【高考數(shù)學 講練測】技巧03 高考數(shù)學文化與數(shù)學閱讀解題策略（精講精練）（原卷及答案）

技巧03數(shù)學文化與數(shù)學閱讀解題策略

【命題規(guī)律】

數(shù)學文化與數(shù)學閱讀是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，主要以選擇題、

填空題為主，難度適中.

【核心考點目錄】

核心考點一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學史的數(shù)學閱讀題

核心考點二：融合其他學科知識的數(shù)學閱讀題

核心考點三：融合社會熱點和建設成就的數(shù)學閱讀題

核心考點四：融合生活實際的數(shù)學閱讀題

【真題回歸】

1.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊

后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的

體積為（）

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,BB,CC,DD^

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中。是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

照====己知匕&，&成公差為0」的等差數(shù)列，且直線0A

C/ZJ]￡7C|C￡>）￡>/i|

的斜率為0.725,則砥=（）

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一

部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位

為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個

棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（近。2.65）

（）

A.|.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄

了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中

點，。在AB上，CD1AB.“會圓術(shù)''給出AB的弧長的近似值s的計算公式：

2222

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為

我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，

1

?h_i?+-n—

用到數(shù)列｛2｝：伉=1+廣，2~/+——T，…，依此類推，其中

a,a2+一

■%

aeN（A;=1,2,）.則（）

A.b,<b5B.&C.b6Vb[D.b4<b7

6.（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的

公式，他把這種方法稱為'‘三斜求積"，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方

2+/一好]

法寫成公式，就是S=其中a,江c是三角形的三邊，S是三

角形的面積.設某三角形的三邊a=&,b=V5,c=2,則該三角形的面積S=

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)學文化與數(shù)學閱讀試題一般從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和生產(chǎn)生活實際中挖掘素材,將數(shù)學

文化、生活情境與高中數(shù)學知識有機結(jié)合.其解答過程大致需要實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：先是將實際

問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后再將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為問題結(jié)果.具體地說，就是先通過閱讀情境、

審讀題目，在明確對象、分析過程（或狀態(tài)）的基礎上過濾情境，并構(gòu)造出符合題意的數(shù)

學模型，從而使“實際問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學問題”；接著選用恰當?shù)臄?shù)學方法求解作答，得出“問

題結(jié)果”，并將其納入原問題的情境中，予以“檢驗討論”，對解題過程作出評價.其中過濾

情境、構(gòu)建模型的環(huán)節(jié)至關(guān)重要，它既是使復雜的實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題的前提,

也是正確選用數(shù)學方法、求解數(shù)學問題的依據(jù)，起著承上啟下的關(guān)鍵作用.

【核心考點】

核心考點一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學史的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例1.（2023春?江蘇蘇州?高三蘇州中學校聯(lián)考階段練習）南宋時期，秦九韶就創(chuàng)立了精密

測算雨量、雨雪的方法，他在《數(shù)學九章》載有“天池盆測雨”題，使用一個圓臺形的天池

盆接雨水.觀察發(fā)現(xiàn)體積一半時的水深大于盆高的一半，體積一半時的水面面積大于盆高

一半時的水面面積，若盆口半徑為。，盆底半徑為〃（Ov"v〃），根據(jù)如上事實，可以抽象

出的不等關(guān)系為（）

2233

.Ja+bi/a+i/b\a+b4a+4b門（a+b^a+b（a+bya+b

A.X------<------------D.J-------<---------------C.--------<-----------D.--------<-----------

V22V22\2）2（2）2

例2.（2023春?吉林?高三東北師大附中?？茧A段練習）圍棋起源于中國，春秋戰(zhàn)國時期已

有記載，隋唐時經(jīng)朝鮮傳入日本，后流傳到歐美各國.圍棋蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它

是中國文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有

縱橫各19條線段形成361個交叉點，棋子走在交叉點上，雙方交替行棋，落子后不能移

動，每個交叉點上可能出現(xiàn)黑、白、空三種情況，因此有P=336,種不同的情況，北宋學者沈

括在他的著作《夢溪筆談》中也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有

“連書萬字五十二''種，即Q=1OOOO"種.現(xiàn)利用lg3a0.5來估算窄的值，下列數(shù)中與估

算結(jié)果最接近的是（）

A.1（嚴B.IO28C.IO38D.1048

例3.（2023春?貴州貴陽?高三統(tǒng)考階段練習）秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學家，他在

