專題09分式的意義及基本性質(zhì)（2個知識點4種題型1個易錯點）（解析版）

專題09分式的意義及基本性質(zhì)（2個知識點4種題型1個易錯點）【目錄】倍速學習三種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.分式的意義知識點2.分式的基本性質(zhì)【方法二】實例探索法題型1.分式的概念題型2.求分式的值題型3.分式有無意義的條件題型4.分式值為零的條件題型5.分式的基本性質(zhì)題型6.分式的約分題型7.最簡分式【方法三】差異對比法易錯點忽略分母不為0的條件【方法四】成果評定法【倍速學習三種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.分式的意義定義示例剖析分式的定義：一般地，如果、表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．例如分式有意義（或分式存在）的條件：分式的分母不等于零即．使有意義的條件是分式的值為零的條件：分式的值為零是指分式在有意義的前提下分式的分子為零．即當且時，．使值為0的x值為1知識點2.分式的基本性質(zhì)定義示例剖析分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘以（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.即約分：利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，但不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.分子分母中沒有公因式的分式叫做最簡分式.【方法二】實例探索法題型1.分式的概念1．（2020秋?浦東新區(qū)期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，屬于分式，其它的屬于整式．故選：B．【點評】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．2．（2020秋?嘉定區(qū)期末）在代數(shù)式，，，中，分式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】直接利用分式的定義分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2個．故選：B．【點評】此題主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．題型2.求分式的值3．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）已知分式的值是整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．【分析】根據(jù)題意知道a≠±1，化簡這個分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，a是整數(shù)，求出符合題意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整數(shù)，a是整數(shù)，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合題意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，a是整數(shù)，得到a﹣1＝±1，±2是解題的關鍵．4．（2021秋?金山區(qū)期中）當a＝﹣2時，代數(shù)式的值等于．【分析】將a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：當a＝﹣2時，＝＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題主要考查求分式的值，熟練掌握求分式的值的方法是解決本題的關鍵．5．（2020秋?靜安區(qū)期末）若分式的值大于零，則x的取值范圍是．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，進而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案為x＞﹣2且x≠1．【點評】本題考查分式的值；熟練掌握分式求值的特點，特別注意分式的分母不等于零這個隱含條件是解題的關鍵．題型3.分式有無意義的條件6．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）下列各式中，當m＜2時一定有意義的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式有意義的條件判斷即可．【解答】解：A選項，當m＝﹣1時，分式?jīng)]有意義，故該選項不符合題意；B選項，m＝﹣3時，分式?jīng)]有意義，故該選項不符合題意；C選項，m＝3時，分式?jīng)]有意義，∵m＜2，∴分式一定有意義，故該選項符合題意；D選項，m＝1時，分式?jīng)]有意義，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式的分母不等于0是解題的關鍵．7．（2022·上海寶山·七年級期末）如果分式有意義，那么的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義的條件“分母不為零”，列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件“分母不為零”是解答本題的關鍵．8．（2021秋?浦東新區(qū)期末）對于分式如果y＝1，那么x的取值范圍是．【分析】根據(jù)分式有意義的條件（分母不為零）列不等式求解．【解答】解：當x﹣2y≠0時，即x﹣2≠0分式有意義，解得x≠2，故答案為：x≠2．【點評】本題考查分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件（分母不為零）是解題關鍵．題型4.分式值為零的條件9．（2022·上海普陀·七年級期末）當x＝3時，下列各式值為0的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入分式，然后根據(jù)分式有意義的條件（分母不能為零）和分式值為零的條件（分子為零，且分母不為零）進行分析判斷．【詳解】解：A.當時，，原分式?jīng)]有意義，故此選項不符合題意；B.當時，，，原分式的值為，故此選項符合題意；C.當時，，原分式?jīng)]有意義，故此選項不符合題意；D.當時，，原分式?jīng)]有意義，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查分式值為零的條件，理解分式值為零的條件（分子為零，且分母不為零）是解題關鍵．10．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）如果分式的值為0，那么x的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】直接利用分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故選：B．