2025-高考科學復習創(chuàng)新方案-數(shù)學-提升版第九章第1講含答案

2025-高考科學復習創(chuàng)新方案-數(shù)學-提升版第九章第1講含答案第1講直線的傾斜角與斜率、直線的方程[課程標準]1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．1．直線的方向向量設(shè)A，B是直線上的兩點，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸eq\x(\s\up1(01))正向與直線leq\x(\s\up1(02))向上的方向之間所成的角α叫做這條直線的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為eq\x(\s\up1(03))0°．②傾斜角的范圍為eq\x(\s\up1(04))0°≤α<180°．(2)直線的斜率條件公式直線的傾斜角為α，且α≠90°k＝eq\x(\s\up1(05))tanα直線過點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y2－y1,x2－x1)3.直線的方向向量同斜率的關(guān)系若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(y,x)．4．直線方程的五種形式名稱條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x0，y0)eq\x(\s\up1(08))y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式斜率k與直線在y軸上的截距beq\x(\s\up1(09))y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)eq\x(\s\up1(10))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式直線在x軸、y軸上的截距分別為a，beq\x(\s\up1(11))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式—eq\x(\s\up1(12))Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹記，存在與否要討論．”2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量v＝(A，B)，一個方向向量a＝(－B，A)．1．(人教A選擇性必修第一冊2.1.1練習T5改編)過A(2，4)，B(1，m)兩點的直線的一個方向向量為(－1，1)，則m＝()A．－1 B．1C．5 D．3答案C解析解法一：由題意可知eq\f(m－4,1－2)＝－1，∴m＝5.故選C.解法二：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故選C.2．直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)答案D解析由直線的方程得直線的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)該直線的傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).3．(人教A選擇性必修第一冊練習T3改編)傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0答案D解析直線的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．(人教A選擇性必修第一冊習題2.2T10改編)如果AC＜0且BC＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同號．又直線Ax＋By＋C＝0可化為y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)＞0，∴直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過第三象限．5．(人教A選擇性必修第一冊習題2.2T7改編)過點(5，2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是________．答案2x＋y－12＝0或2x－5y＝0解析設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為2a.①當a＝0時，所求直線經(jīng)過點(5，2)和(0，0)，所以直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當a≠0時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直線過點(5，2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直線方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.綜上，所求直線方程為2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.考向一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是()A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))答案B解析設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα.因為sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ＜π.故選B.(2)(2023·湖北名校聯(lián)考模擬)已知點A(2，3)，B(－3，－2)與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)解析已知點A(2，3)，B(－3，－2)與直線l：kx－y－k＋1＝0，且直線l與線段AB相交，直線l：kx－y－k＋1＝0，即直線l：k(x－1)－y＋1＝0，它經(jīng)過定點M(1，1)，MA的斜率為eq\f(3－1,2－1)＝2，MB的斜率為eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，則直線l的斜率k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)．直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．1.(2023·重慶南開中學模擬)已知直線l的一個方向向量為p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，則直線l的傾斜角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(4π,3)答案A解析由題意得，直線l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直線l的傾斜角為eq\f(π,6).故選A.2．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________．答案eq\f(1,3)－3解析如圖，在正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標系．