§2廣義積分的收斂判別法

二、無界函數(shù)廣義積分的收斂判別法廣義積分無窮限的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分一、無窮限廣義積分的收斂判別法§2廣義積分的收斂判別法7/27/20241寧波大學(xué)教師教育學(xué)院一、無窮限廣義積分的收斂判別法定理1.若函數(shù)證:根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知存在,7/27/20242寧波大學(xué)教師教育學(xué)院（Cauchy收斂原理）定理2.證：利用無窮限廣義積分收斂的定義以及極限存在的Cauchy準(zhǔn)則即得。7/27/20243寧波大學(xué)教師教育學(xué)院

柯西（Cauchy，AugustinLouis

1789-1857），十九世紀(jì)前半世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家。1789年8月21日生于巴黎。在大學(xué)畢業(yè)后當(dāng)土木工程師，因數(shù)學(xué)上的成就被推薦為科學(xué)院院士，同時(shí)任工科大學(xué)教授。后來在巴黎大學(xué)任教授，一直到逝世。在代數(shù)學(xué)上，他有行列式論和群論的創(chuàng)始性的功績(jī)；在理論物理學(xué)、光學(xué)彈性理論等方面，也有顯著的貢獻(xiàn)。他的特長(zhǎng)是在分析學(xué)方面，他對(duì)微積分給出了嚴(yán)密的基礎(chǔ)。他還證明了復(fù)變函數(shù)論的主要定理以及在實(shí)變數(shù)和復(fù)變數(shù)的情況下微分方程解的存在定理。

1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵(lì)下，柯西出版了《分析教程》、《無窮小計(jì)算講義》、《無窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用》這幾部劃時(shí)代的著作。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。柯西的極限定義至今還在普遍使用，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。7/27/20244寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理3.

(比較原理)且對(duì)充,則證:

不失一般性,因此單調(diào)遞增有上界函數(shù),7/27/20245寧波大學(xué)教師教育學(xué)院說明:

已知得下列比較判別法.極限存在,7/27/20246寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理4.(比較判別法1)7/27/20247寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例1.

判別廣義積分解:的收斂性.由比較判別法1可知原積分收斂.思考題:

討論廣義積分的收斂性.提示:

當(dāng)x≥1時(shí),利用可知原積分發(fā)散.7/27/20248寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理5.(極限判別法1)則有:1)當(dāng)2)當(dāng)證:1)根據(jù)極限定義,對(duì)取定的當(dāng)x

充分大時(shí),必有,即滿足7/27/20249寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2)當(dāng)可取必有即注意:此極限的大小刻畫了7/27/202410寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例2.

判別廣義積分的收斂性.解:根據(jù)極限判別法1,該積分收斂.例3.

判別廣義積分的收斂性.

解:根據(jù)極限判別法1,該積分發(fā)散.7/27/202411寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理6.證：則而7/27/202412寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定義.

設(shè)廣義積分則稱絕對(duì)收斂

;則稱條件收斂

.例4.

判斷廣義積分的收斂性.解:根據(jù)比較判別法知，故由定理6知所給積分收斂(絕對(duì)收斂).7/27/202413寧波大學(xué)教師教育學(xué)院無界函數(shù)的廣義積分可轉(zhuǎn)化為無窮限的廣義積分.二、無界函數(shù)廣義積分的收斂判別法由定義例如因此無窮限廣義積分的收斂判別法完全可平移到無界函數(shù)的廣義積分中來.7/27/202414寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理7.(比較判別法2)定理3瑕點(diǎn),有有利用類似定理4與定理5，有如下的收斂判別法.使對(duì)一切充分接近a的

x(x>a).7/27/202415寧波大學(xué)教師教育學(xué)院定理8.(極限判別法2)則有:1)當(dāng)2)當(dāng)例5.判別廣義積分解:利用洛必達(dá)法則得根據(jù)極限判別法2,所給積分發(fā)散.7/27/202416寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例6.判定橢圓積分定理4斂性.解:由于的收根據(jù)極限判別法2,橢圓積分收斂.7/27/202417寧波大學(xué)教師教育學(xué)院類似定理6,有下列結(jié)論:例7.

