高中數(shù)學(xué)《排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)（四課時(shí)）

《6.2排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

課題排列課時(shí)第一課時(shí)

學(xué)習(xí)1.掌握排列的意義，能夠正確區(qū)分排列問(wèn)題，能夠運(yùn)用所學(xué)排列知識(shí)，正確解決實(shí)際問(wèn)題.

目標(biāo)2通.過(guò)學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).

重點(diǎn)排列的概念.

難點(diǎn)應(yīng)用排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入：

情景一：A,B,C,3個(gè)同學(xué)排成一行照相，有多少

種不同的排法？

答：①A、B、C②A、C、B③B、A、C

④B、C、A⑤C、A、B⑥C、B、A

共有6種排法.

學(xué)生思考問(wèn)設(shè)置問(wèn)題情

情景二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加某題，引出本節(jié)境，激發(fā)學(xué)生

天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名新課內(nèi)容.學(xué)習(xí)興趣，并

同學(xué)參加下午的活動(dòng),有多少種不同的方法？引出本節(jié)新課.

答：①甲、乙②甲、丙③乙、甲④乙、丙

⑤丙、甲⑥丙、乙共有6種排法.

情境三：從a、b、c、d這四個(gè)字母中，取出3個(gè)

按照順序排成一列，共有多少種不同的排法？

答：解決這個(gè)問(wèn)題，需分3個(gè)步驟：

第一步，先確定左邊的字母，在4個(gè)字母中任取1

個(gè)，有4種方法；

第二步，確定中間的字母，從余下的3個(gè)字母中去

取，有3種方法；

第三步，確定右邊的字母，只能從余下的2個(gè)字母

中去取，有2種方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有4X3X2=24種不同的排

法.

思考：上面三個(gè)問(wèn)題有什么共同特征？

答：上面三個(gè)問(wèn)題都是研究從一些不同元素中取出

部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法.

講授新課新知講解：排列

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素，

按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.利用不同的情

境問(wèn)題，探究

概念剖析：排列的概念，

1、元素不能重復(fù)，n個(gè)元素中不能重復(fù)，m個(gè)元培養(yǎng)學(xué)生探索

素中也不能重復(fù).的精神.

2、“按一定順序”，就是與位置有關(guān)，這是判斷一學(xué)生根據(jù)不同

個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的關(guān)鍵.的情境問(wèn)題，

3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素探究排列概

完全相同，而且元素的排列順序也完全相同.念.

例題講解：

例1某中學(xué)生足球預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)

都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一場(chǎng)，

那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

答：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，可以看作

從該組6支隊(duì)中選取2支，按主、客隊(duì)的順序組成加深學(xué)生對(duì)基

一個(gè)排列.先從6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩礎(chǔ)知識(shí)的掌

下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì)，按照分步乘法計(jì)數(shù)原握，并能夠靈

理，每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為：活運(yùn)用基礎(chǔ)知

6X5=30.識(shí)解決具體問(wèn)

例2(1)一張餐桌上有5盤(pán)不同的菜，甲、乙、利用例題引導(dǎo)題.

丙3名同學(xué)每人從中各取1盤(pán)菜，共有多少種不同學(xué)生掌握并靈

的取法？活運(yùn)用排列知

答：可以先從5盤(pán)菜中取1盤(pán)菜給同學(xué)甲，然后從識(shí)解決實(shí)際問(wèn)

剩下的4盤(pán)菜中取1盤(pán)給同學(xué)乙，最后從剩下的3題.

盤(pán)菜中取一盤(pán)給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，共

有5義4X3=60種不同的取法.

