2021屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)過關(guān)學(xué)案（文理）模塊四 不等式（原卷版）

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課程

模塊四不等式

基礎(chǔ)知識(shí)打指

［高中通用版（學(xué)生版）］

目錄

第一節(jié)不等式..................................................................1

【知識(shí)一】不等關(guān)系........................................................1

【知識(shí)二】作差法......................................................2

【知識(shí)三】不等式的基本性質(zhì)................................................4

第二節(jié)一元二次不等式及其解法.................................................6

【知識(shí)四】一元二次不等式及其解法............................................6

【知識(shí)五】分式不等式的解法.................................................13

【知識(shí)六】一元二次不等式恒成立問題.........................................14

【知識(shí)七】含參數(shù)的一元二次不等式的解法.....................................16

第三節(jié)二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題................................19

【知識(shí)八】二元一次不等式（組）的概念及其表示的平面區(qū)域.....................19

【知識(shí)九】二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域.................................21

【知識(shí)十】約束條件.........................................................25

【知識(shí)十一】簡單的線性規(guī)劃.................................................28

【知識(shí)十二】生活中的線性規(guī)劃問題...........................................31

【知識(shí)十三】非線性規(guī)劃問題.................................................35

第四節(jié)基本不等式，....................................................39

【知識(shí)十四】基本不等式.....................................................39

【探索1】常見推論的證明..............................................40

【探索2】用基本不等式證明不等式........................................41

【探索三】用基本不等式比較大小.........................................43

【知識(shí)十五】用基本不等式求最值.............................................45

【探索1】用基本不等式求最值概念的理解..................................45

【探索2】基本不等式與最值..............................................46

【探究3】基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用..................................48

不等式知識(shí)全掃描

第一節(jié)不等式

【知識(shí)一】不等關(guān)系

試用不等式表示下列關(guān)系：

(1)〃大于ba>b

(2)a小于ba<b

(3)。不大于ba<b

(4)。不小于〃a>b

類型一用不等式(組)表示不等關(guān)系

【例17)某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售

量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20

萬元呢？

【反思】數(shù)學(xué)中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用數(shù)學(xué)語言表示出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系.用不等

式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)

(1)要先讀懂題，設(shè)出未知量；

⑵抓關(guān)鍵詞，找到不等關(guān)系；

(3)用不等式表示不等關(guān)系.思維要嚴(yán)密、規(guī)范.

【練習(xí)1-1］某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm

的鋼管數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？

【練習(xí)1-2】某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體

育成績z超過45分，用不等式表示就是（）

無295,x295,x>95,x295,

A.vy2380,B.,>>380,C：y>380,D?y>380,

、z>45z^45.z>45,z>45

【知識(shí)二】作差法

作差法的理論依據(jù)：a>bd~~b>0;a=bd—b=O;a<b<^i—b<Q.

【例2-1】已知a,b均為正實(shí)數(shù).試?yán)米鞑罘ū容^d+%3與否+小的大小.

【反思】比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以求出它們的差的符號(hào).作差法比較實(shí)數(shù)的大小的一般步驟是：差一恒

等變形T判斷差的符號(hào)一下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和

的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的形式.

【練習(xí)2T］己知*<1,試比較1與2f—2%的大小.

2

【練習(xí)2-2］比較(〃+3)3—5)與5+2)(4—4)的大小.

【例2-2］若04V1,。>0且試比較|loga(l—x)|與110gd(1+功的大小關(guān)系.

【反思】作商法的依據(jù)：若/?>0,則*ld<b,p=l<=^z=/?,

【練習(xí)2-3】若。>。>0,比較/戶與)歲的大小.

3

【練習(xí)2-4】若eO且。#1,A/=logfl(a+l),N=loga(J+l),則M,N的大小關(guān)系為()

A.M<NB.MWNC.M>ND.M2N

【練習(xí)2-5】設(shè)x,y,z￡R,比較Sf+J+z?與2A>，+4X+2Z—2的大小.