設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考向二求直線的方程例2求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點P(1，2)，傾斜角α的正弦值為eq\f(4,5)；(2)經(jīng)過點P(2，3)，并且在兩坐標軸上的截距相等；(3)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量為v＝(－3，2)．解(1)由題可知sinα＝eq\f(4,5)，則tanα＝±eq\f(4,3)，∵直線經(jīng)過點P(1，2)，∴直線的方程為y－2＝±eq\f(4,3)(x－1)，即y＝±eq\f(4,3)(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①當截距為0時，直線過點(0，0)，(2，3)，則直線的斜率為k＝eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，因此直線的方程為y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.②當截距不為0時，可設(shè)直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1.∵直線過點P(2，3)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，∴a＝5.∴直線的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線的方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由題意可知所求直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)＋2.于是－2k＋3＝－eq\f(3,k)＋2，解得k＝eq\f(3,2)或k＝－1.則直線的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴直線過點(1，1)，∵直線的一個方向向量為v＝(－3，2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.求直線方程的兩種方法注意：使用點斜式、截距式求直線方程時，應注意分類討論．1.(2024·福建龍巖質(zhì)檢)過點A(－1，1)的直線l的傾斜角是直線l1：eq\r(3)x－y＋1＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程是()A.eq\r(3)x－y＋eq\r(3)＋1＝0 B.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0C.eq\r(3)x－3y＋eq\r(3)＋3＝0 D.eq\r(3)x＋3y＋eq\r(3)－3＝0答案B解析由k1＝tanα＝eq\r(3)，得α＝60°，所以k＝tan120°＝－eq\r(3)，所以直線l的方程是y－1＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)－1＝0.2．經(jīng)過A(0，2)，B(－1，0)兩點的直線方程為________，若直線的一個方向向量為(1，k)，則k＝________．答案2x－y＋2＝02解析經(jīng)過A(0，2)，B(－1，0)兩點的直線方程為eq\f(x,－1)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－y＋2＝0，所以直線的一個方向向量為(1，2)，故k＝2.3．過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析設(shè)直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線的方程是eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直線方程的應用角度直線方程與不等式的結(jié)合例3過點P(4，1)作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于點A，B.(1)當△AOB的面積最小時，求直線l的方程；(2)當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線l的方程．解設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因為直線l經(jīng)過點P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因為eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，當且僅當a＝8，b＝2時等號成立．所以當a＝8，b＝2時，△AOB的面積最小，此時直線l的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因為eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，當且僅當a＝6，b＝3時等號成立．所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.角度直線方程與函數(shù)的結(jié)合例4為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護區(qū)不能占用，經(jīng)測量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，應如何設(shè)計才能使草坪面積最大？解如圖所示，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則E(30，0)，F(xiàn)(0，20)，∴直線EF的方程為eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1(0≤x≤30)．易知當矩形草坪的一個頂點在線段EF上時，草坪面積可取最大值，在線段EF上取點P(m，n)，作PQ⊥BC于點Q，PR⊥CD于點R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又eq\f(m,30)＋eq\f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－eq\f(2,3)m.∴S＝(100－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2,3)m))＝－eq\f(2,3)(m－5)2＋eq\f(18050,3)(0≤m≤30)．∴當m＝5時，S有最大值，這時|EP|∶|PF|＝5∶1.∴當矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分有向線段EF成5∶1時，草坪面積最大．直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(如方程解的個數(shù)、根的存在問題、不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決．1.已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a＝________．答案eq\f(1,2)解析由題意知直線l1，l2恒過定點P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,4)，所以當a＝eq\f(1,2)時，四邊形的面積最?。?．如圖，在兩條互相垂直的道路l1，l2的一角有一個電線桿，電線桿底部到道路l1的垂直距離為4米，到道路l2的垂直距離為3米，現(xiàn)在要過電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道，使得人行直道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行直道的長度為多少米？