滬教版九年級數(shù)學上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓02相似三角形(解答題)(原卷版+解析)

特訓02相似三角形（解答題）基礎特訓基礎特訓練特訓第一階——基礎特訓練一、解答題1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．2．已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．3．已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點對應．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長．4．如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點A、B、C和點D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）當AD=5，CF=19時，求BE的長．5．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，AF與BE交于點O，ED∥AF，交BC于點D，求BO：OE的值．6．如圖，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．(1)AB＝3，求BC；(2)EF＝7.5，BE的長．7．如圖，已知兩個不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）8．如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點E是邊AD的中點．AC、BE相交于點O．設，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論）9．如圖，已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊DC、AB的中點，AE、CF與對角線BD分別交于點G、H，設，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．10．如圖，是的中線，交于點，且．(1)直接寫出向量關于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論）11．如圖，已知在四邊形ABCD中，F(xiàn)是邊AD上一點，AF＝2DF，BF交AC于點E，又＝．(1)設＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的長．12．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長度．13．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．14．如圖，平行四邊形ABCD中，點E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；15．如圖，點D在△ABC的邊AB上，AC2＝AD?AB，求證：△ACD∽△ABC．16．在中，D為上的一點，E為延長線上的一點，交于F．求證：17．已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．18．如圖，已知，在平行四邊形ABCD中，E為射線CB上一點，聯(lián)結DE交對角線AC于點F，∠ADE＝∠BAC．（1）求證：CF?CA＝CB?CE；（2）如果AC＝DE，求證：四邊形ABCD是菱形．19．如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，點E為邊DC的中點，BE交AC于點F．求：(1)AF：FC的值；(2)EF：BF的值．20．如圖，在等腰中，，點是邊上的中點，過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，交于點．求證：(1)；(2)．21．已知：如圖，在四邊形中，，過點作，分別交、點、，且滿足．(1)求證：(2)求證：22．已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．23．如圖，已知的頂點在的邊上，與相交于點，，．（1）求證：；（2）求證：．24．已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC．過點B作AD的垂線，垂足為E．過點C作AD的垂線交AD的延長線于F．聯(lián)結CE交FB的延長線于點P，聯(lián)結AP．(1)求證：AB?AF＝AC?AE；(2)求證：CF∥AP．培優(yōu)特訓培優(yōu)特訓練特訓第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．如圖，已知點M是△ABC邊BC上一點，設＝，＝．(1)當＝2時，＝______；（用與表示）(2)當＝時，＝______；(3)在原圖上作出在、上的分向量．2．如圖，已知：點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點，且，BF、CD的延長線交于點G，設，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關于向量、的分向量．3．如圖，F(xiàn)為△BED的邊BD上一點，過點B作交DE的延長線于點A，過點D作交BE的延長線于點C．(1)求證：；(2)請找出，，之間的關系，并給出證明．4．已知：如圖，在中，BD平分，點E為BD延長線上一點，且．（1）求證：；（2）若點F為線段BD上一點，，，，的面積為3，求的面積．5．已知：如圖，，，，，點、分別為垂足．（1）求證：；（2）聯(lián)結，如果，求證：．6．如圖，已知正方形ABCD的對角線交于點O，點M在AB邊的延長線上，點N在BC邊的延長線上，OM交BC于點E，ON交CD于點F，且∠MON=90°，連接MN．(1)求證：EM=FN；(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．7．如圖，已知，是上一點，，交于，交于，聯(lián)結．（1）求證：；（2）設與的交點為點，如果，，求的值．8．如圖，在等腰直角中，，，過點作射線，為射線上一點，在邊上（不與、重合）且，與交于點．（1）求證：；（2）如果，求證：．9．如圖，已知：正方形ABCD中，一個以點A為頂點的∠EAF＝45°繞著點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，聯(lián)結EF．