專題28 解直角三角形（58題）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編

PAGE13PAGE14專題28解直角三角形（58題）一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)時(shí)，位于海平面處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為千米，仰角為，則此時(shí)火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可求解【詳解】解：由題意得：∴千米故選：A2．（2024·天津·中考真題）的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)代入即可求解.【詳解】，故選：A.3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．根據(jù)，可求出，最后根據(jù)勾股定理可求出，即得出．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D．∵，∴．在中，，∴，∴，∴．故選B．4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊鋼架的立柱于點(diǎn)D，長(zhǎng)．現(xiàn)將鋼架立柱縮短成，．則新鋼架減少用鋼（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．利用三角函數(shù)的定義分別求得，，，利用新鋼架減少用鋼，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵等邊，于點(diǎn)D，長(zhǎng)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴新鋼架減少用鋼，故選：D．5．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學(xué)在小樓房樓底處測(cè)得處的仰角為，在小樓房樓頂處測(cè)得處的仰角為．（在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物的高為（

）米A．20 B．15 C．12 D．【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，如圖，過(guò)作于，則四邊形為矩形，設(shè)，而，可得，，結(jié)合，再解方程即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，依題意，∴四邊形為矩形，∴，，設(shè)，而，∴，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意；∴，故選B6．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高的測(cè)量?jī)x測(cè)得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測(cè)量?jī)x測(cè)得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形、、是矩形，再設(shè)，表示，然后在以及運(yùn)用線段和差關(guān)系，即，再求出，即可作答．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，∵∴四邊形是矩形∵∴四邊形是矩形同理得四邊形是矩形依題意，得，∴，∴∴設(shè)，則在∴即在∴即∴∴∴∴故選：A7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過(guò)點(diǎn)作，證明，得到，再證明，分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用正弦的定義，求解即可．【詳解】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴過(guò)點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故選A．8．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線與交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng)，由解三角形即可求出，．【詳解】解：連接，如圖，

∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．9．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，連接交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑．過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，根據(jù)，四邊形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再證明，得出，證明垂直平分，點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)解直角三角形．即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，∵，四邊形是菱形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分，∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分，∴點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)，此時(shí)，∵，四邊形是菱形，，∴，∴．故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．故選：B．10．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖：過(guò)E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，則點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，從而得到，因?yàn)?，所以求出的值即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，∵，∴點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．11．（2024·四川瀘州·中考真題）寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，利用黃金比例表示各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．設(shè)寬，根據(jù)比例表示長(zhǎng)，證明，在中，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)寬為，∵寬與長(zhǎng)的比是，∴長(zhǎng)為：，由折疊的性質(zhì)可知，，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，變形得：，，，∴，故選A．12．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】A【分析】連接，可得，垂直平分，先證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，即可判斷①；根據(jù)垂直平分，結(jié)合互余可證明，即有，則可判斷②正確；證明，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得，再證明，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即求出，同理可證明，可得，即可得，進(jìn)而可判斷③．【詳解】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯(cuò)誤，如圖，③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識(shí)，證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題13．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)測(cè)得該樓頂部點(diǎn)的仰角為，測(cè)得底部點(diǎn)的俯角為，點(diǎn)與樓的水平距離，則這棟樓的高度為m（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】/【分析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問(wèn)題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得，然后利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：依題意，．在中，，在中，，∴．故答案為：．14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)的高度．如圖，點(diǎn)C處與古樹(shù)底部A處在同一水平面上，且米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測(cè)得古樹(shù)頂部B的俯角為，古樹(shù)底部A的俯角為，則古樹(shù)AB的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過(guò)點(diǎn)D作，由題意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函數(shù)求出的值，根據(jù)計(jì)算求解可得的值．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴四邊形是矩形，∴米，∵，，，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，（米），∴（米），∴古樹(shù)的高度約為米．故答案為：．15．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面的C處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測(cè)得黃鶴樓的高度是m．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】51【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，根據(jù)，求出，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，如圖，由題可知，，設(shè)，∵∴∴∴∴故答案為：51．16．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么．

【答案】/【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到x，進(jìn)一步得到的長(zhǎng)，再根據(jù)正切數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，∴，，∴在中，，∴，設(shè)，則∵在中，，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，正切的定義．17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無(wú)人機(jī)垂直上升距地面的點(diǎn)P處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為，再將無(wú)人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行至點(diǎn)Q處，測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為m．（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】17【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)H，先用三角函數(shù)解求出，進(jìn)而求出，再證，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)H，則，

