初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）初高銜接第02講：因式分解（教師版）

第02講：因式分解【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、公式法(立方和、立方差公式)這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．考點(diǎn)二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．考點(diǎn)三、十字相乘法1．型的因式分解(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．.因此，.2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．題型突破題型一：提取公因式和公式法因式分解1．多項(xiàng)式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個(gè)因式是x﹣2y，另一個(gè)因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【分析】首先將原式重新分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【詳解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式的因式分解，項(xiàng)數(shù)多需用分組分解法，在分組后得到兩項(xiàng)中含有公因式（x-2y），將其當(dāng)成整體提出，進(jìn)而得到答案.2．因式分解(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提公因式即可；（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；（3）用平方差公式分解即可；（4）用兩次平方差公式分解即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，根據(jù)不同題目選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．3．閱讀下列材料：已知a2+a-3=0，求a2(a+4)的值．解：∵a2=3-a，∴a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，∴a2(a+4)=9．根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：（1）若a2-a-10=0，則2(a+4)(a-5)的值為____________．（2）若x2+4x-1=0，求代數(shù)式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．【答案】（1）﹣20；（2）﹣1【分析】（1）仿照材料中的解法過程，利用整體代入方法求解即可；（2）根據(jù)因式分解和整式的混合運(yùn)算化簡，再整體代入求解即可．【詳解】解：（1）∵a2﹣a﹣10=0，∴a2﹣a=10，∴2(a+4)(a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，故答案為：﹣20；（2）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1，x2=1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1=﹣2+8x﹣8x+1=﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式的混合運(yùn)算、代數(shù)式的求值，運(yùn)用類比和整體代入思想是解答的關(guān)鍵．4．【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或有關(guān)運(yùn)算．例如：對于．（1）用配方法分解因式；（2）當(dāng)取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)用配方法因式分解：；(2)試說明不論為何值，代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)；(3)若已知且，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)題干信息，利用配方法分解因式即可；（2）先利用配方法將變形為，根據(jù)二次方的非負(fù)性，求出的值恒為負(fù)數(shù)；（3）先將變形為，得出，即可求出．【詳解】（1）解：．（2）解：，，，不論為何值，代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)．（3）解：，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．題型二：分組分解法5．把下列各式因式分解(1)a(a-3)+2(3-a)

(2)(3)(4)【答案】（1）(a-3)(a-2)（2）4a(b+c)（3）（4）(2a-b)(2a+b+3)【詳解】試題分析：（1）先把原式化為，再用“提公因式法”分解即可；（2）先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；（3）用“完全平方公式”分解即可；（4）先把原式分組化為，兩組分別分解后，再提“公因式”即可.試題解析：（1）a(a-3)+2(3-a)

=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2).（2）=[（a+b+c）+(a-b-c)][（a+b+c）-(a-b-c)]=（a+b+c+a-b-c）（a+b+c-a+b+c)=2a(2b+2c)=4a(b+c).（3）===.（4）=（）+（6a-3b）=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3).6．（1）分解因式：（2）分解因式：【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)分組分解法進(jìn)行因式分解即可；（2）先提取公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，最后根據(jù)完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，常見的方法有：提公因式法，公式法，分組分解法等，靈活選擇因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．7．閱讀下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如，細(xì)心觀察這個(gè)式子會發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，分解過程為：分組組內(nèi)分解因式整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊滿足，判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)(2)為等腰三角形；理由見解析【分析】（1）先用平方差公式與提公因式法分組分解，然后根據(jù)整體思想提公因式即可；（2）將通過因式分解化為；由三角形的三邊關(guān)系可知；所以，即，從而得出結(jié)論；【詳解】（1）解：（2）解：依據(jù)分組分解法，得根據(jù)三角形三邊關(guān)系，易得∴∴∴為等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8．閱讀材料：若，求x，y的值．解：∵∴∴∴，∴根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1），求的值；（2），，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）將方程的左邊分組配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，可求得的值，最后代入即可解題；（2）由整理得，，代入已知等式中，利用完全平方公式化簡，最后由偶次方的非負(fù)性解題即可【詳解】解：（1）∵∴∴∴，∴，∴；（2）∵，∴∵∴∴∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，涉及完全平方公式化簡、偶次方的非負(fù)性，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型三：十字相乘法9．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【答案】(1)(2)±2，±7(3)【分析】（1）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)?18＝?9×2，一次項(xiàng)系數(shù)7＝?2＋9，然后進(jìn)行分解即可；（2）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，然后進(jìn)行計(jì)算求出p的所有可能值即可；（3）仿照例題的方法，這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，然后進(jìn)行分解計(jì)算即可．【詳解】（1）解：＋7x?18＝＋（?2＋9）x＋（?2）×9＝（x?2）（x＋9）故答案為：（x?2）（x＋9）．（2）解：∵，∴，∴若＋px＋6可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是：±2，±7．故答案為：±2，±7．（3）解：?6x+8＝0，（x?2）（x-4）＝0，（x?2）＝0或（x-4）＝0，∴，＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解題的關(guān)鍵．10．因?yàn)?