2019年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題試卷解析分類匯編：二次函數(shù)解答題-高品質(zhì)

2019年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題試卷解析分類匯編：二次函數(shù)解答題

1.(2019?湖北黃石?10分)如圖，已知拋物線y=L2+fcv+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(5,0).

(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)C在拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為8,求四邊形AMBC的面積；

(3)定點(diǎn)D(0,w)在y軸上，若將拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3

個(gè)單位得到一條新的拋物線，點(diǎn)P在新的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離的

最小值d(用含機(jī)的代數(shù)式表示)

【分析】⑴函數(shù)的表達(dá)式為：(x+1)(x-5),即可求解;

'3

(2)S四邊形(yc_yD)＞即可求解；

(3)拋物線的表達(dá)式為：y=Xr2,即可求解.

3

【解答】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=L(x+1)(x-5)=1(?-4x-5)=lr2-

3333

5

3

點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,-3)；

(2)當(dāng)x=8時(shí)，(x+1)(x-5)=9,即點(diǎn)C(8,9),

3

S四邊形(yc-yo)——X6X(9+3)=36；

22

(3)y=L(x+1)(x-5)=工(x2-4x-5)(x-2)2-3.

333

拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線,

則新拋物線表達(dá)式為：＞'=Xr2,

3

則定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離PD=1-x4+(l-yin)x2+m2.

?.?L〉o，P。有最小值，當(dāng)』=3%-2時(shí)，

92

PD最小值"=鼠|=噂百?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖形平移、面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難

度不大.

2.（2019?貴州畢節(jié)12分）某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛(ài)的土特產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)脫

貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入.己知某種土特產(chǎn)

每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價(jià)X（元）與該土特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的

關(guān)系如表：

X（元）152030???

y（袋）252010???

若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，試求：

（1）日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每

袋的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）與銷售價(jià)無(wú)（元）

的函數(shù)關(guān)系式即可

（2）利用每件利潤(rùn)X總銷量=總利潤(rùn)，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可.

【解答】解：

（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y

=kx+b得

（25=15k+b,解得fk-1

l20=20k+blb=40

故日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+40

（2）依題意，設(shè)利潤(rùn)為w元，得卬=

（x-10）（-x+40）=-/+50X+4OO整

理得w=-（X-25尹+225

-1<0

...當(dāng)x=2時(shí)，w取得最大值，最大值為225

故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利

潤(rùn)是225元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)每天的利潤(rùn)=一件的利潤(rùn)X

銷售件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

3（2019?山東省濱州市?14分）如圖①，拋物線y=-Xr2+Xr+4與y軸交于點(diǎn)4與x

82

軸交于點(diǎn)B,C,將直線A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得直線與x軸交于點(diǎn)D.

（1）求直線A。的函數(shù)解析式;

（2）如圖②，若點(diǎn)P是直線AD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)點(diǎn)P到直線A。的距離最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和最大距離;

【分析】（1）根據(jù)拋物線y=-L2+L+4與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,C,可以

82

求得點(diǎn)AB.C的坐標(biāo)，再根據(jù)將直線A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得直線與x軸交于

點(diǎn)。，可以求得點(diǎn)。的坐標(biāo).從而可以求得直線AO的函數(shù)解析式；

（2）①根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P到直線

AO的距離最大值，進(jìn)而可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②根據(jù)①中關(guān)系式和題意，可以求得點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，從而可以求得sin/PA。的值.

【解答】解（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,

當(dāng)y=0時(shí)，0=-L;2+L+4,解得，用=-4,X2=8,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)C

82

的坐標(biāo)為（8,0）,

：.OA=OB=4,

，NOBA=/OAB=45°,

?.?將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線AO,

/.ZBAD=90°,

?,.0X0=45",

：.ZODA=45°,

：.OA=OD,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,0）,

設(shè)直線的函數(shù)解析式為y=kx^b.