著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，

即在.ABC中，a，〃，c分別為內(nèi)角A,2C所對應的邊，其公式為：

c2=2sinC（cosB=?,a>b>c,則利用“三斜求積術(shù)”求一ABC的面積為（）

smA5

54

A.-BD.-

-:5

核心考點二：融合其他學科知識的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例4.（2023?江蘇?高三專題練習）文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場，

歷史上地質(zhì)宮廣場曾被規(guī)劃為偽滿洲國的國都廣場.文化廣場以新民主大街道路中心線至

地質(zhì)宮廣場主樓中央為南北主軸，廣場的中央是太陽鳥雕塑塔，在地質(zhì)宮（現(xiàn)為吉林大學

地質(zhì)博物館）主樓輝映下顯得十分壯觀.現(xiàn)某興趣小組準備在文化廣場上對中央太陽鳥雕

塑塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕

塑塔的基座（即8在A的正下方），在廣場內(nèi)（與8在同一水平面內(nèi)）選取C、。兩

點.測得的長為〃?.興趣小組成員利用測角儀可測得的角有/ACS、ZACD.

/BCD、ZADC.ZBDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出太陽鳥雕塑塔高

度AB的是（）

A.m,/ACB、/BCD、ZBDCB.m./ACB、/BCD、ZACD

C.m,/ACB、ZACD.ZADCD.m.ZACB.NBCD、ZADC

例5.（2023?上海?高三專題練習）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，

成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比

.,.1仇=1+-----------；-----

Ib-1-1--------------?

值，用到數(shù)列｛2｝：2=1+7，2〃+J_，%+——r，…，依此類推,

/?%a,+-

其中％eN*（后=1,2,）.則（）

、<〈用

A.bbsB.C.aD.b4<b7

例6.（2023?全國?高三專題練習）開普勒（JohannesKepler,15717636）,德國數(shù)學家、天

文學家，他發(fā)現(xiàn)所有行星運行的軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運動的軌道都是

橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與

地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2:3,地球運行軌道的半長軸為〃，則金星運行軌道的半長軸約為

（）

A.0.66?B.0?70〃C.0.76aD.0.96a

例7.（2023春?貴州貴陽?高三統(tǒng)考階段練習）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或

亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足網(wǎng)-町=5坨2,其中星等為初:的星的亮度為Ek

（k=1,2）.已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值

為

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.

核心考點三：融合社會熱點和建設成就的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例8.（2023?北京?高三專題練習）2020年，由新型冠狀病毒（SARS-Co「2）感染引起的新

型冠狀病毒肺炎（CO0O-I9）在國內(nèi)和其他國家暴發(fā)流行，而實時熒光定量PCR（RT-

PCR）法以其高靈敏度與強特異性，被認為是COV7D19的確診方法，實時熒光定量PCK

法，通過化學物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)

測，在尸CR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，的數(shù)量X,,與擴增次數(shù)”滿

足lgX,,_“l(fā)g（l+0=lgX。，其中p為擴增效率，X。為DNA的初始數(shù)量.已知某樣本的擴增

效率0.495,則被測標本的。岫大約擴增（）次后，數(shù)量會變?yōu)樵瓉淼?25倍.（參

考數(shù)據(jù)：晦.574）

A.10B.11C.12D.13

例9.（2023?全國?高三專題練習）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有

效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第八天，設每個

檢測對象從接受檢測到檢測報告生成的平均耗時為?）（單位：小時），已知與"之間的

~7='n<N（y

yin

函數(shù)關(guān)系為“〃）=a,M為常數(shù)），并且第16天的檢測過程平均耗時16小

n

啊r-r^-

時，第64天和第67天的檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得第49天的檢測過程平均

耗時大約為（

A.7小時B.8小時C.9小時D.D小時

例10.（2023?全國?高三專題練習）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首

次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一

個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星”鵲

橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行.七點是平衡點，位于地月連線的延長

線上.設地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為R,4點到月球的距離為r,根據(jù)

牛頓運動定律和萬有引力定律，，?滿足方程：

設由于。的值很小，因此在近似計算中若則「的近似值為

核心考點四：融合生活實際的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例11.（2023?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習）在“綠水青山就是金山銀山''發(fā)展理念