，這說明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，我們把代入此多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述閱讀材料求解：(1)若是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，求的值；(2)若和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，試求，的值．(3)在（2）的條件下，把多項(xiàng)式因式分解．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）將代入多項(xiàng)式并使多項(xiàng)式等于，求；（2）將和分別代入多項(xiàng)式并使多項(xiàng)式等于，解二元一次方程組，求，；（3）將（2）中解得的，的值代入多項(xiàng)式，然后進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，當(dāng)時(shí)，，解得；（2）和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，，解得．，．（3）解：由（2）得即為，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的創(chuàng)新應(yīng)用，熟練掌握因式分解的原理是解題的關(guān)鍵．11．因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先將和分別看作一個(gè)整體，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是關(guān)于x、y、z的輪換式，若將原式視為關(guān)于x的多項(xiàng)式，則當(dāng)x=y時(shí)，原式=0，故原式含有因子，又因?yàn)樵绞顷P(guān)于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子，，又因?yàn)樵綖閤，y，z的五次式，因此可以設(shè)，利用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：當(dāng)時(shí)，原式等于0，故原式含有因子，又因?yàn)樵绞顷P(guān)于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子，，又因?yàn)樵綖閤，y，z的五次式，故可設(shè)令，，得，令，，得，解得，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系數(shù)法，熟練掌握和運(yùn)用這些方法因式分解是解題的關(guān)鍵．12．閱讀材料：解方程x2+2x﹣35＝0我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式x2+2x﹣35，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：?7x﹣5x＝2x．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．（2）根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0，則方程x2+2x﹣35＝0可以這樣求解x2+2x﹣35＝0方程左邊因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解為x1＝5，x2＝﹣7（3）試用上述方法和原理解下列方程：①x2+5x+4＝0；②x2﹣6x﹣7＝0；③x2﹣6x+8＝0；④2x2+x﹣6＝0．【答案】①，；②，；③，；④，．【分析】①②③④均是根據(jù)題目中的方法，先進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)乘法原理即可求解各一元二次方程．【詳解】解：①，，解得：，；②，，解得：，；③，，解得：，；④，，解得：，．【點(diǎn)睛】題目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解題目中的解法并學(xué)會運(yùn)用是解題關(guān)鍵．題型四：因式分解的綜合13．已知，求下列代數(shù)式的值：（1）（2）【答案】（1）13；（2）【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行化簡后代入求值即可解答；（2）利用平方差公式進(jìn)行化簡后代入求值即可解答；【詳解】（1）；（2）；【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.14．把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根據(jù)題意，由完全平方公式，可以知道橫線上是，（2）按照題干上的示例可以將分為，再利用完全平方公式即可求解，（3）根據(jù)題意的方法，先將因式分解為完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根據(jù)題意先將因式分解，變成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學(xué)中的問題；把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛，既可以利用配方法進(jìn)行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同時(shí)對于（4）中幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，可得這幾個(gè)加數(shù)同時(shí)為零，求出未知數(shù)的值，這一知識在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．15．嘉淇上小學(xué)時(shí)得知“一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除”，她后來做了如下分析：嘉淇的分析：∵為整數(shù)，5為整數(shù)，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通過計(jì)算驗(yàn)證能否被3整除；(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；(3)設(shè)是一個(gè)四位數(shù)．，，，分別為對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請論證“若能被3整除，則這個(gè)數(shù)可以被3整除”．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)整數(shù)的除法計(jì)算即可；（2）仿照例題因式分解后得到3與某數(shù)相乘即可得到結(jié)論；（3）仿照例題因式分解后得到3與某數(shù)相乘即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∴258能被3整除；（2）∵為整數(shù)，6為整數(shù)，∴能被3整除，能被3整除，∴能被3整除．（3）證明：，∵能被3整除，∴若“”能被3整除，則能被3整除；【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，正確掌握因式分解的方法及例題中的解題方法是解題的關(guān)鍵．16．材料一：若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為10，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)四位數(shù)為“十全數(shù)”．交換這個(gè)“十全數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，得到新的四位數(shù)叫做這個(gè)“十全數(shù)”的“對應(yīng)數(shù)”．例如：1298是“十全數(shù)”，其“對應(yīng)數(shù)”為9812；5752是“十全數(shù)”，其“對應(yīng)數(shù)”為5257．材料二：若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．例如：，則0是完全平方數(shù)；，則121是完全平方數(shù)．(1)證明：一個(gè)“十全數(shù)”與其“對應(yīng)數(shù)”之差能被11整除；(2)記為“十全數(shù)”，為的“對應(yīng)數(shù)”，且．若，求滿足是完全平方數(shù)的所有“十全數(shù)”．【答案】(1)見解析(2)7337【分析】（1）用a，b表示“十全數(shù)”和“對應(yīng)數(shù)”，再求差并分解因式證明；（2）列式表示，再利用代入驗(yàn)證法求解．【詳解】（1）解：設(shè)“十全數(shù)”的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，則十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，則這個(gè)“十全數(shù)”為：，它的“對應(yīng)數(shù)”為，，∴，所以一個(gè)“十全數(shù)”與其“對應(yīng)數(shù)”之差能被11整除；（2）解：設(shè)“十全數(shù)”m的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，則十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，，，∴，由題意得：或且，∴為完全平方數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握代入驗(yàn)證法是解題的關(guān)鍵．【專題突破】一、單選題17．下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義對選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做因式分解．