高考高中數(shù)學必考解答題：圓錐曲線-定點問題-解析版

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高考高中數(shù)學必考解答題：圓錐曲線-定點問題-解析版

走進高騫

【例】【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：/=-2勿經(jīng)過點（2,-1）.

（I）求拋物線。的方程及其準線方程：

（2）設。為原點，過拋物線。的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線。于兩點N,直線尸T分

別交直線。歷，ON于點力和點8.求證：以為直徑的圓經(jīng)過），軸上的兩個定點.

【答案】:I）拋物線0的方程為/=-4y,準線方程為y=l：（2）見解析.

【解析】（I）由拋物線C:/=_2⑷經(jīng)過點（2,-1）,得p=2

所以拋物線。的方程為/=-4y.其準線方程為y=l

2）拋物線C的焦點為F（0,一1）設立線/的方程為y="-1（〃工0）

由「八1’得犬+4觸一4=0設〃（%,凹）”（七,必）,則邛2=-4

[x~=-4y

直線的方程為y=*x.令y=-l.得點」的橫坐標乙=-2■.同理得點8的橫坐標乙=-2.

玉M必

設點0（0,"）,則方=（一1,一1-〃）麗=（一手,一1-"）.

2

DADB=^-+（n+\）=-，t2八+（〃+1）2=生+（”+1）2=_4+（〃+1）。

一7卜乳聞、吊

令=0,即-4+（〃+1）2=0.則〃=1或〃=一3

綜上，以/出為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點（0/）和（0,-3）

【名師點睛】本題主要考在拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)及

其應用等知識，意在考杳學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

【例】【2019年高考北京卷文數(shù)】已知橢圓C：I+；=1的右焦點為（1,0），且經(jīng)過點4（0,1）.

a2b2

<1)求橢圓。的方程：

(2)設。為原點，直線八^二6+?，工±1)與橢圓。交于兩個不同點P,Q,直線力尸與x軸交于點

M,直線彳。與x軸交于點M若［0MI0N|=2,求證：直線/經(jīng)過定點.

【答案】<I)—+y2=l：<2)見解析.

2?

【解析】<1)由題意得，護=1，t=l.所以標=護+/=2.所以幃圓。的方程為］+y2=i

乂-11

，2>設尸,VH>'|),O32,”)，則直線IP的方程為y=」-X+1

再

令尸0,得點M的橫坐標X”=一黃1.乂x=h1+7,從而|OA/|二NM=|二：

j=Ax+/,

|O^|=|-I.由《彳2陽1+2公)/+4加+2/_2=0.

同理,

IOC2+1-[-----J.=1

Aki2/2-2

則…二一百,中

21+2A2

*

-------------H-------------1_?----------------------------------------------

所以ICMHCNQ22

kx1+t-]kx2+t-\kxlx2+^(/-l)(x,+x2)+(/-l)

2r-2

-|1+2r|=2|必

女心+Af.(—*+(->J

1+2公八1+2〃

又|OM|?|ON|=2,所以2|上吆|=2.解得『0,所以直線/經(jīng)過定點(0,0).

1T

【名師點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件:

(2)強化有關(guān)直線與橢惻聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,用視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、

三角形的面積等問題.

【例】【年高考全國卷理數(shù)】已知曲線：。為直線尸一^

2019IHCj=y,上的動點，過。作。的兩條切

線，切點分別為力，B

(1)證明：直線過定點：

(2＞若以E(0,|)為圓心的圓與直線/I8相切，且切點為線段48的中點，求四邊形XO8E的面積.