3

【知識(shí)三】不等式的基本性質(zhì)

不等式性質(zhì)：

(\)a>b<=4)<a(對(duì)稱性)；

(2)a>h,(傳遞性)；

(3)a>b=>a+c>b+c(可加性);

(4)〃>b,c>O=>ac>bc;a>b,c<O=^>ac<bc;

(5)a>b,c>d=>a+c>b+d;

(6)a>/?>0,c>d>O=>ac>bcl;

【例37］已知a>Z?O,c<0,求證：

【練習(xí)3-1】如果4>/?0,c>d>0,證明：ac>bd.

【練習(xí)3-2】已知小b,ceR,則下列命題正確的是（）

4

a>b111〃/?>0]1]

2=>混B.%沁以ab<^bD.a>br^b

【練習(xí)3-3】若KW5,—iw尤2,則af的取值范圍是.

【練習(xí)3-4】?？颂撬杏小颂荢>a>0）,若再添上m克糖（瓶>0）,則糖水就變甜了，試根據(jù)此事實(shí)提煉一

個(gè)不等式：當(dāng)b>a>0且加>0時(shí)，.

【思考37］已知4心。，"d<。，e<0,求證：言>之

【思考3-2］若x>0,y>0,M=］；冷，%=言;+走，則M,N的大小關(guān)系是（）

A.M=NB.M<NC.MWND.M>N

【思考3-3］有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同.已

知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：1^）分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/n?）分別

為“，b,c,且a<*c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）

5

A..ax+hy+czB.az+hy+cxC.ay+hz+cxD.ay+hx+cz

第二節(jié)一元二次不等式及其解法

【知識(shí)四】一元二次不等式及其解法

6

1.一元二次不等式的概念

①只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

②能使不等式成立的未知數(shù)x的一個(gè)值稱為不等式的一個(gè)解.

③不等式所有解的集合稱為解集.

2.“三個(gè)二次”的關(guān)系

一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表.

/=〃-4ac/>0J=0J<0

y=a）^+bx+c

（。>0）的圖象

有兩相等實(shí)根

aj^+bx+c=0有兩相異實(shí)根

沒有實(shí)數(shù)根

b

（公>0）的根X\_X2(X\<X2)

f?一仁一一2〃

ox2+/?x+c>0{或

,b

x洋—2aR

（。>0）的解集X>X?]

coC+Z?x+c<0

{^|X]<X<￥2}00

（。>0）的解集

3.解一元二次不等式的步驟：

(1)化為基本形式“W+b尤+c>0或/+尿+c<0(其中4>0);

(2)計(jì)算A=b2~4ac,以確定一元二次方程6?X2+Z?X+C=O是否有解;

(3)有根求根;

(4)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

【例4-1】求下列不等式的解集.

(1)X2+x-6>0(2)x~+7%—1>0(3)x2+2x+3>0

(4)x?+2x+3<0(5)x2+2x<0(6)%2+2<0

(7)%2-2>0(8)-2x~+5x+1820

【練習(xí)47】

(1)4?-4x+l>0(2)2X2-3X-2>0(3)』+x—2<0

(4)2X2-X-1>0(5)6X2+X-2<0(6)—JC2+2X-3>0.

(7)-3f+6x>2

8

【練習(xí)4-21一元二次方程加+云+。=0的根為2,—1,則當(dāng)a<0時(shí)，不等式of+匕x+c》。的解集為（）

A.{x|x<—1或x>2}B.{尤|xW—1或x22}C.{x|-l<x<2}D.{x|—

【練習(xí)4-3］若0<r<l,則關(guān)于x的不等式(r—x)(x—的解集是()

A.jx1<x<?\BJX|X>：或x<f(C.Jxx<|或x>f|D.Lr<x<|

x~—)丫—2

【練習(xí)4-4】不等式7+.+］<2的解集為()

A.{x|x#—2}B.RC.0D.{x|x<—2或x>2}

【練習(xí)4-5］不等式一的解集是.

