不等式選講【2023高考】2013-2022十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國版）（解析版）

2013-2022十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題22不等式選講

一、解答題

1.(2022年全國甲卷理科.第23題)已知a,b,c均為正數(shù)，且/+/+4,2=3,證明：

(1)a+h+2c<3；

(2)若b=2c,貝+

ac

【答案】⑴見解析：⑵見解析：

解析：⑴證明：山柯西不等式有［/+從+(20)［02+12+12”(°+6+2。2,

所以a+b+2c<3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=l時，取等號，所以a+6+2c43；

(2)證明：因為力=2。，a>0,h>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

即0va+4cK3,所以--->-,

<7+4(?3

由權(quán)方和不等式知工+1=上+二2&巨=」一23，

aca4ca+4。a+4。

當(dāng)且僅當(dāng)士1=￡7,即a=l,c1時取等號，

a4c2

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2022年全國甲卷理科?第23題

333

2.(2022年全國乙卷理科?第23題)已知a,6,c都是正數(shù)，且.5+^^+金=］，證明:

(l)abc<-^；

ahc,1

(2)-----1------1-----4—\■；

h+ca+ca+h2^abc

333

【答案】解析：證明：因為Q>0,/?>0,c>0?則>0，>0，>0，

333

所以/+京+c，、|,

尸"以----------->\a2-b2-c2'

3

1I1333IT

即("c?尸所以奶當(dāng)且僅當(dāng)下=廬=5，即a=b=c=,；時取等號.

小問2詳解】

證明：因為。>0,b>0,c>0,

所以Z?+c22\/bc,a+c>1\[ac,a+b>2<ab,

333

所以4三4二出22

--b--—,——b—bc<c_c

b+c2\[bc2\labc。+c2y[ac2\Jabca+b2\[ab2\[abc

333333

abc/a，b2c，+Z?2+c^1

-----1------1-----——I----T----1---T-------------------=—..

b+ca+ca+b21abe2yjabc24abc2\!abcly/ahc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號.

【題目欄目】選修部分'不等式選講\不等式的證明

【題目來源】2022年全國乙卷理科?第23題

3.（2021年高考全國甲卷理科?第23題）已知函數(shù)/（X）=k一2|,g（x）=|2x+3|-|2x-.

⑵若〃x+a）2g（x）,求a的取值范圍.

【答案】（1）圖像見解析；（2）。2?

2

..f2-x,x<2

解析：（1）可得/（幻=工-2=<.「，畫出圖像如下:

[x—2,x>2

如圖，在同個坐標(biāo)系里畫出F(x),g(x)圖像,

>=/(x+a)是y=/(x)平移了同個單位得到,

則要使/(x+a)2g(x)，需將y=/(x)向左平移，即a>0,

1；,4)時，|；+。一2|=4,解得“或一。(舍去),

當(dāng)y=/(x+a)過A

2/222

則數(shù)形結(jié)合可得需至少將y="X)向左平移藍(lán)個單位，；.aN*

y

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像

數(shù)形結(jié)合求解.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值函數(shù)的圖像及其應(yīng)用

【題目來源】2021年高考全國甲卷理科?第23題

4.(2021年高考全國乙卷理科?第23題)已知函數(shù)〃%)=以一4+卜+3].

(1)當(dāng)。=1時，求不等式/(力26的解集；

(2)若〃x)>—a,求a的取值范圍.

【答案】⑴(YO,-4]U[2,+OO).(2)[一|,+8).

解析：⑴當(dāng)a=l時，/(x)=|x-l|+|x+3|,上一1|+,+3|表示數(shù)軸上的點到1和一3的

距離之和，

則/(x)>6表示數(shù)軸上的點到1和—3的距離之和不小于6,故xWT或x?2,

所以〃x)26的解集為(F,T]U[2,+X>).

-4-3012

(2)依題意f(x)>—a,即卜一+|x+3]>—a恒成立,

|x一￡z|+|x+3|=|iz-JC|+|x+3|>|tz+3|,故+3]>—a,

所以a+3>-a或a+3<a,

3

解得a>—.