1答案】I'見詳解：(2)3或4人

[解析1I＞設。。4(3,必)，則X；=2jv由于.所以切線￡M的斜率為一故上1

k2；玉必十弓

----

整理得2歷一2乂+1=0.設3(天,%),同理可得2%-2必+1=0故直線"的方程為

2A^-2?+1=0,所以直出18過定點(0,；)

(2)由1)得直線的方程為^二田十^.由,可得戈2-2a一1二0

丁?是》+32=2/,x1x2=-1,必+%='（$+/）+1=2?+L

2212

|AB|=Jl+上-x2\=>]\+txJ（XI+X2）-4%七=2（/+1）

S=g|力6|(4+4)=(J+3)爐TT設”為線段力8的中點，則M[)由于國」.在.

而由=?/-2),而與向量(1,/)平行，所以f+(r-2)l=0.解得-0或/=±1”=0時，＞3：

當，=±1時,S=4&.因此，四邊形力加跖的面積為3或40

【名師點睛】此題第?問是阿錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求

解就可以，思路較為清晰，但計算量不小.

【例】(2017?全國卷I)已知橢圓C：三+1=1(?＞6＞0),四點8(1,1),P(0J),P

2\a/亂

恰有三點在橢圓。上。

(I)求。的方程。

(2)設直線/不經(jīng)過戶2點且與。相交于/，B兩點。若直線與直線巴8的斜率的和為一1，證明：/過定

點。

【解析】(1)由于P”?4兩點關(guān)于F軸對稱，故由題設知橢圓C經(jīng)過戶”八兩點。又由1+另+2知，C

tr解得匕二贈故C的方程為手+爐=1。

不經(jīng)過點所以點A在。上。因此］3

ar4〃

(2)證明：設直線2M與直線尸28的斜率分別為為，3如果/與x軸垂直，設/：x=h由題設知“，11|/|<2,

可得48的坐標分別為［用卜用

則&i+A?=—1?得/=2,不符合題設。從而可設/：y=b+m(/n#l)。

將丁=匕+小代入］+爐=1,得(4尸+12+弘心+4加!-4=0,由題設可知4=16(4公一加+30。

4m2—4

設/(xi,yi),8(&,")，則xi+x2=-一；---,X\X2=-7

4h+l4A2+1

kx\+m-1,Ax：+/w_I__2kx\X2^~(m-l)(xi+x?

!--------十---------=-------------------1

由題設知鬲+的=-1,故(2A+1MX2+SLIXH+X2)=0。即(24+1)警—+(附—1)三吧=0?

4Ar+l4A-+I

解得《=一仁tl。當且僅當標>一1時，d>0,于是/：y=一竺乜

22

即y+l=—2),所以/過定點(2,—I).

【例】(2017新課標H)設。為坐標原點，動點M在橢圓C：y+/=l±,過”做X軸的垂線，垂足

為N,點P滿足而=0兩.

(1)求點P的軌跡方程：

<2>設點。在直線x=-3上，且麗?而=1.證明：過點P且垂直于OQ的直線/過C的左焦點F.

【解析】⑴設P(x,y),M(x0,y?),則N(x0,0),NP=(x-x0,y),W=(O.yo).

由NP=&NA/符x0=x,y0=^-y.因為"(x。,%)在C匕所以,+

因此力.P的軌跡方程為丁+y2=2.

(2)由愿意知/(-1,0).設。(-3J),P(m,n),則麗=(-3j),PF=,

OQ-PF=3+3m-tn.OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n),

由OPPQ=1得-3/w-/w2+f2=1.又由(I)知/w?+/=2,故3+3加一/〃=0.

所以而?麗=0,即而_L而.又過點尸存在唯?直線垂直與。。，所以過點尸且垂直于。。

的直線/過。的左焦點廠.

典例分析

線過定點與幾何證明相結(jié)合：

【例】已知圓M:(x+2)2+y2=i,圓N：(x-2)2+y2=49,動圓戶與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心

P的軌跡為曲線C

(1)求曲線。的方程：

(2)設不經(jīng)過點0(0,2退)的直線/與曲線C相交于4，8兩點，直線Q4與直線。8的斜率均存在且斜率

之和為-2,證明：直線/過定點.