X2—4x+6,x20,

【練習(xí)4-6】設(shè)函數(shù)貝x)=,則不等式的解集是()

,x+6>x<0,

A.(-3,1)U(3,+8)B.(-3,1)U(2,+°°)

C.(-1,1)U(3,+°°)D.(-°°>-3)U(1,3)

【例4-2】已知關(guān)于x的不等式f+“x+”0的解集為{x[l<x<2},試求關(guān)于x的不等式bW+or+DO的解

集.

9

【練習(xí)4-7】已知不等式a?一法+2<0的解集為{x|l4<2},求a,6的值.

【練習(xí)4-8】若不等式加+w+cNO的解集為卜昌WxW2,求關(guān)于x的不等式I—fov+a<0的解集.

【例4-3】某校園內(nèi)有一塊長為800m,寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花

卉（花卉帶的寬度相同），中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍.

10

【練習(xí)4-9】在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是

相碰了.事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的

剎車距離Sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：5H.=0.IX+0.01X2,S乙=0.05》+0.005f.問超速行駛誰應(yīng)

負(fù)主要責(zé)任.

【練習(xí)4-10】某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格4r)與時(shí)間*單位：天)的函數(shù)關(guān)系是#)=/+10(0<W30,reN)；

銷售量g⑺與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g⑺=—r+35(0<fW30,fGN),則使這種商品日銷售金額不小于500元的

/的范圍為.

11

【方法小結(jié)】1.解一元二次不等式的常見方法

(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步

W：

①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：0?2+法+00(〃>0)或+hx+c<0(a>0);

②求方程如2+桁+。=0(“>0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)ynqf+fer+c圖象的簡圖；

③由圖象得出不等式的解集.

(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.

當(dāng)時(shí)，若(X—")>0,則可得{x|x>"或x<w}:

若(X—"?)(x—〃)<0,則可得

有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間.

2.實(shí)際問題要注意變量的實(shí)際含義對(duì)變量范圍的影響，如長度應(yīng)該大于0,人數(shù)應(yīng)該為自然數(shù)等.

3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的開口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【思考4-1］已知一元二次不等式y(tǒng)u)<0的解集為卜卜一I或x>3}，則人10')>0的解集為()

A.{x|x<—1或x>-1g2}B.{x［—2}C.{x|x>—Ig2}D.{x|x<—lg2}

【思考4-2］已知於)=(x-a)(x-b)+2(a<?,且a,伙a</f)是方程兀v)=0的兩根，則a,￡,a,〃的大小關(guān)

系是()

\.a<a<p<bB.a<a<h</iC.a<a<b<pV).a<a<p<b

【思考4-3］己知x=l是不等式fc2x2-6fcv+8^0的解，則k的取值范圍是.

【思考4-4】已知集合A={x|f—*-12<0},集合?={X|X2+2X-8>0},集合C={x|x2-4ar+3?2<0,a^O),

若C2(Anfi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

12

【思考4-5］不等式》2—3卜|+2<0的解集為.

【思考4-6］解不等式|x-2|—|x-5|2f—8x+14.

【知識(shí)五】分式不等式的解法

一般的分式不等式的同解變形法則：

(1)招>。引x>g(x)>0；(2)瑞打"x)w(x)WO;

⑶gQ產(chǎn)Ug(x)紂

【例57】解下列不等式:

2x~5x+1

⑴k0;⑵2一3、1，

13

【反思】分式不等式的解法：先通過移項(xiàng)、通分整理成標(biāo)準(zhǔn)型42>0(<0)或4%0(W0),再化成整式不等式來

g(x)g(x)

解.如果能判斷出分母的正負(fù)，直接去分母即可.

【練習(xí)57］解下列不等式.

