四川省眉山市仁壽縣2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的）1.某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（

）A.24種 B.4種 C.種 D.種〖答案〗D〖解析〗由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，故共有種選擇方法.故選：D.2.已知函數(shù)在處取得極小值1，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，因為在處取得極小值1，所以有，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以是函數(shù)的極小值點，故滿足題意，于是有.故選：C3.設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.有2個極值點 B.為函數(shù)的極大值C.有1個極小值 D.為的極小值〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，由圖象可知;當時，所以，即函數(shù)在上單調遞減；當時，所以，即函數(shù)在上單調遞增；當時，所以，即函數(shù)在上單調遞減；當時，所以，即函數(shù)在上單調遞增；所以在和處取得極小值，故C，D錯誤；在處取得極大值，故B正確，所以有3個極值點，故A錯誤，故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A.在上是增函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.當時，有最小值 D.在定義域內無極值〖答案〗C〖解析〗對于ABD，因為，則，令，所以，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，故ABD錯誤；對于C，當時，根據(jù)的單調性可知，，故C正確.故選：C.5.已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，，所以，所以.故選：A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，得，因為在上單調遞減，所以在上恒成立，即，令，則，令，得，當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以的最小值為，所以，即的取值范圍為.故選：D.7.已知函數(shù)，若，使得成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，使得成立，則函數(shù)的值域包含的值域.當時，函數(shù)開口向上，對稱軸，所以在上單調遞減，且，所以；當時，，則，①若，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，即，解得；②若，則，在上單調遞增，此時值域為，符合題意.③當時，的值域為，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，令，所以，所以在上單調遞增，又，所以，所以，所以，令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即的最大值為.故選：A.二、多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題意要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有錯選或不選得0分）9.下列表述中正確的是（）A.若不存在，則曲線在點處沒有切線B.C.已知函數(shù)，則D.若，則〖答案〗BD〖解析〗取，則，在處導數(shù)不存在，但在處的切線方程為，故A錯誤；由基本初等函數(shù)的求導公式可得，故B正確；因為，則，故C錯誤；因為，則，令，則，即，故D正確；故選：BD10.已知函數(shù)的導函數(shù)為，對任意的正數(shù)，都滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設，則，所以在上單調遞增，由得故A選項錯誤；由得，故B選項正確；設，則，所以在上單調遞減，由得，故C選項正確；由得，故D選項正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.當時，在定義域上恒成立B.若經(jīng)過原點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，則C.若函數(shù)在區(qū)間單調遞減時，則的取值范圍為D.若函數(shù)有兩個極值點為，則的取值范圍為〖答案〗AC〖解析〗對于A，當

，

，

，當

時，，故

在上單調遞增，當

時，，故

在上單調遞減，則

，故A

正確；對于B，因為

，其中

，則

，所以

，

，故

的圖象在點

處的切線方程為

，將代入切線方程可得

，解得

，故B

錯誤；對于C，

，則

，因為

在區(qū)間

上單調遞減，故

，

恒成立，可得

，令

，其中

，則

，當

時，

，故

在單調遞減，當

時，

，故函數(shù)

在單調遞增，因為

，

，，則

，故

，故實數(shù)

的取值范圍是

，故

C

正確對于D，因為

，由題意可知，方程

在

上有兩個不等的實根，即方程

在

上有兩個不等的實根，則

，可得

，故D

錯誤，故選：AC．三、填空題（本題共3個小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗因，所以，令，得；令，得；故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以．故〖答案〗為：.13如圖，現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域不同色，共有______種不同涂色方法；（用數(shù)字作答）〖答案〗144〖解析〗如圖，區(qū)域1有4種選法，區(qū)域2有3種選法，區(qū)域3有2種選法，區(qū)域4可選剩下的一種和區(qū)域1，2所選的顏色有3種選法，區(qū)域5從區(qū)域4剩下的2種顏色中選有2種選法，共有種.故〖答案〗：144種.14.已知函數(shù)，，若直線是曲線的切線，則______；若直線與曲線交于，兩點，且，則的取值范圍是______.〖答案〗①②〖解析〗，設切點為，則，解得：；由得，設，（，且），則，當或時，，此時，遞減；當時，，此時，遞增.當時，；當時，，且當時，，，當時，.所以當時，直線與曲線有兩個交點，，且，，因為，所以，且,令，則，又，則，得，有，，設，則，，由，，在上單調遞減，則，設，則，由，有，在上單調遞減，則有，可得的取值范圍為.故〖答案〗為：；.四、解答題（本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）求的單調區(qū)間和極值.解：（1）因為，所以，則，因為函數(shù)在點處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因為，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下：30+0↘極小值↗極大值↘故的單調遞減區(qū)間為和，單調遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.16.已知函數(shù).（1）求在上的最大值；（2）若函數(shù)恰有1個零點，求的取值范圍.解：（1），可知時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，由，，；（2）當或時，，當時，，所以在和上單調遞增，在單調遞減，所以，，當時，，當時，，因為有1個零點，故或，所以或，故的取值范圍..17.已知0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字．（1）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位奇數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù)？（4）可以組成多少個無重復數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)？解：（1）分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法；由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個（2）分3步：①先選個位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；②再選百位數(shù)字有4種選法；③十位數(shù)字也有4種選法；由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個.（3）分3類：①一位數(shù)，共有6個；②兩位數(shù)，先選十位數(shù)字，有種選法；再選個位數(shù)字也有種選法，共有個；③三位數(shù)，先選百位數(shù)字，有種選法；再選十位數(shù)字也有種選法；再選個位數(shù)字，有種選法，共有個；因此，比1000小的自然數(shù)共有個．（4）分4類：①千位數(shù)字為或時，后面三個數(shù)位上可隨便選擇，此時共有個；②千位數(shù)字為，百位數(shù)字為之一時，共有個；③千位數(shù)字為，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為之一時，共有個；④也滿足條件；故所求四位數(shù)共有個.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）探究：是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為2；若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）因為函數(shù)，所以定義域為：.，當時，，則在區(qū)間上單調遞增；當時，，即，，所以方程有兩個實數(shù)根，.①當時，，，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；②當時，，，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；綜上所述：當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；（2）因為，則，所以的定義域為.，令，則.若時，在區(qū)間單調遞增，沒有最小值，不符合題意，舍去；若時，在區(qū)間單調遞減，區(qū)間單調遞增，此時最小值為，則，不在范圍內，舍去；若時，在區(qū)間單調遞減，此時最小值為，則；所以，存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為2.19.已知函數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)．（1）若此函數(shù)的圖象與直線交于點P，求該曲線在點P處的切線方程；（2）判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù)；（3）當時，，求實數(shù)a的取值范圍．解