滬教版暑假新九年級數(shù)學(xué)考點講與練第02講相似三角形的判定與性質(zhì)(考點講與練)(原卷版+解析)

第02講相似三角形的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一：相似三角形判定定理11、相似三角形的定義如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，且它們各有的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形．如圖，是的中位線，那么在與中，，，；．由相似三角形的定義，可知這兩個三角形相似．用符號來表示，記作，其中點與點、點與點、點與點分別是對應(yīng)頂點；符號“”讀作“相似于”．用符號表示兩個相似三角形時，通常把對應(yīng)頂點的字母分別寫在三角形記號“”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義，可以得出：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個三角形的相似比（或相似系數(shù)）．（2）如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似．2、相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點，則．3、相似三角形判定定理1如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：二：相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．三：相似三角形判定定理3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．四：直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．五：相似三角形的判定綜合1、相似三角形判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．2、相似三角形判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．六：相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．七：相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比．八：相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【考點剖析】【考點1】相似三角形的判定例題1（閔行2020期末4）如圖，在正三角形中，分別在，上，且，，則有（）A.;B.;C.;D.例題2（普陀2020一模14）如圖，在△與△中，，要使△與△相似，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需填一個條件）例題3（嘉定區(qū)2019期中14）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，點G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，則GH的長為．例題4(2023進才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.【考點2】相似三角形的性質(zhì)例題5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD為6，那么△A1B1C1的高A1D1長為．例題6（嘉定區(qū)2019期中9）已知△ABC∽△DEF，點A、B、C分別與點D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3△ABC的周長為30cm，那么△DEF的周長為cm．例題7(2023育才10月考16）如圖所示，，AC、BD相交于點E，若面積為3，的面積為5，則梯形的面積為____________．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AEAD=AB2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個三角形的對應(yīng)中線的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF與△ABC相似，且△DEF兩條邊的長分別為4和27，那么△DEFA．2 B．7 C．23 D．4．(2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD5．(2023秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點，AM的延長線交BC于點E，交DC的延長線于點F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對6．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BA的延長線上，聯(lián)結(jié)EC，交邊AD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．EAAB=AFBC B．EAAB=7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對角線交點O的直線與兩底分別交于點E、F，下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AEFC=OEOF B．AEDE=二．填空題（共10小題）8．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知△ABC中，點D是AC上一點，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，則AC9．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，點D在△ABC的AB邊上，當(dāng)ADAC=時，△ACD與△10．(2023春?松江區(qū)校級期中）兩個相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個三角形的周長之比為．11．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．則△DEO與△BCD的面積的比等于．12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝7，點D、E分別在邊AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，則線段DE的長為．13．(2023?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么EFEC=14．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點F在BC的延長線上，AF與BD相交于點E，與CD邊相交于點G．如果AD＝2CF，那么△DEG與△CFG的面積之比等于．15．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D、E分別是邊BC、AC上的點，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝．16．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43，BE、B1E1分別是對應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝17．(2023?普陀區(qū)二模）如圖，?ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFB：S四邊形FEDC的值為．三．解答題（共5小題）18．(2023秋?浦東新區(qū)期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別為邊AB、BC上的點，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求證：CA2＝CE?CB；（2）聯(lián)結(jié)AE，取AE的中點M，聯(lián)結(jié)CM并延長與AB交于點H，求證：CH⊥AB．19．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N．聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．20．(2023秋?金山區(qū)校級月考）已知，△ABC和△DEF中，ABDE=BCEF=21．(2023秋?文山市期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分別在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求證：△AED∽△ABC．22．(2023秋?金山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證：△ADE∽△AEB．第02講相似三角形的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一：相似三角形判定定理11、相似三角形的定義如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，且它們各有的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形．如圖，是的中位線，那么在與中，，，；．由相似三角形的定義，可知這兩個三角形相似．用符號來表示，記作，其中點與點、點與點、點與點分別是對應(yīng)頂點；符號“”讀作“相似于”．用符號表示兩個相似三角形時，通常把對應(yīng)頂點的字母分別寫在三角形記號“”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義，可以得出：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個三角形的相似比（或相似系數(shù)）．（2）如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似．