初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習(xí)5.2 三角函數(shù)的概念（教師版）

5.2三角函數(shù)的概念【知識梳理】知識點一任意角的三角函數(shù)設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．知識點二正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識點三公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．知識點四同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．平方關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商數(shù)關(guān)系：同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα，其中α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．【基礎(chǔ)自測】1．已知點P(sinα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C2．已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)等于()A.eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)【答案】A【詳解】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4).3．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－eq\f(sinα,cosα) B．cosα＝－eq\r(1－sin2α)C．sinα＝－eq\r(1－cos2α) D．tanα＝eq\f(cosα,sinα)【答案】B【詳解】由商數(shù)關(guān)系可知A，D均不正確．當(dāng)α為第二象限角時，cosα<0，sinα>0，故B正確．4．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝.【答案】eq\r(3)【詳解】taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).5．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A(－1，y)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，則y＝________.【答案】－3【詳解】因為sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)<0，A(－1，y)是角θ終邊上一點，所以y<0，由三角函數(shù)的定義，得eq\f(y,\r(y2＋1))＝－eq\f(3\r(10),10).解得y＝－3.【例題詳解】一、任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1已知角的終邊經(jīng)過點，（），且，求的值.【答案】或【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義以及可解得,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出正弦值,代入可得.【詳解】∵（），∴點到坐標(biāo)原點的距離.又，∴，∵，,∴.當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，由三角函數(shù)的定義，得，∴；當(dāng)時，同理，可求得.綜上，的值為或.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.跟蹤訓(xùn)練1已知角的終邊上有一點的坐標(biāo)是，其中，求.【分析】直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【詳解】r＝＝5|a|.當(dāng)a＞0時，r＝5a，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝；當(dāng)a＜0時，r＝－5a，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.綜上可知，sinα＝，cosα＝，tanα＝或sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.【點睛】(1)本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)點p(x,y)是角終邊上的任意的一點（原點除外）,r代表點到原點的距離，則sin=

cos=,tan=.三角函數(shù)值符號的運用例2(1)已知點P(tanα，cosα)在第四象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【詳解】(1)因為點P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α的終邊在第三象限．(2)設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)為第二象限角可求得為第一或第三象限角，由可得結(jié)果.【詳解】∵為第二象限角，，；當(dāng)時，為第一象限角；當(dāng)時，為第三象限角；為第一或第三象限角；，，為第三象限角.故選：C.跟蹤訓(xùn)練2已知，則點在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】首先判斷位于第四象限，再根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號特征判斷即可.【詳解】解：因為，所以為第四象限角，所以，，所以點位于第四象限；故選：D三、公式一的應(yīng)用例3計算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)tan4π.【詳解】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).跟蹤訓(xùn)練3(1)已知（Q為有理數(shù)集），則（