2x—12—x

⑴五鏟。；⑵布"

【知識(shí)六】一元二次不等式恒成立問題

一般地，“不等式凡琢>0在區(qū)間俗，切上恒成立”的幾何意義是函數(shù)y=/(x)在區(qū)間伍，切上的圖象全部在x

軸上方.區(qū)間［“，b］是不等式而)>0的解集的子集.

恒成立的不等式問題通常轉(zhuǎn)化為求最值問題，即：

e/⑺恒成立T:次r)max；

仁Ax)恒成立

【例67】設(shè)函數(shù)?x)=,n5—，巾―1.

(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)X,凡￥)<0恒成立，求，〃的取值范圍；

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⑵對(duì)于xG[1,3],犬x)＜一機(jī)+5恒成立，求機(jī)的取值范圍.

【練習(xí)6-1】當(dāng)不等式*+x+QO恒成立時(shí)，%的取值范圍為.

【練習(xí)6-2】當(dāng)xG(l,2)時(shí)，不等式#+蛆+4＜0恒成立，則/的取值范圍是.

【思考6-1】設(shè)函數(shù)_/(x)=,nr2—"1,對(duì)于任意，“G[1,3],4工)＜一機(jī)+5恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

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［反思J有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，通常處理方法有兩種

(1)考慮能否進(jìn)行參變量分離，若能，則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值，從而建立參變量

的不等式.

(2)若參變量不能分離，則應(yīng)構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，并結(jié)合圖象建立參變量的不等式

求解.

【知識(shí)七】含參數(shù)的一元二次不等式的解法

解含參數(shù)的一元二次不等式，仍可按以前的步驟，即第一步先處理二次項(xiàng)系數(shù)，第二步通過分解因式或

求判別式來確定一元二次方程有沒有根，第三步若有根，區(qū)分根的大小寫出解集，若無根，結(jié)合圖象確

定解集是R還是0.

在此過程中，因?yàn)閰?shù)的存在導(dǎo)致二次函數(shù)開口方向、判別式正負(fù)、兩根大小不確定時(shí)，為了確定展開

討論.

【例7-1］解關(guān)于x的不等式以2一m+i)x+i<0.

16

［反思］解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進(jìn)行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負(fù)，最后考慮兩根的

大小關(guān)系，當(dāng)遇到不確定因素時(shí)再討論.

【練習(xí)7-1］解關(guān)于x的不等式(x—a)(x—決)<0

【練習(xí)7-2】解關(guān)于x的不等式：x+(\—a)x—a<0.

【練習(xí)7-3】解關(guān)于x的不等式加—2(a+l)x+4>0.

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【方法小結(jié)】

1.解分式不等式時(shí)，一定要等價(jià)變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解.當(dāng)不等式含有等

號(hào)時(shí)，分母不為零.

2.對(duì)于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法.這是因?yàn)閷?shù)分離后，問題往往會(huì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)

問題，從而得以迅速解決.當(dāng)然，這必須以參數(shù)容易分離作為前提.分離參數(shù)時(shí)，經(jīng)常要用到以下簡單結(jié)論(1)

若./(X)有最大值7U)max,則4Mx)恒成立y?Wmax；(2)若人￥)有最小值,小院血，則4勺(X)恒成立UU勺

3.含參數(shù)的一元二次型的不等式

在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從

如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮

(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)”>0,“<0,a=0.

(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(/>0),一根(/=0),無根(/<0).

⑶關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：X\>X2,尤|=忿，X\<X2,

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第三節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

【知識(shí)八】二元一次不等式(組)的概念及其表示的平面區(qū)域

1.二元一次不等式(組)的概念

(1)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式.

(2)由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.

(3)滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x,y)稱為二元一次不等式(組)的一個(gè)解.

(4)所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x,y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集.

2.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

⑴在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ar+By+。0(或＜0)表示直線Ar+為+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組

成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界.

不等式Ar+By+60表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線.