解如圖，建立平面直角坐標系，則P(3，4)．設(shè)人行道所在直線方程為y－4＝k(x－3)(k<0)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)，0))，B(0，4－3k)，所以△ABO的面積S＝eq\f(1,2)(4－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24－9k－\f(16,k)))，因為k<0，所以－9k－eq\f(16,k)≥2eq\r(（－9k）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,k))))＝24，當且僅當－9k＝－eq\f(16,k)，即k＝－eq\f(4,3)時取等號．此時，A(6，0)，B(0，8)，所以人行直道的長度為eq\r(62＋82)＝10米．課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2023·上海松江區(qū)二模)經(jīng)過點(1，1)，且方向向量為(1，2)的直線方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0答案A解析由于直線的方向向量為(1，2)，故直線的斜率為eq\f(2,1)＝2，故直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故選A.2．(2024·山東濱州模擬)已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三點共線，則m＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,2) D．－eq\f(2,3)答案A解析因為A，B，C三點共線，且A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，所以直線的斜率存在，且kAB＝kBC，即eq\f(1,－m)＝eq\f(－2,3)，解得m＝eq\f(3,2).故選A.3．(2023·杭州學軍中學期中)已知直線l1：eq\r(3)x＋y＝0與直線l2：kx－y＋1＝0，若直線l1與直線l2的夾角為60°，則實數(shù)k的值為()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\r(3)或0 D．－eq\r(2)或－eq\r(3)答案C解析因為直線l1：eq\r(3)x＋y＝0的斜率為k＝－eq\r(3)，所以其傾斜角為120°.直線l2：kx－y＋1＝0恒過點(0，1)，如圖，若直線l1與直線l2的夾角為60°，則l2的傾斜角為60°或0°，所以k＝eq\r(3)或k＝0.故選C.4．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2的圖象上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案B解析設(shè)切線的傾斜角為α，則α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切線的斜率k＝tanα≥－1，則α的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).5．已知△ABC的頂點C的坐標為(1，1)，AC所在直線的方向向量為(1，2)，AC邊上的中線所在的直線方程為x＋y－1＝0，則點A的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)))答案A解析設(shè)A(x0，y0)，AC所在直線的方向向量為(1，2)，則AC所在直線的斜率k＝eq\f(1－y0,1－x0)＝eq\f(2,1)，∴1×(1－y0)－2(1－x0)＝0，得y0＝2x0－1，∴A(x0，2x0－1)，又C(1，1)，則AC的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))，∵AC邊上的中線所在的直線方程為x＋y－1＝0，則AC的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))在直線x＋y－1＝0上，∴eq\f(1＋x0,2)＋x0－1＝0，解得x0＝eq\f(1,3)，∴點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))).故選A.6．現(xiàn)有下列四個命題：甲：直線l經(jīng)過點(0，－1)；乙：直線l經(jīng)過點(1，0)；丙：直線l經(jīng)過點(－1，1)；?。褐本€l的傾斜角為銳角．如果只有一個假命題，則假命題是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案C解析設(shè)A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，1)，則kAB＝eq\f(－1－0,0－1)＝1，kBC＝eq\f(1－0,－1－1)＝－eq\f(1,2)，因為kAB≠kBC，所以A，B，C三點不共線，所以假命題必是甲、乙、丙中的一個，丁是真命題，即直線l的斜率大于0，而kAB>0，kBC<0，kAC<0，故丙是假命題．故選C.7．(2024·四川宜賓模擬)若直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1，1)，則該直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析因為直線ax＋by＝ab過點(1，1)，所以a＋b＝ab，又因為a>0，b>0，所以eq\f(1,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以直線eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1在x軸與y軸上的截距之和為b＋a＝(b＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋\f(1,a)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當且僅當eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b＝2時取等號，所以直線在x軸與y軸上的截距之和的最小值為4.故選D.8.(2023·安徽江南十校模擬)1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立平面直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為()A．0° B．1°C．2° D．3°答案C解析∵O，O3都為五角星的中心點，∴OO3平分第三顆小星的一個角，由五角星的內(nèi)角為36°，知∠BAO3＝18°，過O3作x軸的平行線O3E，如圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角約為18°－16°＝2°.故選C.二、多項選擇題9．已知直線l過點P(3，2)，且與直線l1：x＋3y－9＝0及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，則()A．直線l的方程為x－3y＋3＝0B．直線l與直線l1的傾斜角互補C．直線l在y軸上的截距為1D．這樣的直線l有兩條答案ABC解析因為直線l與l1及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形，所以直線l與直線l1的傾斜角互補，故B正確；由直線l1的斜率為－eq\f(1,3)，知直線l的斜率為eq\f(1,3)，可得直線l的方程為y－2＝eq\f(1,3)(x－3)，即直線l的方程為x－3y＋3＝0，故A正確；令x＝0，得y＝1，所以直線l在y軸上的截距為1，故C正確；過點P(3，2)且斜率為eq\f(1,3)的直線只有一條，故D錯誤．