廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高二數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)為（）A B.C. D.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.3.兩個相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：2345625●465865根據(jù)表格已得經(jīng)驗回歸方程為.若表格中有一數(shù)據(jù)模糊不清，則推算該數(shù)據(jù)是（）A.35.5 B.36 C.36.5 D.374.在區(qū)間上，若，則下列四個圖中，能表示函數(shù)的圖像的是（）A. B.C. D.5.某中學(xué)推出了籃球?足球?排球?羽毛球?乒乓球共5門球類體育選修課供同學(xué)們選擇，其中羽毛球火爆，只剩下一個名額，其余4門球類課程名額充足.現(xiàn)有某宿舍的四位同學(xué)報名選課，每人只選擇其中的1門課程，四位同學(xué)選完后，恰好選擇了3門不同球類課程，則不同的選課情況總共有（）A.316種 B.360種 C.216種 D.288種6.袋中有5個白球，4個黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個相同顏色的球時停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為（）A. B. C. D.8.已知實數(shù)滿足且，若，則（）A. B.C. D.二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.變量與的成對數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示，由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定第二個點B為離群點（對應(yīng)殘差過大），把點B對應(yīng)的數(shù)據(jù)去掉后，用剩下的7組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)在處取到極大值1，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（）A. B.C. D.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.的展開式中，的系數(shù)是80，則___________.13.若甲筐中有5個蘋果，3個梨子，2個橙子，乙筐中有個蘋果?1個梨子?2個橙子，現(xiàn)從甲筐中隨機取出一個水果放入乙筐，再從乙筐中隨機取出一個水果，記“從乙筐中取出的水果是蘋果”為事件，若，則整數(shù)的最小值為__________.14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，第16?17題各15分，第18?19題各17分，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求證：16.某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問卷形式對轄區(qū)內(nèi)部分居民做了體育鍛煉的宣傳和調(diào)查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下：共100份有效問卷，50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別因素是否會影響經(jīng)常體育鍛煉？性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉男女合計（2）從不經(jīng)常體育鍛煉15份調(diào)查問卷中得到不經(jīng)常鍛煉的原因：有3份身體原因；有2份不想鍛煉；有4份沒有時間；有6份沒有運動伙伴.求從這15份問卷中隨機選出2份，在已知其中一份是“沒有時間”的條件下，另一份是“沒有運動伙伴”的概率.附：①，其中.②臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.某企業(yè)生產(chǎn)一種熱銷產(chǎn)品，產(chǎn)品日產(chǎn)量為噸，日銷售額為萬元（每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日可銷售完畢），且產(chǎn)品價格隨著產(chǎn)量變化而有所變化.經(jīng)過一段時間的產(chǎn)銷，隨機收集了某5天的日產(chǎn)量（單位：噸）和日銷售額（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對這5組數(shù)據(jù)做了初步處理，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表21.63915.9其中，分別為數(shù)據(jù)的平均數(shù).（1）請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷與哪一個模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系？（2）根據(jù)（1）的結(jié)果解決下列問題：（i）建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（ii）如果日產(chǎn)量（單位：噸）與日生產(chǎn)總成本（單位：萬元）滿足關(guān)系，根據(jù)（i）中建立的經(jīng)驗回歸方程估計日產(chǎn)量為何值時，日利潤最大？附：①相關(guān)系數(shù)；②經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：.③參考數(shù)據(jù)：.18已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.19.設(shè)集合，且，記集合中的最小元素和最大元素分別為隨機變量.（1）若的概率為，求；（2）若，求且的概率；（3）記隨機變量，證明：.2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高二數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運算的乘法法則求導(dǎo)即可.【詳解】由可得，即.故選：B2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性得出概率.【詳解】因為所以,又因為正態(tài)分布的對稱軸為2，所以,所以所以.故選：C.3.兩個相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：2345625●465865根據(jù)表格已得經(jīng)驗回歸方程為.若表格中有一數(shù)據(jù)模糊不清，則推算該數(shù)據(jù)是（）A.35.5 B.36 C.36.5 D.37【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用回歸直線過樣本中心點代入求參即可.