）A． B．1 C．-1 D．0【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，判斷自變量值所屬集合，再分段代入計算作答.【詳解】因，則，所以.故選：D(2)已知角的終邊經(jīng)過點．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；(2)【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式一可得,(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式一可得.【詳解】（1）設(shè)，所以，所以;（2）由（1）可知，，則，故原式【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式一,屬于基礎(chǔ)題.四、已知一個三角函數(shù)值求另兩個三角函數(shù)值例4已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【詳解】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．當(dāng)角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3\r(10),10)；當(dāng)角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3\r(10),10).跟蹤訓(xùn)練4求解下列各題.(1)已知,且為第一象限角,求,;(2)已知,且為第三象限角,求,;(3)已知,且為第四象限角,求,;(4)已知,且為第二象限角,求,.【答案】(1),.(2),.(3),.(4),.【解析】（1）由，為第一象限角，利用平方關(guān)系求得，再利用商數(shù)關(guān)系求.（2）由，為第三象限角，利用平方關(guān)系求得，再利用商數(shù)關(guān)系求.（3）把和看成兩個未知數(shù)，列出關(guān)于和的兩個獨立的關(guān)系式，通過解方程組，就可以求出和.（4）由，為第一象限角，利用平方關(guān)系求得，再利用商數(shù)關(guān)系求.【詳解】（1）因為，為第一象限角，所以，.（2）因為，為第三象限角，所以，.（3）由題意有，由②得，③將③代入①整理得，即.因為是第四象限角，所以，.（4）因為，為第二象限角，所以，.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.題型五、正、余弦齊次式的計算例5(1)已知，求下列各式的值.=1\*GB3①；=2\*GB3②.【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②【分析】=1\*GB3①利用和將原式化簡計算即可，=2\*GB3②通分化簡后，再利用和化簡計算【詳解】=1\*GB3①因為，所以原式=2\*GB3②因為，所以.(2)若，則的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，將原式齊次化后再弦化切即可得答案.【詳解】解：原式．故選：C．跟蹤訓(xùn)練5已知，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.的值【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)可得，解方程并結(jié)合角的范圍求得；（2）利用弦化切，將化為，可得答案；（3）利用，將化為，繼而化為，求得答案.【詳解】（1）由得，解得或，因為，故，則；（2）；（3）.題型六、sinθ±cosθ型求值問題例6已知,且,（1）求的值.（2）求的值（3）求的值【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把條件平方，即可求得的值（2）先求得為鈍角，由，求得和的值，從而求得（3）由（2）可得的值．【詳解】（1）已知，，求得．（2）當(dāng)時，，為鈍角，由，求得，，（3）．【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于中檔題．跟蹤訓(xùn)練6已知為三角形的內(nèi)角，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，運用“弦化切”求解即可.【詳解】計算得，所以，，從而可計算的，，,選項A正確，選項BCD錯誤.故選：A.題型七、化簡求值與恒等式的證明例7已知，其中是第四象限角．(1)化簡；(2)若，求，．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）因為是第四象限角，即可得到，，再根據(jù)平方關(guān)系化簡可得；（2）依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出；【詳解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，∴．即；（2）解：∵，∴，∴．跟蹤訓(xùn)練7（1）已知α是第三象限角，化簡：－；（2）化簡：【答案】（1）－2tanα；（2）cos2θ.【分析】（1）將原式等價變形為－，又，且，從而即可化簡；（2）將配湊為，因式分解為，最后借助平方關(guān)系即可化簡.【詳解】解：（1）因為α是第三象限角，所以－＝－＝－＝－＝－2tanα；（2）＝＝＝cos2θ.例8求證：【答案】詳見解析【證明】方法一左邊右邊，原式成立．方法二∵，，∴，原式成立．【分析】方法一：從等式左邊推出右邊,通分化簡,再有，整理化簡即可得到等式右邊,得證.方法二：由恒等式，得，然后運用等比定理即可證明.【詳解】證明：方法一左邊右邊，原式成立.方法二∵，，∴，原式成立.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行恒等式的證明;其中法一是證明的關(guān)鍵,法二恒等式的合理利用是證明的關(guān)鍵;本題屬于難題.跟蹤訓(xùn)練8求證：．【答案】證明見解析【分析】方法一：式子左邊分子分母同乘以，再利用平方關(guān)系，變形分子即可得證.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】左邊＝＝＝＝＝右邊，等式成立.[方法二]：右邊＝＝＝＝＝左邊，等式成立.[方法三]：左邊＝，右邊＝＝＝，∴左邊＝右邊，∴等式成立.[方法四]：∵－＝＝＝0.∴等式成立.[方法五]：左邊＝＝＝＝＝右邊.[方法六]：∵(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，∴＝.[方法七]：若證＝成立，只需證cosα·cosα＝(1－sinα)(1＋sinα)，即證cos2α＝1－sin2α，此式成立，∴原等式＝成立.【整體點評】方法一：利用平方關(guān)系，從左邊證到右邊，是證明題的通性通法；方法二：利用平方關(guān)系，從右邊證到左邊；方法三：利用左邊=中間，右邊=中間證出；方法四：利用作差法證出；方法五：利用平方關(guān)系，從左邊證到右邊；方法六：根據(jù)平方關(guān)系變形證出；方法七：根據(jù)分析法證出.【課堂鞏固】1．（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】，故選：D2．若且，則的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限【答案】C【詳解】由且，知為二象限角，即.則，當(dāng)為偶數(shù)時，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時，的終邊在第三象限.故選C.3．已知，那么角是（）A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】C【詳解】∵，∴當(dāng)cosθ<0，tanθ>0時，θ∈第三象限；當(dāng)cosθ>0，tanθ<0時，θ∈第四象限，故選C．4．已知，且，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，結(jié)合的范圍確定與的正負(fù)，再利用完全平方公式及三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】因為，兩邊平方得，故，所以與導(dǎo)號，又因為，所以，，所以.故選：C.5．已知角的終邊在直線上，則的值為________.【答案】或.【解析】在直線上任取一點.則，然后分兩種情況討論即可【詳解】在直線上任取一點.則.（1）當(dāng)時，，故，，所以；（2）當(dāng)時，，故，，所以.故等于或.故答案為：或.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡單.6．比較大小：______．【答案】【分析】化簡可得，，即可得答案.【詳解】，，所以.故答案為：7．已知，，則__________，_________.【答案】