故選ABC.10．已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，則下列命題正確的是()A．直線的傾斜角是π－αB．無論α如何變化，直線不過原點C．直線的斜率一定存在D．當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1答案BD解析直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，A不正確；當x＝y(tǒng)＝0時，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直線必不過原點，B正確；當α＝eq\f(π,2)時，直線的斜率不存在，C不正確；當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，D正確．故選BD.11．(2023·廣東珠海二模)在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(0，0)的直線的斜率可以是()A．2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)答案ABD解析因為選項斜率均為正值，不妨假設(shè)AB所在的直線過點(0，0)，設(shè)直線AB的傾斜角為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，斜率為k，①若CD所在的直線過點(1，0)，如圖1，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因為|BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，所以k＝tanα＝2；②若CD所在的直線過點(2，0)，如圖2，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因為|BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，所以k＝tanα＝eq\f(3,2)；③若CD所在的直線過點(4，0)，如圖3，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因為|BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，所以k＝tanα＝eq\f(1,4).綜上所述，k的值可能為2，eq\f(3,2)，eq\f(1,4).故選ABD.三、填空題12．若直線l的一個方向向量為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，則直線l的傾斜角θ＝________．答案eq\f(5π,14)解析∵直線l的一個方向向量為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，∴直線l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,7),sin\f(π,7))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))))＝eq\f(sin\f(5π,14),cos\f(5π,14))＝taneq\f(5π,14)，∴直線l的傾斜角θ＝eq\f(5π,14).13．在△ABC中，已知A(1，1)，AC邊上的高線所在的直線方程為x－2y＝0，AB邊上的高線所在的直線方程為3x＋2y－3＝0.則BC邊所在的直線方程為________．答案2x＋5y＋9＝0解析由題意，得kAC＝－2，kAB＝eq\f(2,3)，∴l(xiāng)AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，lAB：y－1＝eq\f(2,3)(x－1)，即2x－3y＋1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,3x＋2y－3＝0，))得C(3，－3)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,x－2y＝0，))得B(－2，－1)，∴l(xiāng)BC：2x＋5y＋9＝0.14．(2023·重慶育才中學期末)在平面直角坐標系中，O為坐標原點．設(shè)△ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，點P(0，p)在線段AO上(異于端點)，設(shè)a，b，c，p均為非零實數(shù)，直線BP，CP分別交AC，AB于點E，F(xiàn)，一同學已正確算得OE的方程：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0，則OF的方程為________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0解析由題意，C(c，0)，P(0，p)，則CP的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,p)＝1，同理，AB的方程為eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，兩直線方程相減，得OF的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0.四、解答題15．已知△ABC的三個頂點分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊的垂直平分線DE的方程．解(1)因為直線BC經(jīng)過B(2，1)和C(－2，3)兩點，所以直線BC的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.(2)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－eq\f(1,2)，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.因為BC邊的垂直平分線DE經(jīng)過BC的中點(0，2)，所以所求直線方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點．(1)求△OAB面積的最小值以及此時直線l的方程；(2)是否存在直線l，使△OAB的周長為12？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解(1)設(shè)A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.因為直線l過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，所以eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)＝1，故1＝eq\f(4,3a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(8,3ab))?ab≥eq\f(32,3)，故S△OAB＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(16,3)，當且僅當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3a)＝\f(2,b)，,\f(4,3a)＋\f(2,b)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,3)，,b＝4))時取等號，此時直線l的方程為eq\f(3x,8)＋eq\f(y,4)＝1，故(S△OAB)min＝eq\f(16,3)，此時直線l的方程為3x＋2y－8＝0.