江蘇省泰州市2024屆高三第四次調研測試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2024屆高三第四次調研測試數學試題一、單項選擇題1.已知復數滿足（為虛數單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得，所以，所以．故選：C.3.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗拋物線方程可化為，則，故拋物線的準線方程為.故選：A4.的展開式中的系數是（）A. B. C.5 D.15〖答案〗B〖解析〗展開式的通項公式為，故的系數為，的系數為，故展開式中系數為.故選：B.5.在平行四邊形中，若則的最小值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由可得，因，故時，，即的最小值為.故選：B．6.在平面直角坐標系中，已知直線．若直線與兩坐標軸圍成的四邊形有外接圓，則實數的值是（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗由題意易知，與坐標軸交于與因為，所以必過于是如下圖：由割線定理得，得，即第四個交點為所以．，故選：A.7.已知函數，若函數的圖象關于點對稱，則（）A.-3 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗方法一：依題意將函數的圖象向左移1個單位長度關于原點對稱，即是奇函數，因奇函數定義域關于原點對稱，而時函數無意義，故時也無意義，即，解得此時為奇函數，則解得故.故選：C．方法二：依題意恒成立，代入得化簡得，,整理得：，即(*)，依題意，此式在函數的定義域內恒成立，故須使，則得，回代(*)可得，，即，故.故選：C.8.設的內角的對邊分別為若，則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解法1：由，可得，所以，所以，又由，所以，可得，所以，可得為鈍角，為銳角，設，可得，即所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以.故選：D.解法2：由，可得，可得，則角為鈍角，為銳角，過點作，如圖所示，在直角中，可得，在直角中，可得，由，可得，即為的中點，取的中點，則，可得，可得點在以為直徑的圓上，此圓的半徑為，所以最大面積為.故選：D.二、選擇題9.甲、乙兩名籃球運動員連續(xù)10場比賽的得分如下表所示，則下列說法正確的有（）場次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A.甲的眾數大于乙的眾數B.甲的平均數大于乙的平均數C.甲的極差大于乙的極差D.甲的60百分位數大于乙的60百分位數〖答案〗ABD〖解析〗對于A，甲的眾數為20，而乙的眾數為9，故甲的眾數大于乙的眾數，A正確；對于B，因甲平均數，而乙平均數，故B正確；對于C，甲的極差為，而乙的極差為，故C錯誤；對于D，先把甲的得分按從小到大順序排列為：10，13，18，19，20，20，21，22，27，30，由知甲的60百分位數為；再把乙的得分按從小到大順序排列為：3，9，9，10，13，17，20，24，27，28，則乙的60百分位數為，故D正確.故選：ABD.10已知函數則（）A.函數的圖象關于點對稱B.將函數的圖象向左平移個單位長度后所得到的圖象關于軸對稱C.函數區(qū)間上有2個零點D.函數在區(qū)間上單調遞增〖答案〗ACD〖解析〗對于當時，而，故A正確；對于將向左平移個單位后可得，為奇函數，關于原點對稱，故B錯；對于當時，，因在上僅有2個零點，故在上也僅有2個零點，故C正確；對于當時，因在上單調遞增，故在上單調遞增，故D正確.故選：ACD．11.在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平面相切．若點在該球面上，則下列說法正確的有（）A.存在點和實數，使得B.三棱錐體積的最大值為C.若直線與平面所成的角為，則的最大值為D.若，則所有滿足條件的點形成的軌跡的長度為〖答案〗BC〖解析〗方法一：對于A，取中點，中點，連接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而為的重心，，到平面的距離為，而到平面的距離為，球與平面相離，則不存在這樣的和實數，使，A錯．對于B，到平面的距離為，球半徑，則到平面的最大距離為，，B正確．