尸，得尸,

l4k+b=0lb=4

即直線AD的函數(shù)解析式為y=-x+4；

（2）作PNLx軸交直線AO于點(diǎn)N,如右圖①所示，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為"--/2+i/+4）,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（/,-r+4）,

82

:.PN=（-U+L+4）_（_什4）=-工？+當(dāng)，

8282

，PN_Lx軸，

，PN〃y軸，

：.4OAD=/PNH=45°,

作Pa_LAO于點(diǎn)H,則/PHN=90°,

亞p『返（-：+當(dāng)）=國(guó)2在二一亞（-6）2+迎

22821614164

.?.當(dāng)r=6時(shí)，尸，取得最大值2返，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,"），

42

即當(dāng)點(diǎn)P到直線AO的距離最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6,反），最大距離是2返;

24

解得,力=2,/2=10,

則P的坐標(biāo)為（2,1）,尸2的坐標(biāo)為（10，--）

22

當(dāng)尸I的坐標(biāo)為（2,9）,則PA=)2+(1-4)

22

：.smZPiAD=5VS=

434

后

~2~

-素,則尸乂=,（10-0）2+（3一4）2=登

當(dāng)P2的坐標(biāo)為（10,

/.sinZP-)AD==V2；

25萬(wàn)

2

由上可得，sin/PAD的值是包畫(huà)或返.

3410

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要

的條件，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

4.(2019,四川成都，12分)如圖，拋物線丫=加+/?+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)八(-2,5),與x軸

相交于B(-1,0),C(3,0)兩點(diǎn)，

(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將^BCD沿沿直線BD翻折得到

△BC'D,若點(diǎn)C'恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)C'和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)P是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)ACPQ為等邊

三角形時(shí)，求直線BP的函數(shù)表達(dá)式。

4a-2Z>+r=5{a=1

解：”）由題意坤.6+r=0,解得，力二一2

9a+36+r=0c=-3

故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為］?二./一21-3：

?2):胞物線與x軸的交點(diǎn)為8(-1.0).C(3.0).

/.5C=4.怩物找的時(shí)你軸為直線x=1.

設(shè)拋物線,的對(duì)稱軸與文于點(diǎn)〃.則//點(diǎn)的坐除為(1.0).BH=2.

由翻折得C'8=C3=4.

在RiABHC'中,由勾股定理.PtC'H==V4:-2'=243.

.?.點(diǎn)C，的坐標(biāo)為(1.2>/3).lanNC'B，：一

BH

二60。

由耕析件ZDBH=；NC'34=30。.

在RtABHD中.D^=B/7tauZD5//=2tau3O0--

???點(diǎn)。的坐林為

<3?取，2)中的點(diǎn)C'.D,HHCC.

1.BC'^BC.ZC'BC=60°.

/.SC'CB為等邊三角射.

分臭討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上方時(shí).點(diǎn)Qilx軸上方.

連接BQ,C'P.

???AFC。.SC'CB為等邊三角舫

；.CQ=CP、BC=C'C./LPCQ=ZC'CB=60°.

ZfiCg>=ZC'CP.

SBCQ^C'CP.

；.BQ=C'P.

?.?點(diǎn)0在用物”.的時(shí)稱軸上.

/.BQ^CQ

:CP=CQ=CP.

BC'=BC.

：.BP

由翻折可加80垂克平分CC'

.?.點(diǎn)O在直線8P上.

G

Q=-k+b3

議克饃8P的晶敦表達(dá)式為v=kx+b.則26L.G

-----二k+bT

3

「?宜找3尸的畫(huà)數(shù)表達(dá)式為

②當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí).點(diǎn)0在x軸下方.

???\QCP.AC'CB為等邊三第戲.

：.CP=CQ,BC=CC，.NCCB二NQCP:NUCB=60。.

???ZBCP=NUCQ

???MCP9AC'CQ

：.4CBP二乙CC'Q

?；BC=CUCHtBC

??NCU0二！CUB二30°

??.ZCBP=30。

設(shè)3尸與.i,林柏文于點(diǎn)E.

aR\SBOE中,OE=O8tau/CBP=Q5tau30°=lx二=二

33

???點(diǎn)E的叟驚為O.一年，

造直線8P的函敢表達(dá)式為J?=KK+6'.

b

T

!