的指導下，治沙防沙的科技實力不斷提升，并為沙漠治理提供了有力的資金和技術(shù)支持.現(xiàn)

在要調(diào)查某地區(qū)沙漠經(jīng)過治理后的植物覆蓋面積和某野生動物的數(shù)量，將該地區(qū)分成面積

相近的150個地塊，用簡單隨機抽樣的方法抽出15個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)

（十,y）（i=l,2,3,,15）,其中&和y,分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和

這種野生動物的數(shù)量，經(jīng)統(tǒng)計得￡>[=60,￡耳=12（）（）,則該地區(qū)的植物覆蓋面積和這種

野生動物數(shù)量的估計值分別為（）

A.600,1200B.600,12000C.60,1200D.60,12000

例12.（2023?全國?高三專題練習）《易經(jīng)》中記載著一種兒何圖形一一八封圖，圖中正八

邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中

學開展勞動實習，去測量當?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測得正八邊形的邊長為8小，代表陰陽

太極圖的圓的半徑為2m,則每塊八卦田的面積為（）m?.

A.16V2+16--B.16及弋

2

C.16^+8--D.16夜+16-萬

2

例13.（2023?全國?高三專題練習）某校開展社會實踐活動，學生到工廠制作一批景觀燈箱

（如圖，在直四棱柱上加工，所有頂點都在棱上），燈箱最上面是正方形，與之相鄰的四個

面都是全等的正三角形，燈箱底部是邊長為。的正方形，燈箱的高度為10“，則該燈箱的

體積為（）

例14.（2023?四川達州?一模）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考

綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解

學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個等高條形圖，根據(jù)條

形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）

A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)

B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)

C.樣本中選擇物理學科的人數(shù)較多

D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

【新題速遞】

I.（2023春?甘肅蘭州?高三蘭化一中校考階段練習）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故

事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：

有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程

都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則下列說法：①此人第四天走了二十四里

路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程少九十里；③此人第二天走的路程占全程的

④此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍.其中正確的有（）

4

A.①③B.①②④C.②③④D.③④

2.（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習）高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)

列，中國古代許多著名的數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了

名為‘‘垛積術(shù)''的算法，展現(xiàn)了聰明才智?如南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書

中記載的三角垛、方垛、芻薨垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)?如圖是一個三角垛，最

頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數(shù)為

)

A.464B.465C.466D.495

3.（2023春?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率"的范圍是：

3.1415926＜乃＜3.1415927,為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖

率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.小明是個數(shù)學迷，他在設置手機的數(shù)字密碼時.，打算將圓

周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個1不相

鄰，那么小明可以設置的不同密碼有（）個.

A.240B.360C.600D.720

4.（2023春?山東濟南?高三統(tǒng)考期中）三角形的三邊分別為。力,。，秦九韶公式

S=j；a2c--。*Ji卜海倫公式S="p（p-a）（p-8）（p-c）（p="+：+［是等價

的，都是用來求三角形的面積.印度數(shù)學家婆羅摩笈多在公元7世紀的一部論及天文的著作

中，給出若四邊形的四邊分別為a,b,c,d,則S=叫（p_c）（p_d）_aZ?cdcos的

（。="等已，。為一組對角和的一半）.已知四邊形四條邊長分別為3,4,5,6,則四邊

形最大面積為（）

A.21B.45/10C.1075D.65/10

5.（2023?四川資陽?統(tǒng)考模擬預測）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)

學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.“十二平均律”是將一個純八

度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前

一個單音的頻率的比均為常數(shù)，且最后一個單音的頻率為第一個單音頻率的2倍.如圖，

在鋼琴的部分鍵盤中，4,%....出這十三個鍵構(gòu)成的一個純八度音程，若其中的4

（根音），/（三音），（五音）三個單音構(gòu)成了一個原位大三和弦，則該和弦中五音

與根音的頻率的比值為（）

七

A.療B.72C.聽D."