2

所以a的取值范圍是(-g，+CO)

【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法.

【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法

【題目來源】2021年高考全國乙卷理科?第23題

5.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第23題)已知函數(shù)5(x)53—11.

(1)畫出丁=/(幻的圖像；

(2)求不等式/(x)>/(x+1)的解集.

【答案】⑴詳解解析；(2)[-8,

x+3,x>1

［解析］(1)因為=,5x-l,作出圖象，如圖所示:

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個單位，可得函數(shù)/(x+1)的圖象，如圖所示:

所以不等式F(x)>/(x+l)的解集為(-8,一，

【點睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)

形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題.

【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法

【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科.第23題

6.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第23題)已知函數(shù)/(x)=卜-/1+1x-2a+11.

(1)當(dāng)。=2時，求不等式/(%)..4的解集；

(2)若/(x)..4,求。的取值范圍.

【答案]⑴卜或血?卜(2)(-OO,-1]U[3,”).

解析：⑴當(dāng)a=2時，/(x)=|x-4|+|x-3|.

3

當(dāng)x43時，/(x)=4-x+3-x=7-2x>4,解得：x^-；

當(dāng)3<x<4時，/(x)=4-x+x-3=l>4,無解；

當(dāng)x24時，/(x)=x—4+x—3=2x—724,解得：x>—；

綜上所述：/(x)24的解集為{x|x?|或xN1}.

(2)/(x)++2](工_々2)_(1_2〃+])|二卜/+2Q_"=(a—l)2(當(dāng)

且僅當(dāng)2a—1Vx<4時取等號),

.,.(a-1)2>4.解得：a<-\^a>3,

???。的取值范圍為(一》,-1川［3,+?).

【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于

?？碱}型.

【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法

【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)JI卷理科?第23題

7.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科?第23題)設(shè)a,b,c&R,a+b+c=0,abc=\.

(1)證明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，證明：max(a,b,c}>^4..

【答案】(1)證明見解析⑵證明見解析.

解析：⑴?.?(a+O+c):=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,

uh+he+ca-——^ci~+h~+c~)

222

abc=I,/.a,b,c均不為0,則a+b+c>0.

cib+be+cci——萬'+c~)<0；

(2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,

由a+b+c=0,abc=l可知，a>0,t><0,c<0,

122

..n_hr_32b+c+2bc^2bc+2bc.

-a--b-c,aa=a-a=-------=------------>----------=4?

bebebebe

當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c時，取等號，

tz>-^4>即max{a/,c}..^/?.

【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)111卷理科?第23題

8.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)比卷理科第23題)設(shè)x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x-1尸+(y+l>+(z+l/的最小值；

(2)若(x—2>+(y—iy+(z—a)?》；成立，證明：“W-3或。，一1.

4

【答案】【答案】(1)§;(2)見詳解.

【官方解析】(1)由于[(x-l)+(y+l)+(z+l)『

=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-l)(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+1)(%-1)1

,,3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2]

故由已知得(x_l)2+(y+l)3+(z+l)2》g,當(dāng)且僅當(dāng)x=*'=一!z=—g

時等號成立.

4

所以(x-l)2+(y+l)3+(z+l)2的最小值為

(2)由于[(x-2)+(y—l)+(z—a)/

=(x-2/+(y—+(z—a)?+2[(x-2)(y-1)+(y-l)(z-?)+(z-?)(x-2)]

”3[(x—2)2+(y—1)-+(z—a)~]

故由已知得(x—2)2+(>—+(z—a)2…巨產(chǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

x=---，y=---，z=----時等寫成".

333

因此(X—2)2+(>—1)2+(z—。)2的最小值為廣

山題設(shè)知(2+解得-3或。2一1.

33

【解法2】柯西不等式法

(1)

[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2](l2+l2+l2)>[(x-l)+(y+l)+(z+l)]2=(x+y+z+l)2=4

,,4511

故(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2N§,當(dāng)且僅當(dāng)x=§,y=-§,z=—§時等號

成立.