A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；B、形式上符合因式分解，但等號左右不是恒等變形，等號不成立，不符合題意；C、符合因式分解的形式，符合題意；D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解決本題的關(guān)鍵是充分理解并應(yīng)用因式分解的定義．18．下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】【分析】根據(jù)因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要徹底．【詳解】A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故C選項(xiàng)正確；D.=（x-2）2，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步驟：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要徹底．19．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【詳解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=×（1+4+1）=3，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．20．已知是自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】將原式變形為，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，進(jìn)而得到，根據(jù)三個(gè)數(shù)均為自然數(shù)，解得，此時(shí)分類討論a和c的值即可求解．【詳解】原式=∵式中有乘數(shù)3的倍數(shù)∴∵不能被3整除∴原式中只能有1個(gè)3∴原式化為∴∴∵是自然數(shù)∴解得當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，同底數(shù)冪乘法的應(yīng)用，因式分解，重點(diǎn)是掌握相關(guān)運(yùn)算法則．21．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先把a(bǔ)2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac兩兩結(jié)合為a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a(bǔ)、b、c代入求值即可．【詳解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）當(dāng)a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013時(shí)，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故選D．【點(diǎn)睛】本題利用因式分解求代數(shù)式求值，注意代數(shù)之中字母之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用因式分解，巧妙解答題目．22．圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由主視圖和左視圖的寬為c，結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案．【詳解】解：∵，，∴俯視圖的長為，寬為，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高．23．已知中，，若，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)a2﹣ab﹣2b2＝0，即可判斷出a和b的關(guān)系，然后再根據(jù)勾股定理判斷出c和b的關(guān)系，求出a：b：c化簡即可．【詳解】∵a2﹣ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）（a+b）＝0，∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合題意），∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，∴c＝b，∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的應(yīng)用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．二、填空題24．分解因式：______．【答案】【分析】首先提取公因式，再根據(jù)平方差公式計(jì)算，即可得到答案．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式的性質(zhì)，從而完成求解．25．若且，則_____．【答案】【分析】根據(jù)，利用完全平方公式可得，根據(jù)x的取值范圍可得的值，利用平方差公式即可得答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及平方差公式，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵．26．化簡：＝____________．【答案】【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的順序，依次計(jì)算即可．【詳解】=故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵．27．多項(xiàng)式的最小值為________．【答案】18．【分析】利用公式法進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)性確定最小值．【詳解】解：，=，=，∵，∴的最小值為18；故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定最值．28．如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．【答案】【分析】（1）根據(jù)圖象表示出PQ即可；（2）根據(jù)分解因式可得，繼而求得，根據(jù)這四個(gè)矩形的面積都是5，可得，再進(jìn)行變形化簡即可求解．【詳解】（1）①和②能夠重合，③和④能夠重合，，，故答案為：；（2），，或，即（負(fù)舍）或這四個(gè)矩形的面積都是5，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式及其分式的化簡求值，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的根據(jù)．29．閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．【答案】【分析】先根據(jù)是關(guān)于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代數(shù)式變形為，把整體代入即可求值．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程的解，∴，∴．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．三、解答題30．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）平方差公式因式分解；（2）先提公因式，再運(yùn)用平方差公式分解；（3）運(yùn)用十字相乘法分解；（4）運(yùn)用十字相乘法分解．【詳解】（1）；（2）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用適當(dāng)?shù)姆椒▽Χ囗?xiàng)式進(jìn)行因式分解，觀察多項(xiàng)式特征，選擇合適的方法是解題關(guān)鍵．31．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）將看出整體，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要徹底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）將看成整體，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解答的關(guān)鍵是利用不同的方法進(jìn)行因式分解以及整體思想的運(yùn)用．32．分解因式：．【答案】【分析】先把和看做一個(gè)整體利用十字相乘法分解因式，然后利用提取公因數(shù)和完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．33．把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1．用配方法因式分解：．原式．例2．若，利用配方法求的最小值；；∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：______；(2)用配方法因式分解：；(3)若，求的最小值是多少；(4)已知，求的值．【答案】(1)25(2)(3)(4)7【分析】（1）添加的常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)10一半的平方，即可求出這個(gè)常數(shù)；（2）類比例題進(jìn)行分解因式即可；（3）類比例題求的最小值即可；（4）根據(jù)配方法把等式配成的形式，根據(jù)，具有非負(fù)性，，即可求出答案．【詳解】（1）解：，常數(shù)項(xiàng)為25．故答案為：25．（2）；（3），，的最小值為；（4），，，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的運(yùn)用，一個(gè)數(shù)或整數(shù)的平方具有非負(fù)性和因式分解法計(jì)算與運(yùn)用，合理利用配方法是解決本題的關(guān)鍵．34．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）直接提取公因式即可；（2）直