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握分式的分母不為零是解題關鍵．11．（2022·上?！て吣昙壠谀┤舴质降闹禐榱?，則x＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子為零，分母不為零，由此可得x2-9=0，x-3≠0，解出x即可．【詳解】解：∵分式的值為零，∴x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3．故答案為：-3．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．題型5.分式的基本性質(zhì)12．（2022·上海寶山·七年級期末）已知分式的值為，如果把分式中的同時擴大為原來的3倍，那么新得到的分式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)進而化簡得出答案．【詳解】解：把分式中的都擴大為原來的3倍，則分式，故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是正確化簡分式．13．（2022·上海·七年級期末）把分式中的x、y的值都擴大到原來的2倍，則分式的值…

（

）A．不變 B．擴大到原來的2倍C．擴大到原來的4倍 D．縮小到原來的【答案】A【詳解】解：把分式中的x、y的值都擴大到原來的2倍，可得，由此可得分式的值不變，故選A.14．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．若A、B表示兩個不同的整式，則一定是分式 B．如果將分式中的x和y都擴大到原來的3倍，那么分式的值不變 C．單項式23ab是5次單項式 D．若3m＝5，3n＝4，則3m﹣n＝【分析】根據(jù)分式的定義，分式的基本性質(zhì)，同底數(shù)冪的運算、單項式的定義即可求出答案．【解答】解：A、若A、B表示兩個不同的整式，則不一定是分式，故A不符合題意．B、如果將分式中的x和y都擴大到原來的3倍，那么分式的值變?yōu)樵瓉?倍，故B不符合題意．C、單項式23ab是2次單項式，故C不符合題意．D、若3m＝5，3n＝4，則3m﹣n＝，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查分式的定義，分式的基本性質(zhì)，同底數(shù)冪的運算、單項式的定義，本題屬于基礎題型．題型6.分式的約分15．（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列約分正確的是（）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行約分計算，然后作出判斷．【解答】解：A.＝x4，故此選項不符合題意；B.的分子分母中不含有公因式，不能進行約分，故此選項不符合題意；C.的分子分母中不含有公因式，不能進行約分，故此選項不符合題意；D.＝＝﹣，正確，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了約分：首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．16．（2022·上?！ば轮谐跫壷袑W七年級期末）約分：分式________．【答案】【分析】先分母提取公因式b，再進行約分即可．【詳解】解：原式

故答案為：．【點睛】本題主要考查分式的約分．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分；約分的關鍵是找出分式中分子和分母的公因式．題型7.最簡分式17．（2020秋?寶山區(qū)期末）下列分式中，最簡分式是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡分式的定義計算判斷．【解答】解：A、＝，所以A選項不符合；B、＝，所以B選項不符合；C、＝＝，所以C選項不符合；D、為最簡分式，所以D選項符合．故選：D．【點評】本題考查了最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．【方法三】差異對比法易錯點忽略分母不為0的條件18.當x取何值時，分式的值為0？【答案】x=－1；【解析】依題得，解得，所以.求解此類題目，最易忽略分母不能為零的情況！19.當為何值時，下列分式的值為零：⑴ ⑵⑴；⑵；易錯點：忽略分母不為零的條件【方法三】成果評定法一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）分式中x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≠﹣2 C． D．【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵分式有意義，∴2x﹣1≠0，∴x≠．故選：D．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵．2．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如果分式的值為零，那么x、y應滿足的條件是（）A．x＝1，y≠2 B．x≠1，y＝﹣2 C．x＝1，y≠﹣2 D．x≠1，y＝2【分析】根據(jù)分子為0，分母不為0時，分式的值為0，得方程求解即可．【解答】解：由于分式的值為0，所以解得，x＝1，y≠﹣2故選：C．【點評】本題考查了分式值為0的條件．解決此類問題，容易只考慮分子為0，而忽略分母不等于0的條件．3．（2022秋?上海期末）如果分式的值為零，那么x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】根據(jù)分式的值為0的條件及分式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的值即可．【解答】解：∵的值為零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查的是分式的值為0的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解答此題的關鍵．4．（2022秋?寶山區(qū)期末）下列各式中，屬于分式的是（）A．+3 B． C．﹣+5 D．【分析】根據(jù)分式的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；B．分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；C．分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；D．分母中含有字母，是分式，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關鍵，分母中含有字母的代數(shù)式，叫分式．