6.（2023?全國?高三專題練習）荀子曰：“故不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江

海.“這句來自先秦時期的名言.此名言中的“積度步''是"至千里'’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考階段練習）六氟化硫，化學式為SR,在常壓下是一種無

色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛的用

途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原

子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點.若相鄰兩個氟原子之

間的距離為2%,則以六氟化硫分子中6個氟原子為頂點構(gòu)成的正八面體的體積是

C.472D.872

8.（2023?江西景德鎮(zhèn)?高三統(tǒng)考階段練習）半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不

全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.二十四等邊體就是--種半正多面

體，它是由正方體的各條棱的中點連接形成的幾何體、它由八個正三角形和六個正方形圍

成（如圖所示），若它所有棱的長都為2,則下列說法錯誤的是（）

A.該二十四等邊體的表面積為24+80B.平面ARE

C.直線與PN的夾角為60

D.該半正多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)尸、棱數(shù)E,滿足關(guān)系式V+F-E=2

9.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預測）某制藥企業(yè)為了響應并落實國家污水減排政策，加裝了

污水過濾排放設備，在過濾過程中，污染物含量M（單位：mg/L）與時間f（單位：h）

之間的關(guān)系為：仞=例心山（其中%是正常數(shù)）.已知經(jīng)過山，設備可以過速掉20%

的污染物，則過濾一半的污染物需要的時間最接近（）（參考數(shù)據(jù)：1g2=0.3010）

A.3hB.4hC.5hD.6h

10.（多選題）（2023春?山東濰坊?高三統(tǒng)考期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大

利數(shù)學家列昂納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引人，故又稱為“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、

準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域都有直接的應用.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義：

數(shù)列也,｝滿足：4=%=1,%+2=4“+%（〃eN*）.則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=13B.%023是奇數(shù)

=

C.++。2021。2022D.。2022被4除的余數(shù)為。

11.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，是二項式系數(shù)

C丁（“wN*,reN*且今〃+1）在三角形中的一種幾何排列，北宋人賈憲約1050年首先

使用'‘賈憲三角”進行高次開方運算，南宋時期杭州人楊輝在他1261年所著的《詳解九章算

法》一書中，輯錄了如下圖所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引

自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”，故此，楊輝三角又被稱為

“賈憲三角”，楊輝三角形的構(gòu)造法則為：三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)

都等于它肩上的兩個數(shù)字相加.根據(jù)以上信息及二項式定理的相關(guān)知識分析，下列說法中正

確的是（）

I

1I

I2I

1331

14641

I$1010SI

A.C3=C：+C/B.當ZwNJIMS”時，C：vC3

c.｛。｝為等差數(shù)列D.存在丘N，，使得｛*-C｝為等差數(shù)列

12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊

數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，將正方體沿交于

同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面

積為12+46,則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是（）

兀

A.AB與平面BC。所成的角為一B.AB=2及

4

TT

C.與AB所成的角是A■的棱共有16條D.該半正多面體的外接球的表面積為6萬

13.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）古代中國的太極八卦圖是以圓內(nèi)的圓心為界，畫

出相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，

互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一

規(guī)律.圖2（正八邊形ABCOEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如圖2

的平面直角坐標系，設OA=1,則下列正確的結(jié)論是（）

A.OAOD=--

2

B.以射線OF為終邊的角的集合可以表示為，。。=今+2&肛&wz}

C.點。為圓心、04為半徑的圓中，弦AB所對的劣弧弧長為9

4

D.正八邊形A8CDE尸G”的面積為4a

14.（2023?青海海東?統(tǒng)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國古老的傳

統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022年虎年新春來臨之際，人們設計了一種由外圍四個大小相等的半

圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形ABCD的邊長為2,中心為0,四

個半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點（如圖2）,若「在BC的中點，則

(PA+PB).PO=.

圖1圖2

15.（2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習）如圖，北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，

分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石

板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外

每環(huán)依次也增加9塊，己知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板（不含天心石）3402

塊，則中層有扇面形石板.

16.（2023春?陜西西安?高三統(tǒng)考期末）明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體

測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應用于航海，形成了一套先進的航海技術(shù)——“過洋牽星

術(shù)”，簡單地說，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在

海面上的高度來判斷方位.其采用的主要工具是牽星板，其由12塊正方形木板組成，最小

的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24

厘米（稱十二指）.觀測時，將牽星板立起，一手拿木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大

約為72厘米，使牽星板與海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對所觀測的星辰

依高低不同替換、調(diào)整木板，當被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，觀測的星辰

離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度，如圖所示，若在一次

觀測中所用的牽星板為六指板，則COS2a=.

