八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理期末復(fù)習(xí)

勾股定理期末復(fù)習(xí)

［教學(xué)目標(biāo)］

會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

［教學(xué)重點(diǎn)］

1.重視勾股定理的表達(dá)式的幾何意義：以兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以

斜邊為邊長(zhǎng)的正

方形面積.

2.借助實(shí)際問(wèn)題情景，建立數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想.

3.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問(wèn)題.以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在

聯(lián)系.

［教學(xué)難點(diǎn)］

勾股定理的探索、證明及應(yīng)用；命題及原命題、逆命題；勾股定理的逆定理及應(yīng)用.

［教學(xué)內(nèi)容解析］

一、復(fù)習(xí)時(shí)要注意典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練

〈一〉方程思想進(jìn)行計(jì)算

1、已知AABC中，ZC=90°,D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，AD=5,BE=2而，求

AB的長(zhǎng).

分析：本題利用中點(diǎn)的作用，可以建立有關(guān)邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程求解.

解：設(shè)AC=b,BC=a,則在RtAACD和RtZ\BCE中，

,,AD=5BE—2y/10

?，，

i2+(1)2=25

<

(-)2+a2=40

/.I2

二(a'+/)=652,2

兩式相加，得4即a+b=52

...AB=452=2713o

2、如圖所示。已知：在正方形ABCD中，NBAC的平分線交BC于E,作EF_LAC于

F,作FG_LAB于G。

FG2

求新的值。

解：；ZXAFG為等腰直角三角形

,AG=FG

AE為/BAC的平分線，且EF_LAC于F,FG_LAB于G

AF=AB

FG=—AB

2

FG1_1

從而AB22

〈二〉構(gòu)造直角三角形

3、已知AABC中，AB=8,AC=7,BC=6,求aABC的面積。

分析：當(dāng)問(wèn)題中沒(méi)有垂直關(guān)系時(shí)，往往需要主動(dòng)構(gòu)造直角三角形，進(jìn)一步建立方程求解.

解：作CE_LAB,交AB于E,

設(shè)AE=x,則BE=8-x,由勾股定理

CE2=49-?=36-(8-x)2

解得x=4.8

CEW

所以5

因此，^ABC的面積是5

4、己知aABC中，ZB=30°,ZC=45",AB-AC=2-應(yīng)，求BC的長(zhǎng)。

解：作AD_LBC,交BC于D。

由于/B=30°,ZC=45°

因而AC=J2ADAB=2AD

又：AB-AC=2-^2

2AD-j2AD=2-y[2

：.40=1

進(jìn)一步有CD=',BD=43

BC=1+上。

5、已知：如圖，AB=AC=20,BC=32,D為BC邊上一點(diǎn)，ZDAC=90°.求BD的長(zhǎng).

解：過(guò)A作AE_LBC于E,設(shè)BD=x

則DE=16-x,CD=32-x,

在直角三角形ADE和直角三角形ACD中,

.4D2=122+(16-X)2=(32-X)2-202

解得工=7

所以BD的長(zhǎng)為7.

〈三〉勾股定理與變換

在圖形變換中經(jīng)常需要借助勾股定理解決問(wèn)題，而利用圖形變換也能揭示勾股定理的產(chǎn)

生過(guò)程.

6、(2004年荊州中考)一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一

種證明方法。如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到月的位置，連結(jié)CC,設(shè)AB=a,

BC=b,AC=c,請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理。

分析：本題涉及到旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角.

證明：四邊形BCC'O'的面積

111

=++5)3+小)=(a20+2ab+b20)

另一方面，四邊形。'的面積

3CC'+SMBC+S44C

=-ab-{--ab^-AC2

222

聯(lián)立，得AC2=a2+b\

即ACt=ABi+BC2

7、AABC中，CD是AB邊上的中線，AC=8,BC=6,CD=5,判斷AABC的形狀。

分析：本題考慮到CD是中線，所以倍長(zhǎng)中線，相當(dāng)于作一個(gè)中心對(duì)稱.

解：延長(zhǎng)CD至E,使得CD=DE.連接BE.

由于四邊形ACBE的對(duì)角線互相平分，因而它是一個(gè)平行四邊形.