所以。-1)2+(3+1)2+?+1)2的最小值為1.

(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2^-^

⑵所以

[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2](l2+l2+l2)^l當(dāng)且僅當(dāng)

4-(7戶尸’Z=平時等號成立?

x=

[(%_2)2+(y-1)2+(Z-a)2](12+F+尸)=。一2+y-]+z—=(a+成

立.

所以(。+2)2力1成立，所以有〃<一3或

【點評】本題兩問思路一樣，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，屬于中檔題

型.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)川卷理科?第23題

9.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科?第23題)已知函數(shù)/(%)=上一。|%+,—2|(x—a).

(1)當(dāng)a=l時，求不等式/(x)<0的解集；

(2)當(dāng)時，f(x)<0,求a的取值范圍.

【答案】【答案】(1)(一8,1)；(2)[1,+OO)

【官方解析】

(1)當(dāng)a=l時，/(x)=|x—1|;r+|x—2|(x—1).

當(dāng)x<l時，/(x)=-2(x-l)2<0；當(dāng)xNl時，/(x)N0.

所以，不等式/(x)<0的解集為

(2)因為/(a)=0,所以aZl.

當(dāng)a21,xe(-8,l)時，/(%)=(?-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0

所以，a的取值范圍是U,一).

【分析】(1)根據(jù)a=l，將原不等式化為次一1次+|%—2|(x—1)<0,分別討論x<l,

lWx<2，為22三種情況，即可求出結(jié)果；

(2)分別討論a三1和a<1兩種情況，即可得出結(jié)果.

【解析】

(1)當(dāng)a=l時，原不等式可化為|x-l|x+|x—2](x—1)<0；

當(dāng)x<l時，原不等式可化，BP(x-l)2>0,顯然成立，

此時解集為(-?U)：

當(dāng)lWx<2時，原不等式可化為(x—l)x+(2—x)(x—1)<0,解得x<l,此時解集

為空集；

當(dāng)為22時，原不等式可化為(x-l)x+(x-2)(x-l)<0,即(x—1)2<0,顯然不成

立；此時解集為空集；

綜上，原不等式的解集為(-8』)；

(2)當(dāng)a21時,因為xe，所以由/(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0,

即(x—a)(x—1)>0,顯然恒成立；所以a21滿足題意；

2(x-a),a<x<1

當(dāng)avl時，工、，因aWxvl時，/。)<。顯然不能

成立，所以QV1不滿足題意；

綜上，。的取值范圍是[L+8).

【點評】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}

型.

【題目欄目】選修部分'不等式選講\含絕對值不等式的解法

【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科?第23題

10.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科?第23題)已知a,。，c為正數(shù)，且滿足a〃c=l.證

明：

(1)—+-+-^a2+Z?2+c2；

abc

(2)(Q+b)'+(〃+c)3+(c+a)'，224.

【答案】解：⑴因為〃+加22血〃+。222",。2+〃222^,又abc=L故有

,22、7/ab+hc+ca111匚匚...

a2+cab+hc+ca-------------=—H----1.所以

abcabc

雪』+,W/+〃2+02.

abc

(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc-1,故有

(a+“+(b+c>+(c+a)32^(a+b)\b+c)Xa+c)3

=3(a+》)(b+c)(a+c)23x(2\[ab)x(2\[bc)x(2A/OC)=24

所以(a+0)3+(0+c)3+(c+a)3?24.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科?第23題

11.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷(理)?第23題)【選修4—5：不等式選講】(10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|+|%-l|.

(1)畫出y=/(x)的圖象；

⑵當(dāng)xe[0,+<?)時，/(x)<ax+b.求a+Z?的最小值.

1

-3x,x<——

2

【答案】【官方解析】⑴=<x+2,—4x<l

2

3x,x>1

>=/(%)的圖像如圖所示

(2)由(1)知，y=/(x)的圖像與y軸交點的縱坐標(biāo)為2,且各部分所在直線斜率的最大

值為3,故當(dāng)且僅當(dāng)a?3且人22時，在［(),中?)成立，因此a+力的最

小值為5.