<立

-b&

-一

k3-T

:,近及8尸的品數(shù)表達(dá)式為r=--V-—

J3V3，3J：

綜上所述,直找BP的函數(shù)表達(dá)式為r——x4------A.v---------x------

.33,33

5.（2019?湖南長(zhǎng)沙?10分）已知拋物線y=-2?+（6-2）x+（c-2020）（b,c為常數(shù)）.

（1）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）,求6,c的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求c的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實(shí)數(shù)〃（〃?<〃），當(dāng)wWxW”時(shí)，恰好一

2irrFly+2

c，求〃2,〃的值.

2n+l

【分析】(1)利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-2x+(b-2)x+(c-2020)

可知，y=-2(x-1)2+l,易得B.c的值；

(2)設(shè)拋物線線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不重合的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(即，加)，(-刈，-%)，

代入函數(shù)解析式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到。=2%和2020,易得c22020；

(3)由題意知，拋物線為y=-2?+4x-1=-2(x-1)2+1,則戶1.利用不等式的性

質(zhì)推知：-<y<--易得由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得到：當(dāng)x=m時(shí)，y最大值

nin

222

=-2m+4m-1.當(dāng)x=n時(shí)，y域小值=-2/+4〃-1.所以l=-2/z?+4m-1f—=-2n+4n

m'n

-1通過(guò)解方程求得m.n的值.

【解答】解(1)由題可知，拋物線解析式是：y=-2(x-1)2+1=-2r2+4x-1.

/fb-2=4

**lc-2020=-l

A/?=6,c=2019.

(2)設(shè)拋物線線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不重合的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(沏，和)，(-刈，-州),

代入解析式可得：fy0=-2x02+(b-2)XQ+(c-2O2O)?

-yg=-2xg^-(b-2)XQ+(C-2020)

工兩式相加可得:-W+2(c-2020)=0.

???c=2x2+2020,

o

???c22020；

(3)由(1)可知拋物線為y=-2X2+4X-1=-2(x-1)2+l.

?'.yWl.

\90<m<n,當(dāng)ni^x^n時(shí)，恰好———W―-—M———,

2irrl-ly+22n+l

???1/1

???工工.

nin

?\—1,即“21.

ID

???拋物線的對(duì)稱軸是x=l,且開(kāi)口向下,

???當(dāng)〃時(shí)，y隨x的增大而減小.

/.當(dāng)x=m時(shí)，y最大值=-2trT+4m-1.當(dāng)x=n時(shí)，y最小值=-2n2+4n-1.

又工

nm

fi9

—=-2n+4nT①

n

.L=-2m2+4mT②

?*IID?

將①整理，得2〃3-4/?+”+l=0,

變形，得2J(n-1)-(2/1+1)(?-1)=0.

，(n-1)(2n2-2n-1)=0.

：.2n-2n-1=0.

解得川=上區(qū)(舍去)，〃2=上巫.

22

同理，由②律孤(w-1)(2nr-2m-1)=0.

"/1

：.2m-2m-1=0.

解得〃“=1，加2=士亞■(舍去)，〃[3=(舍去).綜上所述，，"=1,〃=1+近.

222

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)綜合題，解答該題時(shí)，需要熟悉二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，二次函數(shù)圖象的增減性，二次函數(shù)最值的意義以及一元

二次方程的解法.該題計(jì)算量比較大，需要細(xì)心解答.難度較大.

6.(2019?湖南懷化?14分)如圖，在直角坐標(biāo)系中有RtZXAOB,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08=1,tan

NAB0=3,將此三角形繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到RtZXCOC,二次函數(shù)y=-7+以+c

的圖象剛好經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)過(guò)定點(diǎn)。的直線/：y=fcr-A+3與二次函數(shù)圖象相交于M,N兩點(diǎn).

①若S&PMN=2,求上的值；

②證明：無(wú)論我為何值，恒為直角三角形；

③當(dāng)直線/繞著定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，△PMN外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出該拋

物線的表達(dá)式.

【分析】(1)求出點(diǎn)ABC的坐標(biāo)分別為(0,3)、(-1,0)、(3,0),即可求解;

XXI

（2）@S^PMN=—PQX（2-）,則X2-X\=4,即可求解；②＞心*」,一7?