由題意知，在中，，即，解得，，，，，，，故答案為：17．18．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的面積為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，得到，結(jié)合，得到,，，求得的長(zhǎng)，解答即可.本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．19．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（結(jié)果保留）．【答案】/【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問(wèn)題），解直角三角形，熟知正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．由對(duì)折可知，，過(guò)點(diǎn)E作的垂線，進(jìn)而可求出的度數(shù)，則可得出的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵折疊，且四邊形是正方形四邊形是矩形，，則，．過(guò)點(diǎn)E作于P，則，，在中，，，則，的長(zhǎng)度為：，故答案為：20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫(huà)板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個(gè)“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，，，，推導(dǎo)得到，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，由此得到滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，由題意得，，，∴，∴，，，∴，∴，，同理，，，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，∴滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則時(shí)，，故答案為：．21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）矩形中，，，將沿過(guò)點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則長(zhǎng)為．【答案】或或10【分析】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，解直角三角形，先根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出即可．【詳解】解：①點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線延長(zhǎng)線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長(zhǎng)為或或10．故答案為：或或10．22．（2024·山東泰安·中考真題）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度，他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)，如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸A處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】74【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角、俯角問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，則，再通過(guò)解直角三角形求得和，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．23．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，．點(diǎn)在線段上，．若，，則的面積是．【答案】【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理．過(guò)作于，設(shè)，則，利用列出等式即可．【詳解】解：過(guò)作于，，，，是等腰直角三角形設(shè)，則解得（舍去）或經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，．故答案為：．24．（2024·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明，，過(guò)E點(diǎn)作交N點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)求出，，，，在中利用勾股定理求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，在和中，，，，，，過(guò)E點(diǎn)作于N點(diǎn)，，，，，，，在中，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．25．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，且滿足，過(guò)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)，根據(jù)，，得出再分別用勾股定理求出，故，再運(yùn)用解直角三角形得出，，代入，化簡(jiǎn)即可作答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂足為H,∵，，設(shè)，∴，∵，，∴，∵，∴，解得∴，，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)C作垂足為M，∴，，∵,，∴，∴，故答案為：．26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)到矩形對(duì)角線所在直線的距離是．【答案】或或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為，進(jìn)而分別求得垂線段的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，∴∴，，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作，的垂線，垂足分別為∵∴當(dāng)在線段上時(shí)，∴在中，∵在中，；當(dāng)E在射線上時(shí)，在中，∴∴∴∴，在中，綜上所述，點(diǎn)到對(duì)角線所在直線的距離為：或或故答案為：或或．三、解答題27．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先計(jì)算絕對(duì)值，零指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值，再合并即可；【詳解】解：．28．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處．這時(shí)，處距離處有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】處距離處有140海里．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題．過(guò)作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，在中，，海里，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），答：處距離處有140海里．29．（2024·北京·中考真題）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．依次根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：原式．30．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函值化簡(jiǎn)，再算加減即可．【詳解】解：原式．31．（2024·廣東深圳·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先將各項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算乘法，最后從左往右計(jì)算即可得【詳解】解：．32．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及特殊三角函數(shù)值，先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行代值求解即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)原式．33．（2024·吉林·中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度，如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意和添加輔助線是解題的關(guān)鍵．先解得到，再解，，即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，由題意得，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：吉塔的高度約為．34．