3尢，x>1

【民間解析】（l）/（x）=|2x+l|+k—1|=?x+2,—<X<\,可作出函數(shù)/（X）的

1

-3xx<——

2

(2)依題意可知“力工公+人在［1,+8)上恒成立，在［0,1)上也恒成立

當(dāng)時，/(X)=3x<ar+Zr恒成立即(〃一3)x+/?N()在［l,+oo)上恒成立

所以。一320,且。一3+力之()，此時。23,a+h>3

當(dāng)O?x<l時，f^x)=x+2<ax+b即(a—1)>￥+/?-220恒成立

結(jié)合a?3,可知8—220即方之2

a>3

綜上可知《，所以當(dāng)a=3,6=2時，a+力取得最小值5.

b>2

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值的成立問題

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷(理)?第23題

12.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷(理)?第23題)[選修4—5：不等式選講](10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)當(dāng)a=l時，求不等式f(x)、0的解集；

(2)若〃x)Wl,求a的取值范圍.

【答案】解析：(I)當(dāng)a=l時，

2x+4,xW—1,

/(x)=<2,-1<x<2,

-2x+6,x>2.

可得f(x)20的解集為｛x|-2WxW3｝.

(2)穴0這1等價于|彳+0+|*-2|24.

而|x+a|+|x-2|2|a+2|,且當(dāng)x=2時等號成立,故f(x)Wl等價于|a+2|24.

由|a+2]24可得aW-6或a、2,所以a的取值范圍是(-00,-6]U[2,+a>).

【題目欄目】選修部分'不等式選講、含絕對值的成立問題

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷(理)?第23題

13.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1(理)?第23題)[選修4-5：不等式選講](10分)已知

/(%)=|%+1|-|以一1|.

(1)當(dāng)。=1時，求不等式/(x)>l的解集；

(2)若xe(0,l)時不等式/(x)>X成立，求a的取值范圍.

-2,x<—1,

【答案】解析：(1)當(dāng)a=l時，f(x)=\x+l\-\x-\\,即/(x)=<2x,—l<x<l,

2,x>1.

故不等式/(x)>1的解集為｛X|X〉；｝.

(2)當(dāng)x￡(0,1)時|x+11—|ar—11>x成立等價于當(dāng)x￡(0,1)時|ax-11<1成立.

若〃V0,則當(dāng)尤￡(0,1)時|ar—11；

22

若?！?,|以一1|<1的解集為0<x<—,所以一21,故0<aW2.

aa

綜上，。的取值范圍為(0,2].

【題目欄目】選修部分'不等式選講、含絕對值的成立問題

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1(理)?第23題

14.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第23題)［選修4—5:不等式選講］已知函數(shù)

/(%)=—x2+tzx+4,g(x)=|x+l|+|x-l|.

⑴當(dāng)a=1時，求不等式/(x)2g(x)的解集;

⑵若不等式g(x)的解集包含.求。的取值范圍

【答案】⑴---j,;(2)［—1,1］.

【分析】(1)將a=l代入,不等式/(x)Ng(x)等價于d—x+|x+l|+|x-1|-4K0,

對x按x<—1,-1WXW1.X>1討論，得出最值的解集;(2)當(dāng)xe［-1,1］時,g(x)=2.若

f(x)>g(x)的解集包含［T1］,等價于當(dāng)xe［—1,1］時J(x)i2,則f(x)在［-1』

的最小值必為/(T)與/(1)之一，所以f(T)22且/。)22,得TWaWl,所以a

的取值范圍為［-1,1］.

［解析］(1)當(dāng)a=1時,不等式/(x)>g(x)等價于/-x+B++歸_1卜4<()①

當(dāng)x<-1時，①式化為％2-31一440,無解；

當(dāng)一IWxWl時，①式化為d-x—2<0.從而TWxWl；

當(dāng)x>1時，①式化為d+x—dVO,從而l<x<I+#

所以不等式〃x)2g(x)的解集為卜-”為4衛(wèi)普，

⑵當(dāng)1,1］時,g(x)=2

所以/(x)之g(x)的解集包含［-1,1］，等價于當(dāng)xG［-L1］時,廣⑺>2

卜（-1H2

又/(%)在的最小值必為/(-1)與/(1)之一，所以，得.

