第一章　必刷小題1　集合、常用邏輯用語、不等式-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習講義人教A版

必刷小題1集合、常用邏輯用語、不等式一、單項選擇題1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－5,x＋1)<0))))，那么A∪B等于()A．(－1,4) B．(－1,4]C．(－2,5) D．[－2,5)答案D解析由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，即A＝[－2,4]．由eq\f(x－5,x＋1)<0，解得－1<x<5，即B＝(－1,5)，所以A∪B＝[－2,5)．2．“x<1”是“x2－4x＋3>0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要條件．3．若不等式2x2＋2kx＋3k>0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是()A．0≤k≤6 B．－6<k<0C．0<k<6 D．k<0或k>6答案C解析由題意，函數(shù)y＝2x2＋2kx＋3k的圖象開口向上，又不等式2x2＋2kx＋3k>0對一切實數(shù)x都成立，∴對應(yīng)方程的判別式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得0<k<6.4．若關(guān)于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有兩個正實數(shù)根，則q的取值范圍是()A．q>8 B．q<－4C．q>8或q<－4 D．q<－8答案D解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝q2－48－q>0，,－q>0，,8－q>0，))解得q<－8.5．若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.6．若正實數(shù)a，b滿足(a＋1)(2b＋1)＝4，則a＋2b＋1的最小值為()A．2B．3C.eq\f(10,3)D．4答案B解析因為a，b為正實數(shù)，所以a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2eq\r(a＋12b＋1)－1＝2eq\r(4)－1＝3，當且僅當a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝eq\f(1,2)時等號成立．7．若關(guān)于x的方程x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，且x1<1<x2，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)，\f(2,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11)，0))答案D解析令f(x)＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))x＋9，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,a)))2－36>0，,f1＝11＋\f(2,a)<0，))解得－eq\f(2,11)<a<0，即a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,11)，0)).8．已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則()A．x1＋x2>1 B．x1＋x2<1C.eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)<eq\f(1,e) D.eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)>eq\f(1,e)答案A解析由題意得eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(x1,x1x2)＋eq\f(x2,x1x2)＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)<e.又(x1＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝1＋eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＋1≥2＋2eq\r(\f(x1,x2)·\f(x2,x1))＝4，當且僅當x1＝x2時等號成立，所以x1＋x2>eq\f(4,e)>1.二、多項選擇題9．下列各結(jié)論正確的是()A．“xy>0”是“eq\f(x,y)>0”的充要條件B.eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))的最小值為2C．命題“?x>1，x2－x>0”的否定是“?x≤1，x2－x≤0”D．“二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要條件答案AD解析xy>0?eq\f(x,y)>0，故A正確；由基本不等式知，eq\r(x2＋9)＋eq\f(1,\r(x2＋9))≥2，當且僅當eq\r(x2＋9)＝eq\f(1,\r(x2＋9))，即x2＝－8時等號成立，由于x2＝－8無解，所以等號不成立，所以取不到最小值2，故B錯誤；命題“?x>1，x2－x>0”的否定是“?x>1，x2－x≤0”，故C錯誤；二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(1,0)，顯然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正確．10．若實數(shù)a，b滿足a<b<0，則()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．lna2>lnb2C．a(chǎn)|a|<b|b| D．a(chǎn)＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a)答案BCD解析由a<b<0?ab>0?eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故A不正確；由a<b<0?－a>－b>0?a2>b2>0?lna2>lnb2，故B正確；因為a<b<0，所以a|a|－b|b|＝－a2＋b2＝(b－a)(b＋a)<0?a|a|<b|b|，故C正確；因為a<b<0，所以a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝eq\f(a－bab＋1,ab)<0?a＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a)，故D正確．11．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，則下列選項正確的是()A．a(chǎn)<0B．b<0且c>0C．a(chǎn)＋b＋c>0D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R答案AB解析由題意得，方程ax2－bx＋c＝0的兩根為－1,2，且a<0，故A正確；所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a，,c＝－2a，))則b<0，c>0，故B正確；所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C錯誤；不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式為(x＋1)2>0，該不等式的解集為{x|x≠－1}，故D錯誤．12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)2＋b2的最小值為eq\f(5,4)B．a(chǎn)b的最大值為eq\f(1,2)C．4a2＋b2的最小值為4D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2)答案BD解析由題意得，a>0，b＝2－2a>0，從而0<a<1，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(4,5)))2＋eq\f(4,5).當a＝eq\f(4,5)時，a2＋b2有最小值eq\f(4,5)，故A錯誤；因為2＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,2)，當且僅當a＝eq\f(1,2)，b＝1時等號成立，故B正確；4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×eq\f(1,2)＝2，當且僅當a＝eq\f(1,2)，b＝1時等號成立，故C錯誤；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(\f(b,a)·\f(2a,b))))＝eq\f(3＋2\r(2),2)＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝2－eq\r(2)，b＝2eq\r(2)－2時等號成立，故D正確．三、填空題13．“α＝β”是“sinα＝sinβ”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一個)答案充分不必要解析若α＝β，則sinα＝sinβ，當α＝0，β＝2π時，sinα＝sinβ，此時α≠β，所以“α＝β”是“sinα＝sinβ”的充分不必要條件．14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B?A，則m的取值范圍為________．答案[－1，＋∞)解析∵B?A，∴當B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2，符合題意；當B≠?時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥－3，,m＋1≤4，,2m－1≤m＋1，))解得－1≤m≤2，綜上所述，m≥－1，即m的取值范圍為[－1，＋∞)．15．若對?1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案{a|a≤4}解析對?1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即對?1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．當x＝1時，不等式為0≤4，恒成立，此時a∈R；當1<x≤4時，a≤eq\f(x2－2x＋5,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)，∵1<x≤4，∴0<x－1≤3，∴x－1＋eq\f(4,x－1)≥2eq\r(x－1·\f(4,x－1))＝4，當且僅當x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3時取等號，∴a≤4.綜上，實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤4}．16．運貨卡車以x千米/時的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設(shè)汽油的價格是6元/升，而汽車每小時耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(x2,360)))升，司機的工資是24元/時．則這次行車的總費用最低為________元．答案260解析設(shè)所用時間為t＝eq\f(130,x)小時，這次行車的總費用為y元．則由題意知y＝eq\f(13