解析選修22024-2025學年新教材高考數(shù)學第九章平面解析幾何5考點2橢圓的幾何性質(zhì)練習含

PAGE2PAGE3考點2橢圓的幾何性質(zhì)（2024·北京卷（理））已知橢圓M：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），雙曲線N：x2m2－y2n【解析】方法一雙曲線N的漸近線方程為y＝±nmx，則nm＝tan60°＝3，∴雙曲線N的離心率e1滿意e12＝1＋n2由y=3x,x2a2如圖，設D點的橫坐標為x，由正六邊形的性質(zhì)得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴4a2b23a2+b2＝a2－b2，得3a4∴3－6b2a2－b2a∴橢圓M的離心率e2滿意e22＝1－b2∴e2＝3－1.方法二雙曲線N的漸近線方程為y＝±nmx則nm＝tan60°＝3又c1＝m2+n2＝2m，∴雙曲線如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點，設正六邊形的邊長為1，則|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.又E為橢圓M上一點，則|EF|＋|EC|＝2a，即1＋3＝2a，∴a＝1+3∴橢圓M的離心率為c2a＝21+【答案】3－12（2024·浙江卷）已知點P（0,1），橢圓x24＋y2＝m（m＞1）上兩點A，B滿意AP＝2PB，則當m＝________時，點B橫坐標的【解析】方法一如圖，設A（xA，yA），B（xB，yB），由于橢圓具有對稱性，不妨設點B在第一象限，則xB＞0，yB＞0.∵P（0,1），AP＝2PB，∴（－xA,1－yA）＝2（xB，yB－1）．∴－xA＝2xB，即xA＝－2xB．設直線AB：y＝kx＋1（k＞0）．將y＝kx＋1代入x24＋y2＝得（1＋4k2）x2＋8kx＋4－4m＝0.（*）∴xA＋xB＝－xB＝－8k1+∴xB＝8k1+4k2＝8當且僅當1k＝4k，即k＝12時，x此時方程（*）化為x2＋2x＋2－2m＝0，xA·xB＝－2xB2＝－8，即2－2解得m＝5.當點B在其他象限時，同理可解．方法二設直線AB：y＝kx＋1（k≠0），A（xA，yA），B（xB，yB）．由P（0,1），AP＝2PB，得xA＝－2xB．由y=kx+1,x24+y2=m,得（1＋4k2）∴xA＋xB＝－xB＝-8k4k2+1，xAxB＝－2xB2＝4-4m4k2+1|xB|＝8k4k2當且僅當|k|＝12時，|xB|max＝2，此時m【答案】5（2024·全國Ⅱ卷（理））已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠FA．2B．1C．1D．1【解析】如圖，作PB⊥x軸于點B．由題意可設|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故