【答案】(1)—+^=1：(2)證明見解析

1612

【解析】⑴設動圓戶的半徑為「?因為動網(wǎng)?。網(wǎng)V外切,所以1PMi=1+1’因為動圓尸與黑、內(nèi)切，

所以|PN|=7—r,則|PA/|+|PN|=(r+l)+(7-r)=8>|MV|=4,由橢圓定義可知，曲線C是以

M(-2,0)、N(2,0)為左、G焦點，長軸長為8的橢國，設橢網(wǎng)方程為1+==[(。>6>0).

crb'

則。=4,c=2.故〃=/-c?=]2，所以曲線C的方程為土■+匕=I

1612

y=kx+rn

2)①當直線/斜率存在時，設直線/:夕=履+加，m*±2y/3.聯(lián)匯二+J/

1612

-8km

得(3+4公卜2+8〃心+4陽2-48=0,設點/(xJi),8(占,必),則

4m2-48

中2=Z—77i-

y「2拒+必2后_x>(kxi+m)-2y/3x2+玉(機+勸一2蘇丹_2Axi毛+("?-26乂％+%)_?

%&

8

所以(2%+2)x吊+(卅-2石)伍+&)=0,l!|l(2Jt+2)4ff，-t+(>?-2^~)~8A，W,=0.

3+4K3+4K

得布一12+2麻陽一12%=。.則(加+26)(m—2A/J)+26(〃L2G)=0.

因為m*2上,所以/w+2jJ+2&=0.即機=一2四一2石，

直線/:y=履-2?-=A(x-2石)-2百.所以直線/過定點(2瓜-20

I當直線/斜率不存在時,《it線/:x=?30),IL-4c<4,則點，

-J12-步2￡茅*26=_述=_2,解得,=26

所以直線/:x=2"也過定力：(26,一26),綜上所述,直線/過定點(2后一2&)

【例】已知拋物線C的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點力(1,2)為拋物線。上一點。

(1)求拋物線。的方程。

(2)若點6(1,—2)在拋物線C上，過點8作拋物線。的兩條弦8P與8。，若依尸加0=-2,

求證：直線尸。過定點。

【解析】(I)若拋物線的焦點在x軸上，設拋物線方程為/=如，代入點41.2),

可得。=4,所以拋物線方程為爐=4x。

若拋物線的焦點在y軸上，設拋物線方程為<=啊、代入點41,2),

可得用=L所以拋物線方程為/=多。

綜上所述，拋物線C的方程是y=4x或

(2)證明：因為點例1,一2)在拋物線C上，所以由(I)可得拋物線C的方程是爐=4x。

易知直線BP,80的斜率均存在，設直線82的方程為y+2=*x-|),將直線8P的方程代入

爐=4%，消去v,得A*—設P(xi,vi)?則

k~

仲+2>2A+41

所以Ak2?kJ.用一:替換點尸坐標中的A,可得。(伏一1尸，2-2%),從而直線尸。的

K

-2+2〃

W4-4A

斜率為-------------

空_伏7>一爐+2K+4A+4—K+2A+2'

k~

2

故直線PO的方程是廣-2+2A=―/——[x-[k-\)]9

—1+2A+2

在上述方程中，令x=3,解得y=2,所以直線尸。恒過定點(3,2)。

有關(guān)圓過定點的問題:

【例】【河北省張家口市2020屆高三】已知點Q是圓G：x2+y2=4上一動點，線段OQ與圓C2：x2+y2=3

相交于點7.直線d經(jīng)過Q,并且垂直于%軸，7在d上的射影點為E.

(1)求點E的軌跡C的方程:

(2)設圓G與4軸的左、右交點分別為4,8,點P是曲線C上的點(點P與48不重合)，出線4P,BP與直

線I：工=4分別相交于點M,N,求證：以MN直徑的圓經(jīng)過定點.

