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文檔簡介
高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題(本題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題意要求的)1.某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光,則不同的選擇方案是(
)A.24種 B.4種 C.種 D.種〖答案〗D〖解析〗由題意知每位同學都有3種選擇,可分4步完成,每步由一位同學選擇,故共有種選擇方法.故選:D.2.已知函數(shù)在處取得極小值1,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由,因為在處取得極小值1,所以有,當時,單調遞增,當時,單調遞減,所以是函數(shù)的極小值點,故滿足題意,于是有.故選:C3.設函數(shù)在R上可導,其導函數(shù)為,且函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結論中一定成立的是()A.有2個極值點 B.為函數(shù)的極大值C.有1個極小值 D.為的極小值〖答案〗B〖解析〗函數(shù),由圖象可知;當時,所以,即函數(shù)在上單調遞減;當時,所以,即函數(shù)在上單調遞增;當時,所以,即函數(shù)在上單調遞減;當時,所以,即函數(shù)在上單調遞增;所以在和處取得極小值,故C,D錯誤;在處取得極大值,故B正確,所以有3個極值點,故A錯誤,故選:B.4.已知函數(shù),則()A.在上是增函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.當時,有最小值 D.在定義域內無極值〖答案〗C〖解析〗對于ABD,因為,則,令,所以,當時,,當時,,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以在處取得極小值,故ABD錯誤;對于C,當時,根據(jù)的單調性可知,,故C正確.故選:C.5.已知,且.若在處的切線與直線垂直,則()A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗依題意,,則,,所以,所以.故選:A6.若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意,得,因為在上單調遞減,所以在上恒成立,即,令,則,令,得,當時,單調遞減;當時,單調遞增.所以的最小值為,所以,即的取值范圍為.故選:D.7.已知函數(shù),若,使得成立,則的取值范圍為()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由,使得成立,則函數(shù)的值域包含的值域.當時,函數(shù)開口向上,對稱軸,所以在上單調遞減,且,所以;當時,,則,①若,當時,當時,所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以,即,所以,即,解得;②若,則,在上單調遞增,此時值域為,符合題意.③當時,的值域為,不符合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.故選:B.8.已知實數(shù)x,y滿足,則的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,所以,令,所以,所以在上單調遞增,又,所以,所以,所以,令,所以,令,解得,令,解得,所以在上單調遞增,在上單調遞減,所以,即的最大值為.故選:A.二、多選題(本題共3個小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題意要求.全部選對的得6分,部分選對的得3分,有錯選或不選得0分)9.下列表述中正確的是()A.若不存在,則曲線在點處沒有切線B.C.已知函數(shù),則D.若,則〖答案〗BD〖解析〗取,則,在處導數(shù)不存在,但在處的切線方程為,故A錯誤;由基本初等函數(shù)的求導公式可得,故B正確;因為,則,故C錯誤;因為,則,令,則,即,故D正確;故選:BD10.已知函數(shù)的導函數(shù)為,對任意的正數(shù),都滿足,則下列結論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設,則,所以在上單調遞增,由得故A選項錯誤;由得,故B選項正確;設,則,所以在上單調遞減,由得,故C選項正確;由得,故D選項正確.故選:BCD.11.已知函數(shù),,則下列說法正確的是()A.當時,在定義域上恒成立B.若經(jīng)過原點的直線與函數(shù)的圖像相切于點,則C.若函數(shù)在區(qū)間單調遞減時,則的取值范圍為D.若函數(shù)有兩個極值點為,則的取值范圍為〖答案〗AC〖解析〗對于A,當
,
,
,當
時,,故
在上單調遞增,當
時,,故
在上單調遞減,則
,故A
正確;對于B,因為
,其中
,則
,所以
,
,故
的圖象在點
處的切線方程為
,將代入切線方程可得
,解得
,故B
錯誤;對于C,
,則
,因為
在區(qū)間
上單調遞減,故
,
恒成立,可得
,令
,其中
,則
,當
時,
,故
在單調遞減,當
時,
,故函數(shù)
在單調遞增,因為
,
,,則
,故
,故實數(shù)
的取值范圍是
,故
C
正確對于D,因為
,由題意可知,方程
在
上有兩個不等的實根,即方程
在
上有兩個不等的實根,則
,可得
,故D
