高考數(shù) 五高考真題分類匯編 第五章 數(shù)列專題匯編 理

五年高考真題分類匯編：數(shù)列一.選擇題1.（·福建高考理）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是()A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qmB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm【解析】選C本題考查等比數(shù)列的定義與通項公式、等差數(shù)列前n項和的公式等基礎(chǔ)知識，意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應(yīng)用能力和運算求解能力．等比數(shù)列{an}的通項公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aeq\o\al(m,1)qm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aeq\o\al(m,1)qm2(n－1)＋eq\f(m－11＋m－1,2)＝aeq\o\al(m,1)qm2(n－1)＋eq\f(m－1m,2)，因為eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(a\o\al(m,1)qnm2＋\f(m－1m,2),a\o\al(m,1)qm2n－1＋\f(m－1m,2))＝qm2，所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2.2．（·遼寧高考理）下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，【解析】選D本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列單調(diào)性的判斷，意在以數(shù)列為載體，考查考生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的掌握情況．設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但eq\f(an,n)＝1＋eq\f(1,n)是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．3．（·新課標Ⅰ高考理）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()A．3 B．4C．5 【解析】選C本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式，意在考查考生通過等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式求解基本量的能力．根據(jù)已知條件，得到am和am＋1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關(guān)于a1和m的方程組求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差數(shù)列的公差為d＝am＋1－am＝3－2＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am＝a1＋m－1d＝2，,Sm＝a1m＋\f(1,2)mm－1d＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋m－1＝2，,a1m＋\f(1,2)mm－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,m＝5，))選C.4．（·新課標Ⅰ高考理）設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，則()A．{Sn}為遞減數(shù)列B.{Sn}為遞增數(shù)列 C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列【解析】選B本題考查三角形面積公式和歸納推理等知識，意在考查考生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，對考生的歸納推理能力、邏輯思維能力要求較高．已知b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1，故b2＝eq\f(c1＋a1,2)＝eq\f(3,4)c1＋eq\f(1,4)b1＜b1，c2＝eq\f(b1＋a1,2)＝eq\f(3,4)b1＋eq\f(1,4)c1＞c1，b2＋c2＝a1＋eq\f(b1＋c1,2)＝2a1，b2－c2＝eq\f(c1－b1,2)＜0，即b2＜c2，b2c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c1＋\f(1,4)b1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b1＋\f(1,4)c1))＝eq\f(3,16)(b1＋c1)2＋eq\f(1,4)b1c1＞b1c1.又a3＝a2＝a1，所以b3＝eq\f(c2＋a2,2)＝eq\f(3,4)c2＋eq\f(1,4)b2＜b2，c3＝eq\f(b2＋a2,2)＝eq\f(3,4)b2＋eq\f(1,4)c2＞c2，b3＋c3＝eq\f(c2＋a2,2)＋eq\f(b2＋a2,2)＝2a2＝2a1，b3－c3＝eq\f(3,4)c2＋eq\f(1,4)b2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b2＋\f(1,4)c2))＝eq\f(c2－b2,2)＞0，即b3＞c3，b3c3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c2＋\f(1,4)b2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)b2＋\f(1,4)c2))＝eq\f(3,16)(b2＋c2)2＋eq\f(1,4)b2c2＞b2c2＞b1c1.又△AnBnCn的面積為Sn＝eq\r(pp－anp－bnp－cn)＝eq\r(pp－an[p2－bn＋cnp＋bncn])，其中p＝eq\f(1,2)(an＋bn＋cn)，p(p－an)和p2－(bn＋cn)p都為定值，bncn逐漸遞增，所以數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，選擇B. 5．（·新課標Ⅱ高考理）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)【解析】選C本題考查等比數(shù)列的基本知識，包括等比數(shù)列的前n項和及通項公式，屬于基礎(chǔ)題，考查考生的基本運算能力．由題知q≠1，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝eq\f(1,9)，故選C.6．（·江西高考理）等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12【解析】選A本題考查等比數(shù)列的通項以及等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查考生的運算能力及對基礎(chǔ)知識的掌握情況．由等比數(shù)列的前三項為x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此時3x＋3＝0，不合題意，舍去)，故該等比數(shù)列的首項x＝－3，公比q＝eq\f(3x＋3,x)＝2，所以第四項為(6x＋6)×q＝－24.7．（·大綱卷高考理）已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項和等于()A．