正態(tài)總體的抽樣分布課件

第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第1節(jié)樣本與統(tǒng)計量第2節(jié)抽樣分布第2節(jié)抽樣分布第2節(jié)抽樣分布二、正態(tài)總體的抽樣分布一、三大統(tǒng)計分布

定義5.4.1設(shè)X1,X2,…,Xn,獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，

2=X12+…Xn2

的分布稱為自由度為n的

2分布，記為

2

2(n)

.1.2分布（卡方分布）(1)定義χ2分布是海爾墨特(Hermert)和皮爾遜(K.Person)分別于1875和1900年導(dǎo)出的．K.皮爾遜(k.Pearson,1857-1933)英國著名統(tǒng)計學(xué)家，是大樣本理論奠奠基者．一、三大統(tǒng)計分布(2).

(n)分布的概率密度且E()=n,D()=2n則且它們相互獨立，

若o(3).

(n)分布的性質(zhì)1.2分布（卡方分布）當(dāng)

2

2(n)時，對不同的α(01)和n，分位點

2(n)的值

可以從198-199頁附表3中查到.(4)

(n)分布的分位點α=0.05，n=10，查分布表得α分位點1.2分布（卡方分布）

2

分布的雙側(cè)α分位點為和雙側(cè)α分位點為例1．設(shè)，簡單隨機樣本,試決定常數(shù),使服從分布.解：因為

所以

故

定義

設(shè)隨機變量X與Y獨立且X

N(0,1),(1)t分布的定義t分布，記為t

t(n).t分布是高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“學(xué)生”（student）為筆名的論文中首先提到的，因此又稱為學(xué)生氏分布.

高塞特（W、S、Cosset，1876-1937）美國人，t分布的發(fā)現(xiàn)者，1899年在一家釀酒廠任釀酒技師，從事實驗和數(shù)據(jù)分析工作.

Cosset的t分布打開了人們的思路,開創(chuàng)了小樣本方法的研究.

的分布為自由度為n的Y

2(n),則稱2.t分布(2).t分布的概率密度t(x;n)n=4n=10n=1注(1)n=1的t分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布,其期望不存在;n>1時.t分布的期望存在且為0;n>2時,t分布的方差存在且為

(2)t分布的密度函數(shù)的圖象與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些,尾部的概率大一些.(3).t分布的分位點

對給定

(01),自由度為n

的t分布的

分位數(shù)

t

(n)可以從200頁的附表4中查到.

由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于y軸對稱,故其雙側(cè)α分位點為

思考題設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1,X2,…,X5,為來自總體X的簡單樣本，求常數(shù)C使統(tǒng)計量服從t分布,自由度是多少.答案:

譬如n=10,=0.05，那么從附表4上查得其

分位數(shù)

t0.05(10)=±t0.05/2(10)=

±t0.025(10)=1.8125，其雙側(cè)分位點為

±2.2281.(1).F分布的定義

定義5.4.2

設(shè)U

2(n1),V

2(n2),U與V獨立，則稱F=(U/n1)/(V/n2)的分布是自由度為n1與n2

的F分布，記為F

F(n1,

n2)，其中n1稱為分子自由度，n2稱為分母自由度.F分布是以統(tǒng)計學(xué)家費史(R.A.Fisher）姓氏的第一個字母命名的.

費歇(R.A.Fisher,1890-1962),英國統(tǒng)計學(xué)家,遺傳學(xué)家,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計的主要奠基人之一。對數(shù)理統(tǒng)計有眾多貢獻,內(nèi)容涉及假設(shè)檢驗,實驗設(shè)計,方差分析等領(lǐng)域.

3.F分布2.F分布的概率密度3.F分布分位點

對于較小的

,分位數(shù)F

(n1,n2)可以從201-207頁附表5中查到,而分位數(shù)

如取n1=10,n2=5,

=0.05,從附表5中查得3.F分布其雙側(cè)分位點為

例2

設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1,X2,…,Xn,為來自總體X的簡單樣本，問統(tǒng)計量服從何種分布.解因為故且和相互獨立.得又所以1.基本定理

定理5.4.1

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(

,

2)的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為(3)(n-1)S2/

2

2(n-1)

則有(1)相互獨立;二、正態(tài)總體的抽樣分布例3

設(shè)總體X~N（12，4），抽取一個樣本（X1，X2，…，X5）求（1）P{＞13}；（2）P{|-12|＞0.5}解∵X~N（12，4），∴~N(12,4/5),且（1）P{＞13}（2）P{|-12|＞0.5}的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例4.

設(shè),為使樣本均值大于70解

設(shè)樣本容量為n,則故令得即所以取2.單個正態(tài)總體的抽樣分布

若（X1，X2，…，Xn）是正態(tài)總體N(μ，σ2)的一個樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，則證明2.且與相互獨立則3.兩個正態(tài)總體的抽樣分布

設(shè)和分別是從總體N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)中所抽取的樣本，它們相互獨立,其樣本均值和方差分別記為和則２.當(dāng)σ12=σ22=σ2時，3.兩個正態(tài)總體的抽樣分布２.當(dāng)σ12=σ22=σ2時，證明1.由于

設(shè)和分別是從總體N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)中所抽取的樣本，它們相互獨立,其樣本均值和方差分別記為和則2.當(dāng)σ12=σ22=σ2時，證明2.當(dāng)σ12=σ22=σ2時,由１得

與相互獨立3.兩個正態(tài)總體的抽樣分布證明3.由于所以

設(shè)和分別是從總體N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)中所抽取的樣本，它們相互獨立,其樣本均值和方差分別記為和則例5.由正態(tài)總體N(30,9)抽取二個獨立樣本,樣本均值分別為樣本容量分別為20,25,計算解：因而所以1.設(shè)隨機變量X~t(n)(n>1),Y=1/X2,則（）.3.設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體N(0,1）的樣本，則2.設(shè)隨機變量X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則（）.(A)X＋Y服從正態(tài)分布；(B)X2＋Y2服從分布；(C)X2和Y2都服從分布；(D)X2/Y2服從F分布.(D)一、單選題二、填空題1．設(shè)，簡單隨機樣本,當(dāng)常數(shù)a=(),b=(),Y服從分布.自由度為（）.2．設(shè)，簡單隨機樣本,Y服從()分布.參數(shù)為（）.則隨機變量

3.設(shè)隨機變量X和Y獨立都服從N(0,32），而X1,,…,X9和Y1,,…,Y9為分別來自總體X和Y的樣本，則統(tǒng)計量服從()分布.參數(shù)為（）.4．從正態(tài)總體中為樣本方差．則抽取樣本X1,X2,…,Xn

，=().5.設(shè)(X1,X2,…,Xn1)和(Y1,Y2,…,Yn2)分別是從總體N(μ1,σ2)