(2)學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣(mài)5種菜，甲、乙、

丙3名同學(xué)每人從中選擇1種，共有多少種不同的

選法？

答：可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選

法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選

法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種

選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)

為：

5X5X5=125

課堂練習(xí)：

1.判斷下列問(wèn)題是否是排列問(wèn)題？

(1)從2,3,5,7,11中任取兩數(shù)相乘可得多少個(gè)不同

的積？

(2)從上面各數(shù)中任取兩數(shù)相除，可得多少個(gè)不同

的商？通過(guò)練習(xí)，鞏

(3)某班共有50名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正副班長(zhǎng)各固基礎(chǔ)知識(shí)，

一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？發(fā)散學(xué)生思

(4)某商場(chǎng)有四個(gè)大門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)去，購(gòu)買(mǎi)商維，培養(yǎng)學(xué)生

品后再?gòu)牧硪粋€(gè)門(mén)出來(lái)，不同的出入方式共有多少通過(guò)課堂練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

種？習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生和對(duì)數(shù)學(xué)的探

答：(1)乘法符合交換律與順序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)對(duì)本節(jié)課知識(shí)索精神.

題.點(diǎn)的掌握程

(2)上、下互換結(jié)果不一樣，與順序有關(guān)，是排列度，同時(shí)加深

問(wèn)題.學(xué)生對(duì)本節(jié)課

(3)請(qǐng)同學(xué)們記住“正”的就是“正”的，正副不知識(shí)點(diǎn)的掌握

同，是排列問(wèn)題.及運(yùn)用.

(4)“門(mén)”不同，先后也不一樣，是排列問(wèn)題.

2.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排

成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

答：

?匯A2dx/點(diǎn)S

因此可寫(xiě)出所有的三位數(shù)：

123,124,132,134,142,143;213,214,

231,234,241,243；312,314,321,324,

341,342;412,413,421,423,431,432.所以

共可得到24個(gè)不同的三位數(shù).

拓展提高：

3.寫(xiě)出A,B,C,D四名同學(xué)站成一排照相，A不

站在兩端的所有可能站法.

BC

答.r,('D(：Hi)BACA

故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,

CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,

DCAB,共12種.

鏈接高考：

4.7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將

甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩

人，其他人保持相對(duì)位置不變，則不同的加入方法

種數(shù)為（C）

A.120B.240C.360D.480

答：解析：第一步，從甲、乙、丙三人選一個(gè)加到

前排，有3利h第二步，前排3人形成了4個(gè)空，

任選一個(gè)空加一人，有4種，第三步，后排4人形

成了5個(gè)空，任選一個(gè)空加一人有5種，此時(shí)形成

6個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有6種，根據(jù)分步乘

法計(jì)數(shù)原理有3X4X5X6=360種方法.

課堂小結(jié)1.排列學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本

2.排列的判斷課知識(shí)點(diǎn)，教節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，

師補(bǔ)充.并能夠靈活運(yùn)

用.

板書(shū)§6.2.1排列

一、新知導(dǎo)入三、例題講解

二、新知講解四、課堂練習(xí)

1.排列五、拓展提高

六、課堂總結(jié)

七、作業(yè)布置

《6.2排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

課題排列數(shù)課時(shí)第二課時(shí)

學(xué)習(xí)1.能用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.

目標(biāo)2.掌握排列數(shù)概念及排列數(shù)公式并計(jì)算排列數(shù)，能夠使用排列數(shù)公式解決實(shí)際排列問(wèn)題.

重點(diǎn)排列數(shù)公式計(jì)算.

難點(diǎn)能用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入：

情景一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加

某天的一項(xiàng)活動(dòng),其中1名同學(xué)參加上午的

活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有多少種不同的方

法？

答：要解決該問(wèn)題，可以分為兩個(gè)步驟：

（1）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選擇1人參加上午

的活動(dòng)，有3種方法；（2）從剩下的2名同學(xué)中

選擇1人參加下午的活動(dòng)，有2種方法；根據(jù)分學(xué)生思考問(wèn)

步乘法計(jì)數(shù)原理，總共有3x2=6種不同的方題，引出本節(jié)

法新課內(nèi)容.