星辰

牽星板一☆

六指

\

藁到牽星板的距鼠海平面

17.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預測）我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三

角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,則

_ABC的面積為S=/（時-］若（a_b）sinA=S+c）（sinC-sinB）,且

_他。的外接圓的半徑為氈，貝IJ_ABC面積的最大值為.

3

18.（2023?全國?高三專題練習）佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草

藥，有清香、驅(qū)蟲的功效.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)一批香囊中一種草藥甲的含量X（單位：克）與香

囊功效y之間滿足y=i5x-Y,現(xiàn)從中隨機抽取了6個香囊，得到香囊中草藥甲的含量的

平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15,則這6個香囊中草藥甲含量的標準差為

克.

19.（2023?全國?高三專題練習）發(fā)現(xiàn)問題是數(shù)學建模的第一步，對我們中學生來說養(yǎng)成發(fā)

現(xiàn)問題并將問題記錄下來的習慣相當重要.相傳2500多年前，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯有

一次在朋友家作客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面的圖案（如圖）反映了直角三角形三邊

的某種數(shù)量關(guān)系，他將自己的發(fā)現(xiàn)記錄下來，經(jīng)過后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)了勾股定理.請你也來仔

細觀察，觀察圖中的多邊形面積，然后用文字寫出你的一個關(guān)于多邊形面積的發(fā)現(xiàn)：

（提示：答案可以是疑問句，也可以陳述句，答案不唯一）.

20.（2023?全國?高三專題練習）趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀

算經(jīng)》一書作序時，介紹了“趙爽弦圖”一一由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成

的一個大正方形，如圖1所示?類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3個全

等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在二ABC中，若

AF=2,FD=4,則AB=.

技巧03數(shù)學文化與數(shù)學閱讀解題策略

【命題規(guī)律】

數(shù)學文化與數(shù)學閱讀是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，主要以選擇題、

填空題為主，難度適中.

【核心考點目錄】

核心考點一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學史的數(shù)學閱讀題

核心考點二：融合其他學科知識的數(shù)學閱讀題

核心考點三：融合社會熱點和建設成就的數(shù)學閱讀題

核心考點四：融合生活實際的數(shù)學閱讀題

【真題回歸】

1.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊

后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的

體積為（）

十字及A穩(wěn)

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【解析】該幾何體由直三棱柱AFD-瓦/C及直三棱柱DGC-A￡B組成，作于

M,如圖，

因為C”=B〃=3,NC48=120,所以CM=&W=辿,”朋=3,

22

因為重疊后的底面為正方形，所以AB=BC=3百，

在直棱柱AFD-3HC中，工平面8HC,則

由ABcBC=B可得HM_L平面ADCB,

設重疊后的EG與FH交點為/,

則%CZM=gx36x3月x1=學VAFD-BHC=gX3/x|X3也=2

Q127

則該幾何體的體積為V=2VAFD_BHC-V,_BCDA=2x---=27.

故選：D.

2.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是

桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中。R,CG，8q,4A是舉，OR,OG，C81,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

黑1=0-5,5'=匕，普=&，普=&.已知4,公,七成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線04

00]ZJC]C/?!DA]

的斜率為0.725,則&3=（）

圖1

A.0.75B.0.8

【答案】D

【解析】設=。和=Cg=3=1,則CG=4,84=k2,AA,=8,

DD、+CCj+BB、+AAj

依題意,有&_。-2=4，&-01=&2，且=0.725

OD]+DC[+CB]+8A

所以（）$+溫-。3=0725,故人=09,

4

故選：D

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一

部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為

海拔157.5m時，相應水面的面積為IgO.Okn?,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱

臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（近。2.65）（）

A.1.0xl09m3B.laxlO'o?C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】依題意可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即為棱臺的體

積V.

棱臺上底面積S=140.0km?=140x1012,底面積S=180.0km?=180x1()6m?,

Z.V=1/?(S+5,+VsS7)=1x9xp40xl06+180xl06+7140X180X1012)

=3X(320+60T7)X106?(96+18x2.65)x107=1.437xl09?1.4xl09(m3).

