若

EF

⊥

平面β，則由

PQ

?平面β，得

EF

⊥

PQ

.

又

EG

與

EF

為相交直線，所

以

PQ

⊥平面

EFHG

，所以

PQ

⊥

GH

.

5.（多選）如圖，在三棱錐

V

-

ABC

中，

VO

⊥平面

ABC

，

O

∈

CD

，

VA

＝

VB

，

AD

＝

BD

，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A.

AC

＝

BC

B.

AB

⊥

VC

C.

VC

⊥

VD

D.

S

△

VCD

·

AB

＝

S

△

ABC

·

VO

6.（多選）如圖，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝

AB

＝4，

BC

＝2，

M

，

N

分別為棱

C

1

D

1，

CC

1的中點(diǎn)，則（

）A.

A

，

M

，

N

，

B

四點(diǎn)共面B.平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1C.直線

BN

與

B

1

M

所成的角為60°D.

BN

∥平面

ADM

解析：

如圖所示，對(duì)于A中，直線

AM

，

BN

是

異面直線，故

A

，

M

，

N

，

B

四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，可得

AD

⊥平面

CDD

1

C

1，所以平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1，

故B正確；對(duì)于C中，取

CD

的中點(diǎn)

O

，連接

BO

，

ON

，則

B

1

M

∥

BO

，所以直線

BN

與

B

1

M

所成的角為∠

NBO

（或

其補(bǔ)角）.易知△

BON

為等邊三角形，所以∠

NBO

＝60°，故C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?/p>

BN

∥平面

AA

1

D

1

D

，顯然

BN

與平面

ADM

不平行，故D錯(cuò)誤.

8.如圖，在四棱錐

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

為矩形，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

E

，

F

分別為

AD

，

PB

的中點(diǎn).（1）求證：

PE

⊥

BC

；證明：因?yàn)?/p>

PA

＝

PD

，

E

為

AD

的中點(diǎn)，所以

PE

⊥

AD

.

因?yàn)榈酌?/p>

ABCD

為矩形，所以

BC

∥

AD

，所以

PE

⊥

BC

.

（2）求證：平面

PAB

⊥平面

PCD

；證明：因?yàn)榈酌?/p>

ABCD

為矩形，所以

AB⊥

AD

.

又因?yàn)槠矫?/p>

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

AB

?平面

ABCD

，所以

AB

⊥平面

PAD

，因?yàn)?/p>

PD

?平面

PAD

，所以

AB

⊥

PD

.

又因?yàn)?/p>

PA

⊥

PD

，

AB

∩

PA

＝

A

，所以

PD

⊥平面

PAB

.

因?yàn)?/p>

PD

?平面

PCD

，所以平面

PAB

⊥平面

PCD

.

（3）求證：

EF

∥平面

PCD

.

9.在空間四邊形

ABCD

中，平面

ABD

⊥平面

BCD

，且

DA

⊥平面

ABC

，則△

ABC

的形狀是（

）A.銳角三角形B.

直角三角形C.鈍角三角形D.

不能確定解析：

作

AE

⊥

BD

，交

BD

于

E

，∵平面

ABD

⊥平面

BCD

，∴

AE

⊥平面

BCD

，

BC

?平面

BCD

，∴

AE

⊥

BC

，而

DA

⊥平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，∴

DA

⊥

BC

，又∵

AE

∩

AD

＝

A

，∴

BC

⊥平面

ABD

，而

AB

?平面

ABD

，∴

BC

⊥

AB

，即△

ABC

為直角三角形.10.（2024·全國乙卷7題）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別

為

AB

，

BC

的中點(diǎn)，則（

）A.平面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1B.平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

C.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

AC

D.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

C

1

D

解析：

如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，因?yàn)?/p>

E

，

F

分別為

AB

，

BC

的中

點(diǎn)，所以

EF

∥

AC

，又

AC

⊥

BD

，所以

EF

⊥

BD

，又易知

DD

1⊥

EF

，

BD

∩

DD

1＝

D

，從而

EF

⊥平面

BDD

1，又

EF

?平面

B

1

EF

，所以平

面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選

項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?/p>

A

1

BD

∩平面

BDD

1＝

BD

，所以由選項(xiàng)A知，平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知直線

AA

1與直線

B

1

E

必相交，故平面

B

1

EF

與平面

A

1

AC

不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，連接

AB

1，

B

1

C

，易知平面

AB

1

C

∥平面

A

1

C

1

D

，又平面

AB

1

C

與平面

B

1

EF

有公共點(diǎn)

B

1，所以平面

A

1

C

1

D

與平面

B

1

EF

不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.11.（多選）如圖，四棱錐

P

-

ABCD

的底面為矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

AD

＝1，

PD

＝

AB

＝2，點(diǎn)

E

是

PB

的中點(diǎn)，過

A

，

D

，

E

三點(diǎn)的平面α與平面

PBC

的交線為

l

，則（

）A.

l

∥平面

PAD

B.

AE

∥平面

PCD

12.（2024·威海模擬）如圖，在四棱錐

S

-

ABCD

中，底面四邊形

ABCD

為矩形，

SA

⊥平面

ABCD

，

P

，

Q

分別是線段

BS

，

AD

的中

點(diǎn)，點(diǎn)

R

在線段

SD

上.若

AS

＝4，

AD

＝2，

AR

⊥

PQ

，則

AR

＝

?

?.?

13.如圖，矩形

ABCD

中，

AB

＝1，

BC

＝

a

，

PA

⊥平面

ABCD

，若在

BC

上只有一個(gè)點(diǎn)

Q

滿足

PQ

⊥

DQ

，則

a

＝

?.2解析：如圖，連接

AQ

，取

AD

的中點(diǎn)

O

，連接

OQ

.

∵

PA

⊥平面

ABCD

，∴

PA

⊥

DQ

，又

PQ

⊥

DQ

，∴

DQ

⊥平面

PAQ

，∴

DQ

⊥

AQ

.

∴點(diǎn)

Q

在以線段

AD

的中點(diǎn)

O

為圓心，

AD

為

直徑的圓上，又∵在

BC

上有且僅有一個(gè)點(diǎn)

Q

滿足

PQ

⊥

DQ

，

∴

BC

與圓

O

相切（否則相交就有兩點(diǎn)滿足垂直，矛盾），∴

OQ

⊥

BC

，∵

AD

∥

BC

，∴

OQ

＝

AB

＝1，∴

BC

＝

AD

＝2，即

a

＝2.14.在四棱錐

P

-

ABCD

中，平面

ABCD

⊥平面

PCD

，底面

ABCD

為梯

形，

AB

∥