初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）高一預(yù)習專題強化1 三角函數(shù)中的最值問題（教師版）

強化專題1三角函數(shù)中的最值問題【方法技巧】求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．(4)對于形如或的函數(shù)，可采用常數(shù)分離后利用圖象或單調(diào)性求其最值或值域，也可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)自身的有界性求解.【題型目錄】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值問題二、可化為y＝f(sinx)型的二次式的值域問題三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值問題四、形如的最值問題五、函數(shù)圖象平移問題的最值六、ω的最值問題【例題詳解】一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值問題1．已知，則的最大值為（

）A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正余弦展開式、二倍角公式進行化簡計算可得答案.【詳解】，因為，所以，則的最大值為1.故選：C.2．函數(shù)的最大值為________________．【答案】【詳解】此題考查三角函數(shù)最值問題的求法、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向應(yīng)用、兩角和的正弦公式的逆向應(yīng)用、三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用;求三角函數(shù)的值域的類型有：（1）形如這些函數(shù)可利用換元法求值域或最值；（2）形如可構(gòu)造出一個動點和一個定點的斜率求最值或值域；（3）形如的利用兩角和與差的正弦、余弦公式的逆向應(yīng)用，把函數(shù)化成形式求值域；，所以函數(shù)的最大值是；此題還可以考查求此函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間以及給定區(qū)間上的值域或最值問題，函數(shù)的圖像平移變換問題；3．函數(shù)的最大值是_______．【答案】【解析】利用積化和差公式將函數(shù)化簡為，再利用余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可得到最大值【詳解】，因為，所以．故答案為：.【點睛】本題主要考查的是積化和差的公式以及余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，是中檔題.4．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則在區(qū)間上的值域為______.【答案】【分析】先由圖像求出，得到解析式，即可求出值域.【詳解】由圖像可得，最大值為2，最小值為-2，所以A=2.設(shè)周期為T，則,解得：,所以，解得：.由，且，解得：.所以.當時，.由的圖像可知，當時，.即在區(qū)間上的值域為.故答案為：5．函數(shù)的最大值為_________.【答案】1【詳解】由題意知：=====，即，因為，所以的最大值為1.考點：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的最值的求解，熟練公式是解答好本類題目的關(guān)鍵.二、可化為y＝f(sinx)型的二次式的值域問題1．當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的值域為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2))【詳解】因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，所以當sinx＝eq\f(1,4)時，ymin＝eq\f(7,8)，當sinx＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))或sinx＝1時，ymax＝2.即函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2)).2．已知函數(shù)，的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】由題意，可令，將原函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，通過配方，得到對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域確定實數(shù)需要滿足的關(guān)系，列式即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵，∴必須取到，∴，又時，，，∴，∴.故答案為：3．函數(shù)的最大值為__，取得最大值時對應(yīng)的_______．【答案】

6

，【分析】首先利用余弦的二倍角公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系式對化簡并配方，然后利用換元法，并結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由余弦二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式可得，，不妨令，，又因為的對稱軸為：，且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為當時，；當時，，故在上的最大值為6，即的最大值為6，此時，即，.故答案為：6；，.4．已知函數(shù)，當時，取得最小值，則__________．【答案】【分析】根據(jù)x的取值范圍求得tanx的范圍，將tanx視為一個整體，利用二次函數(shù)的最值，求得tan的值，再利用兩角和的正切公式，求解即可.【詳解】由可知tanx的值域為，，可知當時，取得最小值，故tan=，則，故填:3.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，考查了兩角和的正切公式；本題中把tanx看成是一個整體，將含三角函數(shù)的式子看成是一個一元二次函數(shù)，解題過程中要注意三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．5．函數(shù)的值域為________．【答案】【分析】利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得【詳解】因為所以令，所以所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以即函數(shù)的值域為6．若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，利用正弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的取值范圍.【詳解】把方程變?yōu)?，設(shè)，則．顯然當且僅當?shù)闹涤驎r,有解．且由知,，∴當時，有最小值，當時，有最大值的值域為,∴的取值范圍是．故答案為：.三、含sinx±cosx，sinxcosx的最值問題1．函數(shù)的最大值為（