【例87］畫出不等式x+4)，＜4表示的平面區(qū)域.

［反思1畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域''的方法.特別是當(dāng)C/0時(shí)，常把原

點(diǎn)(0,0)作為測試點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，常把(0,1)或(1,0)作為測試點(diǎn).

【練習(xí)87】畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域.

19

(1)A—2j+4^0；(2))>2x.

【練習(xí)8-2】不等式x—2y+6>0表示的平面區(qū)域在直線％—2〉+6=0的()

A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方

【例8-2］如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)用不等式表示為.

［反思］用不等式表示平面區(qū)域的步驟

(1)利用已知平面區(qū)域邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線方程.

(2)將平面區(qū)域內(nèi)的特殊點(diǎn)代入直線方程，判斷不等號(hào)的方向.

(3)結(jié)合平面區(qū)域的邊界虛實(shí)寫出相應(yīng)的不等式.

【練習(xí)8-3］將下列各圖中平面區(qū)域(陰影部分)用不等式表示出來.

【練習(xí)8-4】如圖所示的區(qū)域用不等式可表示為.

20

5/

J

t/Ox

/t

【例8-3】已知點(diǎn)(3,1)和(一4,6)在直線3》一2〉+“=0的兩側(cè)，則。的取值范圍是.

【反思】對(duì)于直線/:Ar+By+C=O兩側(cè)的點(diǎn)(凡力),(右，y2),若Ari+Byi+C>0,則4r2+B)，2+C<0,

即同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào).

【練習(xí)8-5】已知點(diǎn)(一1,2)和點(diǎn)(3,-3)在直線3x+y-a=0的兩側(cè)，則。的取值范圍是()

A.(—1,6)B.(—6,1)C.(—8,—1)u(6,+°°)D.(—8,—6)U(1,+°0)

【練習(xí)8-6】經(jīng)過點(diǎn)P(0,—1)作直線/,若直線/與連接A(l,-2),B(2,l)的線段總有公共點(diǎn)，求直線/的

斜率k的取值范圍.

【方法小結(jié)】

1.對(duì)于任意的二元一次不等式4r+8.y+O()(或<0),無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形

為正數(shù)，當(dāng)8>0時(shí)，(l)Ax+By+C>0表示直線Ar+B)，+C=0上方的區(qū)域；(2)Ar+8y+C<0表示直線Ar

+By+C=0下方的區(qū)域.

2.畫平面區(qū)域時(shí)，注意邊界線的虛實(shí)問題.

【知識(shí)九】二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域

21

1.因?yàn)橥瑐?cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)，所以可以用特殊點(diǎn)檢驗(yàn)，判斷Ax+By+C>0的解集到底對(duì)應(yīng)哪個(gè)區(qū)域.當(dāng)C/）

時(shí)，一般取原點(diǎn)（0,0）,當(dāng)C=0時(shí),常取點(diǎn)（0』）或（1,0）.

2.二元一次不等式組的解集是組成該不等式組的各不等式解集的交集.

［尤+心0,fx+5<0,

注：（x+y）（「，+l）知等價(jià)于口或一丹］或

【例97】用平面區(qū)域表示不等式組也y<—），3x+12,的解集?

［反思I在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分

即可.其步驟：①畫線；②定側(cè)；③求“交”；④表示.但要注意是否包含邊界.

【練習(xí)97】畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域.

%—2yW3,

x—y<2,

x+yW3,

(D0(2)<2x+y21,

x20,

、x+y<2.

J2。.

22

【例9-2】畫出不等式卜Jwo表示的平面區(qū)域.

（反思］（1）可以通過等價(jià)轉(zhuǎn)化把較新穎的問題化歸為老問題.

⑵不論（AIX+BD，+G）（A2X+82），+C2）大于0還是小于0,其表示的區(qū)域必為“對(duì)頂角”區(qū)域，故用特殊點(diǎn)確定

區(qū)域時(shí)只需取一點(diǎn)即可.