【解析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得；利用商數(shù)關(guān)系可得到關(guān)于正余弦的齊次式，進而構(gòu)造關(guān)于的方程求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：；由得：，解得：或.時，，若，則且，即，.故答案為：；.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求值的問題，易錯點是忽略正余弦的大小關(guān)系，造成求解正切值時出現(xiàn)增根.8．已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，進而求得的值.（2）根據(jù)所在的象限，先求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）由于且，所以.所以，所以.（2）由于且，所以或.當(dāng)時，由（1）知，所以.當(dāng)時，，.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9．已知，求下列各式的值(1)；(2)；(3).【答案】(1)5；(2)；(3).【分析】（1）化簡原式為即得解；（2）化簡原式為即得解；（3）化簡原式為即得解.【詳解】（(1)解：由題得；(2)解：由題得；(3)解：由題得.10．（1）化簡：.（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）切化弦，利用化簡可得結(jié)果；（2）根據(jù)變形可證結(jié)論.【詳解】（1）原式.（2）證明：因為，所以.【點睛】本題考查了利用同角公式進行化簡、證明恒等式，屬于基礎(chǔ)題.【課時作業(yè)】1．若，且為第四象限角，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選D.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將等式兩邊平方可求得的值，利用切化弦可求得的值.【詳解】由，可得，得，因此，.故選：C.【點睛】方法點睛：應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用，對于、、這三個式子，利用可以知一求二．3．已知角的終邊過點，且，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為角的終邊過點，所以，，解得，故選B.4．已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點，且點在角的終邊上，則（

）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由題知,進而根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合齊次式求解即可.【詳解】解:令得,故定點為,所以由三角函數(shù)定義得，所以故選：D5．若且，則終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【答案】C【解析】分別寫出滿足與的角的集合，進一步得到的范圍，取交集得答案．【詳解】解：．，，即，．，，即的解集為，則可得終邊在第一或第三象限．故選：．【點睛】本題考查象限角與等分角，考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】由以及絕對值的定義可得,再結(jié)合已知得,根據(jù)三角函數(shù)的符號法則可得.【詳解】由，可知，結(jié)合，得，所以角是第四象限角，故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則,屬于基礎(chǔ)題.7．（多選）已知，是關(guān)于的方程的兩根，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)及根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】，是關(guān)于的方程的兩根，，，．,,，即.經(jīng)檢驗滿足.故選:BC8．（多選）的值可能為（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合同角公式化簡函數(shù)式，再借助正余弦值的正負(fù)計算作答.【詳解】令，當(dāng)x為第一象限角時，，則，當(dāng)x為第二象限角時，，則，當(dāng)x為第三象限角時，，則，當(dāng)x為第四象限角時，，則.故選：BD9．已知角的終邊上一點，且，則______，______【答案】

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出后,與已知正弦