錯誤,故選:AC.三、填空題(本題共3個小題,每小題5分,共15分.)12.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗因,所以,令,得;令,得;故函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,所以.故〖答案〗為:.13如圖,現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色,要求任意兩個相鄰區(qū)域不同色,共有______種不同涂色方法;(用數(shù)字作答)〖答案〗144〖解析〗如圖,區(qū)域1有4種選法,區(qū)域2有3種選法,區(qū)域3有2種選法,區(qū)域4可選剩下的一種和區(qū)域1,2所選的顏色有3種選法,區(qū)域5從區(qū)域4剩下的2種顏色中選有2種選法,共有種.故〖答案〗:144種.14.已知函數(shù),,若直線是曲線的切線,則______;若直線與曲線交于,兩點,且,則的取值范圍是______.〖答案〗①②〖解析〗,設切點為,則,解得:;由得,設,(,且),則,當或時,,此時,遞減;當時,,此時,遞增.當時,;當時,,且當時,,,當時,.所以當時,直線與曲線有兩個交點,,且,,因為,所以,且,令,則,又,則,得,有,,設,則,,由,,在上單調遞減,則,設,則,由,有,在上單調遞減,則有,可得的取值范圍為.故〖答案〗為:;.四、解答題(本題共5個小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.(1)求的值;(2)求的單調區(qū)間和極值.解:(1)因為,所以,則,因為函數(shù)在點處的切線與直線垂直,故,解得;(2)因為,所以,令,解得或,令得或,令得,列表如下:30+0↘極小值↗極大值↘故的單調遞減區(qū)間為和,單調遞增區(qū)間為,的極大值為,極小值為.16.已知函數(shù).(1)求在上的最大值;(2)若函數(shù)恰有1個零點,求的取值范圍.解:(1),可知時,,單調遞增,時,,單調遞減,時,,單調遞增,所以,由,,;(2)當或時,,當時,,所以在和上單調遞增,在單調遞減,所以,,當時,,當時,,因為有1個零點,故或,所以或,故的取值范圍..17.已知0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字.(1)可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)?(2)可以組成多少個無重復數(shù)字的三位奇數(shù)?(3)可以組成多少個無重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù)?(4)可以組成多少個無重復數(shù)字的大于3000且小于5421的四位數(shù)?解:(1)分3步:①先選百位數(shù)字有5種選法;②十位數(shù)字有5種選法;③個位數(shù)字有4種選法;由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個(2)分3步:①先選個位數(shù)字,由于組成的三位數(shù)是奇數(shù),因此有3種選法;②再選百位數(shù)字有4種選法;③十位數(shù)字也有4種選法;由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有個.(3)分3類:①一位數(shù),共有6個;②兩位數(shù),先選十位數(shù)字,有種選法;再選個位數(shù)字也有種選法,共有個;③三位數(shù),先選百位數(shù)字,有種選法;再選十位數(shù)字也有種選法;再選個位數(shù)字,有種選法,共有個;因此,比1000小的自然數(shù)共有個.(4)分4類:①千位數(shù)字為或時,后面三個數(shù)位上可隨便選擇,此時共有個;②千位數(shù)字為,百位數(shù)字為之一時,共有個;③千位數(shù)字為,百位數(shù)字是,十位數(shù)字為之一時,共有個;④也滿足條件;故所求四位數(shù)共有個.18.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性;(2)探究:是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為2;若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.解:(1)因為函數(shù),所以定義域為:.,當時,,則在區(qū)間上單調遞增;當時,,即,,所以方程有兩個實數(shù)根,.①當時,,,所以在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增;②當時,,,所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減;綜上所述:當時,在區(qū)間上單調遞增;當時,在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減;當時,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增;(2)因為,則,所以的定義域為.,令,則.若時,在區(qū)間單調遞增,沒有最小值,不符合題意,舍去;若時,在區(qū)間單調遞減,區(qū)間單調遞增,此時最小值為,則,不在范圍內,舍去;若時,在區(qū)間單調遞減,此時最小值為,則;所以,存在實數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為2.19.已知函數(shù),e為自然對數(shù)底數(shù).(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點P,求該曲線在點P處的切線方程;(2)判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù);(3)當時,,求實數(shù)a的取值范圍.解
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