設(shè)置問(wèn)題情境，

情景二：從a、b、c、d這四個(gè)字母中，取出3個(gè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興

按照順序排成一列，共有多少種不同的排法？趣，并引出本節(jié)

答：要解決該問(wèn)題，可以分為三個(gè)步驟：（1）從新課.

a、b、c、d四個(gè)字母中選出1個(gè)字母，排在第一

位，有4種選法；（2）從剩下的3個(gè)字母中選擇1

個(gè)字母，排在第二位，有3種選法；（3）從剩下

的2個(gè)字母中選擇1個(gè)字母，排在第三位，有2

種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總共有4x3x

2=24種不同的方法.

講授新課新知講解：排列數(shù)

我們把從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所

有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)4記表示.例如情景一中，

是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，

表示為思，通過(guò)前面導(dǎo)入算得:%=3X2=6.情景

二中是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列

數(shù)，記為用,已經(jīng)算出題=4X3X2=24.利用不同的情境

合作探究：從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素問(wèn)題，探究排列

的排列數(shù)47是多少？數(shù)的概念及排列

(1)可以先從特殊的情況開(kāi)始研究，如求排列數(shù)學(xué)生根據(jù)不同數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生探

照的情境問(wèn)題，索的精神.

；假設(shè)有排好順序的兩個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中探究排列數(shù)概

選取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上1個(gè)元素，念及排列數(shù)公

每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排式

列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的

種數(shù)就是排列數(shù)4套.第一步，填第1個(gè)位置的元

素，可以從n個(gè)不同元素中任取1個(gè)，有n種選

法；第二步，填第2個(gè)位置的元素，可以從剩下

的(n-1)個(gè)不同元素中任取1個(gè)，有(nT)種選

法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)空位的填法總數(shù)

為解=n(n-1)；

(2)同理，求排列數(shù)4卷可以按照依次填3個(gè)空位

的方法來(lái)考慮，有/^=n(n-l)(n-2)；

(3)同理，求排列數(shù)47可以按照依次填m個(gè)空位

的方法來(lái)考慮;第一步：從n個(gè)不同元素中任選一

個(gè)填在第1位，有n種選法；第二步：從剩下的

(nT)個(gè)不同元素中任選一個(gè)填在第2位，有(n-

1)種選法；第三步：從剩下的(n-2)個(gè)不同元素中

任選一個(gè)填在第3位，有(n-2)種選法……第m

步：從剩下的[n-(m-l)]個(gè)不同元素中任選一個(gè)填

在第m位，有

[n-m+1]種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，m個(gè)空

位的填法種數(shù)為：n(nT)(n-2)...[n-(m+l)]

新知講解：排列數(shù)公式

知=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n

個(gè)元素的一個(gè)全排列.此時(shí)，排列數(shù)公式中m=n,

即有4*=n(n-l)(n-2)x...x3x2x1

正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，記作

n!,所以n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成

n\,規(guī)定:0!=1.因此,

4普=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+1)...x2x1

(n—m)x...x2x1

理_n!

_^n-m-(n-m)!

總結(jié)歸納：(1)排列數(shù)公式中連乘積的特點(diǎn)是：

第一個(gè)因數(shù)是n,后面每一個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)

因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是n-m+l,共有m個(gè)因

數(shù)相乘；(2)一般來(lái)說(shuō)，在直接進(jìn)行具體計(jì)算

時(shí)，選用連乘積形式較好；當(dāng)對(duì)含有字母的排列

數(shù)的式子進(jìn)行變形、解方程或論證時(shí)，采用階乘

形式較好；(3)排列數(shù)公式的第一個(gè)常用來(lái)計(jì)

算，第二個(gè)常用來(lái)證明.

例題講解：

例1計(jì)算：⑴"(2)At⑶薯

(4)式x掰

答：⑴用=7x6x5=210

⑵用=7x6x5X4=840

⑶鋁然7x6x5=21。

(4)A^xAl=6X5X4X3X2X

1=6!=720

例2用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有

重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

答：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位

上，其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是

一個(gè)特殊元素.

