2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式章末復(fù)習(xí)課導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

其次章章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)考點(diǎn)聚考點(diǎn)一不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．利用不等式的性質(zhì)可以比較兩個(gè)數(shù)或式的大小，可以證明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比較大小和證明不等式的方法．2．通過(guò)對(duì)不等式性質(zhì)的考查，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．例1(多選)下列不等式中不成立的是()A．若a>b>0，則ac2>bc2B．若a>b>0，則a2>b2C．若a<b<0，則a2<ab<b2D．若a<b<0，則1a>跟蹤訓(xùn)練1已知a、b、c、d∈R，下列命題正確的是()A．若a>b，則ac>bcB．若a>b，c>d，則ac>bdC．若a>b，則1a<D．若1a<1b，則|a|>|考點(diǎn)二基本不等式1．基本不等式為ab≤a+b2，其變式為ab2．通過(guò)對(duì)基本不等式考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2(多選)下列結(jié)論中，全部正確的結(jié)論是()A．當(dāng)x>0時(shí)，x+B．當(dāng)x<0時(shí)，x＋1xC．當(dāng)x>－3時(shí)，y＝x＋1x+3D．當(dāng)x<54時(shí)，y＝4x－2＋1跟蹤訓(xùn)練2已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋2y＝xy，則x＋y的最小值為_(kāi)_______．考點(diǎn)三一元二次不等式的解法1．解一元二次不等式需熟識(shí)一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，其中二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是聯(lián)系這三個(gè)“二次”的樞紐．(1)確定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判別式Δ＞0時(shí)解集的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵．在未確定a的取值狀況下，應(yīng)先分a＝0和a≠0兩種狀況進(jìn)行探討．(2)若給出了一元二次不等式的解集，則可知二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)和方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系就可知a，b，c之間的關(guān)系．(3)解含有參數(shù)的一元二次不等式，要留意對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行探討：①對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小進(jìn)行探討；②在轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次不等式后，對(duì)判別式與0的大小進(jìn)行探討；③當(dāng)判別式大于0，但兩根的大小不確定時(shí)，對(duì)兩根的大小進(jìn)行探討．2．通過(guò)對(duì)一元二次不等式解法的考查，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例3(1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是α<x<β，其中β>α>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；(2)解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．跟蹤訓(xùn)練3已知關(guān)于x的不等式x2－x＋a－a2≤0.(1)若a＝2時(shí)，求不等式的解集；(2)求不等式的解集．考點(diǎn)四不等式恒成立問(wèn)題1．?huà)故祚{馭一元二次不等式恒成立的等價(jià)條件，理解不等式恒成立與最值的關(guān)系，對(duì)于含參的不等式要留意對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討，做到不重不漏．2．通過(guò)對(duì)不等式恒成立問(wèn)題的考查，提升學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例4已知關(guān)于x的不等式mx2＋mx－2<0.(1)當(dāng)x∈R時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)當(dāng)x∈{x|－3≤x≤－1}時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)y＝x2＋ax＋2.(1)若對(duì)?x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若?x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)五不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．不等式的實(shí)際問(wèn)題常以函數(shù)為背景，多以解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的優(yōu)化問(wèn)題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值．2．通過(guò)對(duì)不等式實(shí)際問(wèn)題的考查，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例5某市為推動(dòng)漂亮鄉(xiāng)村建設(shè)，發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)，激勵(lì)某食品企業(yè)生產(chǎn)一種飲料，該飲料每瓶成本為10元，售價(jià)為15元，月銷售8萬(wàn)瓶．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若每瓶售價(jià)每提高1元，月銷售量將削減8000瓶，要使下月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)，該飲料每瓶售價(jià)最多為多少元？(2)為提高月總利潤(rùn)，企業(yè)確定下月調(diào)整營(yíng)銷策略，安排每瓶售價(jià)x(x≥16)元，并投入334(x－16)萬(wàn)元作為調(diào)整營(yíng)銷策略的費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每瓶售價(jià)每提高1元，月銷售量將相應(yīng)削減0.8x-跟蹤訓(xùn)練5某學(xué)校欲在廣場(chǎng)旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪四周(斜線部分)均種滿寬度相同的鮮花．已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米．(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚焦·分類突破例1解析：A.若a>b>0，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故A滿意題意；B．