－6(1－3－10)B.eq\f(1,9)(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)【解析】選C本題考查等比數(shù)列的定義和前n項和公式．由3an＋1＋an＝0得an＋1＝－eq\f(1,3)an，所以{an}為等比數(shù)列，公比為－eq\f(1,3)，由a2＝－eq\f(4,3)得a1＝4，所以由等比數(shù)列前n項和公式得S10＝3(1－3－10)，故選C.8．（·安徽高考理）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝A．－6B．－4C．－2【解析】選A本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識和基本運算，意在考查考生的運算求解能力．根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a99．（·大綱卷高考理）已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項和等于()A．－6(1－3－10)B.eq\f(1,9)(1－310)C．3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【解析】選C本題主要考查等比數(shù)列的判定、等比數(shù)列的前n項和公式．因為3an＋1＋an＝0，即eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，又a2＝－eq\f(4,3)，所以數(shù)列{an}是以a1＝4為首項，q＝－eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列，所以S10＝eq\f(41－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝31－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10＝3(1－3－10)．10．（·新課標Ⅰ高考理）設(shè)首項為1，公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an【解析】選D本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式，對基本計算能力有一定要求．由等比數(shù)列前n項和公式Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，代入數(shù)據(jù)可得Sn＝3－2an.11．（·遼寧高考文）下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，【解析】選D本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列單調(diào)性的判斷，意在以數(shù)列為載體，考查考生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的掌握情況．設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但eq\f(an,n)＝1＋eq\f(1,n)是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題．12．（·重慶高考理）在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝5，則{an}的前5項和S5＝()A．7B．15C．20【解析】選B數(shù)列{an}的公差d＝eq\f(5－1,2)＝2，則a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15.13．（·遼寧高考理）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝()A．58B．88C．143【解析】選B因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝88.14．（·四川高考理）設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－cosx，{an}是公差為eq\f(π,8)的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，則[f(a3)]2－a1a5＝()A．0B.eq\f(1,16)π2C.eq\f(1,8)π2D.eq\f(13,16)π2【解析】選D設(shè)g(x)＝2x＋sinx，由已知等式得g(a1－eq\f(π,2))＋g(a2－eq\f(π,2))＋…＋g(a5－eq\f(π,2))＝0，則必有a3－eq\f(π,2)＝0，即a3＝eq\f(π,2)(否則若a3－eq\f(π,2)>0，則有(a1－eq\f(π,2))＋(a5－eq\f(π,2))＝(a2－eq\f(π,2))＋(a4－eq\f(π,2))＝2(a3－eq\f(π,2))>0，注意到g(x)是遞增的奇函數(shù)，g(a3－eq\f(π,2))>0，g(a1－eq\f(π,2))>g[－(a5－eq\f(π,2))]＝－g(a5－eq\f(π,2))，g(a1－eq\f(π,2))＋g(a5－eq\f(π,2))>0，同理g(a2－eq\f(π,2))＋g(a4－eq\f(π,2))>0，g(a1－eq\f(π,2))＋g(a2－eq\f(π,2))＋…＋g(a5－eq\f(π,2))>0，這與“g(a1－eq\f(π,2))＋g(a2－eq\f(π,2))＋…＋g(a5－eq\f(π,2))＝0”相矛盾，因此a3－eq\f(π,2)>0不可能；同理a3－eq\f(π,2)<0也不可能)；又{an}是公差為eq\f(π,8)的等差數(shù)列，a1＋2×eq\f(π,8)＝eq\f(π,2)，a1＝eq\f(π,4)，a5＝eq\f(3π,4)，f(a3)＝f(eq\f(π,2))＝π－coseq\f(π,2)＝π，[f(a3)]2－a1a5＝eq\f(13,16)π2.15．（·上海高考理）設(shè)an＝eq\f(1,n)sineq\f(nπ,25)，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是()A．25B．50C．75【解析】選D由數(shù)列通項可知，當(dāng)1≤n≤25，n∈N*時，an≥0，當(dāng)26≤n≤50，n∈N*時，an≤0，因為a1＋a26>0，a2＋a27>0，…，所以S1，S2，…，S50都是正數(shù)；當(dāng)51≤n≤100，n∈N*時，同理S51，S52，…，S100也都是正數(shù)，所以正數(shù)的個數(shù)是100.16．（·大綱卷高考理）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100項和為()A.eq\f(100,101)B.eq\f(99,101)C.eq\f(99,100)D.eq\f(101,100)【解析】選A設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋4d＝5，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以S100＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)－eq\f(1,101)＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101).17．（·湖北高考理）定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：①f(x)＝x2;②f(x)＝2x；③f(x)＝eq\r(|x|)；④f(x)＝ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則{aeq\o\al(2,n)}的公比為q2，{eq\r(|an|)}的公比為eq\r(|q|)，其余的數(shù)列不是等比數(shù)列．18．