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文檔簡(jiǎn)介
勾股定理期末復(fù)習(xí)
[教學(xué)目標(biāo)]
會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
[教學(xué)重點(diǎn)]
1.重視勾股定理的表達(dá)式的幾何意義:以兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以
斜邊為邊長(zhǎng)的正
方形面積.
2.借助實(shí)際問(wèn)題情景,建立數(shù)學(xué)模型,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想.
3.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,用方程思想解決幾何問(wèn)題.以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在
聯(lián)系.
[教學(xué)難點(diǎn)]
勾股定理的探索、證明及應(yīng)用;命題及原命題、逆命題;勾股定理的逆定理及應(yīng)用.
[教學(xué)內(nèi)容解析]
一、復(fù)習(xí)時(shí)要注意典型數(shù)學(xué)思想、方法的訓(xùn)練
〈一〉方程思想進(jìn)行計(jì)算
1、已知AABC中,ZC=90°,D、E分別為BC、AC的中點(diǎn),AD=5,BE=2而,求
AB的長(zhǎng).
分析:本題利用中點(diǎn)的作用,可以建立有關(guān)邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系,從而建立方程求解.
解:設(shè)AC=b,BC=a,則在RtAACD和RtZ\BCE中,
,,AD=5BE—2y/10
?,,
i2+(1)2=25
<
(-)2+a2=40
/.I2
二(a'+/)=652,2
兩式相加,得4即a+b=52
...AB=452=2713o
2、如圖所示。已知:在正方形ABCD中,NBAC的平分線交BC于E,作EF_LAC于
F,作FG_LAB于G。
FG2
求新的值。
解:;ZXAFG為等腰直角三角形
,AG=FG
AE為/BAC的平分線,且EF_LAC于F,FG_LAB于G
AF=AB
FG=—AB
2
FG1_1
從而AB22
〈二〉構(gòu)造直角三角形
3、已知AABC中,AB=8,AC=7,BC=6,求aABC的面積。
分析:當(dāng)問(wèn)題中沒(méi)有垂直關(guān)系時(shí),往往需要主動(dòng)構(gòu)造直角三角形,進(jìn)一步建立方程求解.
解:作CE_LAB,交AB于E,
設(shè)AE=x,則BE=8-x,由勾股定理
CE2=49-?=36-(8-x)2
解得x=4.8
CEW
所以5
因此,^ABC的面積是5
4、己知aABC中,ZB=30°,ZC=45",AB-AC=2-應(yīng),求BC的長(zhǎng)。
解:作AD_LBC,交BC于D。
由于/B=30°,ZC=45°
因而AC=J2ADAB=2AD
又:AB-AC=2-^2
2AD-j2AD=2-y[2
:.40=1
進(jìn)一步有CD=',BD=43
BC=1+上。
5、已知:如圖,AB=AC=20,BC=32,D為BC邊上一點(diǎn),ZDAC=90°.求BD的長(zhǎng).
解:過(guò)A作AE_LBC于E,設(shè)BD=x
則DE=16-x,CD=32-x,
在直角三角形ADE和直角三角形ACD中,
.4D2=122+(16-X)2=(32-X)2-202
解得工=7
所以BD的長(zhǎng)為7.
〈三〉勾股定理與變換
在圖形變換中經(jīng)常需要借助勾股定理解決問(wèn)題,而利用圖形變換也能揭示勾股定理的產(chǎn)
生過(guò)程.
6、(2004年荊州中考)一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一
種證明方法。如圖,火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到月的位置,連結(jié)CC,設(shè)AB=a,
BC=b,AC=c,請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理。
分析:本題涉及到旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊,對(duì)應(yīng)角.
證明:四邊形BCC'O'的面積
111
=++5)3+小)=(a20+2ab+b20)
另一方面,四邊形。'的面積
3CC'+SMBC+S44C
=-ab-{--ab^-AC2
222
聯(lián)立,得AC2=a2+b\
即ACt=ABi+BC2
7、AABC中,CD是AB邊上的中線,AC=8,BC=6,CD=5,判斷AABC的形狀。
分析:本題考慮到CD是中線,所以倍長(zhǎng)中線,相當(dāng)于作一個(gè)中心對(duì)稱.
解:延長(zhǎng)CD至E,使得CD=DE.連接BE.
由于四邊形ACBE的對(duì)角線互相平分,因而它是一個(gè)平行四邊形.