若a>b>0，則a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，故B不滿意題意；C．若a<b<0，則a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，故C滿意題意；D．若a<b<0，則1a-1b＝b-答案：AC跟蹤訓(xùn)練1解析：對(duì)于A，當(dāng)c≤0時(shí)不成立；對(duì)于B，當(dāng)a＝1，b＝－2，c＝0，d＝－1時(shí)，明顯不成立；對(duì)于C，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)不成立；對(duì)于D，因?yàn)?<1a<1b，所以有|a|>|b|>0，即|a|>|答案：D例2解析：對(duì)于A，因?yàn)閤>0，所以x+1x對(duì)于B，因?yàn)閤<0，所以x＋1x＝－(－x)－≤－2-x·1-x＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x對(duì)于C，因?yàn)閤>－3，則x＋3>0，所以y＝x＋1x+3＝x＋3＋1x+3－3≥2x+3·1x+3－3＝－1當(dāng)且僅當(dāng)x＋3＝1x+3，即x＝－2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x>－3時(shí)對(duì)于D，因?yàn)閤<54，則4x－5<0，所以y＝4x－2＋14x-5＝4x－5＋14x－25-4x·15-4x＋3＝1當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝15-4x，即x＝1時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)答案：AC跟蹤訓(xùn)練2解析：因?yàn)閤＋2y＝xy，x，y都是正實(shí)數(shù)，所以1y+2x＝1，所以x＋y＝(x＋y)(2x+1y)＝2＋xy+2yx＋1≥3＋22，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝2yx，x＋2y＝xy時(shí)等號(hào)成立，即答案：3＋22例3解析：(1)由已知不等式可得a<0，α、β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以α+由cx2＋bx＋a<0得cax2＋ba則有αβx2－(α＋β)x＋1>0即(αx－1)(βx－1)>0，因?yàn)棣?gt;α>0，所以0<1β<1所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x<1β或x>1(2)不等式ax2－(a＋4)x＋4<0等價(jià)于(ax－4)(x－1)<0，其中a∈R，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式化為4x－4>0，解得x>1，則不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)a>0時(shí)，不等式等價(jià)于(x－4a)(x若4a>1，即0<a<4，不等式的解集為{x|1<x<4若4a＝1，即a若0<4a<1，即a>4，不等式的解集為{x|4a<當(dāng)a<0時(shí)，不等式等價(jià)于(x－4a)(x－1)>0，且4a<0<1，則不等式的解集為{x|x<4a綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|x<4a或x當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<4時(shí)，不等式的解集為{x|1<x<4a當(dāng)a＝4時(shí)，不等式的解集為空集；當(dāng)a>4時(shí)，不等式的解集為{x|4a<x跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，x2－x－2≤0，(x＋1)(x－2)≤0，得－1≤x≤2，所以不等式的解集為{x|－1≤x≤2}．(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－a)]≤0，當(dāng)a<1－a，即a<12時(shí)，不等式的解集為{x|a≤x≤1－a當(dāng)a＝1－a，即a＝12時(shí)，不等式的解集為1當(dāng)a>1－a，即a>12時(shí)，不等式的解集為{x|1－a≤x≤a綜上，當(dāng)a<12時(shí)，不等式的解集為{x|a≤x≤1－a}，當(dāng)a＝12時(shí)，不等式的解集為12，當(dāng)a>12時(shí)，不等式的解集為{x|1－a≤例4解析：(1)∵關(guān)于x的不等式mx2＋mx－2<0，當(dāng)x∈R時(shí)不等式恒成立，∴當(dāng)m＝0時(shí)，－2<0，明顯成立；當(dāng)m≠0時(shí)，要使x∈R時(shí)不等式恒成立，∴m<0Δ=綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|－8<m≤0}．(2)當(dāng)－3≤x≤－1時(shí)，關(guān)于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，(ⅰ)當(dāng)m＝0時(shí)，－2<0，明顯成立；(ⅱ)當(dāng)m≠0時(shí)，①當(dāng)m>0時(shí)，令y＝mx2＋mx－2，二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為直線x＝－12∴y在－3≤x≤－1上隨x的增大而減小，要使當(dāng)－3≤x≤－1時(shí)，關(guān)于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，則即9m－3m－2<0，解得0<m<13②當(dāng)m<0時(shí)，令y＝mx2＋mx－2，二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為直線x＝－12∴y在－3≤x≤－1上隨x的增大而增大，要使當(dāng)－3≤x≤－1時(shí)，關(guān)于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，即m－m－2<0，明顯恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m<13跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)依題意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立，所以a≥－x2+4x＝－(x＋4所以a≥-x由－(x＋4x)≤－4，當(dāng)且僅當(dāng)x所以a≥－4，即a∈{a|a≥－4}．(2)依題意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解，所以a≥－x2+4x＝－(x＋4所以a≥-x所以當(dāng)x＝1時(shí)，-x所以a≥－5，即a∈{a|a≥－5}．例5解析：(1)設(shè)提價(jià)a元，由題意，每瓶飲料的利潤(rùn)為(a＋5)元，月銷售量為(8－0.8a)萬(wàn)瓶，所以提價(jià)后月銷售總利潤(rùn)為(a＋5)(8－0.8a)萬(wàn)元．因?yàn)樵瓉?lái)月銷售總利潤(rùn)為5×8＝40(萬(wàn)元)，月利潤(rùn)不低于原來(lái)月利潤(rùn)，所以(a＋5)(8－0.8a)≥40，即a2－5a≤0，所以0≤a≤5，所以售價(jià)最多為5＋15＝20(元)，故該飲料每瓶售價(jià)最多為20元．(2)由題意，每瓶利潤(rùn)為(x－10)元，月銷售量為8－0.8x-152(x－15)＝(8－0.8x-15)萬(wàn)瓶，設(shè)下月總利潤(rùn)為y＝(x－10)(8－0.8整理得y＝－14x－4＝－[14(x－15)＋4因?yàn)閤≥16，所以x－15≥1，所以y≤－214當(dāng)且僅當(dāng)x＝19時(shí)取到等號(hào)，故當(dāng)每瓶售價(jià)為19元時(shí)，下月的最大總利潤(rùn)為45.45萬(wàn)元．跟蹤訓(xùn)練5解