5．（2022秋?上海期末）分式中，當x和y分別擴大3倍時，分式的值（）A．擴大9倍 B．擴大6倍 C．擴大3倍 D．不變【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡即可．【解答】解：＝＝＝4，∴分式的值擴大3倍，故選：C．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可．【解答】解：A、原式＝＝x+2，不符合題意；B、原式＝＝，不符合題意；C、原式＝＝x+y，不符合題意；D、原式為最簡分式，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解本題的關鍵．二．填空題（共19小題）7．（2022秋?上海期末）要使分式有意義，則x的取值范圍是x≠﹣2．【分析】分式有意義時，分母不等于零．【解答】解：當分母x+2≠0，即x≠﹣2時，分式有意義．故答案為：x≠﹣2．【點評】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．8．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如果分式的值為零，那么x＝﹣2．【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得2﹣x≠0，且x2﹣4＝0，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣4≠0且x2﹣4＝0，解得：x＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．9．（2021秋?黃浦區(qū)期末）當x＝0時，分式的值為零．【分析】令2x＝0，且x+3≠0即可解出結(jié)果．【解答】解：由題意可得：，解得：x＝0．故答案為：0．【點評】本題考查了分式的值為零的條件，熟知分式的值為零時要滿足的條件是解題的關鍵．10．（2021秋?金山區(qū)期末）分式中字母x的取值范圍是x≠．【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0即可算出答案．【解答】解：∵2x﹣3≠0，∴x≠；故答案為：x≠．【點評】本題主要考查了分式有意義的條件，解題關鍵：分式有意義的條件為分母不為0．11．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）對于分式，如果x＝1，那么y的取值范圍是y≠﹣4．【分析】根據(jù)分式有意義的條件（分母不為零）列不等式求解．【解答】解：當4x+y≠0時，即4+y≠0分式有意義，解得y≠﹣4，∴y的取值范圍是y≠﹣4，故答案為：y≠﹣4．【點評】本題考查分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件（分母不為零）是解題關鍵．12．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）當x＝1時，分式的值為零．【分析】直接利用分式的值為零可得分子為零進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為零，∴x﹣1＝0，2﹣x≠0，解得：x＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握分式的值為零的條件是解題關鍵．13．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）當x＝﹣1時，分式的值為0．【分析】直接利用分式的值為零則分子為零，分母不為零，進而得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵．14．（2022秋?寶山區(qū)期末）如果分式有意義，則x的取值范圍是x≠±1．【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由題意得：|x|﹣1≠0，解得：x≠±1，故答案為：x≠±1．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關鍵．15．（2022秋?寶山區(qū)期末）化簡：＝．【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分即可．【解答】解：＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了約分，能熟記分式的基本性質(zhì)是解此題的關鍵．16．（2021秋?寶山區(qū)期末）化簡：＝a+3．【分析】先將原式分子部分進行因式分解，再進行約分即可解答．【解答】解：＝＝a+3．故答案為：a+3．【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握用十字相乘法進行因式分解是解題關鍵．17．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）正整數(shù)a與b滿足正整數(shù)，則b＝18或2．【分析】根據(jù)題意可求出b﹣1的值，從而可求出b的值．【解答】解：由題意可知：a與b是正整數(shù)，∴b﹣1＝17或1，∴b＝18或2，故答案為：18或2．【點評】本題考查分式的值，解題的關鍵是正確求出b﹣1的值，本題屬于基礎題型．18．（2022秋?奉賢區(qū)期中）當a＝2時，代數(shù)式的值為2．【分析】將a＝2代入代數(shù)式求解即可．【解答】解：將a＝2代入，得原式＝＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了求分式的值，熟練掌握求代數(shù)式值的方法是解題的關鍵．19．（2022秋?徐匯區(qū)期末）x＝1時，分式無意義，則a＝2．【分析】分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．【解答】解：根據(jù)題意，得當x＝1時，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．20．（2022秋?靜安區(qū)期中）如果＝，那么＝5．【分析】根據(jù)已知條件求得x＝3y，然后代入求值．【解答】解：∵，∴x＝3y，原式＝，故答案為：5．【點評】本題考查分式的求值，利用等式的性質(zhì)求得x＝3y是解題關鍵．21．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知2x+3y＝0，代數(shù)式＝﹣．【分析】將x＝﹣y代入，再化簡運算即可．【解答】解：∵2x+3y＝0，∴x＝﹣y，∴＝＝＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查分式的值，熟練掌握分式的化簡運算，將x＝﹣y整體代入所求的代數(shù)式進行化簡是解題的關鍵．22．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）如果分式無意義，那么分式的值為7．【分析】根據(jù)分式無意義的條件：分母為0，列出x的