2、相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點，則．3、相似三角形判定定理1如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：二：相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．三：相似三角形判定定理3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．四：直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．五：相似三角形的判定綜合1、相似三角形判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．2、相似三角形判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．六：相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．七：相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比．八：相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形的面積的比等于相似比的平方．【考點剖析】【考點1】相似三角形的判定例題1（閔行2020期末4）如圖，在正三角形中，分別在，上，且，，則有（）A.;B.;C.;D.答案:B；解析：解：由已知在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，，AE＝BE，易判斷出：△AED為一個銳角三角形，△BED為一個鈍角三角形，故A錯誤；△ABD也是一個鈍角三角形，故C也錯誤；但△BCD為一個銳角三角形，故D也錯誤；故選B．例題2（普陀2020一模14）如圖，在△與△中，，要使△與△相似，還需添加一個條件，這個條件可以是．（只需填一個條件）答案:（等）；解析：解：根據(jù)相似三角形的判定定理2，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似，可知添加的條件是；如果根據(jù)相似三角形判定定理3，則三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可添加條件.例題3（嘉定區(qū)2019期中14）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，點G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，則GH的長為．答案:；解析：解：連接BG并延長交AC于D，如圖，∵點G是△ABC的重心，∴BG＝2GD，CD＝AD=，∵HG⊥BC，∠C＝90°，∴GH∥CD，∴△BHG∽△BDC，∴，即，∴GH＝．例題4(2023進才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點D、D1分別在邊AB、A1B1上，且，那么AD的長是_________________.答案:；解析：解：如圖，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，即，解得，AD的長為.【考點2】相似三角形的性質(zhì)例題5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應(yīng)，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD為6，那么△A1B1C1的高A1D1長為．答案:4；解析：解：因為相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比，故，所以.例題6（嘉定區(qū)2019期中9）已知△ABC∽△DEF，點A、B、C分別與點D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周長為30cm，那么△DEF的周長為cm．答案:45；解析：解：∵△ABC∽△DEF，點A、B、C分別與點D、E、F對應(yīng)，如果AB：DE＝2：3，∴，∵△ABC的周長為30cm，∴△DEF的周長為：45cm.例題7(2023育才10月考16）如圖所示，，AC、BD相交于點E，若面積為3，的面積為5，則梯形的面積為____________．答案:；解析：解：∵面積為3，的面積為5，∴，又∵，AC、BD相交于點E，∴△DCE∽△BAE，，∴，又∵，∴,∴梯形的面積=，故答案為：．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共7小題）1．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結(jié)DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C．AEAD=AB分析：根據(jù)題意畫出圖形，再由相似三角形的判定定理進行解答即可．【解答】解：如圖，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故A不符合題意；B、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故B不符合題意；C、∵AE：AD＝AB：AC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故C不符合題意；D、AE：DE＝AC：BC，不能使△ADE和△ABC相似，故D符合題意．故選：D．【點評】此題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的幾種判定定理．2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個三角形的對應(yīng)中線的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：因為兩個相似三角形的周長比等于相似比，兩個相似三角形的對應(yīng)中線的比也等于相似比，所以：如果兩個相似三角形的周長比為1：4，那么這兩個三角形的對應(yīng)中線的比為1：4，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023秋?普陀區(qū)期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF與△ABC相似，且△DEF兩條邊的長分別為4和27，那么△DEFA．2 B．7 C．23 D．分析：根據(jù)勾股定理得到AB=A【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC∴AB=A∵△DEF與△ABC相似，∴ABDE∴24∴DF＝23，則△DEF第三條邊的長為23，故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點D在邊AC上（不與點A、C重合），DE與AB相交于點F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴與△BFD相似的三角形是△BDA，故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點，AM的延長線交BC于點E，交DC的延長線于點F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，從而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，則△AME∽△FDA，可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，∴△ABD∽△CDB，∵AD∥BC，∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，∴△AME∽△FDA，∴相似三角形共有6對，故選：A．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定，注意相似的傳遞性是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋?青浦區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BA的延長線上，聯(lián)結(jié)EC，交邊AD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．EAAB=AFBC B．EAAB=分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，推得AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例線段即可判斷是否符合題意．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB=AF∴A、C不符合題意；D符合題意；∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD∵AB＝CD，∴AEAB∴B不符合題意；故選：D．【點評】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代換是解題關(guān)鍵．7．(2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過對角線交點O的直線與兩底分別交于點E、F，下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．AEFC=OEOF B．AEDE=分析：根據(jù)相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，最后根據(jù)比例的性質(zhì)得出即可．【解答】解：A．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴AEFCB．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，∴AEFC=OE∴AEFC∴AEDEC．∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，∴AOCO=OE∴ADBCD．