（·浙江高考理）設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是()A．若d＜0，則數(shù)列{Sn}有最大項B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d＜0C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn＞0D．若對任意n∈N*，均有Sn＞0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列【解析】選CA、B、D均正確，對于C，若首項為－1，d＝2時就不成立．19．（·福建高考理）等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，則數(shù)列{an}的公差()A．1B．2C．3【解析】選B在等差數(shù)列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴20．（·安徽高考理）公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a3a11＝16，則log2a10＝A．4B．5C．6【解析】選B由題意可知a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝16，因為{an}為正項等比數(shù)列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5.21．（·新課標高考理）已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a＝()A．7B．5C．－5【解析】選D設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5·a6＝a4·a7＝－8，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,q3＝－\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q3＝－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,a10＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a10＝－8，))所以a1＋a10＝－7.22．（·湖北高考文）定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝eq\r(|x|)；④f(x)＝ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】選C根據(jù)“保等比數(shù)列函數(shù)”的概念逐個判斷．若{an}是等比數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}，{eq\r(|an|)}也是等比數(shù)列，{2an}不一定是等比數(shù)列，{ln|an|}不一定是等比數(shù)列．23．（·四川高考文）設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝()A．0B．7C．14【解析】選D∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋(a2－3)＋…＋(a7－3)＋14＝14，∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1－3)＋…＋(a7－3)＝0.∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)＝0.∵(a1－3)3＋(a7－3)3＝(a1＋a7－6)[(a1－3)2＋(a7－3)2－(a1－3)(a7－3)]＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]，其中該數(shù)列公差為d.同理(a2－3)3＋(a6－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]，(a3－3)3＋(a5－3)3＝2(a4－3)[(a4－3)2＋3d2]．∴(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋7(a4－3)＝2(a4－3)[(a4－3)2＋27d2]＋2(a4－3)[(a4－3)2＋12d2]＋2(a4－3)[(a4－3)3＋3d2]＋(a4－3)3＋7(a4－3)＝(a4－3)[7(a4－3)2＋84d2＋7]＝0.∵d≠0，∴7(a4－3)2＋84d2＋7≠0.∴a4－3＝0，a4＝3.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a424．（·遼寧高考文）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝()A．12B．16C．20【解析】選B因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.25．（·福建高考文）數(shù)列{an}的通項公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項和為Sn，則S2012等于()A．1006B．2012C．503【解析】選A由題意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2012＝503×2＝1006.26．（·安徽高考文）公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且a3a11＝16，則a＝()A．1B．2C．4【解析】選A因為a3a11＝aeq\o\al(2,7)，又數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，求得a5＝1.27．（·北京高考文）已知{an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)1＋a3≥2a2B．a(chǎn)eq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)≥2aeq\o\al(2,2)C．若a1＝a3，則a1＝a2D．若a3>a1，則a4>a2【解析】選B設(shè)公比為q，對于選項A，當(dāng)a1<0，q≠1時不正確；選項C，當(dāng)q＝－1時不正確；選項D，當(dāng)a1＝1，q＝－2時不正確；選項B正確，因為aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)≥2a1a3＝2aeq\o\al(2,2).28．（·大綱卷高考文）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()A．2n－1B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1D.eq\f(1,2n－1)【解析】選B令n＝1，則得a2＝eq\f(1,2)，故S2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，然而22－1＝2≠eq\f(3,2)，故選項A錯．(eq\f(3,2))2－1＝eq\f(3,2).(eq\f(2,3))2－1＝eq\f(2,3)≠eq\f(3,2)，故選項C錯.eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,2)≠eq\f(3,2)，故選項D錯．29．（·新課標高考文）數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為()A．3690B．3660C．1845【解析】選D不妨令a1＝1，根據(jù)題意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)時構(gòu)成以a2＝2為首項，以4為公差的等差數(shù)列．