(1)如圖1，若∠EAF被對角線AC平分時，求證：CE＝CF．(2)如圖2，求證：CE?CF＝2AB2．10．如圖，在中，，，，點是射線上的一個動點，過點作，垂足為點，延長交射線于點，設，．(1)如圖1，當點是線段的中點時，求的值；(2)如圖2，當點在的延長線上，求關于的函數(shù)解析式及其定義域；(3)當時，求的面積．11．如圖，在中，，，，平分交于點．點、分別在線段、上，且，聯(lián)結，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)求的長；(2)當平行四邊形是矩形時，求的長；(3)過點作平行于的直線，分別交、、于點、、．當時，求的長．12．已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個動點，交邊于點（點與點、都不重合），是射線上一點，且，設、兩點的距離為，的面積為．(1)求證：；(2)求關于的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域；(3)當與相似時，求的面積．13．閱讀材料，解決下列問題：(1)特例感知：如圖（一），已知邊長為的等邊的重心為點，求與的面積．(2)性質探究：如圖（二），已知的重心為點，請判斷、是否都為常數(shù)？如果是，分別求出這兩個常數(shù)；如果不是，請說明理由．(3)性質應用：如圖（三），在正方形中，點是的中點，連接交對角線于點．①若正方形的邊長為10，求的長度；②若，求正方形的面積．特訓02相似三角形（解答題）基礎特訓基礎特訓練特訓第一階——基礎特訓練一、解答題1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【答案】【分析】根據(jù)x：y：z＝3：5：7設x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化簡求解即可．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴設x＝3k、y＝5k、z＝7k，∴＝＝【點睛】此題考查了比例的性質，解題的關鍵是根據(jù)比例的性質轉化成含同一字母的式子．2．已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）設代入求值即可；（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，從而可得結論．【解析】解：（1）由設∴（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得整理得，∴∴∴【點睛】此題主要考查了比例的性質，根據(jù)已知得出a=3k，b=4k，c=5k進而得出k的值是解題關鍵．3．已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點對應．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長．【答案】(1)120°(2)42【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對應角相等解決問題即可．（2）根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例，解決問題即可．（1）解：∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四邊形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．【點睛】本題考查相似多邊形的性質，解題的關鍵是掌握相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例．4．如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點A、B、C和點D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）當AD=5，CF=19時，求BE的長．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根據(jù)ADBECF可得，由此計算即可；（2）過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，得出AD=HE=GF=5，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出結果．【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，∵AB=6，BC=8，∴，故的值為；（2）如圖，過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，AF與BE交于點O，ED∥AF，交BC于點D，求BO：OE的值．【答案】2：1【分析】由E是AC的中點，ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中點，易得BO：OE=BF：FD=2：1．【解析】∵E是AC的中點，ED∥AF∴FD=DC又∵F是BC的中點∴BF=FC=2FD∴BO：OE=BF：FD=2：1．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵是找準圖中相等的比例關系．6．如圖，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．(1)AB＝3，求BC；(2)EF＝7.5，BE的長．【答案】(1)6(2)5【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算求解即可．（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算求解即可．（1）解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，∴，解得BC＝6，∴BC的長為6；（2）解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，∴，解得BE＝5，∴BE的長為5．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理．解題的關鍵在于熟練掌握平行線分線段成比例定理．7．