+=1

【答案】(1)v4T3(2)見證明

【解析】(1)設點E(x,y),QGQJQ).當yQ=0時,易得E(±2,0)：

節(jié)為H0時，彳q=y.所以％=強又XQ=X.所以Q(%,曾代入C1的方程，

做2+偌)2=4,吟+9=1.

(2)證明：設直線4P,8P的斜率分別為k.k[,記P(%,yp).

則如=急?卷=券=4

直線4P的方程為y=k(%+2),所以M(4,6k).直線BP的方程為y=—今(％—2),所以N(4,—粉

以MN為宜徑的圓的方程為(4-4)2+(y-6k)(y+專)=0.

整理，得12yk2-[2(x-4)2+Zy2-18k-3y=0.

令｛(1C-18=0解嘖=0,或C]所以以MN為直徑的圓過定點(1。(7.0).

定點問題與探索問題相結(jié)合：

【例】【山東省德州市2020高一】已知橢圓。多+蕓=1(。>8>0),點叭-琮)在橢圓。上，橢圓C的離

心率是最

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)設點A為橢圓長軸的左端點，P,Q為橢圓上異于橢圓C長軸端點的兩點,記直線APMQ斜率分別為自水2,

若k#2=-%請判斷直線PQ是否過定點？若過定點，求該定點坐標，若不過定點，請說明理由.

【答案】(1>5+9=1<2)過定點(1,0)

【解析】⑴由點M(-嗎)在橢MC」:，且橢圓C的離心率是aM得?:可解即［二；

故橢圓C的標準方程為5+3=1.

<2)設點P,Q的坐標分別為(4,%),(次,)2)，

(i)當宜線PQ斜率不存在時，由睡總知，直線方程和曲線方程聯(lián)*:得：P(l,j).(2(1,-j).

(ii，當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為曠=卜丫+巾，

評y2-

聯(lián)。［7+1"-1,消去y得：(4k2+3)x2+8kmx+(4m2—12)=0.

(y=kx+m

由4=64k2m2—4(4依+3)(4評—12)=48(4/—m2+3)>0.有4k2+3>m2.

由韋達定理得：*1+X2=-5瑞，%1%2=

故〃也=濫可得：4yly2+。1+2)&+2)=0，

可得:4(5+m)(kx2+m)+(的+2)(xz+2)=0.

2

隹理為:(4/+l)x1x2+(4/cm+2)(xi+x2)+4m+4=0.

故有(4m+1)嶗言-(4km+2)黑+4mZ+4=0.

化簡整理得：m2-km-2k2-0,解得：血=24或巾=一匕

當m=2A時直線PQ的方程為y=H+2%即y=k(x+2),過定點(-2,0)不合題意,

當m=-k時直線PQ的方程為y=心:一k,即、=攵。-1),過定點(1,0).

綜上，由(i)(ii)知，直線PQ過定點(1,0).

【例】(2020河北唐山高三)已知點尸到直線^二一3的距離比點尸到點力(0,1)的距離多2

(1)求點尸的軌跡方程：

(2)經(jīng)過點。(0.2)的動直線/與點尸的軌跡交于M，N兩點，是否存在定點R使得NA儂=NNHQ?

若存在，求出點H的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(1)x2=4y(2)存在滿足條件的定點R(0,-2)：

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)拋物線的定義可得解：

(2兩角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化到直線的斜率的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化到交點的坐標的關(guān)系求解.

【詳解】

(1)由題知.|尸旬二點。到“線)，二-1的距琢故P點的軌跡是以4為焦點、y=T為準線的拋物線,

所以其方程為犬=4,：

2根據(jù)圖形的對稱性知.若存在.滿足條件的定點R，則點R必在歹軸上，可設其坐標為(0,廣).

此時NMHQ=NNRQu>幻眼+2=0，設A/(X”M),N(W，必)，則=

X]x2

I.設其方程為丁=6+2,q/=4y聯(lián)＞得/一4去-8=0.

