2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破04比較大小

《比較大小》專項突破高考定位比較大小題型每年必考，而且以多種形式出現(xiàn)，可以囊括中學(xué)各部分學(xué)問，綜合性極強(qiáng)，該題型很好的考察了學(xué)生的綜合素養(yǎng)?？键c解析（1）特別值法（2）單調(diào)性法（3)基本不等式法（4）放縮法（5）圖像法（6）作差法（7）作商法（8）構(gòu)造法（9）反證法題型解析類型一、特別值法例1-1．已知，則的大小關(guān)系正確的為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：，，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，，故選：B.例1-2．設(shè)，記，，，則比較，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)，得到，再利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷.【詳解】因為，所以，，，所以，故選：A例1-3．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)時的大小，利用特值法即可求得結(jié)果.【詳解】因為，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以比較a，b，c的大小，只需比較當(dāng)時的大小即可.用特別值法，取，簡潔知，再對其均平方得，明顯，所以，所以故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)時的大小，再通過特別值法即可得答案.例1-4．設(shè)，，若，，，則實數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用，可知，結(jié)合不等式性質(zhì)知，，，再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)干脆求解．【詳解】，，利用不等式性質(zhì)可知，，，，，，實數(shù)，，的大小關(guān)系為．故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查指數(shù)對數(shù)的大小推斷，推斷方法：解題時要依據(jù)實際狀況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，假如指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實力，屬于基礎(chǔ)題.類型二、單調(diào)性法例2-1．設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性推斷的大小關(guān)系.【詳解】因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，故.故選：C練．已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，因為在上單調(diào)遞增﹐則，又.故.故選：B.練．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷可得；【詳解】解：因為，所以，即，又，即，所以；故選：B類型三、簡潔同構(gòu)法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先依據(jù)題意得到，從而得到，又依據(jù)，，從而得到，即可得到答案.【詳解】因為，，所以，即.又因為，，即，所以.故選：A練．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】利用對數(shù)運算、指數(shù)運算化簡，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較三者的大小關(guān)系.【詳解】，所以，，所以.故選：D例3-2．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用比差法分別比較與，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以；又，所以，所以.故選：D.練．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)三個數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，最終依據(jù)單調(diào)性進(jìn)行比較大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，.故選：A練．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性，可推斷，令，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可推斷出，從而可選出正確答案.【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，即；，則，所以，故選：C．【點睛】思路點睛：比較幾個數(shù)的大小關(guān)系時，常用的思路是：1、求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合增減性進(jìn)行推斷；2、利用作差法，推斷兩數(shù)與零的關(guān)系；3、利用作商法，推斷兩數(shù)與1的關(guān)系.練．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把a(bǔ)、b、c化為“同構(gòu)”形式，利用函數(shù)的單調(diào)性推斷大小.【詳解】∵，∴，因為為增函數(shù)，所以，所以.故選：B【點睛】指、對數(shù)比較大?。海?）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。唬?）結(jié)構(gòu)不同的，找尋“中間橋梁”，通常與0、1比較.練．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大??；【詳解】解：設(shè)，，則恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，∵，，∴，故選：D.例3-3．已知，若，則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不確定【答案】C【分析】由得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，從而推斷出，即可得到.【詳解】因為，所以，即，設(shè)，則，令=0，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因為，，所以，所以，即.故選：C.【點睛】指、對數(shù)比較大?。海?）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）結(jié)構(gòu)不同的，找尋“中間橋梁”，通常與0、1比較.練．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性得到和，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性得到，即可得到答案.【詳解】因為在上為增函數(shù)，所以，即.因為在為增函數(shù)，所以，即.設(shè)，，令，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).則，即，因此，即，.又，所以.所以.故選：A【點睛】本題主要考查指數(shù)和冪的比較大小，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性來比較大小為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.練．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可得出a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】解：令，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，

同理可得：，

∴.

故選：C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.類型四、中間量例4-1．若，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：，由冪函數(shù)的單調(diào)性知：，所以，又由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：綜上有：.故選：A例4-2．已知，，，則，，的大小依次是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，推斷.【詳解】因為，，，所以故選：D練．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)指數(shù)運算與對數(shù)的性質(zhì)，求得，，，再結(jié)合，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】依據(jù)指數(shù)運算與對數(shù)運算的性質(zhì)，可得，，，設(shè)，因為函數(shù)為增函數(shù)，由于，所以，所以.故選：C.練．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.【詳解】由，由，，所以，故選：B類型五、放縮法例5-1．若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用的單調(diào)性求出a值范圍；再利用的單調(diào)性比較b和c的大小而得解.【詳解】因，且函數(shù)是增函數(shù)，于是；函數(shù)是增函數(shù)，，而，則，，即，綜上得：故選：D練．設(shè)，記，，，則比較，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)，得到，再利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷.【詳解】因為，所以，，，所以，故選：A練．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)值即可得出選項.【詳解】因為，所以，，，所以.故選：C練．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來推斷數(shù)值大小.【詳解】由對數(shù)及指數(shù)的單調(diào)性知：

，，，

所以，，的大小關(guān)系為.

