2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理【原卷版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,則cosA=()A.12 B.-12 C.32 D2.(5分)(2023·連云港模擬)在△ABC中,a=5,c=3,cosA=23,則b=(A.1 B.2 C.3 D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=74,則A=(A.π6 B.C.5π6 D.π64.(5分)(2023·豐臺(tái)模擬)在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B),則C=(A.π6 B.π3 C.2π35.(5分)在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcosC=asinB,則△ABC是()A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.直角三角形6.(5分)(多選題)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tanC=3,則下列結(jié)論正確的是()A.cosB=2c3a B.tanC.tanB=-12 D.B7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b=2,c=3,A=2B,則a=.

8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑為9.(5分)(2023·濰坊質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,則△ABC的面積為10.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=3asinC-ccos(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC11.(10分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2(π2+A)+cosA=5(1)求A;(2)若b-c=33a,證明:△ABC是直角三角形【能力提升練】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一個(gè)條件,即可使△ABC存在且唯一.在條件:①a=32;②b=25;③cosC=-45中,所有可以選擇的條件的序號(hào)為(A.① B.①②C.②③ D.①②③13.(5分)(多選題)東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”,根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明,后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.如圖1,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類(lèi)比得到圖2,它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形A'B'C'拼成的一個(gè)大等邊三角形ABC,對(duì)于圖2,下列結(jié)論正確的是()A.這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,則C.若AB=2A'B',則AB'=5BB'D.若A'是AB'的中點(diǎn),則三角形ABC的面積是三角形A'B'C'面積的7倍14.(10分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面積的最大值. 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-余弦定理、正弦定理【解析版】(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,則cosA=()A.12 B.-12 C.32 D【解析】選B.因?yàn)閟in2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,則cosA=b2+c22.(5分)(2023·連云港模擬)在△ABC中,a=5,c=3,cosA=23,則b=(A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=74,則A=(A.π6 B.C.5π6 D.π6【解析】選A.因?yàn)閍=2,b=3,cosB=74所以sinB=1-cos因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻胊sinA=所以sinA=a·sinBb=又b>a,可得A為銳角,所以A=π64.(5分)(2023·豐臺(tái)模擬)在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B),則C=(A.π6 B.π3 C.2π3【解析】選C.在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B則(a-c)(sinA+sinC)=-(a+b)sinB,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,則cosC=a2+b2-c22ab=-5.(5分)在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcosC=asinB,則△ABC是()A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.直角三角形【解析】選A.因?yàn)閍2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cosA=b2+c2-又A∈(0,π),所以A=π4因?yàn)閎cosC=asinB,利用正弦定理可得sinBcosC=sinAsinB,由sinB≠0,可得cosC=sinA=22又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π則△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多選題)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tanC=3,則下列結(jié)論正確的是()A.cosB=2c3a B.tanC.tanB=-12 D.B【解析】選ABD.因?yàn)閏2=3(a2-b2),所以b2=a2-c2所以cosB=a2+c2-由cosB=2c3a可得3acosB所以3sinAcosB=2sin(A+B),3sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB,sinAcosB=2cosAsinB,所以tanA=2tanB,故B正確;因?yàn)閠anC=3,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-得tanB=-12或tanB=1因?yàn)閏osB=2c3a>0,所以B為銳角,tanB=1,7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b=2,c=3,A=2B,則a=.

【解析】因?yàn)锳=2B,所以sinA=sin2B,故sinA=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,又由余弦定理得a=2b·a2代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑為【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cosA,整理得BC=7,所以BCsinA=2R,解得R=答案:219.(5分)(2023·濰坊質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,則△ABC的面積為【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,因?yàn)閎=3,a-c=2,A=2π3所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c則△ABC的面積為S=12bcsinA=12×3×5×32答案:1510.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=3asinC-ccos(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC【解析】(1)因?yàn)閏=3asinC-ccosA所以sinC=3sinAsinC-sinCcosA又sinC≠0,所以1=3sinA-cosA即sin(A-π6)=1又A∈(0,π),所以A=π3(2)因?yàn)閍=7,b+c=19,A=所以由a2=b2+c2-2bccosA,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bcsinA=11.(10分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2(π2+A)+cosA=5(1)求A;(2)若b-c=33a,證明:△ABC是直角三角形【解析】(1)因?yàn)閏os2(π2+A)+cosA=54,所以sin2A+cosA=即1-cos2A+cosA=54,解得cosA=1又0<A<π,所以A=π3(2)因?yàn)锳=π3,所以cosA=b2+即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,將②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升練】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一個(gè)條件,即可使△ABC存在且唯一.在條件:①a=32;②b=25;③cosC=-45中,所有可以選擇的條件的序號(hào)為(A.① B.①②C.②③ D.①②③【解析】選B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加條件①,則由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加條件②,則由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加條件③,則由-45<-22,得C>135°,則B+C>45°+135°=180°,即△即可以選擇的條件的序號(hào)為①②.13.(5分)(多選題)東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”,根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明,后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.如圖1,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類(lèi)比得到圖2,它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形A'B'C'拼成的一個(gè)大等邊三角形ABC,對(duì)于圖2,下列結(jié)論正確的是()A.這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,則C.若AB=2A'B',則AB'=5BB'D.若A'是AB'的中點(diǎn),則三角形ABC的面積是三角形A'B'C'面積的7倍【解析】選ABD.由圖可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正確;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠所以cos∠ABB'=1-sin2sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB又因?yàn)锳A'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正確;不妨設(shè)AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-所以AB'BB'=1+若A'是AB'的中點(diǎn),則S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C'所以S△ABC=7S△A'B'C',故D正確.14.(10分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面積的最大值.【解析】(1)由2sin(2C-π3)=3,得sin(2