上海市黃浦區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分．）1.若集合，，則________.〖答案〗〖解析〗由題：集合，，則.故〖答案〗為：.2.不等式的解是_____．〖答案〗〖解析〗由可得，解得，所以不等式的解是.故〖答案〗為：.3.若，則____．〖答案〗〖解析〗若，則.故〖答案〗：.4.已知，若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，即，又，所?故〖答案〗為：.5.已知，，若用、表示，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所?故〖答案〗：.6.若，則______．〖答案〗〖解析〗，又，所以原式.故〖答案〗：7.函數(shù)圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗，它的圖像是由函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為．故〖答案〗為：．8.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若其終邊過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，其終邊過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕牵?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)，的值域?yàn)?故〖答案〗為：.9.已知和，其中，若對(duì)任意的成立，則所有的的值為_(kāi)_____．〖答案〗-2、-1、1〖解析〗因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且冪函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，且越大在上增長(zhǎng)趨勢(shì)越快，所以要使對(duì)任意的成立，則，故符合題意的有-2、-1、1.故〖答案〗為：-2、-1、1.10.若復(fù)數(shù)滿足，，且（為虛數(shù)單位），則的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)=，，，即，化簡(jiǎn)得，，∴，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，符合，，∴的最小值為.故〖答案〗為：.11.在中，若，，且，則______．〖答案〗或〖解析〗由正弦定理可得：，故，所以，由余弦定理可得：，所以，可得，則，又因?yàn)?，所以可以看成是一元二次方程的兩根，所以，解得：或，故?故〖答案〗為：或.12.已知，若對(duì)任意的正整數(shù)成立，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，可得，，又，當(dāng)時(shí)，均滿足題意；當(dāng)時(shí)，均滿足題意；當(dāng)時(shí)，均滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)需，即；當(dāng)時(shí)，此時(shí)需，即；由的最小正周期，所以之后會(huì)重復(fù)前面的取值，綜上可得，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分14分，第13-14題每題3分，第15-16題每題4分．）13.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意1i是關(guān)于實(shí)系數(shù)方程，∴，即，∴，解得.故選：D．14.在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，若角和的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A.（） B.（）C.（） D.（）〖答案〗D〖解析〗是與關(guān)于軸對(duì)稱的一個(gè)角，與的終邊相同，即（），，（）.故選：D．15.已知向量、，“”是“在方向上的數(shù)量投影與在方向上的數(shù)量投影相等”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗A〖解析〗設(shè)與的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為，在方向上的數(shù)量投影，若，則成立，充分性成立；若，不能推出成立，例如，，時(shí)，成立，而不成立，所以必要性不成立，故“”是“在方向上的數(shù)量投影與在方向上的數(shù)量投影相等”的充分非必要條件.故選：A.16.已知，若存在實(shí)數(shù)，使得方程有無(wú)窮多個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解，則的表達(dá)式可以為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑢?duì)于A：令，則在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，所以當(dāng)時(shí)的解集為，故B正確；對(duì)于C：令，則在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，顯然當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故方程不可能有無(wú)窮多個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分44分．）17.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位）．（1）若為實(shí)數(shù)，求；（2）設(shè)、在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、，為原點(diǎn)，若，求．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得，所以.（2）因?yàn)?，在?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、，所以、，則、，因?yàn)?，所以，解得，所?18.某小區(qū)圍墻一角要建造一個(gè)水池和兩條小路．如圖，四邊形中，，，以為圓心、為半徑的四分之一圓及與圈成的區(qū)域?yàn)樗兀€段和為兩條小路，且所在直線與圓弧相切．已知米，設(shè)（），那么當(dāng)為多少時(shí)，才能使兩條小路長(zhǎng)之和最?。孔钚￠L(zhǎng)度是多少？解：設(shè)與圓弧的切點(diǎn)為，連接，由題設(shè)，得，于是，從而，由，得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，最小，最小長(zhǎng)度為米.19.設(shè)，．（1）當(dāng)時(shí)，求滿足的的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．解：（1）即，亦即，因?yàn)?，所以上述不等式即為，解得，故滿足的x的取值范圍是.（2）設(shè)是區(qū)間上任意給定的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，0，由，可得，即，又，，從而0，故，因此，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)增函數(shù)．20.如圖，已知為平行四邊形．（1）若，，，求及的值；（2）記平行四邊形的面積為，設(shè)，，求證：.解：（1）在平行四邊形中，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)?，將兩邊平方可得，又，所以，整理得，又，，，所以，所?21.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，．（1）若函數(shù)的最小正周期為，求證：，為奇函數(shù)；（2）設(shè)，若，函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以，故，對(duì)于任意給定的，，因?yàn)椋?，?duì)于任意給定的，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，綜上所述，函數(shù)，為奇函數(shù).（2），即，當(dāng)，，于是，當(dāng)，，于是，據(jù)此可得，當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，，當(dāng)（為正