所以前60項和為S60＝30＋2×30＋eq\f(30×30－1,2)×4＝1830.30．（·大綱卷高考）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝()A．8B．7C．6【解析】選D依題意得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝2(2k＋1)＋2＝24，解得k31．（·江西高考）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()A．1B．9C．10【解析】選A由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.32．（·四川高考）數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝()A．0B．3C．8【解析】選B因為{bn}是等差數(shù)列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝eq\f(12－－2,10－3)＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8，所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.33．（·天津高考）已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為()A．－110B．－90C．90【解析】選D因為a7是a3與a9的等比中項，所以aeq\o\al(2,7)＝a3a9，又因為公差為－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通項公式為an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5(20＋2)＝110，故選擇D.34.（·浙江高考理）設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，則（）A.11B.5C.【解析】選D通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選D.35.（·遼寧高考理）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和.已知a2a4=1,,則（）A.B.C.D.【解析】選B由a2a4=1可得，因此，又因為，聯(lián)力兩式有，所以q=,所以，故選B.36.（·浙江高考文）設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，則（）A.-11 B.-8C.5 D.11【解析】選A通過，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選A.37.（·四川高考理）已知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則（）A.0B.C.1D.2【解析】選B由,且，作差得an＋2＝2an＋1，又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2故{an}是公比為2的等比數(shù)列.Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2則38.（·天津高考理）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（）A.或5B.或5C.D.【解析】選C顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，前5項和.39.（·廣東高考理）已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和.若，且與2的等差中項為，則=（）A．35B.33C.31【解析】選C設(shè){}的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即.由與2的等差中項為知，，即．∴，即．，即．40.（·福建高考理）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,則當(dāng)取最小值時,n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】選A設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時，取最小值.41．（·廣東高考）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】選C由得，，則，，選C.42．（·遼寧高考）設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為，若=3，則=（）Ａ．2B.C.D.3【答案】選B，，.二.填空題43．（·湖南高考理）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝(－1)nan－eq\f(1,2n)，n∈N*，則(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.【解析】本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識，考查推理論證能力及分類討論思想．(1)當(dāng)n＝1時，S1＝(－1)a1－eq\f(1,2)，得a1＝－eq\f(1,4).當(dāng)n≥2時，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－eq\f(1,2n).當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn－1＝－eq\f(1,2n)，當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝eq\f(1,2)Sn－1－eq\f(1,2n＋1)，從而S1＝－eq\f(1,4)，S3＝－eq\f(1,16)，又由S3＝eq\f(1,2)S2－eq\f(1,24)＝－eq\f(1,16)，得S2＝0，則S3＝S2＋a3＝a3＝－eq\f(1,16).(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－eq\f(1,22)－eq\f(1,24)－eq\f(1,26)－…－eq\f(1,2100)，S101＝－eq\f(1,2102)，又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋eq\f(1,23)＋2S5＋eq\f(1,25)＋2S7＋eq\f(1,27)＋…＋2S101＋eq\f(1,2101)＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2100)－1)).【答案】－eq\f(1,16)eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2100)－1))44．（·遼寧高考理）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________.【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式，意在考查考生對等比數(shù)列公式的運用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6【答案】6345.（·安徽高考理）如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式是________．【解析】本題考查由數(shù)列遞推求通項、三角形相似以及平行線分線段成比例等知識．