專題07 事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合含解析 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國用）

專題07事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合含解析十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國通用）專題07事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1互斥事件的概率計算（10年2考）2018·全國卷、2016·天津卷1.理解、掌握古典概率的定義，并會相關(guān)計算，古典概率是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及計算，需強化訓(xùn)練2.會條件概率和全概率及貝葉斯概率的計算，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點強化復(fù)習(xí)3.理解、掌握正態(tài)分布的定義及指定區(qū)間的概率計算考點2古典概率（10年10考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2017·天津卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·江西卷、2016·北京卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·全國卷、2015·廣東卷、2015·廣東卷、2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2015·江蘇卷考點3條件概率（10年5考）2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·天津卷考點4全概率公式與貝葉斯公式（10年2考）2024·上海卷、2023·全國新Ⅰ卷考點5正態(tài)分布指定區(qū)間的概率（10年5考）2024·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷2021·全國新Ⅱ卷、2015·山東卷考點01互斥事件的概率計算1．（2018·全國·高考真題）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.72．（2016·天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．考點02古典概率一、單選題1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國乙卷·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國甲卷·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．6．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.87．（2019·全國·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．8．（2019·全國·高考真題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．9．（2018·全國·高考真題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．10．（2018·全國·高考真題）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．11．（2017·天津·高考真題）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為A． B． C． D．12．（2017·山東·高考真題）從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A． B． C． D．13．（2017·全國·高考真題）從分別寫有的張卡片中隨機抽取張，放回后再隨機抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A． B． C． D．14．（2017·江西·高考真題）一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為（）A． B．C． D．15．（2016·北京·高考真題）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為A． B．C． D．16．（2016·全國·高考真題）小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是A． B． C． D．17．（2016·全國·高考真題）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是A． B． C． D．18．（2015·全國·高考真題）如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為A． B． C． D．19．（2015·廣東·高考真題）已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．120．（2015·廣東·高考真題）袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為A． B． C． D．1二、填空題21．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.22．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．23．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．24．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為．25．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．26．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．27．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．28．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，.29．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是.30．（2019·江蘇·高考真題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.31．（2018·江蘇·高考真題）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為．32．（2016·上?！じ呖颊骖}）如圖，在平面直角坐標系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點，點P滿足，則點P落在第一象限的概率是.33．（2016·上?！じ呖颊骖}）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為______．34．（2016·四川·高考真題）從2、3、8、9任取兩個不同的數(shù)值，分別記為a、b，則為整數(shù)的概率=．35．（2016·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是．36．（2015·江蘇·高考真題）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為．考點03條件概率1．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．2．（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.43．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為考點04全概率公式與貝葉斯公式1．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．（附加）2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．考點05正態(tài)分布指定區(qū)間的概率1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．2．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則．3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等4．（2015·山東·高考真題）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%專題07事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1互斥事件的概率計算（10年2考）2018·全國卷、2016·天津卷1.理解、掌握古典概率的定義，并會相關(guān)計算，古典概率是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計算及互斥、對立事件的辨析及計算，需強化訓(xùn)練2.會條件概率和全概率及貝葉斯概率的計算，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點強化復(fù)習(xí)3.理解、掌握正態(tài)分布的定義及指定區(qū)間的概率計算考點2古典概率（10年10考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2017·天津卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·江西卷、2016·北京卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·全國卷、2015·廣東卷、2015·廣東卷、2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2015·江蘇卷考點3條件概率（10年5考）2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·天津卷考點4全概率公式與貝葉斯公式（10年2考）2024·上海卷、2023·全國新Ⅰ卷考點5正態(tài)分布指定區(qū)間的概率（10年5考）2024·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷2021·全國新Ⅱ卷、2015·山東卷考點01互斥事件的概率計算1．（2018·全國·高考真題）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【詳解】設(shè)事件A為不用現(xiàn)金支付，則故選：B.2．（2016·天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.【考點】概率【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復(fù)雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.考點02古典概率一、單選題1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B2．（2023·全國乙卷·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個，概率.故選：A3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.故選：D.4．（2022·全國甲卷·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.6．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.7．（2019·全國·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.【詳解】兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【點睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題．8．（2019·全國·高考真題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計算公式求解．【詳解】設(shè)其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B．【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯．9．（2018·全國·高考真題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.【詳解】設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.10．