解法一：由于三位數(shù)的百位上不能是0,所以可以

加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)

分兩步完成：第一步：確定百位上的數(shù)字，可以

知識(shí)的掌握，并

從廣9這9個(gè)數(shù)字中取1個(gè)，有福種取法；第二

能夠靈活運(yùn)用基

步：確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9

礎(chǔ)知識(shí)解決具體

個(gè)數(shù)字中取2個(gè)，有屬種取法；根據(jù)分步乘法計(jì)

利用例題引導(dǎo)問(wèn)題

數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為：禺x四=9X9X

學(xué)生掌握并靈

8=648

活運(yùn)用排列與

解法二：符合條件的三位數(shù)可以分三類(lèi)：第一

排列數(shù)公式解

類(lèi)：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從廣9

決實(shí)際問(wèn)題

這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)，有屬種取法；第二類(lèi)：

個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)

數(shù)字中取出2個(gè)放在十位和百位，有題種取法；

第三類(lèi)：十位上的數(shù)字是。的三位數(shù)，可以從剩

下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在個(gè)位和百位，有花

種取法；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的

個(gè)數(shù)為：4^+4；+4；=9x8x7+9x8+

9x8=648

解法三：從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)

為&o,其中0在百位上的排列數(shù)為它們的差

就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的

個(gè)數(shù)，即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為：屈0-禺=10x

9x8-9x8=648

知識(shí)拓展：

排隊(duì)問(wèn)題的解題策略(相鄰、不相鄰、定序等問(wèn)

題)：

⑴對(duì)于相鄰問(wèn)題，可采用“捆綁法”解決.即將

相鄰的元素視為一個(gè)整體進(jìn)行排列.

⑵對(duì)于不相鄰問(wèn)題，可采用“插空法”解決即先

排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中.

(3)對(duì)于定序問(wèn)題，可采用“除階乘法”解決.即

用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù).

(4)對(duì)于“在”與“不在”問(wèn)題，可采用“特殊元素

優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安排”的原則解決.

課堂練習(xí)：

4.計(jì)算：(1)Al0(2)福(3)差篝通過(guò)課堂練

A1O~A1O

習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生

答：(1)用0=10x9x8=720

對(duì)本節(jié)課知識(shí)

(2)711=8x7x6x5x4=6720

點(diǎn)的掌握程通過(guò)練習(xí)，鞏固

(3)A9~A9_9x8x7x6x5-9x8x7x6

四0一雷。10x9x8x7x6x5-10x9x8x7x6

度，同時(shí)加深基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散

5-1_1

-10x5-10-10學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)生思維，培養(yǎng)

2.某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊共5知識(shí)點(diǎn)的掌握學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)

及運(yùn)用性和對(duì)數(shù)學(xué)的探

人，他們排成一排照相，則甲、乙二人相鄰的排法

索精神.

種數(shù)為(C)

A.24B.36C.48D.60

3.從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各一名，有多

少種不同的選法(B)

A.24B.20C.10D.9

4.已知/氏=100及，貝！Jx=(C)

A.11B.12C.13D.14

拓展提高：

5.已知3制T=4制-2,貝|jn=(B)

A.5B.7C.10D.14

6.解不等式：<6A^2(且xWN且x23)

答：原不等式即,也就是

(9-x)!(11-x)!

11

(9—x)!、6*Qi_x)(10—x)(9—%)!

化簡(jiǎn)得：X2-21X+104<0,解得8<X<13,

因?yàn)?WxW9,所以x=9

7.把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的

五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個(gè)數(shù)

歹

(1)45312是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

解：先考慮大于45312的數(shù)，分為以下兩類(lèi)：第

一類(lèi)5開(kāi)頭的五位數(shù)有：題=24;第二類(lèi)5開(kāi)頭

的五位數(shù)有：45321一個(gè);所以不大于45312的數(shù)

有：星一溫一1=95個(gè)；即45312是該數(shù)列中第

95項(xiàng).