【詳解】因為，代入,所以.故選：B.4.在區(qū)間上，若，則下列四個圖中，能表示函數(shù)的圖像的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)切線斜率的關(guān)系即可判斷.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與切線斜率的關(guān)系可知，在區(qū)間上時，函數(shù)圖象在任意一點處的切線斜率恒大于1，則顯然BCD不合題意，對A選項，函數(shù)在處的切線斜率等于1，且在上，切線斜率不斷增大，則恒成立，故A正確.故選：A.5.某中學(xué)推出了籃球?足球?排球?羽毛球?乒乓球共5門球類體育選修課供同學(xué)們選擇，其中羽毛球火爆，只剩下一個名額，其余4門球類課程名額充足.現(xiàn)有某宿舍的四位同學(xué)報名選課，每人只選擇其中的1門課程，四位同學(xué)選完后，恰好選擇了3門不同球類課程，則不同的選課情況總共有（）A.316種 B.360種 C.216種 D.288種【答案】D【解析】【分析】分選不選羽毛球兩種情況討論，再分別利用分步乘法原理計算報名情況，利用分類加法原理求和即得結(jié)果.【詳解】分兩種情況討論：不選羽毛球，其余4門球類課程選3門，有種選法，四人中有2人選擇同1門課程，其余2人各自選1門課程，有種選法，故報名的情況有種；1人選羽毛球，則種選法，再從其余4門球類課程選2門課程，則種選法，其余3人中選1人選一門課程，其余2人同選另1門課程，則種，故報名的情況有種.所以他們報名的情況總共有種.故選：D6.袋中有5個白球，4個黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個相同顏色的球時停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先明確所代表的意義以及所包含的可能情況，再根據(jù)全概率公式即可計算所求概率.【詳解】根據(jù)題意第一、二、三、四次取出的球的顏色符合的情況有以下六種：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，這六種情況的發(fā)生是相互互斥的，所以由全概率公式得：.故選：A.7.如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先明確楊輝三角第20行的數(shù)的個數(shù)，通過和結(jié)合組合數(shù)對稱性質(zhì)得出楊輝三角第20行中比2024大的數(shù)的個數(shù)即可得解.【詳解】由題意可知楊輝三角第20行共有21個數(shù)，其中從左往右第4個數(shù)為，從左往右第5個數(shù)為，所以根據(jù)組合數(shù)的對稱性得楊輝三角第20行的21個數(shù)里有個大于2024，故從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為.故選：D.8.已知實數(shù)滿足且，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)運算法則將等式變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域及對數(shù)不等式可得的范圍【詳解】由得，由得，因此，又，所以，又，所以，利用得，又，所以，即，所以，即，故選：A二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.變量與的成對數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示，由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定第二個點B為離群點（對應(yīng)殘差過大），把點B對應(yīng)的數(shù)據(jù)去掉后，用剩下的7組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)點B的特點判斷選項，；由于去掉B，其它點的線性關(guān)系更強，從而可判斷，選項．【詳解】因為共8個點且離群點B的橫坐標(biāo)較小而縱坐標(biāo)相對過大，去掉離群點后回歸方程的斜率更大，而截距變小，所以正確，而錯誤；去掉離群點后相關(guān)性更強，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以，故錯誤，正確.故選：AC．10.已知函數(shù)在處取到極大值1，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)極值點導(dǎo)數(shù)意義，判斷A，B；根據(jù)函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)在的附近單調(diào)性為“左增右減”，用導(dǎo)數(shù)正負(fù)來判斷C，D.【詳解】因為，則.函數(shù)在處取到極大值1.則，則A正確；兩式子相減，得到，即，則B正確；由前面知道，，則，由于函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)的附近單調(diào)性為“左增右減”.則，對于時，，即，即，即，即，則.則C正確，D錯誤.故選：ABC.11.設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】,求出，利用可判斷A，由可判斷B，由條件概率公式可判斷D.【詳解】由，因為，則，所以，因為，所以，故A正確；則，所以，故B錯誤；由于，所以C正確；由于，則，所以，故D正確；故選：ACD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.的展開式中，的系數(shù)是80，則___________.【答案】2【解析】分析】由二項式定理公式即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，的展開式的通項為:，當(dāng)時，，此時，所以.故答案為：2.13.若甲筐中有5個蘋果，3個梨子，2個橙子，乙筐中有個蘋果?1個梨子?2個橙子，現(xiàn)從甲筐中隨機取出一個水果放入乙筐，再從乙筐中隨機取出一個水果，記“從乙筐中取出水果是蘋果”為事件，若，則整數(shù)的最小值為__________.【答案】3【解析】【分析】記、、分別表示從甲筐中隨機取出一個水果為蘋果、梨子、橙子，則利用全概率公式即可得解.【詳解】記、、分別表示從甲筐中隨機取出一個水果為蘋果、梨子、橙子的事件，則、、相互互斥，所以由全概率公式得：，，故整數(shù)的最小值為3.故答案為：3.14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線與和的切點分別為，，分別求出切點處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點的橫坐標(biāo)，即可得到的值.【詳解】和分布求導(dǎo)，得到和.設(shè)直線與和的切點分別為，，則切線方程分別為，，，化簡得，，.