所以a的取值范圍為

【考點】絕對值不等式的解法，恒成立問題

【點評】零點分段法是解答絕對值不等式問題的常用方法，也可以將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為

分段函數(shù)，借助圖像解題.

【題目欄目】選修部分'不等式選講、含絕對值的成立問題

【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第23題

15.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第23題)［選修J5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(力=卜+1|_|%_2|.

⑴求不等式〃x)21的解集；

(2)若不等式/(力2/一X+m的解集非空，求機的取值范圍.

【答案】(i){%|%>1}；(n)f-oo)1

—3,x<—1

【解析】(1)因為〃力=卜+1|一|尤_2]=<2x-l,\<x<2

3,x>2

L或]x>2

所以不等式/(x)21等價于<或'

-3>12x-l>l3>1

%<-1—l<x<2.八x>2

由?nx無解；由,=>i<x<2；由，=>x>2

-3>12x>23>1

綜上可得不等式的解集為［1,+8).

(2)解法一：先求不等式/&)?/—％+機的解集為空集時用的取值范圍

不等式/(%)>x2-x+m的解集為空集等價于不等式相>/(司—幺+兀恒成立

2c1

—x~+x—3,X<—I

記尸(%)=/(%)_工2+1<-x2+3x-l,l<x<2,則加〉[尸(x)]“x

—+x+3,x>2

(iy11

當(dāng)X<_1時，F(xiàn)(X)=-X2+X-3=-|^X--J--<F(-l)=-5

當(dāng)_1WXW2時，尸(x)=—f+3x—l=—(x_|)/(|)=：

當(dāng)x>2時，尸(x)=—》2+%+3=—(x—g)+?<F(2)=1

所以［尸(x)1ax=/(?1)=+

所以不等式-x+加的解集為空集時，相>：

所以不等式/(x)Nx2—x+m的解集非空時，用的取值范圍為1-雙：.

解法二：原式等價于存在xeR,使/(x)—f+xN,〃成立，即"⑺一爐+月皿2m

設(shè)g(x)=/(x)-x?+x

—x2,+x—3,1

由(1)知g(x)=<—1?+3x—1,—1<x<2

—+x+3,x22

2

當(dāng)工《一1時，g(x)=^x+x-3,其開口向下，對稱軸％=

所以g(x)<g(_f)=_l_l_3=_5

3

當(dāng)一l<x<2時，^(X)=-X2+3X-1,其開口向下，對稱軸為x=Q

所以g(x)<g1|)=_：+T_l=：

當(dāng)尤22時，g(x)=-f+%+3,其開口向卜，對稱軸為x=g

所以g(x)Wg(2)=-4+2+3=l

綜上[g(x)L=(

所以m的取值范圍為(-甩1.

【考點】絕對值不等式的解法

【點評】絕對值不等式的解法有三種：

法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值的成立問題

【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第23題

16.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第23題)[選修4-5：不等式選講](10分)已知

a>0,b>Q,a3+b3=2,證明：

(1)(a+Z>)(n,+/??)>4；

(2)a+bW2.

【答案】【命題意圖】不等式證明，柯西不等式

【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：

(a+份(標(biāo)+戶)=[(&)2+(a2].[(6.)2+(揚從)2卜(/+〃)2=4

解法二：(。+勿(。5+/)=46+加+々。5+a5b=(/+匕3)2+々力5+一2a3)3

>(a3+b3)2+-2a3b3=(/+〃)2=4

解法三：+/;5)-4=(。+沙)(。5+〃，-(/=ab5+a5b-2a3b3

又。>0/>0,所以"5+48-2/63=",2一從『20

當(dāng)。=力時，等號成立.

所以，(tz+Z?)(a5+Z?5)-4>0,即(a+?(/+/)N4.