（2018·全國·高考真題）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.11．（2017·天津·高考真題）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項.考點：古典概型名師點睛：對于古典概型問題主要把握基本事件的種數(shù)和符合要求的事件種數(shù)，基本事件的種數(shù)要注意區(qū)別是排列問題還是組合問題，看抽取時是有、無順序，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當然簡單問題建議采取列舉法更直觀一些.12．（2017·山東·高考真題）從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】標有，，，的張卡片中，標奇數(shù)的有張，標偶數(shù)的有張，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是,選C.【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復(fù)雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.13．（2017·全國·高考真題）從分別寫有的張卡片中隨機抽取張，放回后再隨機抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件總數(shù)n=5×5=25，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10個基本事件，∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p=故答案為D．14．（2017·江西·高考真題）一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】本題考查計數(shù)方法和概率的計數(shù)及分析問題,解決問題的能力.一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，所有的可能情況共有64種；取得兩個球的編號和不小于15的情況有（8,8），（8,7）（7,8）共3種；則取得兩個球的編號和不小于15的概率為故選D15．（2016·北京·高考真題）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：從甲乙等名學(xué)生中隨機選出人，基本事件的總數(shù)為，甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，所以甲被選中的概率，故選B．考點：古典概型及其概率的計算．16．（2016·全國·高考真題）小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：開機密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是，故選C．【考點】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式（其中n是基本事件的總數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個數(shù)）得出的結(jié)果才是正確的．17．（2016·全國·高考真題）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：將4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個花壇的種數(shù)有4種，故所求概率為，選C.【考點】古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答中的常見錯誤是在用列舉法計數(shù)時出現(xiàn)重復(fù)或遺漏,避免此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標準進行列舉.18．（2015·全國·高考真題）如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：從中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點：古典概型19．（2015·廣東·高考真題）已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【詳解】件產(chǎn)品中有件次品，記為，，有件合格品，記為，，，從這件產(chǎn)品中任取件，有種，分別是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有種，分別是，，，，，，設(shè)事件“恰有一件次品”，則，故選B．考點：古典概型．20．（2015·廣東·高考真題）袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為A． B． C． D．1【答案】B【詳解】試題分析：首先判斷這是一個古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件包含的基本事件個數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個球任取2球的取法，而在求“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”事件的基本事件個數(shù)時，可利用分步計數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可．解：這是一個古典概型，從15個球中任取2個球的取法有；∴基本事件總數(shù)為105；設(shè)“所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球”為事件A；則A包含的基本事件個數(shù)為=50；∴P（A）=．故選B．點評：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟練掌握組合數(shù)公式和分步計數(shù)原理．二、填空題21．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.22．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．【答案】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當，則，則為：，，故有16種，當，則，同理有16種，當，則，同理有10種，當，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：23．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．【答案】24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.24．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為．【答案】/【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個空．【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；乙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；丙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以，．故答案為：；．25．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．【答案】，/【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案為：，.26．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．【答案】.【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．27．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3【分析】根據(jù)古典概型計算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：28．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，.【答案】1【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機變量的分布列即可求出．【詳解】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．29．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是.【答案】【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.點數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．30．（2019·江蘇·高考真題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.【答案】.【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案.【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【點睛】計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.31．（2018·江蘇·高考真題）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為．【答案】【詳解】分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法（理科）：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.32．（2016·上?！じ呖颊骖}）如圖，在平面直角坐標系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點，點P滿足，則點P落在第一象限的概率是.【答案】【詳解】試題分析：共有種基本事件，其中使點P落在第一象限共有種基本事件，故概率為.考點：古典概型33．（2016·上?！じ呖颊骖}）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為______．【答案】【詳解】甲同學(xué)從四種水果中選兩種共種方法，乙同學(xué)從四種水果中選兩種共種方法，則甲、乙兩位同學(xué)選法種數(shù)共，兩同學(xué)相同的選法種數(shù)為，所以?！军c睛】本題主要考查古典概型概率的計算.解答本題時，關(guān)鍵在于能準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用概率的計算公式求解.本題能較好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等.34．（2016·四川·高考真題）從2、3、8、9任取兩個不同的數(shù)值，分別記為a、b，則為整數(shù)的概率=．【答案】【詳解】試題分析：從2，3，8，9中任取兩個數(shù)記為，作為作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，共有個不同的基本事件，其中為整數(shù)的只有兩個基本事件，所以其概率.考點：古典概型.35．（2016·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是．【答案】【詳解】基本事件總數(shù)為36，點數(shù)之和小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為【考點】古典概型【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率的考查，屬于簡單題.江蘇對古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復(fù)雜時，往往利用對立事件的概率公式進行求解.36．（2015·江蘇·高考真題）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為．【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點：古典概型概率考點03條件概率1．（2024·天津·高考真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．【答案】【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.【詳解】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲選到得概率為：；乙選活動有6種可能性：，其中再選則有3種可能性：，故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動，他再選擇活動的概率為故答案為：；2．（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】同時愛好兩項的概率為，記“該