）A．B．3C．D．4【答案】C【分析】令，則，將原函數(shù)變形為，再根據(jù)的取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則原函數(shù)可化為，，所以當時，函數(shù)取最大值.故選：C.2．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))【詳解】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．當t＝1時，ymax＝1；當t＝－eq\r(2)時，ymin＝－eq\f(1＋2\r(2),2).∴函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).3．若，則函數(shù)的值域是___________.【答案】【分析】令換元，根據(jù)輔助角公式化簡后求出的范圍，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，求值域即可.【詳解】，∴，∴，令，則，，，故當t＝1時，函數(shù)y取得最小值為1，當t時，函數(shù)y取得最大值為，故函數(shù)的值域為，故答案為：4．函數(shù)的最小值為___________________．【答案】-1【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡函數(shù)為，令，，可將函數(shù)化為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最小值.【詳解】令，則

，當時，，即的最小值為本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查換元法求解三角函數(shù)的最值問題，涉及到利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡三角函數(shù)、二次函數(shù)最值的求解等知識；易錯點是在進行換元時，忽略新的自變量的取值范圍，造成求解錯誤.5．函數(shù)的值域為___________.【答案】【分析】由正弦的二倍角公式、兩角和的正弦公式變形后，令換元，化為的二次函數(shù)，求得的范圍后，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】；令，則故答案為：．6．已知函數(shù)，則的值域為_______．【答案】【分析】利用換元法，令，進而可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由令，則，所以，又對勾函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象，如下：所以，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.7．函數(shù)的值域為_____________．【答案】【分析】利用通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.【詳解】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.8．若對任意恒成立，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】先分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，再換元求出最值，即可得到答案.【詳解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，則.令，則，且，于是，且在上為減函數(shù)，所以，所以.故選D.【點睛】本題結(jié)合與的關(guān)系，考查不等式恒成立問題，屬于容易題.四、形如的最值問題1．函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先換元，再分離常數(shù)求值域即可.【詳解】令，，可得，，，故.故選：B.2．函數(shù)的最大值為__________；【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可知，得到y(tǒng)的最大值為3，故答案為3.考點：三角函數(shù)的值域點評：主要是考查了分式函數(shù)的值域的求解，屬于基礎(chǔ)題．3．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可用常數(shù)分離法，也可用正弦函數(shù)的有界性求解.（2）由定義域可得，令則，所以，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：（1）方法1：.因為，所以.所以當時，.所以函數(shù)的值域為.方法2：由，得，即，顯然y≠1.故.因為，所以即解得：，所以函數(shù)的值域為.（2）因為，所以令則所以因為，所以，，，，即【點睛】方法點睛：（1）對于常規(guī)的求三角函數(shù)的值域或最值問題，一般情況下，只要注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的“有界性”即可解決.（2）對于形如或的函數(shù)，可采用常數(shù)分離后利用圖象或單調(diào)性求其最值或值域，也可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)自身的有界性求解.（3）對于形如或（或可化為此形式，其中A≠0）的函數(shù)，可用配方法求其值域.注意當x有具體范圍限制時，需考慮或的范圍.五、函數(shù)圖象平移問題的最值1．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換得，再結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱得，即，由于，故的最小值為.【詳解】解：根據(jù)題意函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得到，再向右平移個單位，得到函數(shù)，由于函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，因為，故的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)平移變換，函數(shù)的對稱性，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵理解平移變換和伸縮變換都是針對本身而言，即本身加減多少值，而不是依賴于加減多少值，在解題的過程中需要注意，避免出錯.2．設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意有，若為偶函數(shù)則，結(jié)合可得出答案.【詳解】解：由題意可得因為為偶函數(shù)，則，即因為，所以當時取得最小值.故選：A.【點睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1）求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（2）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組)，從而得到的解析式；（3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值；（4）畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.3．