對于C，設為球的的上頂點，平面于點，與球相切且與平面共面，，，設，則有，得，，C正確．對于，過且與垂直的平面為平面，到平面的距離等于倍的到平面的距離，即，而球半徑，則平面截球的截面圓半徑，所以截面圓周長即的軌跡長度為，D錯.故選：BC．方法二：對于A，如圖：左圖中為中點，為在平面上的投影．右圖為俯視圖下看球，由于為重心，在俯視圖看來就是正三角形的中心，所以球實際上與三個側面均相切，則易得半徑．而，因此球與底面不相交，因此是錯的；對于B，有，正確；對于C，作出平面的截面如下圖：當最大時的位置如上圖所示，不難計算出，所以，那么此時，所以C正確；對于D，軌跡即過B且垂直于的平面與球的交線圓，而，此式右邊是球面上的大圓的周長，所以是不可能的，所以D錯．故選：BC．三、填空題12.一袋中有大小相同的4個球，其中3個紅球和1個黑球．從該袋中隨機取2個球，則取到2個紅球的概率是______．〖答案〗〖解析〗由題意，所求概率.故〖答案〗為：.13.已知雙曲線的左焦點為直線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的離心率為______．〖答案〗4〖解析〗方法一：可知直線過左焦點，斜率，且直線與雙曲線相交，可知，則，聯(lián)立方程，消去x可得，設，則，由可知，與聯(lián)立可得，代入可得，則，所以雙曲線的離心率；方法二：由題意可知：直線的斜率，則直線的傾斜角，可得，，因為，可知，即，整理可得，所以雙曲線的離心率；方法三：因為直線過點，將直線方程寫為參數方程，代入雙曲線可得，整理得，可知兩解為，由可知，則，即，整理可得，所以雙曲線的離心率；方法四：若以為極點、軸方向為極軸建立極坐標系，則雙曲線方程可以寫為，其中為焦點到相應準線的距離．由直線的傾斜角為可知，取可得兩點，由條件知在的延長線上，則當時為負值，可得，則，即，解得.故〖答案〗為：4.14.已知表示數，其中數列單調遞增，且為正整數．當時，記所有滿足條件的的個數為當時，______；當時，______．〖答案〗〖解析〗方法一：第一空：而單調遞增從共6個數字中選4個排序即可，第二空：．方法二：第一空相當于在中選出4個數由小到大作為至，；第二空：令，則依題意有：,這等價于從沿著網格線走到，而且每次只能向右或向上走，每一條路線對應一個，由此可知，所以.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在正四棱錐點分別在上，且．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：在正四棱錐中，取中點分別為以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．則因為所以所以因為所以，即．（2）解：設平面的一個法向量為，，取，，得又因為平面的一個法向量為所以所以二面角的余弦值為．16.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若求在區(qū)間上的極值點的個數．解：（1）當時切點為切線的斜率為所以切線方程為．（2）設則當時，有所以在上單調遞減，即在上單調遞減，因為所以且在上的圖象是不間斷的，所以在上沒有零點，所以當時在區(qū)間上的極值點的個數為0．17.在平面直角坐標系中，設橢圓的離心率為點在橢圓上，過橢圓的焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，點不在軸上，點關于軸的對稱點為求的面積的最大值.解：（1）因為點在橢圓上，且，所以又因為過橢圓的焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為所以即，代入得：，再由，可得：，解得：故橢圓的方程為.（2）設所以直線的方程為則點到直線的距離為所以三角形的面積因為點在直線上，所以由得所以因為所以當且僅當時等號成立，所以的面積的最大值為.18.假定射手甲每次射擊命中目標的概率為其中．（1）當時，若甲射擊次，命中目標的次數為．①求；②若其中求的值．（2）射擊積分規(guī)則如下：單次未命中目標得分，單次命中目標得分，若連續(xù)命中目標次，則其中第一次命中目標得1分，后一次命中目標的得分為前一次得分的2倍．記射手甲射擊4次的總得分為，若對任意有成立，求所有滿足上述條件的有序實數對．解：（1）①由題意知所以．②其中設則所以因為其中所以，所以或當時舍去，當時滿足題意，綜上所述．（2）的可能取值為．對任意，，故所求的有序實數對為．19.已知數列和滿足：.（1）設求的值；（2）設