(2)解法一：由Y+/?=2及必<(佇蛆得

4

2=(a+b)-(a2+b2—ab)-(a+b)-+b)2-3ab~^

>(a+b)-(a+b)2_3(a+b)

4

_(a+h)3

―_

所以a+b<2.

解法二：(反證法)假設(shè)a+b>2,則a>2-。，兩邊同時立方得：

。3>(2—。)3=8—12匕+682—。3,

即>8-122+6/,因為/+/=2,

所以6-⑵+6從<0,即

6(。一1)2<0,矛盾，所以假設(shè)不成立，

即a+〃<2.

解法三：因為/+)3=2,

所以：(a+b)'—8=(a+Z?)'-4(/+/)=/+3a2h+3ab2+by-4a3-4-lx

=3a2(Z?—?)+3/?2(?—Z?)=—3(?+/?)(?—/?)'.

又a>0,b>0,所以：-3(a+/?)(a-Z?yW0,

所以，(a+Z?y<8,即a+b42.

【考點】基本不等式；配方法

【點評】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的?種情況，證明思路是從已

證不等式和問題的己知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理

最后轉(zhuǎn)化為需證問題.若不等式恒等變形后若與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第23題

17.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第24題)選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|2x—a|+a.

(I)當(dāng)a=2時，求不等式/(%)W6的解集；

(H)設(shè)函數(shù)g(x)=,當(dāng)xeR時,f(x)+g(x)23,求a的取值范圍.

【答案】(I){x|-l^x^3};(II)[2,+oo).

【解析】(I)當(dāng)a=2吐/(x)=|2x—2|+2.

解不等式|2x-2|+2W6,得一1WXW3.因此,f(x)W6的解集為{x|-lWxW3}.

(11)當(dāng)％€1i時,.f(x)+g(x)=|2x—a|+a+|l—2x|2|2x—a+1—2x|+a=|l-a|+a

當(dāng)x=L時等號成立.

2

所以當(dāng)xeR時J(x)+g(x)N3等價于|l-a|+aN3.①

當(dāng)aWl時，①等價于1一a+a23,無解.

當(dāng)a>l時,①等價于a-l+a23.解得a22

所以的取值范圍是[2,+8).

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值的成立問題

【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第24題

18.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x-l|+.r+1,"為不等式〃x)<2的解集.

⑴求”；

(II)證明：當(dāng)eM時，|。+可<|1+。目.

【答案】⑴M={x|-(2)見解析

—2x,xV—,

2

【官方解答】(1)/(力=<1,-1<%<1,

2x,x>—.

2

當(dāng)：時，由/(x)<2得一2x<2,解得X>—1；

當(dāng)一;<x<g時，〃x)<2恒成立；

當(dāng)尤zg時，由/(x)<2,得2x<2,解得x<L

所以〃x)<2的解集M={x|—

(2)由(1)知，當(dāng)時，一l<a<l,—\<h<\,從而

(a+l)2_(l+ab)2=a2+b2—a2b2—1=(a2-1)(1—fe2)<0.

因此<,沿+1].

【民間解答】⑴當(dāng)x<-L時，f(x\=--x-x--=-2x,若

2''222

當(dāng)—■時，/(x)=L-x+x+，=1<2恒成立；

22、)22

當(dāng)x>g時，/(x)=2x.,若/(x)<2,g〈x<l.

綜上可得，M={x|-l<x<l}.

⑵當(dāng)a,be(-l,1)時，有,2_])/2_])>0

QP?2^2+l>a2+Z>2,

則a2b~++2ab+1>a?+2ab+b2,

則(出?+1)->(a+A>)-,

即|a+/?|<|?/?+1|,

證畢.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1【卷理科?第24題

19.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x+l|-|2x-3|.

(I)畫出y=/(x)的圖像；

(II)求不等式的解集.

【答案】⑴見解析g)u(l，3川(5,+8)

x~4f%W—1

3

【官方解答】⑴/(x)=3x—2,,y=/(x)如圖所示：

4-x,

2

(II)由/(x)得表達(dá)式及圖像，當(dāng)〃力=1時，得％=1或x=3

當(dāng)=時，得x=；或x=5

故/(x)>l的解集為｛x[l<x<3｝；/(%)〈一1的解集為卜氏<:或彳>5

.,.|/(%)|>1,解集為1—8,|jU(L3)U(5,+oo).