若函數(shù)與在上的圖象沒有交點，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移即可求解.【詳解】解：是周期為的正弦函數(shù)，，是由向左平移個單位得到①當時，如下圖所示，此時函數(shù)與在上有交點，不符合題意②當時，如下圖所示此時函數(shù)與在上無交點，符合題意③當，如下圖所示此時函數(shù)與在上無交點，符合題意綜上所述，，故的取值范圍是故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過對三角函數(shù)平移的過程利用數(shù)形結(jié)合找到相交的臨界位置.4．將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個單位后得到的圖象關(guān)于直線對稱（向左移動，向右移動），當最小時，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像的平移公式先求出平移后的解析式，再根據(jù)平移后的圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個單位后得到即由題意的圖像關(guān)于直線對稱.所以，即當時，，此時最小故選：C5．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且.將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再向上平移一個單位長度，得到的圖像；若，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求得，再根據(jù)圖象變換可得的解析式，結(jié)合，，，求得的值，可得答案.【詳解】設(shè)的最小正周期為T，則由圖可知，得，則，所以，又由題圖可知圖象的一個對稱中心為點，故，，故，，因為，所以，所以.又因為，故，所以；將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再向上平移一個單位長度，得到的圖象；因為，所以同時令取得最大值3，由，可得，，又，要求的最大值，故令，得；令，得，所以的最大值為，故選：D.6．已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點對稱，列出等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，取得最大值，最大值為．故選：A【點睛】思路點睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對稱中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，屬于中檔題.7．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中純音的數(shù)學(xué)模型是，已知函數(shù)的圖像向右平移個單位后，與純音的數(shù)學(xué)模型函數(shù)圖像重合，且在上是減函數(shù)，則a的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出解析式，求出單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合在上是減函數(shù)，得到關(guān)于的不等式組，從而求出a的最大值.【詳解】將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，又∵，∴，則令，，∴，∵在上是減函數(shù)，∴，，解得：，經(jīng)驗證，當時，，此時滿足不等式組，故a的最大值為故選：A8．將函數(shù)圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題先求出，可得，要滿足題意，則，即可求出.【詳解】將橫坐標縮短為原來的得到，再向右平移個單位得到，，則，要使在區(qū)間上的最大值為1，則，即，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過圖象變化得出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.9．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若對滿足，有恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】可得，根據(jù)題意可求出最小正周期，得出，求出的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)包含關(guān)系可求出.【詳解】由題可得，若滿足，則和必然一個極大值點，一個極小值點，又，則，即，所以，令，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，則，解得，因為，所以可得.故選：D.六、ω的最值1．設(shè)函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與原圖象重合，則的最小值等于（）A． B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)平移可得，然后令，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：平移之后函數(shù)表達式為由該函數(shù)圖像與函數(shù)圖像重合，所以，則，又，所以當時，的最小值為故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移知識，以及余弦函數(shù)的周期，關(guān)鍵在于重合的條件，相當于加上的是周期，屬基礎(chǔ)題.2．已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出并將函數(shù)化簡，進而根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，列出關(guān)于的不等式，最后解得答案.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，所以，而，則，于是，函數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，所以.故選：D.3．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的增區(qū)間，然后由已知得出的一個范圍，然后由再由方程在區(qū)間上有且僅有一解，結(jié)合正弦函數(shù)的最大值點求得的另一個范圍，兩者結(jié)合可得結(jié)論．【詳解】因為，令，，即，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，且，又因為，所以，又在區(qū)間上有唯一的實數(shù)解，所以，且，可得.綜上，．故選：D.4．函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出平移后的解析式，再借助函數(shù)的奇偶性列式即可計算作答.【詳解】依題意，，因函數(shù)為奇函數(shù)，則有，即