【練習(xí)9-2］畫出。-2卜+1）。+〉一3）忘0表示的平面區(qū)域.

【練習(xí)9-3］畫出國+|），|<1表示的平面區(qū)域.

23

【例9-3】如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是（）

y^—2,y>—2,y>一2,

A.<3x—2y+6>0,B.v3工一2>+620,C;3x—2j+6>0,D.<3x—2y+6<0,

、x<0jWO、xW0,x<0

【練習(xí)9-4］圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為（）

|x+y—120,x+y—1WO,{x+y—120,|x+y—1WO,

A.,、x—2y+2W0[x—2y+2W0D..?、

卜一2丁+220[x-2y+2^0

【思考97】已知約束條件卜+y—4W0,

表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的值為（）

、自一y<0

A.lB.-lC.OD.0或1

【反思】平面區(qū)域面積問題的解題思路

24

⑴求平面區(qū)域的面積：

①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從

而再作出平面區(qū)域；

②對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形（如平行四邊形或梯形），可利用面積

公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解，再求和即可.

（2）利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.

（x-y+120,

【練習(xí)9-5】已知不等式組卜+y-lNO,表示的平面區(qū)域?yàn)椤?，若直線），=自+1將區(qū)域。分成面積相

〔3x—y—3W0

等的兩部分，則實(shí)數(shù)％的值是.

【練習(xí)9-6】在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組卜一y+4》0,（a為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積是9,那么

[xWa

實(shí)數(shù)a的值為（）

A.3啦+2B.—3啦+2C.-5D.1

【知識(shí)十】約束條件

25

很多生產(chǎn)生活方案的設(shè)計(jì)要受到各種條件限制，這些限制就是所謂的約束條件.

像“思考”中的“用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元”稱為決策變量.要表達(dá)約束條件，

先要找到?jīng)Q策變量，然后用這些決策變量表示約束條件.

例如：一家銀行的信貸部計(jì)劃年初投入25000000元用于企業(yè)和個(gè)人貸款，希望這筆資金至少可帶來30

000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%,從個(gè)人貸款中獲益10%,假設(shè)信貸部用于企業(yè)貸款的資金

為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元.那么x和y應(yīng)滿足哪些不等關(guān)系？

【分析題意，我們可得到以下式子，這些不等式組就是約束條件】

x+y<25000000,

12x+10y>3000000,

x>0.

【例107】某人準(zhǔn)備投資1200萬興辦一所民辦中學(xué)，對(duì)教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表

格（以班級(jí)為單位）：

學(xué)段班級(jí)學(xué)生人數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)/萬元教師年薪/萬元

初中45/班2/班26/班2/人

高中40/班3/班54/班2/人

因生源和環(huán)境等因素，辦學(xué)規(guī)模以20到30個(gè)班為宜.分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述的限制條件.

26

【反思】求解不等式組在生活中的應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真分析題意，設(shè)出未知量：然后根據(jù)題中的限制條

件列出不等式組.注意隱含的條件，如鋼板塊數(shù)為自然數(shù).

【練習(xí)10-1】某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐，已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6

個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C：一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和

10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白

質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.列出滿足上述營養(yǎng)要求所需午餐和晚餐單位個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

【練習(xí)10-2］完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成.請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每

人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，滿足工人工資預(yù)算條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式為

27

【知識(shí)十一】簡單的線性規(guī)劃

28

〃x+2y<8,

4x^16,

【例117］已知x,y滿足約束條件〈4yW12,求2x+3)②的最大值.

x20,

<y20,

【反思】圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，基本步驟

⑴確定線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

(2)作圖---畫出可行域；

(3)平移---平移目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線z=ax+by,看它經(jīng)過哪個(gè)點(diǎn)(或哪些點(diǎn))時(shí)最先接觸可行域或最后離開

可行域，確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置；

(4)求值——解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

x+y23,

【練習(xí)11-1］設(shè)變量x,y滿足約束條件x—>》一1，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為()

2x~y^3,

A.6B.7C.8D.23

【練習(xí)11-2】已知K+y<5,—1金一戶3,求2x—3y的取值范圍.