故選：C.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄

了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是A8的中

點，力在AB上，“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式:

2

s=A3+grn.當OA=2,ZAOB=60。時，s=()

OA2

AH-3V3口ll-4>/39-3

1c。

iX?D.-------

22,2

【答案】B

【解析】如圖,連接。C,

因為C是A8的中點,

所以OC_LAB,

乂C0_LAB，所以0,C,。：點共線,

^OD=OA=OB=2,

又NAO8=60。，

所以AB=OA=O8=2,

則oc=5故CD=2-B

所以i+壽2+?=與^

故選：B.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為

我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，

1b=1+_!_4=1+----—

用到數(shù)列他,｝：4=1+一,2~431,?,+——「，…，依此類推，其中

I］%十xyI1

a,a2+一

2?3

4￡N'（%=1,2,）.則（）

A.bt<b5B.b3cbsC.t>6<b2D.b4<t>7

【答案】D

【解析】［方法一］:常規(guī)解法

因為4eN*優(yōu)=1,2,）,

11

1—＞----\~

所以%<四+——,四囚+」-，得到4＞為，

。2

11

a、H-->aH----；-

同理%%+」_，可得％<4，偽>&

2a_3

1

>------j—，?i+-----「<?i+------j—

乂因為巴a,+-：-%+-H—―

%+,-%-?,+±

a4a4

故打＜乙,

以此類推,可得伉＞么＞也＞%＞…，b］＞仄,故A錯誤;

b}>Z?7>bnf故B錯誤:

1

「，得與〈包，故C錯誤;

1]

a}+-------j--->藥+

%+-----p%+…-----「，得b4Vb7,故D正確.

%+。6+

%%

［方法二］:特值法

1,i.c13.5.8.13.21,34,55

n=

不妨設?！?1，則，=2也=3b3=-,b4=-,b5=—,b6=—,b734,

〃v的故D正確.

6.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的

公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方

2

c2+a2-b2

法寫成公式，就是s=其中a,b,c是三角形的三邊，S是三

2

角形的面積.設某三角形的三邊a=0,b=b,c=2,則該三角形的面積S=

【答案】亭.

所以?小2一等可卜限

【解析】因為s=

故答案為：限

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)學文化與數(shù)學閱讀試題一般從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和生產(chǎn)生活實際中挖掘素材,將數(shù)學

文化、生活情境與高中數(shù)學知識有機結(jié)合.其解答過程大致需要實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：先是將實際

問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后再將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為問題結(jié)果.具體地說，就是先通過閱讀情境、

審讀題目，在明確對象、分析過程（或狀態(tài)）的基礎上過濾情境，并構(gòu)造出符合題意的數(shù)

學模型，從而使“實際問題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學問題”；接著選用恰當?shù)臄?shù)學方法求解作答，得出“問

題結(jié)果”，并將其納入原問題的情境中，予以“檢驗討論”，對解題過程作出評價.其中過濾

情境、構(gòu)建模型的環(huán)節(jié)至關(guān)重要，它既是使復雜的實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題的前提，

也是正確選用數(shù)學方法、求解數(shù)學問題的依據(jù)，起著承上啟下的關(guān)鍵作用.

【核心考點】

核心考點一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學史的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例1.（2023春?江蘇蘇州?高三蘇州中學校聯(lián)考階段練習）南宋時期，秦九韶就創(chuàng)立了精密

測算雨量、雨雪的方法，他在《數(shù)學九章》載有“天池盆測雨”題，使用一個圓臺形的天池

盆接雨水.觀察發(fā)現(xiàn)體積一半時的水深大于盆高的一半，體積一半時的水面面積大于盆高

一半時的水面面積，若盆口半徑為。，盆底半徑為b（0<b<a）,根據(jù)如上事實，可以抽象

出的不等關(guān)系為（）

.Ja+b\Ja+i/bla+hy[a+>fb（a+b'Ya2+b2（a+b\a3+by

V22V22[2}2[2}2

【答案】D

【解析】經(jīng)圓臺形的天池盆補形為圓錐，則以。為底面半徑的圓錐體積與以匕為底面半徑

的圓錐體積之比為如圖所示,

設以〃為底面半彳仝的圓錐體積為/,則以匕為底面半徑的圓錐體積為

以學為底面半徑的圓錐體積為（今），

則由題意+萬3>21等J,即（學J<

故選：D.