2x2-lXj-1

y1y2-4（y1+y2）+16

1,即可求解；③取MN的中點(diǎn)H,則點(diǎn)H是/\PMN外接

-

X[X24（XJX2）+1

圓圓心，即可求解.

【解答】解(1)OB=l,tanZABO=3,則。4=3,OC=3,

即點(diǎn)A.B.C的坐標(biāo)分別為(0,3)、(-1,0)、(3,0),

則二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x-3)(x+1)=a(x2-2x-3),

即：-3a=3,解得：a=-1,

故函數(shù)表達(dá)式為：y=-x+2x+3,

點(diǎn)尸(1,4)；

(2)將二次函數(shù)與直線/的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

x-(2-k)x-k=0,

設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為（xi，yi）、（12，”），

則Xl+X2=2-hX\X2=~k,

則：y\^yi=k（xi+%2）-2k+6=6-產(chǎn)，

同理：yij2=9-4產(chǎn)，

?y=kx-k+3,當(dāng)x=l時(shí)，y=3,即點(diǎn)。（1,3）,

S"MN=2=丫QX（X2-xi）,貝（JX2-xi=4,

僅2-%11={（x]+x2）2-4x]

解得：仁士2?；

②點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為（xi,yi）、（九2,”）、點(diǎn)P（L4）,

則直線PM表達(dá)式中的心值為：y1Y,直線PN表達(dá)式中的依值為：y2-4,

乂2-1

y4

力,t_2_yi-4_y1y2-4(y1+y2)+i6_

為：k\K2-----------------------2----r-----1,

-_

x2lXj-1XjX24(XJX2)+1

散PMLPN,

即：△PMN恒為直角三角形；

③取MN的中點(diǎn)H,則點(diǎn)”是外接圓圓心,

設(shè)點(diǎn)〃坐標(biāo)為(x,y),

則尸衛(wèi)至=1」，

22

(yi+j2)——(6-鏟)，

22

整理得：-Zr2+4x+l,

即：該拋物線的表達(dá)式為：y=-27+4x+l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圓的基本知識(shí)等，其中，用韋達(dá)

定理處理復(fù)雜數(shù)據(jù)，是本題解題的關(guān)鍵.

7.(2019?甘肅武威?12分)如圖，拋物線y=o?+法+4交工軸于A(-3,0),B(4,0)兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)、P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為m.

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)Q.試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以A,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此

時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)P作PNLBC,垂足為點(diǎn)M請(qǐng)用含機(jī)的代數(shù)式表示線段*V的長(zhǎng)，并求出當(dāng)

，"為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

【分析】(1)由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解;

(2)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=AQ三種情況，分別求解即可；

(3)由PN=PQsinNPQN=?(-Lttf+Lm+^+tn-4)即可求解.

233

【解答】解(1)由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12),

即：-12a=4,解得：a—--,

3

則拋物線的表達(dá)式為)，=-Xx2+lr+4；

33

(2)存在，理由：

點(diǎn)AB.C的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(4,0)、(0,4),

則AC=5,AB=1,BC=4?,/OBA=45°,

將點(diǎn)8C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：)=丘+6并解得：y=-x+4…①，