依題意上述兩直線與是同一條直線，所以，，解得，所以故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，第16?17題各15分，第18?19題各17分，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.（1）求實數(shù)的值；（2）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程即可求解.（2）先由（1）得解析式，再由解析式結(jié)構(gòu)特征結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具分和兩段研究的值的情況即可得證.【小問1詳解】由題，所以由導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程得，.【小問2詳解】由（1），因為，故當(dāng)時恒成立；令，則在上恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時即恒成立，所以當(dāng)時，，綜上得：若，16.某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問卷形式對轄區(qū)內(nèi)部分居民做了體育鍛煉的宣傳和調(diào)查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下：共100份有效問卷，50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別因素是否會影響經(jīng)常體育鍛煉？性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉男女合計（2）從不經(jīng)常體育鍛煉的15份調(diào)查問卷中得到不經(jīng)常鍛煉的原因：有3份身體原因；有2份不想鍛煉；有4份沒有時間；有6份沒有運動伙伴.求從這15份問卷中隨機選出2份，在已知其中一份是“沒有時間”的條件下，另一份是“沒有運動伙伴”的概率.附：①，其中.②臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別因素會影響經(jīng)常體育鍛煉；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，計算的值，作出判斷；（2）由條件概率公式求解即可.【小問1詳解】由題可得50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，45名經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉，40名經(jīng)常體育鍛煉；列聯(lián)表如下：性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉男45550女401050合計8515100所以，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別因素會影響經(jīng)常體育鍛煉.【小問2詳解】設(shè)事件為其中一份是“沒有時間”，事件為另一份是“沒有運動伙伴”，，，所以17.某企業(yè)生產(chǎn)一種熱銷產(chǎn)品，產(chǎn)品日產(chǎn)量為噸，日銷售額為萬元（每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日可銷售完畢），且產(chǎn)品價格隨著產(chǎn)量變化而有所變化.經(jīng)過一段時間的產(chǎn)銷，隨機收集了某5天的日產(chǎn)量（單位：噸）和日銷售額（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對這5組數(shù)據(jù)做了初步處理，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：15734.810161.21.63915.9其中，分別為數(shù)據(jù)的平均數(shù).（1）請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷與哪一個模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系？（2）根據(jù)（1）的結(jié)果解決下列問題：（i）建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（ii）如果日產(chǎn)量（單位：噸）與日生產(chǎn)總成本（單位：萬元）滿足關(guān)系，根據(jù)（i）中建立的經(jīng)驗回歸方程估計日產(chǎn)量為何值時，日利潤最大？附：①相關(guān)系數(shù)；②經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：.③參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系（2）（i）；（ii）20【解析】【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式求解即可；（2）（i）利用回歸方程的定義計算求解即可；（ii）求出的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】設(shè)模型的相關(guān)系數(shù)為，設(shè)模型的相關(guān)系數(shù)為，所以，，由于，所以模型擬合更好，即模型更適合刻畫日銷售額關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系【小問2詳解】（i）由(1)知關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，由題可得：，，所以（ii）由題可得，所以，令解得：當(dāng)時，，當(dāng)時，則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，所以當(dāng)時，日利潤最大18.已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）答案見詳解（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，求導(dǎo)得，對分類談?wù)摚袛嗪瘮?shù)單調(diào)性即可.（2）由（1）得，，因為，整理得，只需證即可，即證，對求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最小值即可證明.【小問1詳解】由題可得，則，①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即或時，（i）當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時，由得，，經(jīng)判斷得，當(dāng)時，或，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（其中，）.小問2詳解】由（1）得，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，，，，，下面證，，即證在上恒成立，，令，在恒成立，在上單調(diào)遞增