∵AD∥BC，∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，∴DEBF=DO∴ADBC∴ADDE故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)等知識點，能熟記相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）8．(2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知△ABC中，點D是AC上一點，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，則AC分析：先說明△ADB與△ABC的關(guān)系，得到ACAB與BCDB的關(guān)系，再在Rt△DBC中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出【解答】解：∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC．∴ACAB∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，tanC=BD∴ACAB故答案為：2．【點評】本題主要考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定方法和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．(2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，點D在△ABC的AB邊上，當(dāng)ADAC=ACAB時，△ACD分析：根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠A＝∠A，∴當(dāng)ADAC=ACAB時，△故答案為：ACAB【點評】本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．(2023春?松江區(qū)校級期中）兩個相似三角形的面積之比為3：4，則這兩個三角形的周長之比為3：2．分析：相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個相似三角形的面積之比為3：4，∴相似比是3：2，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為：3：2，故答案為：3：2．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．11．(2023?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點．則△DEO與△BCD的面積的比等于1：4．分析：由平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，可得O是BD中點，已知條件中有E是CD的中點，則OE是△BCD的中位線，所以O(shè)E∥BC，OE=12BC，則△DEO∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出△DEO與△【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點O，∴O是BD的中點，∵E是CD的中點，∴OE∥BC，OE=12∴OEBC∵△DEO∽△BCD，∴S△DEO∴△DEO與△BCD的面積的比等于1：4，故答案為：1：4．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)三角形中位線定理證明OE∥BC是解題的關(guān)鍵．12．(2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝7，點D、E分別在邊AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，則線段DE的長為72分析：由△AED∽△ABC，得出比例式求解即可．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴DEBC∴DE7∴DE=7故答案為：7【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(2023?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么EFEC=1分析：根據(jù)三角形的重心的概念得到EGEA=1【解答】解：∵點G是△ABC的重心，∴EGEA∵GF∥AB，∴EFEB∵AE是BC邊上的中線，∴EB＝EC，∴EFEC故答案為：13【點評】本題考查的是三角形的重心的概念、平行線分線段成比例定理，掌握重心到頂點的距離是重心到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．14．(2023春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點F在BC的延長線上，AF與BD相交于點E，與CD邊相交于點G．如果AD＝2CF，那么△DEG與△CFG的面積之比等于16：7．分析：根據(jù)△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比值相等和相似三角形面積比為相似比的平方即可解題．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△FCG，∴ADFC∴△ADG與△CFG的面積比是4：1，∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，∴ADBF令GF＝a，則AG＝2a，設(shè)AE＝x，EG＝2a﹣x，則x：（a+2a﹣x）＝2：5，∴x=67∴AE=67a，EG=∴AE：EG＝3：4，∴△DEG與△ADE的面積比是4：3，∴△DEG與△CFG的面積比是16：7．故答案為：16：7．【點評】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了相似三角形面積比為相似比的平方的性質(zhì)．關(guān)鍵在證明三角形相似．15．(2023秋?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D、E分別是邊BC、AC上的點，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝23分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，再證明∠CDE＝∠BAD，然后可判斷△CDE∽△BAD，從而利用相似比可求出CE．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠D，∴△CDE∽△BAD，∴CEBD=CD∴CE=2故答案為：23【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．靈活運用相似三角形的性質(zhì)進行幾何運算．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．16．(2023秋?浦東新區(qū)校級期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43，BE、B1E1分別是對應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝9分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)周長比等于相似比等于對應(yīng)角的角平分線的比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是43∴相似比為43∴BEB∵BE＝12，∴B1E1＝9，故答案為：9．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．17．(2023?普陀區(qū)二模）如圖，?ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFB：S四邊形FEDC的值為2：5．分析：證明AFCF=EFBF=AEBC=12，推出S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，設(shè)S△AEF＝m，則S△ABF＝2【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝DE，∴AFCF∴S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，設(shè)S△AEF＝m，則S△ABF＝2m，S△CBF＝4m，∴S△ACB＝S△ADC＝6m，∴S四邊形FEDC＝6m﹣m＝5m，∴S△AFB：S四邊形FEDC＝2：5；故答案為：2：5．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共5小題）18．(2023秋?浦東新區(qū)期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別為邊AB、BC上的點，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求證：CA2＝CE?CB；（2）聯(lián)結(jié)AE，取AE的中點M，聯(lián)結(jié)CM并延長與AB交于點H，求證：CH⊥AB．分析：（1）通過證明△DCE∽△BCD，可得DCBC（2）由直角三角形的性質(zhì)可得AM＝ME＝CM，進而可得∠MCE＝∠MEC，通過證明點A，點C，點E，點D四點共圓，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DCBC∴CD2＝CE?CB，∴CA2＝CE?CB；（2）如圖，∵∠ACE是直角三角形，點M是AE中點，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴點A，點C，點E，點D四點共圓，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．19．(2023秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N．聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方