故選：C.類型六、比較法例6-1作差法．設(shè)，，，則a，b，c的大小依次為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通過變形，而，故可推斷大小，再作差利用基本不等式有即可得解.【詳解】由，，所以，所以，故選：A.【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的比較大小，對數(shù)函數(shù)的比較大小是高考中重點考查對象，考查了利用中間量以及作差法比較大小，考查了變形轉(zhuǎn)化以及對數(shù)的運算實力，比較大小有以下幾種方法：（1）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小；（2）中間量法比較大??；（3）作差法、作商法比較大小.例6-2作商法．已知，，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)對數(shù)的運算法則及性質(zhì)比較與的大小，利用作商法比較的大小.【詳解】由,因為，故，所以，因為，故，所以因為，故，因為，故，所以，所以，故，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)將寫成對數(shù)，，利用函數(shù)的單調(diào)性比較真數(shù)大小即可，利用作商及放縮的方法可得的大小，屬于較難題目.練．已知，，，則，，的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】D【分析】先由題，易知，而，再將b，c作商，利用對數(shù)的運算以及基本不等式，求得比值與1作比較即可得出答案.【詳解】因為，故所以，即故選D【點睛】本題考查了對數(shù)的運算以及基本不等式的綜合，解題的關(guān)鍵是在于運算的技巧以及性質(zhì)，屬于中檔偏上題型.類型七、圖像法例7-1．若，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別畫出函數(shù)的圖象，由圖象交點坐標(biāo)，即可推斷得出的大小關(guān)系.【詳解】分別畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象，可得.故選：B.練．若，，，則實數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定各方程根的范圍，進(jìn)而比較它們的大小.【詳解】對于，由與有交點，過一、二象限，過一、四象限，∴與的交點必在第一象限且單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，而，，可得，對于，由與有交點，過一、二象限，過一、四象限，∴與的交點必在第一象限且單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，而，，，可得，對于，明顯有，∴，，的大小關(guān)系為，故選：D.例7-2．已知，且，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，.依次作出，，，在上的圖像，然后依據(jù)函數(shù)圖像可求得答案【詳解】，，.依次作出，，，在上的圖像，如圖所示.由圖像可知，，，所以.故選：C.練．正實數(shù)，，滿意，，，則實數(shù)，，之間的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將，，，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，與的圖象交點的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，如圖所示：由圖象可知：.故選：A.練．已知，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先對取對數(shù)，可比較，的大小關(guān)系，利用對數(shù)的運算推斷與的大小關(guān)系，即可利用單調(diào)性推斷的范圍，進(jìn)而可得出，，的大小關(guān)系.【詳解】對兩邊同時取常用對數(shù)可得,所以，，因為在單調(diào)遞增，所以，所以，即，又因為，，所以，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是取對數(shù)推斷，的大小關(guān)系，推斷與的關(guān)系利用單調(diào)性得出的范圍.類型八、方程中隱含條件例8-1．已知正數(shù)，，滿意，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．以上均不對【答案】A【分析】將看成常數(shù)，然后依據(jù)題意表示出，再作差比較出大小即可【詳解】解：由，得，則，得，所以，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即所以，所以，綜上，故選：A練．設(shè)正實數(shù)a，b，c，滿意，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，并推斷的范圍，通過變形得，得的大小關(guān)系，再干脆解方程求的范圍，最終三個數(shù)比較大小.【詳解】設(shè)，時，恒成立，在單調(diào)遞增，時，，而，所以，，故，即，而，所以．故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并且依據(jù)指對互化，這樣依據(jù)單調(diào)性可得.練．設(shè)，，為正實數(shù)，且，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】為正實數(shù)，且，可得：,然后變形，構(gòu)造函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】為正實數(shù)，且，可得．∴，令，又在上單調(diào)遞增，∴，即，故選：B．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是指數(shù)式與對數(shù)式的互化、構(gòu)造冪函數(shù)并運用其的單調(diào)性．例8-2．已知、、均為不等于的正實數(shù)，且，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，、、同號，分、、和、、兩種狀況探討，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，且、、均為不等于的正實數(shù)，則與同號，與同號，從而、、同號.①若、、，則、、均為負(fù)數(shù)，，可得，，可得，此時；②若、、，則、、均為正數(shù)，，可得，，可得，此時.綜上所述，.故選：A.【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）推斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性干脆解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.練．已知大于1的三個實數(shù)滿意，則的大小關(guān)系不行能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，則為的零點，依據(jù)判別式可得，就和分類探討后可得的大小關(guān)系.【詳解】令，則為的零點且該函數(shù)圖象的對稱軸為，故，因為，故，所以即.又，若，則，故即.若，則，所以或者，即或.故選：D.【點睛