判別廣義積分的收斂性.解:稱為絕對(duì)收斂.故對(duì)充分小從而據(jù)比較判別法2,所給積分絕對(duì)收斂.則廣義積分7/27/202418寧波大學(xué)教師教育學(xué)院三、函數(shù)1.定義下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在內(nèi)收斂.令7/27/202419寧波大學(xué)教師教育學(xué)院綜上所述,7/27/202420寧波大學(xué)教師教育學(xué)院2.性質(zhì)(1)遞推公式證:(分部積分)注意到:7/27/202421寧波大學(xué)教師教育學(xué)院(2)證:(3)余元公式:(證明略)7/27/202422寧波大學(xué)教師教育學(xué)院(4)得應(yīng)用中常見的積分這表明左端的積分可用函數(shù)來計(jì)算.例如,7/27/202423寧波大學(xué)教師教育學(xué)院四、*A-D判別法定理9(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)7/27/202424寧波大學(xué)教師教育學(xué)院阿貝爾（Abel,NielsHenrik,1802-1829）

挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島，1829年4月

6日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說他能夠穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎無堅(jiān)不摧的氣勢(shì)...。他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛戴。”數(shù)學(xué)家們有法紀(jì)念他們中的偉人，我們常說阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級(jí)數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性。很少有幾個(gè)數(shù)學(xué)家能使他的名字同數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。7/27/202425寧波大學(xué)教師教育學(xué)院狄利克萊（Dirichlet）（1805-1859）

德國(guó)數(shù)學(xué)家。解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在數(shù)論方面關(guān)于

Fermat方程，先后給出了n=5,n=14時(shí)無整數(shù)解的證明。他著有《數(shù)論講義》（1863，遺著），對(duì)Gauss的《算術(shù)研究》作出了清楚的解釋并有自己的獨(dú)創(chuàng)。他證明了在任何算術(shù)序列

{a+nb}(其中a與b互素)中，必存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，這就是著名的Dirichlet定理。他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也有很多重大貢獻(xiàn)。在1892年的論文“關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性”中得到給定函數(shù)f(x)的Fourier級(jí)數(shù)收斂的第一充分條件.這一研究還促使他將函數(shù)作了一般化推廣。1829，他給出了具有典型意義的函數(shù)：稱為Dirichlet函數(shù)。這一工作使得數(shù)學(xué)從研究函數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)變到研究函數(shù)的概念，性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。他在1837年證明了：對(duì)一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，可以把它的項(xiàng)加以組合重新排列，而不改變?cè)?jí)數(shù)的和，并舉例說明對(duì)一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)則不然。他修改了Gauss關(guān)于位函數(shù)論的一個(gè)原理，引入了所謂Dirichlet原理。還論述了著名的第一邊值問題（現(xiàn)稱為Dirichlet問題）。

Dirichlet是Gauss的學(xué)生和繼承人。他畢生敬仰Gauss.他說Gauss的講課是“一生所聽過的最好，最難忘的課?！?855年，Gauss逝世后，他作為Gauss的繼承者被哥丁根大學(xué)聘為教授，接替Gauss原任的職務(wù)，直到逝世。

7/27/202426寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例8解7/27/202427寧波大學(xué)教師教育學(xué)院例9解7/27/202428寧波大學(xué)教師教育學(xué)院與定理9類似，我們有(1)(Abel判別法)(2)(Dirichlet判別法)7/27/202429寧波大學(xué)教師教育學(xué)院內(nèi)容小結(jié)

1.兩類廣義積分的比較判別法和極限判別法

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2.若在同一積分式中出現(xiàn)兩類廣義積分,習(xí)題課可通