同理可得直線AC的表達(dá)式為：丫=幺+4,

3

設(shè)直線AC的中點(diǎn)為M(一旦，4),過(guò)點(diǎn)M與C4垂直直線的表達(dá)式中的出值為-W,

24

同理可得過(guò)點(diǎn)M與直線AC垂直直線的表達(dá)式為：y=-旦"工…②，

48

①當(dāng)AC=A。時(shí)，如圖1,

則AC=AQ=5,

設(shè)：QM=MB=〃,則AM=1-n,

由勾股定理得：(7-〃)2+/=25,解得：〃=3或4(舍去4),

故點(diǎn)Q(1,3)；

②當(dāng)AC=C。時(shí)，如圖1,

CQ=5,則BQ=BC-CQ=4&-5,

則QM=MB=空^

故點(diǎn)。(且2,空述)；

22

③當(dāng)CQ=AQ時(shí)，

聯(lián)立①②并解得：X=爭(zhēng)(舍去)；

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為：Q(1，3)或(殳巨，互述)；

22

(3)設(shè)點(diǎn)尸(，"，-Lffl2+L〃+4),則點(diǎn)Q(〃?，-m+4),

33

VOB=OC,.,.NA8C=NOC8=45°-ZPQN,

PN=PQs'nNPQN=（-L7p+L%+4+〃？-4）=-2m,

23366

???一返<0,，PN有最大值，

6

當(dāng)機(jī)=工一時(shí)，PN的最大值為：?jiǎn)?

224

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要

會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)

度，從而求出線段之間的關(guān)系.

8.（2019?湖北十堰TO分）某超市擬于中秋節(jié)前50天里銷售某品牌月餅，其進(jìn)價(jià)為18元

/kg.設(shè)第x天的銷售價(jià)格為y（元/版），銷售量為m（kg）.該超市根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)

得出以下的銷售規(guī)律：①當(dāng)lWx<30時(shí)，>'=40；當(dāng)31Wx<50時(shí)，y與x滿足一次函數(shù)

關(guān)系，且當(dāng)x=36時(shí)，y=37；x=44時(shí)，yF^-^^您的x的關(guān)系為，〃=5x+50.

（1）當(dāng)31Wx<50時(shí)，y與x的關(guān)系式為一_；

（2）x為多少時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)W（元）最大？最大利潤(rùn)為多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日銷售利潤(rùn)W（元）隨x的增大而增大，則需要在

當(dāng)天銷售價(jià)格的基礎(chǔ)上漲a元/依，求a的最小值.

【分析】本題是通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤(rùn)的問(wèn)題.

0依據(jù)題意利用待定系數(shù)法，易得出當(dāng)31WxW50時(shí)，y與x的關(guān)系式為：產(chǎn)工+55,

2

0根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量X（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），列出每天的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售價(jià)x

（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn).

0要使第31天到第35天的日銷售利潤(rùn)W（元）隨x的增大而增大，則對(duì)稱軸=一生

2a

235,求得〃即可

【解答】解：

（1）依題意，當(dāng)x=36時(shí)，y=37；x=44時(shí)，y=33,

當(dāng)31WxW50時(shí)，設(shè)y^kx+b,

則有（37=36k+b,解得（上

l33=44k+b

K-2

上=55

與x的關(guān)系式為：y=-Xx+55

2

(2)依題意,

r(40-18)-(51+50),(l<x<30)

"W=，(^-x+55)(5x+50),(31<x<50)

^llOx+UOO,(l<x<30)

整理得，w=、

592

-yX+160x+1850,(31<x<50)

：W=(y-18)?加

當(dāng)KW30時(shí),

隨x增大而增大

，x=30時(shí)，取最大值W=30X110+1100=4400

當(dāng)31Wx近50時(shí),

W=V+i6Qx+1850=-i-(x-32)2+4410

■:工(。

???犬=32時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=4410

綜上所述，x為32時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)W(元)最大，最大利潤(rùn)為4410元

(3)依題意，

W=(y+a-18)?〃產(chǎn)號(hào)x+(160+5a)x+1850+50w

?.?第31天到第35天的日銷售利潤(rùn)W(元)隨x的增大而增大

.?.對(duì)稱軸x=一旦=-160+/25,得0三3

2a2X(,1)

故a的最小值為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函

數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選

擇最優(yōu)方案.其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值).

9(2019?湖北十堰T2分)已知拋物線y=a(x-2)?+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和C(0,卷)，

與x軸交于另一點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式，并寫(xiě)出。點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖，點(diǎn)E,尸分別在線段AB,BD上(E點(diǎn)不與A,8重合)，且NDEF=NA,

則△OEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)尸在拋物線上，且答亞=機(jī)，試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

^ACBD

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問(wèn)題.

(2)可能.分三種情形①當(dāng)OE=O尸時(shí)，②當(dāng)。E=E尸時(shí)，③當(dāng)。尸=EF時(shí)，分別求

解即可.

