函數(shù)的概念及其表示（精講）（原卷版）

3.1函數(shù)的概念及其表示（精講）一．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．函數(shù)的三要素1.定義域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；2.值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．三．函數(shù)的表示法常用方法有解析法、圖象法和列表法四．相等函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等．五．分段函數(shù)1.若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．2.分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．函數(shù)概念的理解(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素．(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．二．常見函數(shù)定義域的類型1.分式型：eq\f(1,f（x）)要滿足f(x)≠0（分式中分母不為零）2.根式型：開偶次方根時(shí)，被開方數(shù)大于等于0即eq\r(2n,f（x）)(n∈N*)要滿足f(x)≥0；3.冪函數(shù)型：[f(x)]0要滿足f(x)≠0；4.對(duì)數(shù)型：logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿足f(x)>0；5.正切型：tan[f(x)]要滿足f(x)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．注意事項(xiàng)：①不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域發(fā)生變化；②定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．二．抽象函數(shù)的定義域的求法（對(duì)應(yīng)法則不變，括號(hào)內(nèi)等范圍）1.若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出；2.若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．三．函數(shù)解析式的求法1.配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．2.待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．3.換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．4.解方程組：已知關(guān)于f(x)與f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．四．值域1.分離常數(shù)法：分子分母同類型函數(shù)（形如y=）或分子分母最高次是二次關(guān)系（形如）(至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法.①→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型②→分離常數(shù)→模型③→同時(shí)除以分子：→②的模型④→分離常數(shù)→③的模型共同點(diǎn)：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)2.配方法：形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍3.不等式法4.單調(diào)性法：若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值.5.換元法①：此類問題通常以指對(duì)，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍.②：此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可.=3\*GB3③形如型,可用此法求其值域.6.數(shù)形結(jié)合法：即作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.7.導(dǎo)數(shù)法．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域五．分段函數(shù)1.求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f[f(a)]的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2.求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．3.求參數(shù)或自變量的值：先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．考法一函數(shù)的概念【例1-1】（2023廣東湛江）下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．某十字路口通過汽車的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系B．家庭的食品支出與電視機(jī)價(jià)格之間的關(guān)系C．高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系D．某同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系【例1-2】（2023安徽）下列各圖中，不可能是函數(shù)圖象的是（

）A．B．C． D．【一隅三反】1．（2022·上海）下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（2022北京）（多選）下列圖象中，能表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．3．（2023·廣東深圳）（多選）下列是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．考法二函數(shù)的定義域【例2-1】（1）（2023·河北）函數(shù)的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·上海）函數(shù)的定義域是__．【例2-2】（1）（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·江西）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的取值范圍是_______．（2）（2022秋·海南）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的范圍是__________.（3）（2023·河南）當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【一隅三反】1．（2023·河北）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（2022秋·四川）已知定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2023·陜西）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．5．（2023·河北）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為______．6.（2023·吉林）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是______．7．（2023·黑龍江）“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考法三函數(shù)的解析式【例3】（2023·廣東潮州）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求_____．（2）已知，則（3）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，且時(shí)均有，則=（4）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（5）已知，則__________.【一隅三反】1．（2023云南）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)，有，則____.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x－)＝x2＋，則f（x+）＝________.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.4．（2023新疆）已知，則=_____.5．（2023·北京）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.考法四函數(shù)的值域【例4】（1）（2023·上海）函數(shù)的值域?yàn)開_________（2）（2023·云南）函數(shù)的值域?yàn)開___________（3）（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_________（4）（2023北京）函數(shù)的值域?yàn)椋?）（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____（6）（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝3－4的最小值為【一隅三反】（2022·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.考法五判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等【例5】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，【一隅三反】1．（2023·上海）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．B．C．D．2．（2023·江西）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·內(nèi)蒙古）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．，B．，C．，D．，考法六分段函數(shù)【例6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【例6-2】（2023·北京）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【例6-3】（2023春·寧夏）已知函