29

x—y^O,

【思考117】已知x,y滿足約束條件，x+yW2,若目標(biāo)函數(shù)z=ox+y的最大值有無數(shù)個(gè)最優(yōu)解，求實(shí)

j）0,

數(shù)”的值.

［反思］當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最優(yōu)解時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的一段邊界（實(shí)線）重合，則此邊界上所有點(diǎn)均為

最優(yōu)解.

【練習(xí)11-3】給出平面可行域（如圖陰影部分所示），若使目標(biāo)函數(shù)z=or+y取最大值的最優(yōu)解有無窮多

個(gè)，則a等于（）

30

135

AqB.gC.4D.g

【思考11-2］已知G>0,x,y滿足約束條件<x+）W3,若z=2x+y的最小值為1,則。等于（）

J2Q（L3）,

A.1B.|C.lD.2

x21,

【練習(xí)11-4】已知,x—y+l2O,若z=or+y的最小值是2,則a的值為（）

.2x—y—2W0,

A.lB.2C.3D.4

【知識(shí)十二】生活中的線性規(guī)劃問題

【例12-1】營養(yǎng)專家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，

0.06kg的脂肪.1kg食物4含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg

食物8含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常

飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物4和食物B各多少kg?

將已知數(shù)據(jù)列成下表：

食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kg

40.1050.070.14

B0.1050.140.07

31

【練習(xí)12-1】某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤和托運(yùn)能力等限制數(shù)

據(jù)列在下表中，那么為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為.

體積重量利潤

貨物

（n?/箱）（50kg/箱）（百元/箱）

甲5220

乙4510

托運(yùn)限制2413

【練習(xí)12-2】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)4,B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類

產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.己知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備

乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)4類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，則所需租賃費(fèi)最少為

________元.

【練習(xí)12-3】某運(yùn)輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少180t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重為6t

的4型卡車與4輛載重為10t的8型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B

型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)A型為320元，8型為504元.請(qǐng)為公司安排一下，應(yīng)如何調(diào)配車

輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？

32

【例12-2］（整數(shù)解問題）某工廠制造甲、乙兩種家電產(chǎn)品，其中每件甲種家電需要在電器方面加工6小時(shí)，

裝配加工1小時(shí)，每件甲種家電的利潤為200元；每件乙種家電需要在外殼配件方面加工5小時(shí)，在電器

方面加工2小時(shí)，裝配加工I小時(shí)，每件乙種家電的利潤為100元.已知該工廠可用于外殼配件方面加工的

能力為每天15小時(shí)，可用于電器方面加工的能力為每天24小時(shí)，可用于裝配加工的能力為每天5小時(shí).問

該工廠每天制造兩種家電各幾件，可使獲取的利潤最大？（每天制造的家電件數(shù)為整數(shù)）

【反思】在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解（比如人數(shù)、車輛數(shù)等），而直接根據(jù)約束條件得到

的不一定是整數(shù)解，可以運(yùn)用列舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解.最優(yōu)整數(shù)解有時(shí)

并非只有一個(gè)，應(yīng)具體情況具體分析.

【練習(xí)12-4）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁

盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【練習(xí)12-5】預(yù)算用2000元購買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的

多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌子、椅子各買多少才是最好的選擇？

33

【練習(xí)12-6】某超市要將甲、乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成A,8兩種規(guī)格的小袋，每袋大米可同時(shí)

分得A,B兩種規(guī)格的小袋大米的袋數(shù)如表所示：

已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種袋裝大米的數(shù)量分別為5袋和10袋，市場急需4,8兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為

15袋和27袋.

