高中數(shù)學第四章導數(shù)應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性與極值1.2函數(shù)的極值課時跟蹤訓練北師大版選修1-1

1.2函數(shù)的極值[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列結(jié)論中正確的是()A．導數(shù)為零的點一定是極值點B．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值C．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極小值D．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極大值解析：結(jié)合函數(shù)極值的定義可知．答案：Bf(x)的定義域為(a，b)，導函數(shù)f′(x)在區(qū)間(a，b)上的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上極大值點的個數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：極大值點在導函數(shù)f′(x)的零點處，且滿足零點的左側(cè)為正，右側(cè)為負，由導函數(shù)的圖像可知這樣的極值點共有3個．答案：B3．下列四個函數(shù)：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0處取得極小值的函數(shù)是()A．①② B．②③C．③④ D．①③解析：作出函數(shù)的大致圖像，由圖像可分析出結(jié)論；也可以用排除法，因為①④是單調(diào)函數(shù)，無極值，即可排除A、C、D，故應(yīng)選B.答案：B4．函數(shù)y＝1＋3x－x3有()A．極小值－1，極大值1 B．極小值－2，極大值3C．極小值－2，極大值2 D．極小值－1，極大值3解析：由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.∴當x＝1時，有y極大值＝1＋3－1＝3；當x＝－1時，有y極小值＝1－3＋1＝－1.答案：D5．若函數(shù)f(x)＝x·2x在x0處有極小值，則x0等于()A.eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln2解析：f′(x)＝2x＋x·2xln2，令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,ln2).當x<－eq\f(1,ln2)時f′(x)<0，當x>－eq\f(1,ln2)時，f′(x)>0.∴當x＝－eq\f(1,ln2)時，函數(shù)f(x)取極小值．答案：B6．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在x＝________處取極大值．解析：y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)．當－1<x<eq\f(1,3)時，y′<0；當x>eq\f(1,3)或x<－1時，y′>0.∴函數(shù)在x＝－1處取極大值．答案：－17．函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為________．解析：f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x)，當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減少的，故f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點．答案：08．設(shè)函數(shù)f(x)＝mcosx－eq\f(1,2)sinx在x＝eq\f(π,4)處取得極值，則m＝________.解析：f′(x)＝－msinx－eq\f(1,2)cosx．由題意，得f′(eq\f(π,4))＝0，∴－m·eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝0.∴m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸．(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解析：(1)因為f(x)＝alnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1，所以f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2).由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線的斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝0，解得a＝－1.(2)由(1)，知f(x)＝－lnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1(x>0)，f′(x)＝－eq\f(1,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3x2－2x－1,2x2)＝eq\f(3x＋1x－1,2x2)令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,3)(舍去)．當x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無極大值．10．設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數(shù)為f′(x)，若函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝－eq\f(1,2)對稱，且f′(1)＝0.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．解析：(1)因為f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，從而f′(x)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,6)))2＋b－eq\f(a2,6)，即f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝－eq\f(a,6)對稱．則－eq\f(a,6)＝－eq\f(1,2)，即a＝3.由f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)，知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1.當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；當x∈(－2,1)時，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．從而函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，f(x)極大值＝f(－2)＝21，在x＝1處取得極小值，f(x)極小值＝f(1)＝－6.[B組能力提升]1．如圖是函數(shù)y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖像，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝()A.eq\f(8,9) B.eq\f(10,9)C.eq\f(16,9) D.eq\f(28,9)解析：由圖像可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x3－x2－2x，且x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點，所以x1，x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的兩根，所以x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，故xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋2×eq\f(2,3)＝eq\f(16,9).答案：C2．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)解析：由函數(shù)的圖像，可知f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且當x<－2時，f′(x)>0；當－2<x<1時，f′(x)<0；當1<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)．答案：D3．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負數(shù)，則a解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)<0，得－a<x<a.∴f(x)在(－∞，－a)內(nèi)遞增，在(－a，a)內(nèi)遞減，在(a，＋∞)內(nèi)遞增，極大值為f(－a)＝2a3＋a＝a(2a2＋1)>0，極小值為f(a)＝a(1－2a2)<0，由此解得a>eq\f(\r(2),2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))4．函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3個零點，則m的取值范圍為________．解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx極大＝f－1,fx極?。絝3))，由題意知，g(x)在[－2,5]上與x軸有三個交點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1>0，,g3<0，,g－2≤0，,g5≥0，))解得1≤m＜8，即m的取值范圍為[1,8)．答案：[1,8)5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－m2x(m>0)．(1)當f(x)在x＝1處取得極值時，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當f(x)的極大值不小于eq\f(2,3)時，求m的取值范圍．解析：(1)因為f(x)＝eq\f(1,3)x3－m2x(m>0)，所以f′(x)＝x2－m2.因為f(x)在x＝1處取得極值，所以f′(1)＝1－m2＝0(m>0)，所以m＝1，故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x.(2)f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m(xù).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－m)－m(－m，m)m(m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值由上表，得f(x)極大值＝f(－m)＝－eq\f(m3,3)＋m3，由題意知f(x)極大值≥eq\f(2,3)，所以m3≥1，解得m≥1.故m的取值范圍是[1，＋∞)．6．已知函數(shù)f(x)＝ax2－ex(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))，f′(x)是f(x)的導函數(shù)．(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>f′(x)；(2)若f(x)有兩個極值點x1，x2，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)由題意，知f′(x)＝2ax－ex，所以f(x)－f′(x)＝ax(x－2)．當a＝0時，不等式f(x)－f′(x)>0無解；當a>0時，不等式f(x)－f′(x)>0的解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)；當a<0時，不等式f(x)－f′(x)>0的解集為(0,2)．(2)設(shè)g(x)＝f′(x)＝2ax－ex，則x1，x2是方程g(x)＝0的兩個實數(shù)根，且g′(x)＝2a－ex.當a≤0時，g′(x)<0在R上恒成立，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，所以方程g(x)＝0不可能有兩個實數(shù)根；當a>0時，由g′(x)＝0，得x＝