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了特殊值的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和絕對(duì)值，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后合并即可．【詳解】解：35．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．36．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度．如圖，無(wú)人機(jī)在離地面40米的處，測(cè)得操控者的俯角為，測(cè)得樓樓頂處的俯角為，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量得到操控者和大樓之間的水平距離是80米，則樓的高度是多少米？（點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】樓的高度為米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．過(guò)作于，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，，由題意知，，根據(jù)求的值，根據(jù)求的值即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，過(guò)作于，則四邊形是矩形，∴，，由題意知，，∴，∴，∴樓的高度為米．37．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹(shù)的高度．如圖，從C點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)底端B點(diǎn)的仰角是，長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)頂端A點(diǎn)的仰角為，求楊樹(shù)的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上．參考數(shù)據(jù)：．【答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．分別在表示出，，在得出，在中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，，米，∴米，米，米，米在中，，米，米，，米．答：楊樹(shù)的高度約米．38．（2024·湖南·中考真題）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng)．活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積測(cè)量工具皮尺、測(cè)角儀、計(jì)算器等活動(dòng)過(guò)程模型抽象某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測(cè)繪過(guò)程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點(diǎn)E，使得點(diǎn)C，B，E在同一條直線上；②過(guò)點(diǎn)E作，并沿方向前進(jìn)到點(diǎn)F，用皮尺測(cè)得的長(zhǎng)為4米；③在點(diǎn)F處用測(cè)角儀測(cè)得，，；④用計(jì)算器計(jì)算得：，，．，，．請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問(wèn)題（結(jié)果保留整數(shù)）：(1)求線段和的長(zhǎng)度：(2)求底座的底面的面積．【答案】(1)7米；3米(2)18平方米【分析】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得，即可確定長(zhǎng)度，再由得出米，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，繼續(xù)利用正切函數(shù)確定米，即可求解面積．【詳解】（1）解：∵，的長(zhǎng)為4米，，∴，∴米；∵，∴米，∴米；（2）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖所示：∵，∴，∵米，∴米，∴米，∴底座的底面的面積為：平方米．39．（2024·貴州·中考真題）綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實(shí)驗(yàn)操作】第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）【測(cè)量數(shù)據(jù)】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，在同一平面內(nèi)，測(cè)得，，折射角．【問(wèn)題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求的長(zhǎng)；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算出的值；（2）利用銳角三角函數(shù)求出長(zhǎng)，然后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：在中，，∴，∴，（2）解：由題可知，∴，又∵，∴，∴．40．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像在底座上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)為最大視角．(1)請(qǐng)僅就圖2的情形證明．(2)經(jīng)測(cè)量，最大視角為，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角為，點(diǎn)P到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)塑像的高約為【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，然后等量代換即可得證；（2）在中，利用正切的定義求出，在中，利用正切的定義求出，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．則．∵，∴．（2）解：在中，，．∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．答：塑像的高約為．41．（2024·天津·中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)依次在同一條水平直線上，，垂足為．在處測(cè)得橋塔頂部的仰角（）為，測(cè)得橋塔底部的俯角（）為，又在處測(cè)得橋塔頂部的仰角（）為．(1)求線段的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，在中，．在中，．則．解方程即可；（2）求出，根據(jù)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，由，得．，垂足為，．在中，，．在中，，．．得．答：線段的長(zhǎng)約為．（2）在中，，．．答：橋塔的高度約為．42．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫(xiě)過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫(xiě)的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？詞寫(xiě)得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索的長(zhǎng)度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用含α、β和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)秋千繩索的長(zhǎng)度為尺(2)能，【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)度為x尺．由題可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；（2）由題可知，，．在中，得出，同理，．再根據(jù)，列等式即可求出．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)度為x尺．由題可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．解得．答：秋千繩索的長(zhǎng)度為尺．（2）能．由題可知，，．在中，，同理，．∵，∴．∴．43．（2024·山東·中考真題）【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)和湖心島上鳥(niǎo)類棲息點(diǎn)之間的距離【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)．測(cè)量，兩點(diǎn)間的距離以及和，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：米，，．畫(huà)出示意圖，如圖【問(wèn)題解決】（1）計(jì)算，兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)，，，使得，，在同一條直線上，且，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量即可．（2）乙小組的方案用到了________．（填寫(xiě)正確答案的序號(hào)）①解直角三角形