令S△OA1B1＝m(m>0)，因為所有AnBn平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形AnBnBn＋1An＋1＝S梯形A1B1B2A2＝3m，當(dāng)n≥2時，eq\f(an,an－1)＝eq\f(OAn,OAn－1)＝eq\r(\f(m＋n－1×3m,m＋n－2×3m))＝eq\r(\f(3n－2,3n－5))，故aeq\o\al(2,n)＝eq\f(3n－2,3n－5)aeq\o\al(2,n－1)，aeq\o\al(2,n－1)＝eq\f(3n－5,3n－8)aeq\o\al(2,n－2)，aeq\o\al(2,n－2)＝eq\f(3n－8,3n－11)aeq\o\al(2,n－3)，…aeq\o\al(2,2)＝eq\f(4,1)aeq\o\al(2,1)，以上各式累乘可得：aeq\o\al(2,n)＝(3n－2)aeq\o\al(2,1)，因為a1＝1，所以an＝eq\r(3n－2).【答案】an＝eq\r(3n－2)46．（·重慶高考理）已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________.【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運算，意在考查考生的基本運算能力．因為{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8【答案】6447．（·新課標Ⅰ高考理）若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則{an}的通項公式是an＝________.【解析】本題考查等比數(shù)列的定義、Sn與an之間的關(guān)系，意在考查考生利用分類討論思想和等比數(shù)列的定義求解an的能力．求解本題時，按照n＝1和n≥2兩種情況分類解答，當(dāng)n≥2時，由已知得到Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，然后作差得an的表達形式，再利用等比數(shù)列的定義和通項公式求解．當(dāng)n＝1時，由已知Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，得a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，即a1＝1；當(dāng)n≥2時，由已知得到Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，所以an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an＋\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－1＋\f(1,3)))＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1,所以an＝－2an－1，所以數(shù)列{an}為以1為首項，以－2為公比的等比數(shù)列，所以an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－148.（·新課標Ⅱ高考理）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．【解析】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式以及通過轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性等知識，對學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、計算等能力要求較高．由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝0，,S15＝15a1＋\f(15×14,2)d＝25，))解得a1＝－3，d＝eq\f(2,3)，那么nSn＝n2a1＋eq\f(n2n－1,2)d＝eq\f(n3,3)－eq\f(10n2,3).由于函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(10x2,3)在x＝eq\f(20,3)處取得極小值，因而檢驗n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49.∴nSn的最小值為－49.【答案】－4949．（·北京高考理）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項和Sn＝________.【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查方程思想以及考生的運算求解能力．由題意知q＝eq\f(a3＋a5,a2＋a4)＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.【答案】22n＋1－250．（·廣東高考理）在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7【解析】本題主要考查等差數(shù)列，考查考生的運算能力．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可快速求解．因為a3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8【答案】2051．（·湖北高考理）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形數(shù)N(n,4)＝n2，五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n，……可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________.【解析】本題主要考查數(shù)列的相關(guān)知識，意在考查考生對等差數(shù)列的定義、通項公式的掌握程度．N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中數(shù)列{ak}是以eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bk}是以eq\f(1,2)為首項，－eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列；所以N(n,24)＝11n2－10n，當(dāng)n＝10時，N(10,24)＝11×102－10×10＝1000.【答案】100052．（·北京高考文）若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項和Sn＝________.【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，意在考查考生的計算能力．由題知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＋a1q3＝20，,a1q2＋a1q4＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝2，))故Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.【答案】22n＋1－253．（·重慶高考文）若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________.【解析】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算．設(shè)公差為d，則d＝eq\f(9－2,5－1)＝eq\f(7,4)，所以c－a＝2d＝eq\f(7,2).54．（·江蘇高考文）在正項等比數(shù)列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．【解析】本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生的運算能力．