(3)如圖2中，連接BD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DHLAB于H,連接PD,

PH,PB.設(shè)？[〃，-立-(〃-2)2+3],構(gòu)建二次函數(shù)求出△PBQ的面積的最大值，再根

16

據(jù)對(duì)稱性即可解決問(wèn)題.

【解答】解:(1)由題意：(16a+c=0,

4a+c0

__3_

解得&-下，

c=3

???拋物線的解析式為y=-旦(x-2)2+3,

-16

.??頂點(diǎn)。坐標(biāo)(2,3).

(2)可能.如圖1,

圖1

VA(-2,0),D(2,3),B(6,0),

：.AB=8,AD=BD=5,

①當(dāng)OE=O尸時(shí)，NDFE=NDEF=/ABD,

：.EF//AB,此時(shí)E與B重合，與條件矛盾，不成立.

②當(dāng)OE=EF時(shí)，

又,：ABEFSAAED,

：./\BEF^^AED,

：.BE=AD=5

③當(dāng)￡>F=EF時(shí)，NEDF=NDEF=/DAB=ZDBA,

△FDESADAB,

.EF=DE

"BDAB"

?里=幽=旦

"DEABT

■:/XAEF^^BCE

?EB=EF=5_

,*ADDE百，

：.EB=^AD=^-,

88

答：當(dāng)BE的長(zhǎng)為5或空時(shí)，△(：下￡為等腰三角形.

8

(3)如圖2中，連接BD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時(shí)，作DHLAB于H,連接PD,

2+3],

則SAPBO=SAPBH+SZ\PDH-SABDH=LX4X[--2)2+3]+1X3X(n-2)--X4

21622

X3=-S(”-4)2+S,

82

■:-3<o,

8

.,.〃=4時(shí)，△PB。的面積的最大值為W,

2

S/kCBD

得A

...當(dāng)點(diǎn)P在B力的右側(cè)時(shí)，機(jī)的最大值=&=正

5

觀察圖象可知：當(dāng)0〈加＜①寸，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè)，

10

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)，

10

當(dāng)"＞必寸，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有2個(gè)（此時(shí)點(diǎn)P在BD的左側(cè)）.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討

論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬

于中考?jí)狠S題.

10.(2019?浙江金華T0分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,邊OA,

OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的

點(diǎn)稱為好點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線y=-(x-m)2+m+2的頂點(diǎn)。

(1)當(dāng)m=0時(shí)，求該拋物線下方(包括邊界)的好點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(2)當(dāng)m=3時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方(包括邊界)給好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m

的取值范圍，

【答案】(1)解：：m=0,

二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2,畫(huà)出函數(shù)圖像如圖1,

圖1

,當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)x=l時(shí)，y=l；

.??拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,1),

，好點(diǎn)有：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)和(1,1),共5個(gè).

(2)解：Vm=3,

y

圖2

???二次函數(shù)表達(dá)式為；y=-(X-3)2+5,畫(huà)出函數(shù)圖像如圖2,

?.?當(dāng)x=l時(shí),y=l；當(dāng)x=2時(shí)，y=4；當(dāng)x=4時(shí)，y=4；

二拋物線上存在好點(diǎn),坐標(biāo)分別是(1,1),(2,4)和(4,4)。

(3)解：?拋物線頂點(diǎn)P(m,m+2),

???點(diǎn)P在直線y=x+2上，

???點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，

."-0<m<2,

如圖3,E(2,1),F(2,2),

???當(dāng)頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，且好點(diǎn)恰好存在8個(gè)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)(點(diǎn)F

除外)，

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(2,1)時(shí)，

-(2-m)2+m+2=l,

解得：m尸5一113m2=5+-13(舍去)，

2-2~~

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,2)時(shí)，

(2-m)2+m+2=2,

解得：m3=l,m4=4(舍去)，

當(dāng)5WmVl時(shí)，頂點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)，恰好存在8個(gè)好點(diǎn).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】(1)將m=0代入二次函數(shù)解析式得y=-x2+2,畫(huà)出函數(shù)圖像，從圖像上可

得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,1),從而可得好點(diǎn)個(gè)數(shù).