BE=AC=8CD=DE=5
貝BC=6,BE=8,CE=10
從而三角形CBE是一個(gè)直角三角形,因而平行四邊形ACBE是矩形.
二ZACB=90°.
所以AABC是直角三角形.
〈四〉面積法與代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題
面積法:利用垂直關(guān)系去分析圖形面積之間的關(guān)系,是平面幾何的一個(gè)重要方法.
&y+(&)2=i
8、設(shè)瓦,%,也表示三角形的三條高,如果&&,那么這個(gè)三角形是
什么三角形?
解:設(shè)三角形對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a,b,c.
—ah,=—bh2=—ch,=
由三角形的面積222
/.三角形是一個(gè)直角三角形。
9、證明:直角三角形的斜邊與斜邊上的高的和大于兩直角邊之和。
證明:假設(shè)直角三角形ABC,ZC=90°,對(duì)應(yīng)三邊長(zhǎng)為a,b,c,斜邊上的高為h.
ab=chc2=a2+
...(0+&)2-(0+32
=C?+勿力—一說(shuō)一廳
=a2+2ab+h2-a2-2ab-^
步
>0
/.c+h>a+b
二、體會(huì)勾股定理的意義,學(xué)會(huì)代數(shù)計(jì)算證明幾何問(wèn)題:
勾股定理提供了一種利用代數(shù)方法證明幾何問(wèn)題的思想。
10、如圖4ABC中,ZC=90°,M是CB的中點(diǎn),MD1AB于D,請(qǐng)說(shuō)明三條線段
AD、BD、AC總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形。
證明:設(shè)MC=MB=x,
:DM±AB
X2-54=地)2A
連接AM,ZC=90°
:.^+AC2=AM2,AD2+MD2=AM2
因此X2+/C2=<Z)2+MZ>2
=ADi+xi-BDi
AC2+8^=AD
AF=-AD
11、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為AB中點(diǎn),4,求證:CE1EFa
AE=-aAF=-a
證明:連接CF,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,則2,4
BE=-a
2BC=a
CS=Ta
3
DF=-a
4CD=a
CF=-a
A
vCF2=EF2+CE2
CSLCF.
12、(1)已知:如圖,CD1AB,OA>OB,
求證:①202+方斤=工斤+5(72;②工,2-屬2=工療一ED2。
(2)運(yùn)用(1)的結(jié)論可以證明下列命題:
己知:如圖,設(shè)M是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn),1于G,陽(yáng),BC于K,他尸,C4
于H,BD=BE,CE=CF,求證:AD=AF。
(1)證明:*.*CDXAB
^C2+BD3=O42+OC1+OB1+01)2
=+。02)+(。產(chǎn)+0?2)
=AD2+BC2
移項(xiàng)可得,-BC2=ADi-BDi
(2)證明:,/AB1DM
BD2+AM2=AD2+BM2
同理CE2+BM2=B£2+CM2
AF^+CM^=CF2+AM2
三式相加,得
期+邱2+次+BM2+AF2+CM2=AEP+BM^BE^CM^+CF^AM2
又因?yàn)锽D=BE,CE=CF,
AD=AF
〈五〉圖形的割、補(bǔ)與拼圖
13、已知:如圖,四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,AD=5應(yīng),ZB=90°,
求四邊形ABCD的面積。
解:連接AC,可求乂4=5應(yīng)
第13題圖
_1..25
iCD=-x5x5=y^=6
:.Si^ABCtD=1&5
14、一塊四邊形的草地ABCD,其中NA=60°,ZB=ZD=90°,AB=20m,CD=10m,
求這塊草地的面積。
解:延長(zhǎng)AD、BC,交于點(diǎn)E。A
,//A=60。
AZE=300
又,//cap=503
;^JLABOD=[50>^第14題困
15、有十字形,它由五個(gè)全等的邊長(zhǎng)為1正方形組成,如圖所示,你能把它切成三塊,
拼成一個(gè)長(zhǎng)是寬的2倍的長(zhǎng)方形嗎?(先計(jì)算,再拼圖)
解:先按面積計(jì)算可知矩形的較長(zhǎng)邊為而,從原圖中尋找長(zhǎng)為而的線段AC或BD,
再以此為基礎(chǔ)進(jìn)行剪切拼圖.如下圖.
第15題困I第15題困
〈六〉運(yùn)動(dòng)
16、如圖,M是RtZ\ABC斜邊AB的中點(diǎn),P、Q分別在AC、
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