高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第四章 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用突破熱點(diǎn)題型 文

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算[例1](1)(·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝eq\r(2)，則·的值是________．[自主解答](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝eq\f(3\r(10),10)，∴向量在方向上的投影為||·cos〈，〉＝eq\r(5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(2),2).(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．設(shè)F(x，2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)?eq\r(2)x＝eq\r(2)?x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).[答案](1)A(2)eq\r(2)【互動(dòng)探究】在本例(2)中，若四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，求·的值及·的最大值．解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，設(shè)E(a，0)，0≤a≤1.·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值為1.【方法規(guī)律】平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x∴x＝4.答案：42．已知e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________．解析：∵e1，e2的模為1，且其夾角θ＝eq\f(2π,3).∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋e1·e2－2ke1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝k＋(1－2k)coseq\f(2π,3)－2＝2k－eq\f(5,2).又∵a·b＝0，∴2k－eq\f(5,2)＝0，即k＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二平面向量的夾角與模的問題1．平面向量的夾角與模的問題是高考中的常考內(nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題．2．高考對平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應(yīng)用；(3)已知數(shù)量積求模；(4)知模求模．[例2](1)(·湖南高考)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)＋2(2)(·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．(3)(·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，則實(shí)數(shù)t的值為________．(4)(·天津高考)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝1,則AB的長為________．[自主解答](1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意知a⊥b，且a與b是單位向量，∴可設(shè)＝a＝(1,0)，＝b＝(0,1)，＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即點(diǎn)C(x，y)的軌跡是以M(1,1)為圓心，1為半徑的圓．而|c|＝eq\r(x2＋y2)，∴|c|的最大值為|OM|＋1，即|c|max＝eq\r(2)＋1.(2)由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(|b|2,3|b|2)＝－eq\f(1,3).(3)＝＋＝(1，－t)＋(2,2)＝(3,2－t)．∵∠ABO＝90°，∴·＝0，即2×3＋2·(2－t)＝0，∴t＝5.(4)法一：由題意可知，＝＋，＝－eq\f(1,2)＋.因?yàn)椤ぃ?，所以(＋)·＝1，即2＋eq\f(1,2)·－eq\f(1,2)2＝1.因?yàn)閨|＝1，∠BAD＝60°，所以||＝eq\f(1,2)，即AB的長為eq\f(1,2).法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過D作DM⊥AB于點(diǎn)M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝eq\f(1,2)，DM＝eq\f(\r(3),2).設(shè)|AB|＝m(m>0)，則B(m,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).由·＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m))＋eq\f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或eq\f(1,2).故AB的長為eq\f(1,2).[答案](1)C(2)－eq\f(1,3)(3)5(4)eq\f(1,2)平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略(1)求兩向量的夾角．cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用．兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－bA．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析：選C2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3.設(shè)所求兩向量夾角為α，則cosα＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，又α∈[0，π]，故α＝eq\f(π,4).2．已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.解析：∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ為a與b的夾角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a與b不共線，∴cosθ≠－1，∴k＝1.答案：13．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值為________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝eq\f(1,2).∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用[例3](·江蘇高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[自主解答](1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因?yàn)閍＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).【方法規(guī)律】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的命題形式與解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.解：(1)由a與b－2c得a·(b－2c)＝a·b－2a·即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，故最大值為32，所以|b＋c|的最大值為4eq\r(2).(3)證明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)條件——兩個(gè)非零向量垂直的充要條件兩個(gè)非零向量垂直的充要條件為：a⊥b?a·b＝0.2個(gè)結(jié)論——與向量夾角有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0°；(2)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或180°.4個(gè)注意點(diǎn)——向量運(yùn)算中應(yīng)注意的四個(gè)問題(1)在求△ABC的三邊所對應(yīng)向量的夾角時(shí)，要注意是三角形的內(nèi)角還是外角．如在等邊△ABC中，與的夾角應(yīng)為120°而不是60°.(2)