(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3a)＋\f(2,b)＝1，,a＋b＋\r(a2＋b2)＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝\f(9,2)，))故存在滿足條件的直線l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.第2講兩條直線的位置關(guān)系與距離公式[課程標準]1.能根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．1．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2eq\x(\s\up1(02))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直eq\x(\s\up1(03))k1·k2＝－1eq\x(\s\up1(04))A1A2＋B1B2＝0相交eq\x(\s\up1(05))k1≠k2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1≠02.兩條直線的交點直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標就是方程組eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\x(\s\up1(08))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\x(\s\up1(10))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．三種常見的直線系方程(1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)．(2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋C0＝0.(3)過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，這個直線系不包括直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解題時，注意檢驗l2是否滿足題意，以防漏解)．2．五種常見的對稱(1)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．(2)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(3)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．(4)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．(5)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．3．點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式．(2)求兩平行線之間的距離時，應先將直線方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應相等．1．(人教A選擇性必修第一冊習題2.2T8改編)過點(1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案A解析因為所求直線與直線x－2y－2＝0平行，所以設(shè)直線方程為x－2y＋c＝0，又直線經(jīng)過點(1，0)，得出c＝－1，故所求直線方程為x－2y－1＝0.故選A.2．若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則實數(shù)n的值為()A．－12 B．－2C．0 D．10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直線mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因為垂足(1，－2)在直線2x－5y＋n＝0上，所以2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故選A.3．(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T9改編)若三條直線x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一點，則點(m，n)到原點的距離的最小值為()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(5)答案A解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∵三條直線x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，mx＋ny－5＝0相交于同一點，∴m＋2n＝5.則點(m，n)到原點的距離的最小值為原點到直線x＋2y＝5的距離d＝eq\f(5,\r(12＋22))＝eq\r(5).故選A.4．光線從點A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B經(jīng)過的路程為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析點B(2，10)關(guān)于x軸的對稱點為B′(2，－10)，由對稱性可得光線從A到B經(jīng)過的路程為|AB′|＝eq\r(（－3－2）2＋[5－（－10）]2)＝5eq\r(10).故選C.5．已知直線l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，則a＝________，此時l1與l2之間的距離為________．答案－1eq\r(2)解析由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又當a＝1時，l1與l2重合，不符合題意．所以a＝－1，此時l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1與l2的距離d＝eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).考向一平行與垂直問題例1(1)(2023·重慶模擬)已知直線l1：(m－2)x－3y－1＝0與直線l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0相互平行，則實數(shù)m的值是()A．－4 B．1C．－1 D．6答案A解析∵l1∥l2，∴(m－2)(m＋2)＝－3m，解得m＝－4或m＝1，當m＝1時，直線l1與直線l2重合，舍去，經(jīng)檢驗m＝－4符合題意．故選A.(2)已知經(jīng)過點A(－2，0)和點B(1，3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為________．答案0或1解析解法一：l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－（－2）)＝a.當a≠0時，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－（－1）,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.當a＝0時，得P(0，－1)，Q(0，0)，這時直線l2為y軸，A(－2，0)，B(1，0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.