如圖，已知兩個不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）【答案】，作圖見解析【分析】首先利用平面向量的加減運算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．【解析】解：如圖，即為所求，【點睛】此題考查了平面向量的運算法則以及作法，注意作圖時利用三角形法則是關鍵．8．如圖．四邊形ABCD是平行四邊形：點E是邊AD的中點．AC、BE相交于點O．設，．（1）試用表示；（寫出必要步驟）（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論）【答案】（1）；（2）圖見詳解，【分析】（1）首先證明，進而問題可求解；（2）分別過點O作OM∥AD，ON∥AB，然后證明，進而問題可求解．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊AD的中點，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，在、上的分向量分別為和，∵AE∥BC，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查向量的線性運算，熟練掌握向量的線性運算是解題的關鍵．9．如圖，已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊DC、AB的中點，AE、CF與對角線BD分別交于點G、H，設，（1）試用、分別表示向量；（2）作出向量分別在、方向上的分向量．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）先證明，進而利用三角形法則求得出，進而求得，根據(jù)即可求得；（2）利用平行四邊形法則，即可作出向量分別在、方向上的分向量【解析】（1）四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形同理可得，；（2）如圖，分別是在、方向上的分向量【點睛】本題考查了平面向量的知識，掌握三角形法則與平行四邊形法則的應用是解題的關鍵．10．如圖，是的中線，交于點，且．(1)直接寫出向量關于的分解式，______(2)在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論）【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線性質和重心性質可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；（2）過點G分別作AB、BC的平行線，分別交BC、AB于H、F，作向量、即可．（1）解：∵是的中線，交于點，∴BD=BC，AG=AD，∵，∴=，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，、是向量在向量和方向上的分向量．【點睛】本題考查平面向量的線性運算、三角形的中線性質、三角形的重心性質、尺規(guī)作圖-作平行線，熟練掌握向量的線性運算，會作出一個向量在給定的兩個不平行向量的方向上的分向量是解答的關鍵．11．如圖，已知在四邊形ABCD中，F(xiàn)是邊AD上一點，AF＝2DF，BF交AC于點E，又＝．(1)設＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的長．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根據(jù)三角形法則計算即可；（2）由可得AF//BC、，先證明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，從而得出△ABF∽△ECB，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出比例式求解即可．（1）解：∵，∴∵∴∴．故答案為：，（2）∵∴AF//BC、∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定、平面向量的線性運算，根據(jù)得到AF//BC、是解答本題的關鍵.12．如圖，在中，，，，．（1）求證：∽；（2）求的長度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由平行線的性質得∠ADE＝∠B，，從而可得到∽；（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，從而可得到EC的長度．【解析】（1）∵，∴，，∴∽；（2）∵∽，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理及性質定理.13．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似證明．【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，正確找到相似的條件是解題的關鍵．14．如圖，平行四邊形ABCD中，點E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，進而可證△ADF∽△DEC．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質及平行四邊形的性質.解題的關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質結合角的計算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．15．如圖，點D在△ABC的邊AB上，AC2＝AD?AB，求證：△ACD∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】由對應邊成比例，及夾角可得△ACD∽△ABC即可．【解析】證明：∵AC2＝AD?AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【點睛】本題考查相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的證明方法是解題關鍵．16．在中，D為上的一點，E為延長線上的一點，交于F．求證：【答案】見解析【分析】過D作交于G，證明和相似，和相似，列出比例式變形，比較，即可解決問題．【解析】證明：過D作交于G，則和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【點睛】本題考查了相似三角形的證明和性質的使用，熟知以上知識是解題的關鍵．