則％+電=44.X1X2=-8,

M-r?必-「=1+2-/?依+2-r=24+(2-r)(x,+xJ_2k_心，)一0.

X[x2Xx2X1x22

故「二一2,即存在滿足條件的定點R(0,-2)

【點睛】本題考查拋物線的定義和直線與拋物線的關(guān)系，對于第二小問是常規(guī)題，轉(zhuǎn)化成坐標的關(guān)系是關(guān)

鍵，并且能最終轉(zhuǎn)化成與韋達定理的關(guān)系，屬于中檔題.

高考頸測

I.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:、+/=i.如圖所示，斜率為〃伏＞0)且不過原點的直線/交

橢圓C于4,B兩點，線段的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x=-3于點D(-3,w).

＜1)求加+M的最小值：(II)若|06『=|。。卜|。￡|,求證：直線/過定點;

y=kx+t,

【解析】(1)設直線/的方程為y=云+”>0),由題意，，>0.由方程組行

y+J=l

(3Zr2+l)jr2+6to+3/2-3=0,由題意A>0,所以女2+1>/

設力區(qū),凹),仇士，必)，由韋達定理得M+々=-*，、所以乂+必=J'

由于E為線段AB的中點，因此、￡=-^-,y￡=—^―,此時%=江=-占.

3k+13k+1xE3k

所以OE所在直線方程為》=-，7卷乂由題設知0，-3,m).

3k

令x=-3,得zw=L即/成=],所以加+〃222MA=2,

k

當且僅當〃7=A=1時上式等號成立，此時由△>0得0</v2,

因此當加=〃=1且0<1<2時，/^+公取最小值2.

<II>由<1)知。。所在克線的方程為丁=-4蒼將其代入橢圓。的方程，并由〃>0,

3k

弘1弘，1

解得6(_7聆=,亍^)又E?三一，陽\),。(-33).

V3P+1J3/+13V+13F+1k

由距離公式及，>0得

由|OG『=|||OE|得/=%,因此，直線/的方程為y="(x+1).所以，直線/恒過定點(-1,0).

2.已知拋物線<7/2=2川(0>0)的焦點為尸，4為C上異于原點的任意一點，過點4的直線/交C于

另一點B,交x軸的正半軸于點。，且有|以|=|尸。|,當點《的橫坐標為3時，A4O尸為正三角形。

(I)求C的方程：

(11)若直線//〃，且4和C有且只有一個公共點E,證明直線4E過定點，并求出定點坐標；

【解析】(1)由題意知尸皮,0),設O(/,0X，>0)，則尸。的中點為(與Mo)

因為|E4|=|FD|,由拋物線的定義可知3+5=|，-g.解得，=3+p或，=-3(舍去)

由勺義-3,解符p=2.所以拋物線C的方程為爐=4x.

(II)(i)由<I)知F(1,O).設4*0，%乂%%=0).D(XD,OXXD>0)

因為|E4|=|ED|,則k“一1|=%+1,

由x〃>0得Xo=%+2,故￡?(Xo+2,0),故直線4B的斜率《#=-/■,因為直線&和直線ZB平

行.

設直線4的方程為y=-4、+6,代入拋物線的方程用/+—^--=0,

2%%

6432b244

由題意A=~y+---=0,得6=----,設￡(>「》￡),則>^=----,XE=F

%Joy0^Jo%

當用x4時/公=匕二生二孚大可用直線4E的方程為由尤=4x0,

xE-x?K-4y；-4

整理狗>=罵5-1),直線4E恒過點F(l,0)，當點=4時，直線4E的方程為x=l,過點尸(1,0).

此一4

所以直線4E過定點/(1,0).

3.如圖，在平面宜角坐標系中，已知點尸(1,0),過直線I：x=2左側(cè)的動點P作PH1

1于點H,ZHPF的角平分線交力軸于點M,且山H|=V2|MF|,記動點P的軌跡為曲

線r.