綜上可知，實數(shù)a的值為0或1.解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，3a)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(a，1－2a)，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(PQ,\s\up6(→))可知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1.兩直線位置關(guān)系的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在①兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不相等；②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在，當兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行；否則兩直線重合．(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.(4)巧用直線的方向向量或法向量判斷兩直線的位置關(guān)系可以避免不必要的討論．1.(多選)已知三條直線2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的值可以為()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,3)答案ABC解析若三條直線不能構(gòu)成三角形，則三條直線要么相交于一點，要么存在平行直線．①若三條直線交于一點，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,4x＋3y＋5＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(1,3)，))代入mx－y－1＝0得－m＋eq\f(1,3)－1＝0，∴m＝－eq\f(2,3)；②若存在平行直線，則3m＝2或3m＝－4，解得m＝eq\f(2,3)或m＝－eq\f(4,3).綜上可知，m的可能取值為－eq\f(4,3)，－eq\f(2,3)，eq\f(2,3).故選ABC.2．經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為____________．答案4x－3y＋9＝0解析解法一：由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直線的斜率為k＝eq\f(4,3).由點斜式得所求直線方程為y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.解法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.解法三：由題意知直線x－3y＋4＝0不滿足條件，設(shè)所求直線方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得，所求直線方程為4x－3y＋9＝0.考向二距離公式的應用例2(1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)答案C解析因為eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩直線平行，由題意可知，|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).故選C.(2)已知點M(a，b)在直線3x＋4y＝15上，則eq\r(a2＋b2)的最小值為________．答案3解析∵M(a，b)在直線3x＋4y＝15上，而eq\r(a2＋b2)的幾何意義是坐標平面內(nèi)原點與點M間的距離，其最小值為原點到直線3x＋4y＝15的距離，∴(eq\r(a2＋b2))min＝eq\f(15,\r(32＋42))＝3.1．點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式求解，注意直線方程應為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式求解，利用公式前需把兩平行線方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．1.點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案B解析由y＝k(x＋1)可知直線過定點P(－1，0)，設(shè)A(0，－1)，當直線y＝k(x＋1)與AP垂直時，點A到直線y＝k(x＋1)的距離最大，即為|AP|＝eq\r(2).故選B.2．已知直線經(jīng)過點(1，2)，并且與點(2，3)和(0，－5)的距離相等，則此直線的方程為________．答案4x－y－2＝0或x＝1解析若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由題設(shè)有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此時直線方程為4x－y－2＝0；若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿足題設(shè)條件．故所求直線的方程為4x－y－2＝0或x＝1.考向三共點直線系例3已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍．解(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))所以無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(－2，1)．(2)由方程知，當k≠0時，直線l在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則必須有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；當k＝0時，直線l的方程為y＝1，符合題意．故k的取值范圍是[0，＋∞)．共點直線系中定點的求解方法(1)分離參數(shù)，假設(shè)直線方程中含有的參數(shù)為k，則將直線方程化為f(x，y)＋kg(x，y)＝0的形式．(2)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0，))若方程組有解，則可得定點坐標；若方程組無解，則說明直線不過定點．已知直線(3a－1)x－(a－2)y－1＝0.(1)求證：無論a為何值，直線總過第一象限；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．解(1)證明：直線方程可化為(－x＋2y－1)＋a(3x－y)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－1＝0，,3x－y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).))所以直線恒過定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).因為點M在第一象限，所以無論a為何值，直線總過第一象限．(2)當a＝2時，直線方程為x＝eq\f(1,5)，顯然不經(jīng)過第二象限；當a≠2時，直線方程化為y＝eq\f(3a－1,a－2)x－eq\f(1,a－2).直線不經(jīng)過第二象限的充要條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3a－1,a－2)≥0，,－\f(1,a－2)≤0，))解得a>2.