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)．由a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3，可得eq\f(1,2)(q＋q2)＝3，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，所以an＝2n－6，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－5－2－5，所以a1a2…an＝(a1an)eq\f(n,2)＝2eq\f(nn－11,2)，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an可得2n－5－2－5>2eq\f(nn－11,2)，由2n－5>2eq\f(nn－11,2)，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時，28－2－5>213不成立，所以n的最大值為12.【答案】1255．（·江西高考文）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．【解析】本題主要考查等比數(shù)列的概念與前n項和等基礎(chǔ)知識，考查實際建模的能力以及分析、解決問題的能力．設(shè)每天植樹的棵數(shù)組成的數(shù)列為{an}，由題意可知它是等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，所以由題意可得eq\f(21－2n,1－2)≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.【答案】656．（·廣東高考文）設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.【解析】本題主要考查等比數(shù)列通項等知識，意在考查考生的運算求解能力．依題意得a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.【答案】1557．（·遼寧高考文）已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________.【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式，意在考查考生對等比數(shù)列公式的運用，以及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用情況．由題意得，a1＋a3＝5，a1a3＝4，由數(shù)列是遞增數(shù)列得，a1＝1，a3＝4，所以q＝2，代入等比數(shù)列的求和公式得S6【答案】6358．（·廣東高考理）已知遞增的等差數(shù)列|an|滿足a1＝1，a3＝a22－4，則an＝________.【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a3＝a1＋d2－4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,1＋2d＝1＋d2－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝±2.))由于等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.【答案】2n－159．（·江西高考理）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________.【解析】法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二：∵2a3＝a1＋a5,2b3＝b1＋b5∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.【答案】3560．（·上海高考理）有一列正方體，棱長組成以1為首項、eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，…，Vn，…，則lim,n→∞(V1＋V2＋…＋Vn)＝________.【解析】由條件可得正方體的體積組成以1為首項、eq\f(1,8)為公比的等比數(shù)列，所以原式＝eq\f(1,1－\f(1,8))＝eq\f(8,7).【答案】eq\f(8,7)61．（·四川高考理）記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1，設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1＝a，xn＋1＝[eq\f(xn＋[\f(a,xn)],2)](n∈N*)．現(xiàn)有下列命題：①當(dāng)a＝5時，數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2；②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時總有xn＝xk；③當(dāng)n≥1時，xn>eq\r(a)－1；④對某個正整數(shù)k，若xk＋1≥xk，則xk＝[eq\r(a)]．其中的真命題有__________．(寫出所有真命題的編號)【解析】對于①，當(dāng)a＝5時，x1＝5，x2＝[eq\f(5＋1,2)]＝3，x3＝[eq\f(3＋[\f(5,3)],2)]＝2，因此①正確．對于②，當(dāng)a＝3時，x1＝3，x2＝2，x3＝1，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝1，…，此時數(shù)列{xn}除第一項外，從第二項起以后的項是以2為周期重復(fù)性出現(xiàn)的，此時不存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時，總有xn＝xk，②不正確．對于③，注意到xn∈N*，且x1＝a，x1－(eq\r(a)－1)＝a－eq\r(a)＋1＝(eq\r(a)－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，即x1>eq\r(a)－1，若xn＋[eq\f(a,xn)]是正奇數(shù)，則xn＋1＝eq\f(xn＋[\f(a,xn)]－1,2)>eq\f(xn＋\f(a,xn)－2,2)≥eq\f(2\r(a)－2,2)＝eq\r(a)－1；若xn＋[eq\f(a,xn)]是正偶數(shù)，則xn＋1＝eq\f(xn＋[\f(a,xn)],2)>eq\f(xn＋\f(a,xn)－2,2)≥eq\f(2\r(a)－2,2)＝eq\r(a)－1，綜上所述，當(dāng)n≥1時，xn>eq\r(a)－1成立，因此③正確．對于④，依題意得知xk＋1－xk≥0，eq\f(xk＋[\f(a,xk)],2)－xk≥0，即[eq\f(a,xk)]－xk≥0，eq\f(a,xk)－xk≥[eq\f(a,xk)]－xk≥0，eq\f(a,xk)－xk≥0，xk≤eq\r(a)；又由③得知xk>eq\r(a)－1，于是有eq\r(a)－1<xk≤eq\r(a)，因此有xk＝[eq\r(a)]，④正確．綜上所述，其中的真命題是①③④.62．（·遼寧高考理）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.【解析】由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或eq\f(1,2)，由aeq\o\al(2,5)＝a10＝a1q9>0?a1>0，又數(shù)列{an}遞增，所以q＝2.aeq\o\al(2,5)＝a10>0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.【答案】2n63．（·北京高考理）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝eq\f(1,2)代入得d＝eq\f(1,2)，所以a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(1,4)n(n＋1)．