(1)求曲線r的方程：

(2)過點/作直線m交曲線r于4,8兩點，點C在，上，且8C〃X軸，試問：直線4c是否恒過定點？請說明理

由.

【答案】(1)9+必=卜⑵答案見解析.

【解析】⑴設P(3).由題可知附F|=|PF|.所以翳=翳=爭即"票=字

化簡整理得援+丫？=1，即曲線r的方程為措+yZ=i.

<2)山已知可用直線m的斜率不為0,.,.可設直線m的方程為￥=?1丫+1.

x=ny+1

(二+必=1消去x得(儲+2)y2+2ny-l=0,4>0恒成立，

記4。"1),8(孫力),則”2,%)，則yi+丫2=-號/必=-+，*1=nyt+1.

二花線4c的斜率為k=咤.直線4c的方程為y-yz=咤(x-2).

即￥=組在［4_2+絲生殳］.乂爾k2)=嗎？廠9=，2：左二士

孫-2yi-y2y\-yz~^2yi2(k力)2

?,?直線AC的方程為y="2+；)=號(x—,),J直線4c過定點N(?,0).

Xj—ZZXi-Zzz

4.已知拋物線C:爐=2px(p>0)的焦點為廣，直線y=4與y軸的交點為p,與拋物線C的交點為0,

B.\QF\=2\PQ\.

(I)求P的值：

(2)已知點T?,-2)為C上一點，M,N是C上異于點7■的兩點，且滿足直線和直線77V的

0

斜率之和為-1，證明直線MM恒過定點，并求出定點的坐標.

【笞案】(I>4：,2>證明過程見解析，直線MN恒過定點(-1,-1)

【解析>1，設。(%,4),由拋物線定義知|。石=*,+勺乂|。石=2歸。|.|尸。|=x°.

所以2%=%+勺解狗毛=勺將點。停4)代入拋物線方程，解得p=4

<2>由”>知，C的方程為V=8x,所以點r坐標為設直線MV的方程為x=my+”.

一/\\x=my+n.

:

點N（x2,yj,由J2—8》得了—8〃少-8〃二0J=64/w+32w>0

..y,+2y,+2y,+2y+2

2-

所以M+必=&〃?弘必=一8〃?所以ky+kNT=-----+一~=~p―j~+~^2―j

X'~2'2"2T"2T-2

_8f8_8（M+必）-3264m-328.

必-2y2-2必為_2（乂+必）+4-8w-I6m+43

所以直線MN的方程為X+1=加(y+1),恒過定點(一1,-1).

5.已知中心在原點o的橢圓c的左焦點為々（-i,o）,c與y軸正半軸交點為力，旦

（1）求橢圓c的標準方程：

（2）過點A作斜率為k,、質(zhì)（/"0）的兩條直線分別交C于異于點A的兩點M、N.證明：當自=4

與一1

時，直線MV過定點.

【答案】⑴工+亡=1：<2）見解析.

43

【解析】I）在用&4E。中，|。1|=6"。個=，=1,\AF}\=yj\OA^+\OF^=a.

vZJ/^O=NO/G=g，/?a=|<￡|=2|0耳|=2.:.b=址.c'=6,

36

因此，橢圓c的標準方程為工+片=1：

43

（2，由題不妨設=b+m.設點乂（工2,%）

x2y2

—?—=1

聯(lián)立43消大V化簡徨（4A:+3）/+8kmx+4m:-12=0,

y=kx+m

8km4m2-12

且$十七二

4〃+3

,,k=h.kk-k+k?工力一6_丫「百]%一退

k「1%x2$x2

???代入乂=a+加。=1,2）,化簡得

（尸_2A）邛2+（A-1乂〃7-G）（X[+x2）+nr-26〃+3=0,

化簡得815〃（m一6）=3（/w-JJ），,//〃工,二?8=3（m-班）..?.ni=七十百，

直線MN:y=h+等因此，直線MV過定點卜苧，6）

6.已知橢圓C：4+4-=!（a>b>0）的左，右焦點分別為￡、該橢圓的離心率為迎，以原點

a~b22

為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線、=工+及相切.