BE=AC=8CD=DE=5

貝BC=6,BE=8,CE=10

從而三角形CBE是一個(gè)直角三角形，因而平行四邊形ACBE是矩形.

二ZACB=90°.

所以AABC是直角三角形.

〈四〉面積法與代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題

面積法：利用垂直關(guān)系去分析圖形面積之間的關(guān)系，是平面幾何的一個(gè)重要方法.

&y+（&）2=i

8、設(shè)瓦，%,也表示三角形的三條高，如果&&，那么這個(gè)三角形是

什么三角形？

解：設(shè)三角形對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a,b,c.

—ah,=—bh2=—ch,=

由三角形的面積222

/.三角形是一個(gè)直角三角形。

9、證明：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。

證明：假設(shè)直角三角形ABC,ZC=90°,對(duì)應(yīng)三邊長(zhǎng)為a,b,c,斜邊上的高為h.

ab=chc2=a2+

...（0+&）2-（0+32

=C?+勿力—一說(shuō)一廳

=a2+2ab+h2-a2-2ab-^

步

>0

/.c+h>a+b

二、體會(huì)勾股定理的意義，學(xué)會(huì)代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題:

勾股定理提供了一種利用代數(shù)方法證明幾何問(wèn)題的思想。

10、如圖4ABC中，ZC=90°,M是CB的中點(diǎn)，MD1AB于D,請(qǐng)說(shuō)明三條線段

AD、BD、AC總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。

證明：設(shè)MC=MB=x,

：DM±AB

X2-54=地）2A

連接AM,ZC=90°

：.^+AC2=AM2,AD2+MD2=AM2

因此X2+/C2=<Z）2+MZ>2

=ADi+xi-BDi

AC2+8^=AD

AF=-AD

11、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB中點(diǎn),4,求證:CE1EFa

AE=-aAF=-a

證明：連接CF,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,則2,4

BE=-a

2BC=a

CS=Ta

3

DF=-a

4CD=a

CF=-a

A

vCF2=EF2+CE2

CSLCF.

12、（1）已知：如圖，CD1AB,OA>OB,

求證：①202+方斤=工斤+5(72；②工,2-屬2=工療一ED2。

(2)運(yùn)用(1)的結(jié)論可以證明下列命題：

己知：如圖，設(shè)M是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，1于G,陽(yáng)，BC于K,他尸，C4

于H,BD=BE,CE=CF,求證：AD=AF。

(1)證明：*.*CDXAB

^C2+BD3=O42+OC1+OB1+01)2

=+。02)+(。產(chǎn)+0?2)

=AD2+BC2

移項(xiàng)可得，-BC2=ADi-BDi

(2)證明：,/AB1DM

BD2+AM2=AD2+BM2

同理CE2+BM2=B￡2+CM2

AF^+CM^=CF2+AM2

三式相加，得

期+邱2+次+BM2+AF2+CM2=AEP+BM^BE^CM^+CF^AM2

又因?yàn)锽D=BE,CE=CF,

AD=AF

〈五〉圖形的割、補(bǔ)與拼圖

13、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=5應(yīng)，ZB=90°,

求四邊形ABCD的面積。

解：連接AC,可求乂4=5應(yīng)

第13題圖

_1..25

iCD=-x5x5=y^=6

:.Si^ABCtD=1&5

14、一塊四邊形的草地ABCD,其中NA=60°,ZB=ZD=90°,AB=20m,CD=10m,

求這塊草地的面積。

解：延長(zhǎng)AD、BC,交于點(diǎn)E。A

,//A=60。

AZE=300

又,//cap=503

；^JLABOD=[50>^第14題困

15、有十字形，它由五個(gè)全等的邊長(zhǎng)為1正方形組成，如圖所示，你能把它切成三塊,

拼成一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形嗎?（先計(jì)算，再拼圖）

解:先按面積計(jì)算可知矩形的較長(zhǎng)邊為而，從原圖中尋找長(zhǎng)為而的線段AC或BD,

再以此為基礎(chǔ)進(jìn)行剪切拼圖.如下圖.

第15題困I第15題困

〈六〉運(yùn)動(dòng)

16、如圖，M是RtZ\ABC斜邊AB的中點(diǎn)，P、Q分別在AC、