綜上，a的取值范圍為[2，＋∞)．多角度探究突破考向四對稱問題角度點關(guān)于點的對稱例4過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，求直線l的方程．解設(shè)l1與l的交點為A(a，8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.角度點關(guān)于直線的對稱例5在直線l：3x－y－1＝0上求一點P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小．解(1)如圖，設(shè)點B關(guān)于直線l的對稱點為B′，AB′的延長線交直線l于點P0，在l上另任取一點P，則|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，則P0即為所求．易求得直線BB′的方程為x＋3y－12＝0.設(shè)B′(a，b)，則a＋3b－12＝0.①又線段BB′的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在直線l上，故3a－b－6＝0.②由①②，解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．所以AB′所在直線的方程為2x＋y－9＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))可得P0(2，5)．所以滿足條件的點P的坐標為(2，5)．(2)設(shè)點C關(guān)于l的對稱點為C′，與(1)同理可得C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).連接AC′交直線l于P1，在直線l上另任取一點P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即為所求．又直線AC′的方程為19x＋17y－93＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))解得P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).所以滿足條件的點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).角度直線關(guān)于直線的對稱例6光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在直線的方程．解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))∴反射點M的坐標為(－1，2)．取直線x－2y＋5＝0上一點P(－5，0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq\f(2,3)＝eq\f(y0,x0＋5).而PP′的中點Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，點Q在l上，∴3·eq\f(x0－5,2)－2·eq\f(y0,2)＋7＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))根據(jù)直線的兩點式方程可得，所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對稱可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．注意：“線關(guān)于點的對稱”其實質(zhì)就是“點關(guān)于點的對稱”，只要在直線上取兩個點，求出其對稱點的坐標即可，可統(tǒng)稱為“中心對稱”．“線關(guān)于線對稱”轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于線對稱”即可．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．解(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x－1,2)－3·\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設(shè)對稱點M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點為N，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．又m′經(jīng)過點N(4，3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由兩點式可得直線l′的方程為2x－3y－9＝0.解法二：∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴直線l′的方程為2x－3y－9＝0.解法三：設(shè)P(x，y)為l′上任意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)．∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.課時作業(yè)一、單項選擇題1．若直線y＝－2x＋4與直線y＝kx的交點在直線y＝x＋2上，則實數(shù)k＝()A．4 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案A解析直線y＝－2x＋4與直線y＝x＋2的交點滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋4，,y＝x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(8,3)，))由于該點在直線y＝kx上，故eq\f(2k,3)＝eq\f(8,3)，解得k＝4.故選A.2．(2024·畢節(jié)市模擬)直線l1：x＋(1＋a)y＝1－a(a∈R)，直線l2：y＝－eq\f(1,2)x，下列說法正確的是()A．?a∈R，使得l1∥l2B．?a∈R，使得l1⊥l2C．?a∈R，l1與l2都相交D．?a∈R，使得原點到l1的距離為3答案B解析對于A，要使l1∥l2，則k1＝k2，所以－eq\f(1,1＋a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝1，此時l1與l2重合，所以A錯誤；對于B，要使l1⊥l2，則k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,1＋a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解得a＝－eq\f(3,2)，所以B正確；對于C，當a＝1時，l1與l2重合，所以C錯誤；對于D，原點到l1的距離d＝eq\f(|1－a|,\r(12＋（1＋a）2))＝3，化簡得8a2＋20a＋17＝0，此方程Δ<0，a無實數(shù)解，所以D錯誤．故選B.3．(2023·東北師大附中二模)直線l的方程為(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，當原點O到直線l的距離最大時，λ的值為()A．－1 B．－5C．1 D．5答案B解析由(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可得(x＋y－3)λ＋2x－y＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故直線l過定點A(1，2)，當OA⊥l時，原點O到直線l的距離最大，因為kOA＝2，所以直線l的斜率為－eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＝－eq\f(λ＋2,λ－1)，解得λ＝－5.