2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練9冪函數(shù)

專練9冪函數(shù)[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．下列函數(shù)既是偶函數(shù)又是冪函數(shù)的是()A．y＝xB．y＝xeq\f(2,3)C．y＝xeq\f(1,2)D．y＝|x|答案：B2．若f(x)是冪函數(shù)，且滿足eq\f(f（4）,f（2）)＝4，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．4B．－4C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,4)答案：C解析：設(shè)f(x)＝xα，則eq\f(f（4）,f（2）)＝eq\f(4α,2α)＝4，∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).3．已知點(diǎn)(m，8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設(shè)a＝f(eq\f(\r(3),3))，b＝f(π)，c＝f(eq\f(\r(2),2))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．b<a<c答案：A解析：由題意知，點(diǎn)(m，8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，所以m－1＝1，8＝(m－1)·mn，則m＝2，n＝3.即f(x)＝x3，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1<π，所以f(eq\f(\r(3),3))<f(eq\f(\r(2),2))<f(π)，即a<c<b.4．若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，則f(21－log23)為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2)D．－1答案：C解析：∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，∴可設(shè)f(x)＝xα，∴5α＝eq\f(1,5)，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1.∴f(21－log23)＝f(2log2eq\f(2,3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－1)＝eq\f(3,2)，故選C.5．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)答案：D解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\f(1,2).∴f(x)為非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選D.6．當(dāng)x∈(0，＋∞)時，冪函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或m＝2D．m≠eq\f(1±\r(5),2)答案：A解析：因為函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋e－x)，則f(x)()A．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)答案：A解析：∵f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，又當(dāng)x>0時，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故選A.8．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足aeq\s\up6(\f(1,2))＝beq\s\up6(\f(1,3))，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．0<b<a<1B．0<a<b<1C．1<a<bD．1<b<a答案：AC解析：由題可知a，b∈[0，＋∞)，設(shè)aeq\s\up6(\f(1,2))＝beq\s\up6(\f(1,3))＝m，則m≥0，畫出y＝xeq\s\up6(\f(1,2))與y＝xeq\s\up6(\f(1,3))在[0，＋∞)上的圖象如圖．由圖可知，當(dāng)m＝0或m＝1時，a＝b；當(dāng)0<m<1時，0<b<a<1；當(dāng)m>1時，1<a<b.故選AC.9．(多選)已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有()A.a＋b>0，ab<0B．a(chǎn)＋b<0，ab>0C．a(chǎn)＋b<0，ab<0D．以上都可能答案：BC解析：由函數(shù)f(x)為冪函數(shù)可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.當(dāng)m＝－1時，f(x)＝eq\f(1,x3)；當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3.由題意知函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，因此f(x)＝x3，在R上單調(diào)遞增，且滿足f(－x)＝－f(x).結(jié)合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.當(dāng)a＝0時，b<0，ab＝0；當(dāng)a>0時，b<0，ab<0；當(dāng)a<0時，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．二、填空題10．已知a∈{－2，－1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1，2，3}，若冪函數(shù)f(x)＝xa為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則a＝________.答案：－111．已知冪函數(shù)f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)滿足f(2)<f(3)，則答案：f(x)＝x2解析：冪函數(shù)f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)滿足f(2)<f(3)，故－k2＋k＋2>0，∴－1<k<2，又k∈N*，∴k＝1，f12．若冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2-6m＋8在(0，＋答案：1解析：由已知得m2－4m＋4＝1，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或3.當(dāng)m＝1時，f(x)＝x3，符合題意；當(dāng)m＝3時，f(x)＝x－1，不符合題意．故m＝1.[能力提升]13．冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，則a－eq\f(1,b)＝()A．0B．1C．eq\f(1,2)D．2答案：A解析：因為BM＝MN＝NA，點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，所以M(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，N(eq\f(2,3)，eq\f(1,3))，分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)，b＝logeq\f(2,3)eq\f(1,3)，∴a－eq\f(1,b)＝logeq\f(1,3)eq\f(2,3)－eq\f(1,log\f(2,3)\f(1,3))＝0.14．(多選)[2024·重慶開州區(qū)質(zhì)量檢測]已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則下列說法正確的有()A．函數(shù)f(x)為增函數(shù)B．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C．若x＞1，則f(x)＞1D．若0＜x1＜x2，則eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))答案：ACD解析：將點(diǎn)(4，2)的坐標(biāo)代入函數(shù)f(x)＝xα中得2＝4α，則α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)).顯然f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù)，所以A正確．f(x)的定義域為[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正確．當(dāng)x＞1時，eq\r(x)＞1，即f(x)＞1，所以C正確．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))≥0，若0＜x1＜x2，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x1）＋f（x2）,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))eq\s\up12(2)＝(eq\f(\r(x1)＋\r(x2),2))2－(eq\r(\f(x1＋x2,2)))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝－eq\f(（\r(x1)－\r(x2)）2,4)＜0，即eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D正確．故選ACD.15．右圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，則相應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2，2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案：B解析：當(dāng)x＝2，n取2，－2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)四個值時，依次對應(yīng)的函數(shù)值為4，eq\f(1,4)，eq\r(2)，eq\f(\r(2),2)，因此有C1，C2，C3，C4對應(yīng)的n值分