(2)這個(gè)數(shù)列的第71項(xiàng)是多少？

解：1開(kāi)頭的五位數(shù)有展=24個(gè)；2開(kāi)頭的五位

數(shù)有&=24個(gè)；3開(kāi)頭的五位數(shù)有*=24個(gè).共

有24x3=72個(gè)，所以第71項(xiàng)是3開(kāi)頭的五位

數(shù)中第二大的數(shù)，即35412.

8.有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，

求不同的排列方法總數(shù).

(1)選5人排成一排

解：從7人中選5人排列，有心=7X6X5X4X

3=2520種.

(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；

解：分兩步完成，先選3人站前排，有心種方

法，余下4人站后排，有題種方法，共有心X

題=5040種;

(3)全體排成一排，女生必須站在一起；

解：將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排

歹U，有川種方法，再將女生全排列，有屬種方

法，共有川x川=576種

(4)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站

最右邊；

解：先排甲，有5種方法，其余6人有鹿種排列

方法，共有5X43=3600種

(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站

最右邊.

解：7名學(xué)生全排列，只有另種方法，其中甲在最

左邊時(shí)，有鹿種方法，乙在最右邊時(shí)，有服種方

法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情

形，有福種方法，故共居一2颼+福=3720秘

鏈接高考：

9.若排列數(shù)P黑=6X5X4,貝ljm=3

解：由于喀=6X5X(6-m+l)=6X5X4,所以6

-m+l=4,解得m=3

課堂小結(jié)3.排列數(shù)學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本節(jié)

4.排列數(shù)公式課知識(shí)點(diǎn)，教課知識(shí)點(diǎn)，并能

師補(bǔ)充.夠靈活運(yùn)用.

板書(shū)§6.2.2排列數(shù)

一、新知導(dǎo)入三、例題講解

二、新知講解四、課堂練習(xí)

L排列數(shù)五、拓展提高

2.排列數(shù)公式六、課堂總結(jié)

七、作業(yè)布置

《6.2排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.2.3組合課時(shí)第三課時(shí)

掌握組合的意義，能夠正確區(qū)分排列與組合問(wèn)題.

學(xué)習(xí)1.

能夠運(yùn)用所學(xué)組合知識(shí)，正確解決實(shí)際問(wèn)題.

目標(biāo)2.

重點(diǎn)組合的概念及組合問(wèn)題的判斷.

難點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題中的具體對(duì)象抽象為元素，得到組合的定義.

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入：

情景一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加

某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1

名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

答：從三名學(xué)生中選出兩名學(xué)生，然后將選出的兩

名學(xué)生按照一定的順序（上午和下午）進(jìn)行排列，

共有掰=6種方法

情景二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加學(xué)生思考問(wèn)

某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？題，引出本節(jié)

答：甲乙、甲丙、乙丙新課內(nèi)容.設(shè)置問(wèn)題情

境，激發(fā)學(xué)生

合作探究：學(xué)習(xí)興趣，并

上面兩個(gè)問(wèn)題有什么區(qū)別？引出本節(jié)新

答：(1)第一個(gè)問(wèn)題是從已知的三個(gè)不同元素中每課.

次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一列.不僅

要選出2個(gè)元素，而且要對(duì)所選出的元素進(jìn)行按照

一定順序排列.(2)第二個(gè)問(wèn)題是從已知的3個(gè)不

同元素中取出2個(gè)元素，不需要按照一定順序排

列.

講授新課新知講解：組合

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素作

為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一

個(gè)組合.

要點(diǎn)歸納：

(1)組合的特點(diǎn)：組合要求n個(gè)元素是不同的,取出的

m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m

次不放回地取出.