(2)將m=3代入二次函數(shù)解析式得y=-(x-3)2+5,畫(huà)出函數(shù)圖像，由圖像可得拋物線上

存在好點(diǎn)以及好點(diǎn)坐標(biāo).

(3)由解析式可得拋物線頂點(diǎn)P(m,m+2),從而可得點(diǎn)P在直線y=x+2上，由點(diǎn)P在

正方形內(nèi)部，可得0<m<2；結(jié)合題意分情況討論：①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(2,1)時(shí)，②當(dāng)

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(2,2)時(shí)，將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式,解之即可得m值，從而可得m范

圍.

11.(2019?浙江寧波?10分)如圖，已知二次函數(shù)y=x?+ax+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,3).

(1)求a的值和圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)點(diǎn)Q(m,n)在該二次函數(shù)圖象上.

①當(dāng)m=2時(shí)，求n的值；

②若點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離小于2,請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出n的取值范圍.

【分析】(1)把點(diǎn)P(-2,3)代入y=x?+ax+3中，即可求出a；

(2)①把m=2代入解析式即可求n的值；

②由點(diǎn)Q至1Jy軸的距離小于2,可得-2<m<2,在此范圍內(nèi)求n即可；

【解答】解：(1)把點(diǎn)P(-2,3)代入y=x?+ax+3中，

??a=2,

/.y=x2+2x4-3,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2)；

(2)①當(dāng)m=2時(shí)，n=ll,

②點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離小于2,

???-2<m<2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵.

12(2019?浙江衢州?10分)某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格為200元時(shí)，每天入住的

房間數(shù)為60間，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格在170~240元之間(含170元，

240元)浮動(dòng)時(shí)，每天入住的房間數(shù)y(間)與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格x(元)的數(shù)據(jù)如下表：

X（元）190200210220

y(間)65605550

.y（間）

70

60

50

40

（F^TTO—i90—210—230—25^x兀

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫(huà)出圖象。

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式、并寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

（3）設(shè)客房的日營(yíng)業(yè)額為w（元）。若不考慮其他因素，問(wèn)賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格定為多少元

時(shí)?？头康娜諣I(yíng)業(yè)額最大？最大為多少元？

【答案】（1）解：如圖所示：

（元）

把(200,60)和(220,50)代入,

200斤+6=60

得,解得

7.7M+h=S01/>=160

y=—得x+160(170<x<240)

(—Jx+160)=—4x2+160x.

(3)解:w=x?y=x?

__L=160,

???對(duì)稱軸為直線x=

2/7

Va=-^<0,

.?.在170WXW240范圍內(nèi)，w隨x的增大而減

小.故當(dāng)x=170時(shí)，w有最大值，最大值為

12750元

【考點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)再平面直角坐標(biāo)系中先描點(diǎn)、連線即可畫(huà)出圖像.(2)

設(shè)y與X的函數(shù)表達(dá)式為丫=1?+1),再?gòu)谋碇羞x兩個(gè)點(diǎn)(200,60),(220,50)代入函數(shù)解

析式，得到一個(gè)關(guān)于k、b的二元一次方程組，解之即可得出答案，由題意即可求得自變量取

值范圍.(3)設(shè)日營(yíng)業(yè)額為w,由亞=*丫==-\x2+160x,再由二次函數(shù)圖像性質(zhì)即可求得答

案.

13(2019,山東淄博，9分)如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線)=以2+法+3與x軸交于A(3,0),8

(-1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)問(wèn)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

(3)若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D,滿足D4=QA,過(guò)。作。G_Lx軸于點(diǎn)G,

設(shè)△AOG的內(nèi)心為/,試求C/的最小值.

備用圖

【分析】(1)用待定系數(shù)法即求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

②用配方法求拋物線頂點(diǎn)M,求AA?,設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,p),用。表示AP?和MP2.△

PA”為直角三角形不確定哪個(gè)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，故需分三種情況討論.確定直角即確定斜

邊后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得點(diǎn)P坐標(biāo).