故選B.4．(2023·青島三模)瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為()A．－2 B．－1C．－1或3 D．3答案B解析由△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3＋3,3)，\f(0＋0＋3,3)))，即(1，1)，又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋3,2)，\f(0＋3,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，所以可得△ABC的歐拉線方程為eq\f(y－1,\f(3,2)－1)＝eq\f(x－1,0－1)，即x＋2y－3＝0，因為ax＋(a2－3)y－9＝0與x＋2y－3＝0平行，所以eq\f(a,1)＝eq\f(a2－3,2)≠eq\f(－9,－3)，解得a＝－1.故選B.5.如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()A．3eq\r(3) B．6C．2eq\r(10) D．2eq\r(5)答案C解析直線AB的方程為x＋y＝4，點P(2，0)關(guān)于直線AB的對稱點為D(4，2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線經(jīng)過的路程為|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).故選C.6．設(shè)△ABC的一個頂點是A(3，－1)，∠B，∠C的平分線所在的直線方程分別是x＝0，y＝x，則直線BC的方程是()A．y＝3x＋5 B．y＝2x＋3C．y＝2x＋5 D．y＝－eq\f(x,2)＋eq\f(5,2)答案C解析點A關(guān)于直線x＝0的對稱點是A′(－3，－1)，關(guān)于直線y＝x的對稱點是A″(－1，3)，由角平分線的性質(zhì)可知，點A′，A″均在直線BC上，所以直線BC的方程為y＝2x＋5.故選C.7．(2024·江西八所重點高中模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－2)，B(1，0)，P為直線2x－4y＋3＝0上一動點，則|PA|＋|PB|的最小值是()A.eq\r(5) B．4C．5 D．6答案B解析設(shè)點A(0，－2)關(guān)于直線2x－4y＋3＝0的對稱點為A′(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(x,2)－4×\f(y－2,2)＋3＝0，,\f(y＋2,x)×\f(1,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(11,5)，,y＝\f(12,5)，))所以A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(12,5)))，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝eq\r(\f(256,25)＋\f(144,25))＝4，當且僅當點P為線段A′B與直線2x－4y＋3＝0的交點時，等號成立，所以|PA|＋|PB|的最小值是4.故選B.8．(2023·南京師大附中模擬)已知實數(shù)a>0，b<0，則eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))的取值范圍是()A．[－2，－1) B．(－2，－1)C．(－2，－1] D．[－2，－1]答案A解析根據(jù)題意，設(shè)直線l：ax＋by＝0，點A(1，－eq\r(3))，那么點A(1，－eq\r(3))到直線l的距離d＝eq\f(|a－\r(3)b|,\r(a2＋b2))，因為a>0，b<0，所以d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，且直線l的斜率k＝－eq\f(a,b)>0.當直線l的斜率不存在時，d＝eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))＝1；當OA⊥l時(O為坐標原點)，d＝|OA|＝eq\r(1＋3)＝2，所以1<d≤2，即1<eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))≤2，因為eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))＝－eq\f(a－\r(3)b,\r(a2＋b2))，所以－2≤eq\f(\r(3)b－a,\r(a2＋b2))<－1.故選A.二、多項選擇題9．(2023·浙江溫州期中)若兩直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m與l2：2x＋(5＋m)y＝8互相平行，則()A．m＝－7B．m＝－1C．l1與l2之間的距離為eq\f(21\r(2),4)D．與l1，l2距離相等的點的軌跡方程為4x－4y＋5＝0答案ACD解析因為兩直線l1與l2互相平行，所以(3＋m)(5＋m)＝4×2，解得m＝－7或m＝－1.當m＝－7時，l1：2x－2y＋13＝0，l2：2x－2y－8＝0，此時兩直線l1與l2互相平行，符合題意；當m＝－1時，l1：x＋2y－4＝0，l2：x＋2y－4＝0，此時兩直線l1與l2重合，不符合題意．綜上，當兩直線l1與l2互相平行時，m＝－7，故A正確，B錯誤．l1：2x－2y＋13＝0與l2：2x－2y－8＝0的距離為eq\f(|13＋8|,\r(4＋4))＝eq\f(21\r(2),4)，故C正確．設(shè)與l1，l2距離相等的點為(x，y)，則eq\f(|2x－2y＋13|,\r(4＋4))＝eq\f(|2x－2y－8|,\r(4＋4))，整理得4x－4y＋5＝0，所以與l1，l2距離相等的點的軌跡方程為4x－4y＋5＝0，故D正確．故選ACD.10．已知直線l1：x－y－1＝0，動直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．不存在k，使得l2的傾斜角為90°B．對任意的k，l1與l2都有公共點C．對任意的k，l1與l2都不重合D．對任意的k，l1與l2都不垂直答案AC解析對于A，存在k＝0，使得l2的方程為x＝0，其傾斜角為90°，故A錯誤；對于B，直線l1：x－y－1＝0經(jīng)過點(0，－1)，動直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0過定點(0，－1)，故B正確；對于C，當k＝－eq\f(1,2)時，動直線l2的方程為eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)y－eq\f(1,2)＝0，即x－y－1＝0，l1與l2重合，故C錯誤；對于D，若兩直線垂直，則1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程無解，故對任意的k，l1與l2都不垂直，故D正確．故選AC.11．(2023·重慶一中高三期中)若過點A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四條直線構(gòu)成一個正方形，則該正方形的面積可能等于()A.eq\f(16,17) B.eq\f(36,5)C.eq\f(26,5) D.eq\f(196,53)答案ABD解析當過點A和點C的直線平行，過點B和點D的直線平行，且兩組平行線互相垂直時，設(shè)過點A和點C的直線為l1：y＝k(x－1)和l2：y＝k(x－4)，則過點B和點D的直線為l3：y＝－eq\f(1,k)(x－2)和l4：y＝－eq\f(1,k)(x－8)，其中l(wèi)1和l2的距離與l3和l4的距離相等，即eq\f(|3k