(2)組合的特性:元素的無(wú)序性.取出的m個(gè)元素不講

究順序，即元素沒(méi)有位置的要求.學(xué)生根據(jù)不同

思考：排列與組合有什么異同點(diǎn)？的情境問(wèn)題，利用不同的情

答：相同點(diǎn)：兩者都是從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)通過(guò)對(duì)比思考境問(wèn)題，通過(guò)

元素；不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元探究組合問(wèn)題對(duì)比探究組合

素的順序無(wú)關(guān).只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排的概念，培養(yǎng)

列才是相同的；兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素學(xué)生探索的精

的順序如何，都是相同的.神.

思考：下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？

校門(mén)口停放著9輛共享單車(chē)，其中黃色、紅色和綠

色各有3輛，則

(1)從中選擇3輛，有多少種不同的方法？

答：組合問(wèn)題

(2)從中選擇3輛給3位同學(xué)，有多少種不同

的方法？

答：排列問(wèn)題

例題講解：

例1平面內(nèi)有A,B,C,D共4個(gè)點(diǎn).

(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？

答：一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以

平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，

就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即

有向線段條數(shù)為：Aj=4x3=12

(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？

答：由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將(1)中端

點(diǎn)相同，方向不同的兩條有向線段作為一條線段，

就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條

數(shù)，共有:AB、AC、AD、BC、BD、CD六條.

例2五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏

文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、利用例題引導(dǎo)

木、水、火、土五類(lèi)元素組成，如圖，分別是金、學(xué)生掌握并靈

木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若活運(yùn)用組合知

從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，則2類(lèi)元素相生的選識(shí)解決實(shí)際問(wèn)

取方案共有多少種？題.

S

答：從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，它們相生的選取

加深學(xué)生對(duì)基

有：火土，土金，金水，水木，木火，共5種.

礎(chǔ)知識(shí)的掌

例3從A、B、C、D、E這5名同學(xué)中選3人參加

握，并能夠靈

演講比賽，其中A同學(xué)必須參加，則有多少種不同

活運(yùn)用基礎(chǔ)知

的選法？

識(shí)解決具體問(wèn)

答：由于A同學(xué)必須參加，所以需要再?gòu)腂、C、D、

題.

E四名同學(xué)中選取2人，則可能的方法有：BC、BD、

BE、CD、CE、DE共六種方法.

課堂練習(xí)：

1.給出下列問(wèn)題：

(1)從a,b,c,d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一

件工作，有多少種不同的選法？

(2)從a,b,c,d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩

件不同的工作，有多少種不同的選法？

(3)a,b,c,d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，

共需賽多少場(chǎng)？

(4)a,b,c,d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠亞軍，有多少種

不同的結(jié)果？

(5)某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍均為

2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？

(6)某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)颐械?槍中恰通過(guò)課堂練通過(guò)練習(xí)，鞏

有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生固基礎(chǔ)知識(shí)，

在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題？哪些是排列問(wèn)對(duì)本節(jié)課知識(shí)發(fā)散學(xué)生思

題？點(diǎn)的掌握程維，培養(yǎng)學(xué)生

答：(2)(4)(6)是排列問(wèn)題;度，同時(shí)加深思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

(1)(3)(5)是組合問(wèn)題學(xué)生對(duì)本節(jié)課和對(duì)數(shù)學(xué)的探

2.以下四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是(C)知識(shí)點(diǎn)的掌握索精神.

A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)小球排成一列及運(yùn)用.

B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌

C.在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出

2名幸運(yùn)之星

D.從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲、乙兩地

3.已知平面內(nèi)A、B、C、D這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)不

共線，則由其中每3點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的個(gè)數(shù)

為(B)

A.3B.4C.12D.24

拓展提高：

4.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加

運(yùn)動(dòng)會(huì)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選

擇方案種數(shù)為(A)

A.14B.24C.28D.48

答：由于至少有1名女生，所有包含兩種方法：

(1)有1名女生：則在2名女生中選1名，有2

種方法，再在4名男生中選擇3名同學(xué)，假設(shè)4名

男生分別為A、B、C、D,則有:ABC,ABD、ACD、

BCD4種方法，故共有2x4=8種方法；

(2)有2名女生：則在2名女生中選2名，有1種

方法，再在4名男生中選擇2名同學(xué)，假設(shè)4名男

生分別為A、B、C、D,則有：AB、AC、AD、BC、

BD、CD共6種方法.所以共有8+6=14種方法.