?由點(diǎn)/是△AOG內(nèi)心聯(lián)想到過(guò)點(diǎn)/作△AOG三邊的垂線段IE.IF、IH,根據(jù)內(nèi)心到

三角形三邊距離相等即有/E=/F=/H.止匕時(shí)以點(diǎn)/為圓心、/E為半徑長(zhǎng)的即為△AOG

內(nèi)切圓，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得AE=AF,DF=DH,EG=HG.設(shè)點(diǎn)/坐標(biāo)為(m,n),可

用含m.n的式子表示AG、DG的長(zhǎng)，又由DA=OA^3,即可用勾股定理列得關(guān)于〃八

n的方程.化簡(jiǎn)再配方后得到式子：(m-3)2+(/3)2=9,從圖形上可理解為點(diǎn)/

222

(m,〃)與定點(diǎn)Q(3,-1)的距離為3返，所以點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.所以當(dāng)點(diǎn)

222

/在CQ連線上時(shí)，C7最短.

【解答】解(1)?.?拋物線丫=0^+汝+3過(guò)點(diǎn)A(3,0),8(-1,0)

...19a+3b+3=0解得：卜=-1

la-b+3=0lb=2

.?.這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為)，=-?+2x+3

（2）在y軸上存在點(diǎn)P,使得△以例為直角三角形.

：y=-/+2X+3=-（x-1）2+4

二頂點(diǎn)M（1,4）

AAAf2=（3-1）2+42=20

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,p）

.,.AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+（4-p）2=17-8p+p2

若NPAM=90。，則AM2+AP1=MP1

.*.20+9+/?2=17-8p+，

3,

解得：p=-~2

:.p（o,-3）

2

②若NAPM=90。，則AP2+MP1=AM2

.,.9+/+17-8p+p"=20

解得：pi=l,P2=3

：.P（0,1）或（0,3）

③若NA例P=90°,則AM2+MP2=AP2

/.20+17-8p+/=9+p2

解得：p=—

2

：.P（0,工）

2

綜上所述，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,-3）或（0,1）或（0,3）或（0,—）時(shí)，△PAM為直

22

角三角形.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)/作軸于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,/HLOG于點(diǎn)”

???0GL:軸于點(diǎn)G

：.ZHGE=ZIEG=ZIHG=90°

???四邊形/EGH是矩形

???點(diǎn)/為aAOG的內(nèi)心

：.IE=lF=IHfAE=AF,DF=DH,EG=HG

???矩形/EG"是正方形

設(shè)點(diǎn)/坐標(biāo)為(相，77)

：.OE=m,HG=GE=IE=n

：.AF=AE=OA-OE=3-m

工AG=GE+AE=〃+3-m

\9DA=OA=3

：.DH=DF=DA-AF=3-(3-m)=m

:?DG=DH+HG=m+n

\9DG2+AG2=DA2

/.(m+n)2+(〃+3-〃2)2=32

???化簡(jiǎn)得：m-3m+n2+3n=0

配方得：2+(n+l)2=

22—

...點(diǎn)/(，〃，n)與定點(diǎn)Q(3,-3)的距離為3^2

2

...點(diǎn)/在以點(diǎn)Q(S,-3)為圓心，半徑為盟2的圓在第一象限的弧上運(yùn)動(dòng)

222

...當(dāng)點(diǎn)/在線段CQ上時(shí)，C7最小

//3\2,c3、23VT5

?；CQ=V份)+(3+y)--2~

：.Cl=CQ-/Q=2/出

2

，C/最小值為盟1031.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形存在性的分類討論，三角形內(nèi)心

的定義和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解一元一次方程和一元二次方程.第

(3)題的解題關(guān)鍵是由點(diǎn)/是內(nèi)心用內(nèi)心性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理列式求得點(diǎn)/坐標(biāo)的特征式

子，轉(zhuǎn)化到點(diǎn)/到定點(diǎn)。的距離相等，再轉(zhuǎn)化到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

14.(2019?江蘇連云港?12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Li：y=x+bx+c

過(guò)點(diǎn)C(0,-3),與拋物線七：y=-L2-3+2的一個(gè)交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

22

2,點(diǎn)P、。分別是拋物線