（1）求橢圓C的方程:

（11>如圖，若斜率為的直線/與X軸，橢圓C順次交于尸,2,R（p點在橢01左頂點的左側(cè)）且

NRF￡=NPFQ,求證：宜線/過定點.

1答案】（Dy+/=l;F）證明見解析.（-￥，o）u[o.￥）

【解析】（I）解：橢圓的左，石焦點分別為6（8,0）,5（c,0）,橢圓的離心率為巫，即有￡=立，即

2a2

a=y/2c-b=y/a2-c2=c-以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為一+V.

直線y=x+6■與圓相切,則有固=1=/,.即有a=JL則橢例C的方程為1+產(chǎn)=1：

722

<n>證明：設2（不必）,口（馬,%），￡（_1），°，

由NR￡B=NPG。，可得直線?！┖蚲關(guān)于'軸對稱，即行壇"+4*=0,即*I+』I=O.

即有玉%+必+$乂+乂=0.①，設直線戶Q:y=h+/,代入橢圓方程，可得

（l+2*2）^2+4te+2/2-2=0,判別式A=16r『-4（1+2好）（2/-2）>0,即為r-2-<1②，

-4*t2產(chǎn)-2,-、.

X、+*=不主/抵=③"=?+，,％=&+，,

代入①可得，（k+，）a+xJ+2，+2faqx2=0,將③代入，化簡可#"=23

則在線/的方程為y=h+2hR|）y=A:（x+2）.即加X線/恒過定點（一2,0）.

7.已知橢圓C:x2+3K=6的右焦點為F.

（1）求點F的坐標和橢圓C的離心率:

(2)直線/:y=h+m(k，O)過點F,且與橢圓。交于P,。兩點，如果點P關(guān)于x軸的對稱點為P，

判斷直線尸。是否經(jīng)過x軸上的定點，如果經(jīng)過，求出該定點坐標：如果不經(jīng)過，說明理由.

1答案】,1)焦點廣(2,0),離心率e=^<2>是過x軸1:的定點；定點(3,0)

【解析】(1),橢圓(?：三+乙=1..?./=/-6=4,解得c=2,.?.焦點F(2,0),離心率e=在

623

2)直線/：y=h+a(%w0)過點E.?.m二一24，/./:丁二“5一？)

由卜+,V孩，存(3儲+1)/-12/X+1242-6=0(依題意4>0，

|y=X(x-2)''

設P(x“M),0(覆，%)，則占+三二^^，

jK+1JK+I

?.?點P關(guān)于X軸的對稱點為p’.則"(士,一乂)直線PQ的方程可以設為歹+乂=.

X2-X\

kx(Xj-2)+AX](x-2)2xx-2(x+x)

令…，戶文*+再二里1軍也22i2[2

乂+%乂+必〃(國+與-4)(為+%一4)

12r-612k2

3必+1-干上'■=3直線尸Q過X軸上定點(3,0)

(12k2

|,3F+1

8,已知橢圓C：￡■+號=l(a>/>>0)的離心率為"，點P(0,1)和點/(m,")(,"#0)都在橢圓C上，直

ab~2

線P/交x軸于點M.

(I)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m，〃表示)：

(0)設。為原點，點5與點力關(guān)于x軸對稱，直線戶8交x軸于點N.問：y軸上是否存在點。，使

得NO0W=/QV2?若存在，求點。的坐標；若不存在，說明理由.

b=l,

【解析】(1)由題意得,￡=,，解得/=2.故橢圓C的方程為三+/=1.

a22

a2=b2+c2.