【答案】1eq\f(1,4)n(n＋1)64．（·浙江高考理）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則【解析】∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2解得q＝－1(舍去)或q＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)65．（·福建高考理）數(shù)列{an}的通項公式an＝ncoseq\f(nπ,2)＋1，前n項和為Sn，則S2012＝________.【解析】∵an＝ncoseq\f(nπ,2)＋1，∴a1＋a2＋a3＋a4＝6，a5＋a6＋a7＋a8＝6，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝6，k∈N，故S2012＝503×6＝3018.【答案】301866．（·新課標高考理）數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________．【解析】由an＋1＋(－1)nan＝2n－1得an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1＝(－1)n[(－1)n－1an＋2n－1]＋2n＋1＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1，即an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1，①也有an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3，②①②兩式相加得an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4.設(shè)k為整數(shù)，則a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1)4k＋1＋4(4k＋1)＋4＝16k＋10，于是S60＝eq\i\su(k＝0,14,)(a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)＝eq\i\su(k＝0,14,)(16k＋10)＝1830.【答案】183067．（·湖北高考文）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}．可以推測：(1)b是數(shù)列{an}中的第________項；(2)b2k－1＝________.(用k表示)【解析】求出數(shù)列{an}，{bn}的通項公式．由題意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述規(guī)律可知：b2k＝a5k＝eq\f(5k5k＋1,2)(k為正整數(shù))，b2k－1＝a5k－1＝eq\f(5k－15k－1＋1,2)＝eq\f(5k5k－1,2)，故b2012＝b2×1006＝a5×1006＝a5030，即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.【答案】(1)5030；(2)eq\f(5k5k－1,2)68．（·遼寧高考文）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________.【解析】因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以2(an＋an＋2)＝5an＋1可變?yōu)?(1＋q2)＝5q，也就是2q2－5q＋2＝0，因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且a1>0，所以q>1，解方程得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．【答案】269．（·江蘇高考文）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是________．【解析】由題意得an＝(－3)n－1，易知前10項中奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以小于8的項為第一項和偶數(shù)項，共6項，即6個數(shù)，所以p＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)70．（·上海高考文）已知f(x)＝eq\f(1,1＋x).各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，則a20＋a11的值是________．【解析】由題知an＋2＝eq\f(1,1＋an)，又a2010＝a2012＝eq\f(1,1＋a2010)，∴aeq\o\al(2,2010)＋a2010＝1，又an>0，∴a2010＝eq\f(\r(5)－1,2)，又a2010＝eq\f(1,1＋a2008)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴a2008＝eq\f(\r(5)－1,2)，同理可得a2006＝…＝a20＝eq\f(\r(5)－1,2)，又a1＝1，∴a3＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(2,3)，a7＝eq\f(1,1＋a5)＝eq\f(3,5)，a9＝eq\f(1,1＋a7)＝eq\f(5,8)，a11＝eq\f(1,1＋a9)＝eq\f(8,13)，∴a20＋a11＝eq\f(\r(5)－1,2)＋eq\f(8,13)＝eq\f(13\r(5)＋3,26).【答案】eq\f(13\r(5)＋3,26)71．（·北京高考文）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________.【解析】設(shè)公差為d，則由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝eq\f(1,2)，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(nn＋1,4).【答案】1eq\f(nn＋1,4)72．（·廣東高考文）若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝eq\f(1,2)，則a1aeq\o\al(2,3)a5＝________.【解析】等比數(shù)列{an}中，因為a2a4＝eq\f(1,2)，所以aeq\o\al(2,3)＝a1a5＝a2a4＝eq\f(1,2)，所以a1aeq\o\al(2,3)a5＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)73．（·湖南高考文）對于n∈N*，將n表示為n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，當(dāng)i＝k時，ai＝1，當(dāng)0≤i≤k－1時，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn＝1；否則bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)設(shè)cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m＋1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是________．