17．已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）先證△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求證；（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，先證△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再證EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，在△BDE與△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．18．如圖，已知，在平行四邊形ABCD中，E為射線CB上一點，聯(lián)結DE交對角線AC于點F，∠ADE＝∠BAC．（1）求證：CF?CA＝CB?CE；（2）如果AC＝DE，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形性質，得到∠ADE＝∠E．結合已知找到∠BAC＝∠E．即可證明△ACB∽△ECF．從而得到結論．（2）先證明△ADF∽△CEF．利用對應邊成比例，結合已知AC＝DE和（1）的結論，即可證明AB＝BC，從而得到結論．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠ECF．∴△ACB∽△ECF．∴．∴CF?CA＝CB?CE（2）由（1）知∠ADE＝∠E．∵∠ADF＝∠CFE．∴△ADF∽△CEF．∴．∴．∵AC＝DE．∴EF＝CF．∵△ACB∽△ECF．∴AB＝BC∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形性質和菱形的判定等知識，關鍵在于熟悉各個知識點在本題中運用．19．如圖，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，點E為邊DC的中點，BE交AC于點F．求：(1)AF：FC的值；(2)EF：BF的值．【答案】(1)3:2(2)1:4【分析】（1）延長BE交直線AD于H，根據(jù)ADBC，可得△DEH∽△CEB，＝，進而由AHBC，可得△AHF∽△CFB，即可求得AF：FC的值；（2）由△DEH∽△CEB，可得BE＝EH＝BH，由△AHF∽△CFB，可得FH：BF＝AF：FC＝3：2；設BF＝2a，則FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，根據(jù)EF＝FH﹣EH＝a，，進而即可求得EF：BF的值(1)延長BE交直線AD于H，如圖，∵ADBC，∴△DEH∽△CEB，∴＝，∵點E為邊DC的中點，∴DE＝CE，∴DH＝BC，而BC＝2AD，∴AH＝3AD，∵AHBC，∴△AHF∽△CBF，∴AF：FC＝AH：BC＝3：2；(2)∵△DEH∽△CEB，∴EH：BE＝DE：CE＝1：1，∴BE＝EH＝BH，∵△AHF∽△CFB，∴FH：BF＝AF：FC＝3：2；設BF＝2a，則FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，EH＝a，∴EF＝FH﹣EH＝3a﹣a＝a，∴EF：BF＝a：2a＝1：4．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．20．如圖，在等腰中，，點是邊上的中點，過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，交于點．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用已知條件證明即可；（2）通過證明得出，再根據(jù)，得出結論．(1)證明：，，，，，，，；(2)證明，點是邊上的中點，，，，，，，，，，，，，即．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質以及直角三角形和等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理進行證明．21．已知：如圖，在四邊形中，，過點作，分別交、點、，且滿足．(1)求證：(2)求證：【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)DFBC，得，由AB?AF=DF?BC，得，∠AFE=∠DFA，可證△AEF∽△DAF，即可得答案；（2）根據(jù)ABCD，得，由，得，再證四邊形DFBC是平行四邊形，得，最后根據(jù)DFBC，即可得答案．(1)解：∵DFBC，∴，∴，∵AB?AF=DF?BC，∴，∴，∵∠AFE=∠DFA，∴△AEF∽△DAF，∴∠AEF=∠DAF；(2)∵ABCD，∴，∴，∵，∴，∴，∵DFBC，ABCD，∴四邊形DFBC是平行四邊形，∴DF=BC，∴，∵DFBC，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質，做題的關鍵是相似三角形性質的靈活運用．22．已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結合已知條件即可求解．【解析】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．23．如圖，已知的頂點在的邊上，與相交于點，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)，，證明，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可證明；（2）首先由，得到，然后進一步證明，根據(jù)相似三角形對應邊成比例和對應角相等得到，，然后根據(jù)兩角對應相等證明，得到，然后根據(jù)線段之間的轉化即可證明出．【解析】證明：（1），，，，，（2），，，，，，，，，，，．【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質和判定方法．相似三角形性質：相似三角形對應邊成比例，對應角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對應相等的兩個三角形相似；②兩組邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三組邊對應成比例的兩個三角形相似．24．已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC．過點B作AD的垂線，垂足為E．過點C作AD的垂線交AD的延長線于F．聯(lián)結CE交FB的延長線于點P，聯(lián)結AP．(1)求證：AB?AF＝AC?AE；(2)求證：CF∥AP．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由是的角平分線，過點、分別作的垂線，可得，，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，可得，即可證明；（2）由（1）有，利用，，證明出，得，證明出，，通過等量代換得，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求證．（1）解：證明：平分，，又，，，，，；（2）解：證明：由（1）有，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，角平分線、以及平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用，注意仔細識圖．培優(yōu)特訓培優(yōu)特訓練特訓第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．如圖，已知點M是△ABC邊BC上一點，設＝，＝．(1)當＝2時，＝______；（用與表示）(2)當＝時，＝______；(3)在原圖上作出在、上的分向量．【答案】(1)(2)(3)作圖見解析；分向量分別為，【分析】（1）根據(jù)三角形法則＝，只要求出即可；（2）由題意可得=，推出BM：BC＝3：7，即可解決問題；（3）根據(jù)平行四邊形法則即可解決問題；(1)∵＝，BM：CM＝2，∴＝，∴＝．故答案為：．(2)∵＝，∴＝＝，∴BM：BC＝3：7，∴BM：MC＝3：4，故答案為：．(3)如圖所示，作平行四邊形AEMF：在、上的分向量分別為，．【點睛】本題考查平面向量、三角形法則等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．2．如圖，已知：點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊CD、AD上的點，且，BF、CD的延長線交于點G，設，．（1）用向量、表示向量、；（2）求作關于向量、的分向量．【答案】（1），；（2）作圖見解析．【分析】（1），可求得，則有，再根據(jù)，得，則，據(jù)此求解即可（2）過點作交于點，則有，即點為所求．【解析】解：（1）∵，∴∴，∴∴∵∴∴（2）過點作交于點，則有：，∴點為所求．【點睛】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質，熟悉想性質，特別是向量額的運算是解題的關鍵．3．如圖，F(xiàn)為△BED的邊BD上一點，過點B作交DE的延長線于點A，過點D作交BE的延長線于點C．(1)求證：；(2)請找出，，之間的關系，并給出證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由平行線分線段成比例可得，．即可得出，即證明；（2）分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K．由（1）同理可得，變形為，即．（1）證明：∵AB∥EF∴．∵CD∥EF∴，∴，∴；（2）關系式為：，證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K．由（1）同理可得：∴即．又∵，，∴．【點睛】本題考查平行線分線段成比例．正確的作出輔助線是解題關鍵．4．已知：如圖，在中，BD平分，點E為BD延長線上一點，且．（1）求證：；（2）若點F為線段BD上一點，，，，的面積為3，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）9【分析】（1）先證明，再證明，從而可得答案；（2）先證明，利用相似三角形的性質求解，可得，從而可得答案.【解析】解：（1）∵BD平分，∴，即．又∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，又∵（BD是平分線），∴，∴，∵，∴，則，即，∴，∴．∴．即的面積是9．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定方法與性質的運用是解題的關鍵.5．已知：如圖，，，，，點、分別為垂足．（1）求證：；（2）聯(lián)結，如果，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）先證明再證明可得從而可得結論；（2）如圖，連接證明都是等腰直角三角形，可得再證明可得證明再證明利用相似三角形的性質可得答案.【解析】證明（1），,（2）如圖，連接都是等腰直角三角形，,【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，選擇合適的判定方法判定三角形相似是解題的關鍵.6．如圖，已知正方形ABCD的對角線交于點O，點M在AB邊的延長線上，點N在BC邊的延長線上，OM交BC于點E，ON交CD于點F，且∠MON=90°，連接MN．(1)求證：EM=FN；(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證△BOM≌△CON和△OBE≌△OFC即可得；（2）作OG⊥AB，由正方形的邊長為4且E為OM的中點知OG=GA=GB=2、GM=4，再根據(jù)勾股定理得OM=2，由直角三角形性質知MN=OM．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OC，∠OCB=∠OBA=∠OCD=45°，∴∠OBM=∠OCN=135°，∵∠MON=90°，∠BOC=90°，∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM=ON，∠BOE=∠COF，在△OBE與△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴OE=OF，∴OM-OE=ON-OF，即EM=FN；（2）解：如圖，過點O作OG⊥AB于點G，∵正方形的邊長為4，∴OG=GA=GB=2，∵BE∥OG，∴，∵E為OM的中點，即EM=EO，∴BM=BG=2，∴GM=4，則OM==2，∴MN=OM=2．【點睛】本題主要考查正方形的性質，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對角線平分一組對角及全等三角形的判定與性質．7．