例2.（2023春?吉林?高三東北師大附中?？茧A段練習）圍棋起源于中國，春秋戰(zhàn)國時期已

有記載，隋唐時經(jīng)朝鮮傳入日本，后流傳到歐美各國.圍棋蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵，它

是中國文化與文明的體現(xiàn).圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色圓形棋子進行對弈，棋盤上有

縱橫各19條線段形成361個交叉點，棋子走在交叉點上，雙方交替行棋，落子后不能移

動，每個交叉點上可能出現(xiàn)黑、白、空三種情況，因此有P=3泗種不同的情況，北宋學者沈

括在他的著作《夢溪筆談》中也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有

“連書萬字五十二''種，即。=1000（/2種.現(xiàn)利用lg320.5來估算等的值，下列數(shù)中與估算

結(jié)果最接近的是（）

A.IO'8B.1028C.1038D.1048

【答案】B

，初/u.（2+110000"+i1000052

【解析】--=----—?—^―，

P3如3361

1g今」a1g10；*[=]g10000”一lg3的=lg1o208-1g336'=208-361x0.5?28,

故泮產(chǎn)

故選：B

例3.（2023春?貴州貴陽?高三統(tǒng)考階段練習）秦九韶是我國南宋時期的著名數(shù)學家，他在

著作《數(shù)書九章》中提出，已知三角形三邊長計算三角形面積的一種方法“三斜求積術(shù)”，

即在ABC中，凡》《分別為內(nèi)角48,（:所對應的邊，其公式為：

222222>

c1L（a+b-c\1Lv（b+c-a\11/\2"+c-2-/丫

s『眄）卜訃忖右

。2=2￡,COS8=3,a>b>c,則利用“三斜求積術(shù)“求"ABC的面積為（）

sinA5

A.2B.?C.3D.i

4455

【答案】D

2

【解析】因為。2=出畔，由正弦定理號=三得：c=—,則ac=2

smAsinAsmCa

T7r+iA…rmn+c~-b~3ZHCl~+c~-h~36

又由余弦定理cosB=---------=-得：----------=-ac=-

2ac5255

則由“三斜求積術(shù)”得S

故選：D.

核心考點二：融合其他學科知識的數(shù)學閱讀題

【典型例題】

例4.（2023?江蘇?高三專題練習）文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場，

歷史上地質(zhì)宮廣場曾被規(guī)劃為偽滿洲國的國都廣場.文化廣場以新民主大街道路中心線至

地質(zhì)宮廣場主樓中央為南北主軸，廣場的中央是太陽鳥雕塑塔，在地質(zhì)宮（現(xiàn)為吉林大學

地質(zhì)博物館）主樓輝映下顯得十分壯觀.現(xiàn)某興趣小組準備在文化廣場上對中央太陽鳥雕

塑塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕

塑塔的基座（即8在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、。兩

點.測得C。的長為凡興趣小組成員利用測角儀可測得的角有/ACB、ZACD.

NBCD、ZADC,ZBDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出太陽鳥雕塑塔高

度A8的是（）

A.m、/ACB、NBCD、ZBDCB."八/ACB、NBCD、ZACD

C.m、ZACB,/ACD、NADCD.小/ACB、/BCD、ZADC

【答案】B

【解析】結(jié)合選項可知九4c8是必選條件，

求A8的思路是：求得AC或BC中的一條，然后解直角三角形求得A8；

或用AB表示BCBD,利用余弦定理解方程來求得AB.

A選項，根據(jù)加、NBCD、ZBDC,可利用正弦定理求得3C,從而求得AB.

B選項，〃八ZACB.ZBCD、/AC。四個條件，無法通過解三角形求得A3.

C選項，根據(jù)“、ZACD.ZADC,利用正弦定理可求得4C,從而求得A8.

D選項，由ZACB、/B8借助直角三角形和余弦定理，用AB表示出8C8DAC,AD,

然后結(jié)合九N4OC在三角形AC。中利用余弦定理列方程，解方程求得AB.

所以B選項的條件不能計算出AB.

故選：B

例5.（2023?上海?高三專題練習）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，

成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比

1k1+_!_4=1+--------—

值，用到數(shù)列也｝:仇=1+或，2-&+,，%+——…，依此類推，

1

?a2%+一

其中%EN*伏=1,2,).則()

A.bt<b5B.C.b6Vb2D.bA<Z>7

【答案】D

【解析】［方法一］：常規(guī)解法

因為《wN"(Z=l,2,),

,11

1-->__

所以。］<囚+一,囚1,得到4>%,

a.1a\+一

%

11

Ct.H—>aH------：-

同理?可得％<4,b、>A

2(X?i

%

11