課堂小結(jié)5.組合學(xué)生回顧本節(jié)讓學(xué)生掌握本

6.組合問(wèn)題的判斷課知識(shí)點(diǎn)，教節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，

師補(bǔ)充.并能夠靈活運(yùn)

用.

板書(shū)§6.2.3組合

一、新知導(dǎo)入三、例題講解

二、新知講解四、課堂練習(xí)

1.組合五、拓展提高

六、課堂總結(jié)

七、作業(yè)布置

《6.2排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

課題6.2.4組合數(shù)課時(shí)第四課時(shí)

掌握組合數(shù)概念及組合數(shù)公式并計(jì)算組合數(shù).

學(xué)習(xí)1.

能夠使用組合數(shù)公式解決實(shí)際組合問(wèn)題.

目標(biāo)2.

重點(diǎn)組合數(shù)公式計(jì)算.

難點(diǎn)使用組合數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課新知導(dǎo)入：

情景一：從a,b,c三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)

元素的所有組合分別是：設(shè)置問(wèn)題情

答：ab,ac,be3種學(xué)生思考問(wèn)境，激發(fā)學(xué)生

情景二：已知4個(gè)元素a,b,c,d，寫(xiě)出每次取題，引出本節(jié)學(xué)習(xí)興趣，并

出兩個(gè)元素的所有組合：新課內(nèi)容.引出本節(jié)新

答：ab,ac,ad,be,bd,cd6種課.

上面兩個(gè)問(wèn)題中，通過(guò)一一列舉得到符合要求的組

合的個(gè)數(shù)，但是隨著元素個(gè)數(shù)的增加，一一列舉變

得越來(lái)越復(fù)雜甚至變得不可能。那么能否像排列數(shù)

一樣，找到一個(gè)用來(lái)計(jì)算組合個(gè)數(shù)的公式，根據(jù)公

式方便的計(jì)算出組合的個(gè)數(shù)？

講授新課新知講解：組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有不同

組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素

的組合數(shù)，用符號(hào)C針表示.

問(wèn)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天

一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？

答：鷹

問(wèn)：組合與組合數(shù)有什么區(qū)別？

答：組合是指“從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)

元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)；

組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m（m〈n）個(gè)元

素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)正整數(shù).

合作探究：組合數(shù)制與排列數(shù)之間有什么關(guān)系？

怎么利用排列數(shù)來(lái)求組合數(shù)？學(xué)生根據(jù)不同

（1）通過(guò)導(dǎo)入一：從a,b,c三個(gè)不同的元素的情境問(wèn)題，

中取出兩個(gè)元素的組合數(shù)為第=3探究組合數(shù)概

（2）從a,b,c,d四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組念及組合數(shù)公利用不同的情

合數(shù)盤(pán).式.境問(wèn)題，探究

分析：從4個(gè)元素中取出3個(gè)的排列數(shù)為圈，以”組合數(shù)的概念

相同元素”為標(biāo)準(zhǔn)，將這24個(gè)元素分組，一共有4及組合數(shù)，培

組，因此廢=4.養(yǎng)學(xué)生探索的

組合制精神.

1二^I.abcbaccab

---------acbbcacba

ribd~\一＞abdbaddab

L-'adbbdadba

|acd|acdcaddac

adccdadca

1bed，hcdchddbc

1---------!bdcedbdeb

通過(guò)上圖可以發(fā)現(xiàn)，求排列數(shù)就也可以分為以下兩

個(gè)步驟：（1）從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一

組，共有盤(pán)種不同的取法；（2）將取出的3個(gè)元素

做全排列，共有房種不同的排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，&=盤(pán)用，所以，盤(pán)=條

月3

同理，求從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)可以

通過(guò)以下兩個(gè)步驟得到：

（1）從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素作為一組，共有

C留種不同的取法；（2）將取出的m個(gè)元素做全排

列，共有品種不同的排法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原

理，

謂=優(yōu)福，所以，蕾=奈

新知講解：組合數(shù)公式

_"_n（n-l）（n-20..（n—m+l）

n-4黑一m!