如圖，已知，是上一點，，交于，交于，聯(lián)結．（1）求證：；（2）設與的交點為點，如果，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進而可得，，由AM=AN，將比例式變形可得，由公共角進而可得，進而可得，即可判斷；（2）根據(jù)可得，進而可得，根據(jù)AM=AN，可得，進而由得，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求得的值．【解析】解：（1）∵，∴，，∴，，∵AM=AN，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示：由（1）得，，∴，∴，AM=AN，∵，∴，∴【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的判，解題的關鍵是掌握這些知識點．8．如圖，在等腰直角中，，，過點作射線，為射線上一點，在邊上（不與、重合）且，與交于點．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先利用兩角對應相等，證明△ACD∽△ABE，進而證明△ADE∽△ACB；（2）首先證明∠CDE=∠CED=∠BAE，再證明AE平分∠BAE，進而得∠EAC=∠DEC，從而證明，即可得到結論．【解析】（1）證明：由題意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，∴∠CAD=∠BAE；∵CP∥AB，∴∠ACD=∠CAB=45°．∴△ACD∽△ABE，∴，即，又∵∠DAE=∠CAB=45°，∴△ADE∽△ACB．（2）解：∵CE=CD∴∠CED=∠CDE．∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，∴∠CED=∠BAE，∴∠CDE=∠CED=∠BAE，∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B=180°，∴∠DCE=180°-∠B=135°，∴∠CDE=∠CED=∠BAE=（180°-∠DCE）=22.5°，∴∠BAE=∠CAB，即AE為角平分線．∴∠CAE=∠CEO又∠ACE=∠ECO=90°∴∴，即∵∴【點睛】本題考查了等腰直角三角形、平行線、角平分線、相似三角形等幾何知識點．本題著重考查幾何基礎知識，難度不大．9．如圖，已知：正方形ABCD中，一個以點A為頂點的∠EAF＝45°繞著點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，聯(lián)結EF．(1)如圖1，若∠EAF被對角線AC平分時，求證：CE＝CF．(2)如圖2，求證：CE?CF＝2AB2．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用對頂角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠EAC＝∠FAC，從而證明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性質即可解答；（2）根據(jù)正方形的性質可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠AEC＝∠FAC，然后再利用（1）的結論可證明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性質即可解答．（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，∵∠BCF＝∠DCE，∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，∴∠ACF＝∠ACE，∴AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF（ASA），∴CE＝CF；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∵∠EAF＝45°，∴∠FAC＋∠EAC＝45°，∵∠ACB是△ACE的一個外角，∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠AEC＝∠FAC，由（1）得：∠ACF＝∠ACE，∴△ECA∽△ACF，∴＝，∴AC2＝CE?CF，∴（AB）2＝CE?CF，∴CE?CF＝2AB2．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，，點是射線上的一個動點，過點作，垂足為點，延長交射線于點，設，．(1)如圖1，當點是線段的中點時，求的值；(2)如圖2，當點在的延長線上，求關于的函數(shù)解析式及其定義域；(3)當時，求的面積．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）過點A作于H，證明，求出，再求出，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可；（2）過點作，交于點，證明，由相似三角形的性質得到，據(jù)此解題；（3）①當點D在BC延長線上時，過點A作于點H，證明，求出，則，得到，再由三角形面積公式解題；②當點D在BC上時，過點A作于H，過點C作交AD的延長線于M，證明，求出，再證明，得到，然后證明，求出，則，得到即可解題．（1）解：在中，，，，∴過點作，垂足為，∴在與中，∴，∴∵，，，∴∴，，∵是線段的中點，∴，∴，在中，（2）解：∵，∴∵，∴，∴，∴∵，∴，如圖，過點作，交于點，∵，，∵，，，，∴，∴在與中，，∴∴，∴，∴（3）情況一：當點在的延長線上時，可證∴，∴．∵，，∴∴，∵，∴∴，即∴情況二：當點在的邊上時，可證∴，∴∵，，∴，∴類似的，如圖，過點作交的延長線于點，可求得，∴，∴，∴，∴【點睛】本題考查三角形綜合題，涉及直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)定義、分類討論等知識，綜合性較強，有難度，掌握相關知識是解題關鍵．11．如圖，在中，，，，平分交于點．點、分別在線段、上，且，聯(lián)結，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)求的長；(2)當平行四邊形是矩形時，求的長；(3)過點作平行于的直線，分別交、、于點、、．當時，求的長．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）由，平分，可知，利用等角對等邊，可知AD=BD，證，利用相似三角形的性質