②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．【答案】（1），兩點(diǎn)間的距離為米；（2）②【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖，過(guò)作于，先求解，，再求解及即可；（2）由全等三角形的判定方法可得，可得，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∵米，，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴（米）；即，兩點(diǎn)間的距離為米；（2）∵，，當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，∴，∴，∴，∴只需測(cè)量即可得到長(zhǎng)度；∴乙小組的方案用到了②；44．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，而，即可求證；（2）解求得，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得到，最后對(duì)運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．45．（2024·甘肅臨夏·中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級(jí)，為砼框架式結(jié)構(gòu)，造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開(kāi)展了測(cè)量乾元塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．為乾元塔的頂端，，點(diǎn)，在點(diǎn)的正東方向，在點(diǎn)用高度為1.6米的測(cè)角儀（即米）測(cè)得點(diǎn)仰角為，向西平移14.5米至點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)仰角為，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】乾元塔的高度約為米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)平移后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，分別解，表示出的長(zhǎng)，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)平移后得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則：，，，設(shè)，則：，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴；答：乾元塔的高度約為米．46．（2024·安徽·中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)折射到池底點(diǎn)處．已知與水平線的夾角，點(diǎn)到水面的距離m，點(diǎn)處水深為，到池壁的水平距離，點(diǎn)在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，過(guò)點(diǎn)于，則，，由題意可得，，，，解求出、，可求出，再由勾股定理可得，進(jìn)而得到，即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)于，則，，由題意可得，，，，在中，，，∴，，∴，∴在，，∴，∴．47．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)14(2)【分析】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，分別解與，得出，是解題的關(guān)鍵．（1）先由三角形的高的定義得出，再利用得出；在，根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)即可求解．（2）先由三角形的中線的定義求出的值，則，然后在中根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，∴，在中，，∴，∴；（2）∵是邊上的中線，∴，∴，∴，∴．48．（2024·甘肅·中考真題）習(xí)近平總書(shū)記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開(kāi)展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂直于地面，測(cè)角儀，在兩側(cè)，，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為，在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為．求風(fēng)電塔筒的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)作于G，連接，則四邊形是矩形，可得，，再證明四邊形是矩形，則，，進(jìn)一步證明三點(diǎn)共線，得到；設(shè)，解得到；解得到；則，解得，即，則．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于G，連接，則四邊形是矩形，∴，，∵，∴，由題意可得，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴三點(diǎn)共線，∴；設(shè)，在中，，∴∴；在中，，∴∴；∴，解得，∴，∴，∴風(fēng)電塔筒的高度約為．49．（2024·河北·中考真題）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點(diǎn)P到的距離，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的長(zhǎng)及的值．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意先求解，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如圖，過(guò)作于，結(jié)合，設(shè)，則，再建立方程求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；（2）解：∵，，∴，如圖，過(guò)作于，∵，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴．50．（2024·四川廣元·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊的三角函數(shù)值，零次冪及負(fù)指數(shù)冪計(jì)算，正確掌握各計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．51．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時(shí)，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對(duì)折射率”，簡(jiǎn)稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)對(duì)光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長(zhǎng)方體介質(zhì)，如圖①所示，點(diǎn)A，B，C，D分別是長(zhǎng)方體棱的中點(diǎn)，若光線經(jīng)真空從矩形對(duì)角線交點(diǎn)O處射入，其折射光線恰好從點(diǎn)C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得，問(wèn)題即可得解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）∵，∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點(diǎn)O是中點(diǎn)，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．52．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng)．教學(xué)樓周圍是開(kāi)闊平整的地面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大?。?1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓的高度的方案，方案包括畫(huà)出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫(huà)的圖形上（測(cè)出的距離用等表示，測(cè)出的角用等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明；(2)根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）將測(cè)角儀放在D處，用皮尺測(cè)量出D到的距離為m，用測(cè)角儀測(cè)出A的仰角為，測(cè)出B的俯角為即可；（2）過(guò)C作于E，分別在和中，利用正切的定義求出、，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，將測(cè)角儀放在D處，用皮尺測(cè)量出D到的距離為m，用測(cè)角儀測(cè)出A的仰角為，測(cè)出B的俯角為；（2）解：如圖，過(guò)C作于E，則四邊形是矩形，，，∴，，在中，，在中，，∴，答：教學(xué)樓的高度為．53．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點(diǎn)M．作法如下：①以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑，作弧交于A，B兩點(diǎn)；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)C；即點(diǎn)A，B，C將的圓周三等分．(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)根據(jù)（1）畫(huà)出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟解答即可；（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，得到，根據(jù)的半徑為，是直徑，是等邊三角形，計(jì)算即可．本題考查了尺規(guī)作圖，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)基本作圖的步驟，作圖如下：則點(diǎn)A，B，C是求作的的圓周三等分點(diǎn)．（2）連接，設(shè)的交點(diǎn)為D，根據(jù)垂徑定理得到，∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，∴，，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．54．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組用高度為米的測(cè)角儀，對(duì)垂直于地面的建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量，于點(diǎn)C．在B處測(cè)得A的仰角，然后將測(cè)角儀向建筑物方向水平移動(dòng)6米至處，于點(diǎn)G，測(cè)得A的仰角，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】17.5米【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，由題意可得四邊形是矩形，則．解直角三角形得到，進(jìn)而得到，據(jù)此求出即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知四邊形是矩形，．如圖，．，．，．（米）答：建筑物的高度約為米．55．（2024·廣東·中考真題）中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個(gè)停車位．經(jīng)測(cè)量，，，，，是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長(zhǎng)寬相同，按圖示并列劃定．

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）(1)求的長(zhǎng)；