【解析】(1)2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1；故b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)設(shè)bn中第m個為0的項為bi，即bi＝0，構(gòu)造二進制數(shù)，(i)10＝(akak－1…a1a0)，則akak－1…a1a0中1的個數(shù)為偶數(shù)，當(dāng)a2a1a0＝000時，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；當(dāng)a2a1a0＝001時，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；當(dāng)a2a1a0＝010時，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；當(dāng)a2a1a0＝011時，bi＋1＝1，bi＋2＝0，cm＝1；當(dāng)a2a1a0＝100時，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi＋3＝0，cm＝2；當(dāng)a2a1a0＝101時，bi＋1＝0，cm＝0；當(dāng)a2a1a0＝110時，bi＋1＝1，bi＋2＝1，bi【答案】3274．（·新課標高考文）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋3S2＝0，則公比q＝________.【解析】由S3＋3S2＝0，即a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2＝0，即q2＋4【答案】－275．（·重慶高考文）首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和S4＝________.【解析】由等比數(shù)列的前n項和公式可得S4＝eq\f(1×1－24,1－2)＝24－1＝15.【答案】1576．（·北京高考文）在等比數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，則公比q＝____；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝____.【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝eq\f(1,2)×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\f(1,2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝eq\f(1,2)(2n－1)＝2n－1－eq\f(1,2).【答案】－22n－1－eq\f(1,2)77．（·湖南高考文）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝______.【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，則3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋eq\f(5×4,2)×2＝25.【答案】2578．（·重慶高考）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝____.【解析】依題意得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.【答案】7479．（·廣東高考）等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝____________.【解析】設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.【答案】1080．（·江蘇高考）設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．【解析】設(shè)a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，eq\r(t＋1)，eq\r(3,t＋2)}，故q的最小值是eq\r(3,3).【答案】eq\r(3,3)81．（·湖北高考）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．【解析】設(shè)竹子從上到下的容積依次為a1，a2，…，a9，由題意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由d＝eq\f(7,66)，a1＝eq\f(13,22)，所以a5＝eq\f(67,66).【答案】eq\f(67,66)82．（·陜西高考）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為________(米)．【解析】當(dāng)放在最左側(cè)坑時，路程和為2×(0＋10＋20＋…＋190)；當(dāng)放在左側(cè)第2個坑時，路程和為2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(減少了360米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個坑時，路程和為2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(減少了680米)；依次進行，顯然當(dāng)放在中間的第10、11個坑時，路程和最小，為2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝米．【答案】83．（·遼寧高考理）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n，所以.設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N+,所以當(dāng)n=5或6時有最小值.又因為，，所以，的最小值為.【答案】84.（·江蘇高考）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=________.【解析】在點(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時，解得，所以.【答案】2185．（·湖北高考）已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________.【解析】（1）若為偶數(shù)，則為偶,故.①當(dāng)仍為偶數(shù)時，故②當(dāng)為奇數(shù)時，故得m=4.（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù).，所以=1可得m=5.【答案】453286．（·遼寧高考）等差數(shù)列的前項和為，且則.【解析】，=.【答案】三.解答題87．（·安徽高考理）設(shè)函數(shù)fn(x)＝－1＋x＋eq\f(x2,22)＋eq\f(x3,32)＋…＋eq\f(xn,n2)(x∈R，n∈N*)．證明：(1)對每個n∈N*，存在唯一的xn∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，滿足fn(xn)＝0；(2)對任意p∈N*，由(1)中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0<xn－xn＋p<eq\f(1,n).證明：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)零點的判定，等比數(shù)列的求和，以及不等式的放縮等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力，考查推理論證和運算求解能力．(1)對每個n∈N*，當(dāng)x>0時，f′n(x)＝1＋eq\f(x,2)＋…＋eq\f(xn－1,n)>0，故fn(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．由于f1(1)＝0，當(dāng)n≥2時，fn(1)＝eq\f(1,22)＋eq\f