問分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需A,B兩種規(guī)格的成品數(shù)，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的

袋數(shù)最少？（要求畫出可行域）

34

【知識(shí)十三】非線性規(guī)劃問題

2x~\~y—220,

【例13-1］已知實(shí)數(shù)x,>?滿足約束條件，x-2y+420,試求z=g1的最大值和最小值.

、3%一y—3W0.

35

卜21,

【練習(xí)13-1】實(shí)數(shù)x,y滿足卜、0,貝h=一?的取值范圍是（）

〔十一y20,

A.[-1ZO]B.(—8,0]C.[-l,+8)D.[-l,l)

2x+y—220,

【思考137】已知實(shí)數(shù)羽），滿足約束條件上一2y+420,目標(biāo)函數(shù)為2=等1,

求Z的取值范圍.

、3x—y—3W0.

f2x+y—220,

【思考13-2】已知實(shí)數(shù)羽y滿足約束條件*―2>+420,目標(biāo)函數(shù)為2=號(hào)中，求Z的取值范圍.

〔3x—y—3W0.

【反思】對(duì)于形如應(yīng)當(dāng)把的目標(biāo)函數(shù)，可變形為定點(diǎn)到可行域上的動(dòng)點(diǎn)連線斜率問題.

ax-rb

2x+y—220,

【例13-2】己知居y滿足約束條件上一2y+420,

、3x—y—3<0,

36

試求z=x2+y2的最大值和最小值.

【反思】當(dāng)兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離與可行域相結(jié)合求最值時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用.

X》11

【練習(xí)13-2］已知＜x-y+lWO,則的最小值是

、2X—)L2W0,

工一4y+3W0,

【練習(xí)13-3］變量x,y滿足約束條件卜x+5y—25W0,

(1)設(shè)z=5求Z的最小值；

(2)設(shè)z=f+y2,求z的取值范圍；

(3)設(shè)z=f+y2+6x-4y+13,求z的取值范圍.

37

【方法小結(jié)】

1.畫圖對(duì)解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，圖上操作

盡可能規(guī)范.

2.在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，應(yīng)結(jié)合可行域與目標(biāo)函數(shù)微調(diào).

3.對(duì)于非線性目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)準(zhǔn)確翻譯其幾何意義，如f+尸是點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，而非距離.

38

第四節(jié)基本不等式y(tǒng)iw號(hào)

【知識(shí)十四】基本不等式

39

【探索1】常見推論的證明

40

【例14-1】證明不等式A+木》2曲（a,Z>GR）.

【練習(xí)14-1］證明不等式（@芋）2?區(qū)~^2（“，6CR）.

【反思】作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法.

【練習(xí)14-2】已知“，b,c為任意的實(shí)數(shù)，求證：c^lr+^ab+bc+ca.

【探索2】用基本不等式證明不等式

【例14-2】已知x,y都是正數(shù).

求證：（1）9+222；

xy

(2)(x+y)(f+y2)(x3+y3)導(dǎo)8心之

【反思】利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)

(1)策喀：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最

后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

(2)注意事項(xiàng)：

①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式

時(shí)注意使用：③對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.

【練習(xí)14-3】已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),求證:(a+b)(b+c)-(c+a)^Sabc.

【練習(xí)14-4】1.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：~+^+~^a+b+c.

2.已矢口“>0,b>0,a+b=],求證:

11

十+8++>9

-茄\

力

42

【探索三】用基本不等式比較大小

【例14-3］設(shè)P^y/lga-lgb,°」g”lgb,R=］g等，則尸，。，R的大小關(guān)系是

A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.PvRvQ

【練習(xí)14-5】下列各式中，對(duì)任何實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)式子是（）

01D.x+^2

A.lg(x2+l)>lg(2x)Bf+⑻C.^1

【練習(xí)14-6］若0＜興6,則下列不等式一定成立的是（)

43

a+bi—i—a+ba+