其中，m,neN*,且mWn.因?yàn)橹?（n二）!,，則

。鏟=規(guī)定：C°=1

11m!（n-7n）!11

例題講解：

例2計(jì)算：⑴%（2）4（3）啜

利用例題引導(dǎo)加深學(xué)生對(duì)基

⑷*

學(xué)生掌握并靈礎(chǔ)知識(shí)的掌

答：（1）比。=尊=^^=120

人33!

活運(yùn)用組合與握，并能夠靈

（2）或。=下竺1不=誓竿!=120

107!（10-7）!7!X3!組合數(shù)公式解活運(yùn)用基礎(chǔ)知

⑶金=簿4io=1決實(shí)際問(wèn)題識(shí)解決具體問(wèn)

^10

題

（4）C°o=1

思考：（1）分別觀察例1中（1）與（2）,（3）與

（4）的計(jì)算結(jié)果，有什么發(fā)現(xiàn)？

答：例1中（1）與（2）的計(jì)算結(jié)果相同，（3）與

（4）的計(jì)算結(jié)果相同.（1）與（2）都是從10個(gè)元

素中取部分元素的組合，其中，（1）取出3個(gè)元

素，（2）取出7個(gè)元素，二者取出元素之和為總元

素個(gè)數(shù)10.（3）與（4）同理.

（2）例1中（1）與（2）分別用了不同形式的組合

數(shù)公式，對(duì)公式的選擇有什么想法？

答：當(dāng)所選元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，選擇第二種組合數(shù)公

式；當(dāng)所選元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，選用第一種組合數(shù)公

式.

組合數(shù)性質(zhì)：

性質(zhì)1：c$=CL

訐日月?Cn~m=_________=_____

"*n(n-m)![n-(n-7n)]!(n-7n)!m!

c*=---------

(n—m)!m!

所以，寬=CL

性質(zhì)1說(shuō)明：(1)等式兩邊下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等

于下標(biāo)；(2)該性質(zhì)適用于當(dāng)m>n/2時(shí)，計(jì)算C鏟可

以轉(zhuǎn)換為計(jì)算印-%使計(jì)算簡(jiǎn)單；(3)當(dāng)

以=第時(shí)，則x=y或x+y=n.

思考：一次旅游，有10名游客和1名導(dǎo)游.(1)從

這10名游客與1名導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，則有多

少種不同的中獎(jiǎng)情況？(2)從這10名游客與1名

導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，且導(dǎo)游必須中獎(jiǎng)，則有多

少種不同的中獎(jiǎng)情況？(3)從這10名游客與1名

導(dǎo)游中抽取3名幸運(yùn)獎(jiǎng)，且導(dǎo)游一定沒(méi)有中獎(jiǎng)，則

有多少種不同的中獎(jiǎng)情況？

答：(l)C；o=12O(2)Cl=36(3)Cl=36

通過(guò)上面的情況我們發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)2：C慝1=+C鏟一

證明：C鏟+CL=(n；_+(mT)J(mF!

=_(n+l)!_=

m!(n+1-m)!n+1

例2在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.

從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.

(1)有多少種不同的抽法？

答：從100件產(chǎn)品中任意抽出3件，不需要考慮順

序，因此是一個(gè)組合問(wèn)題，所以從100件產(chǎn)品中任

意抽取3件的抽法種數(shù)為：%。吟=】。丁8=

161700

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少

種？

答：可以先從2件次品中抽出1件，再?gòu)?8件合格

品中抽出2件，先從2件次品中抽出1件的抽法有

6種，再?gòu)?8件合格品中抽出2