【民間解答】⑴如上圖所示：

x—4,xW—1

3

(II)/(%)=<3%一2,—1<x<一

2

、3

44-x,x2一

2

|小)|>1

當(dāng)xW—1,卜一4|>1,解得x>5或x<3.\xW—l

3113

當(dāng)-1vxv—,|3x-2|>1,解得x>l或1v—.??-l<x<—或l<x<—

211332

a3

當(dāng)x2一,|4—x|>l,解得x>5或xv3.??一<x<3或x>5

2112

綜上，x<—或1<%<3或l>5

3

解集為(一8,1ju(l)3)U(5,+8).

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值不等式的解法

【題目來源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第24題

20.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第24題)(本小題滿分10分)選修4-5不等式選講

設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且〃+b=c+d,證明：

(1)若ab>cd,則4a+VF>Vc+4d；

(11)、5+6>無+聲是卜—4<卜一4的充要條件.

【答案】(I)詳見解析；(i[)詳見解析.

解析：(I)因為(G+石)？=a+8+2j^,(Vc+\[d)2=c+d+2y[cd,由題設(shè)

a+h=c+d,ab>cd,得(G+揚尸〉(五+四了.因此&+揚>無+JJ.

(11)(i)若\a-k\<\c-d\,則(a—b)2<(c—d)2.即

(a+b)2-4ah<(c+d)2-4cd.因為a+Z?=c+d,所以必〉cd,由(I)得

4a+\Jb>\[c+\[d.

(ii)若4a+s[b>4c+\[d,貝！I(G+揚>>(W+,即a+b+2y[ab>

c+d+2\[cd.因為a+A=c+d,所以ah>cd,(a-b)2=(a+b)2-4ab

<(c+d)?-4cd=(c-d)2.因此]。一可<上一4，綜上，&+〃>無+4是

m―4<卜一《的充要條件.

考點：推理證明.

【題目欄目】選修部分'不等式選講'不等式的證明

【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第24題

21.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第24題)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x+l|—2|x-a|,a>0.

(1)當(dāng)。=1時，求不等式f(x)>1的解集；

(11)若/(幻的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍

2

【答案】(I){x|-<x<2}(ll)(2,+oo)

分析：(I)利用零點分析法將不等式f(x)>l化為一元一次不等式組來解；(H)將/(x)

化為分段函數(shù)，求出/(x)與x軸圍成三角形的頂點坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根

據(jù)題意列出關(guān)于。的不等式，即可解出。的取值范圍.

解析：(I)當(dāng)a=l時，不等式f(x)>l化為|x+l卜2伙-1|>1,

…x<-1f-1<x<lfx>1,2

等價于，或4或4，解得*<xv2,

—x—1+2x—2>1x+1+2x—2>1x+1—2x+2>l3

2

所以不等式f(x)>l的解集為{x[§<%<2}.

x—1—2a,x<—1

(H)由題設(shè)可得,f(x)=<3x+l-2a,-l<x<a,

-x+l+2a,x>a

所以函數(shù)/(x)的圖像與無軸圍成的三角形的三個頂點分別為4笥°,0)，

2

5(2a+l,0),C(a,a+1),所以AABC的面積為§(a+1尸.

由題設(shè)得(3+1)2>6,解得a>2.

所以a的取值范圍為(2,+00).

考點：含絕對值不等式解法；分段函數(shù)；一元二次不等式解法

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值不等式的解法

【題目來源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第24題

22.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科?第24題)(本小題滿分10)選修4-5：不等式選講.

設(shè)函數(shù)/(%)=x+—+|x-a|(?>0)

(1)證明：/(力22；

(11)若/(3)<5,求a的取值范圍.

【答案】解析《)出+|……十+|a-x|>x+—+=|ct|+1—22,

僅當(dāng)a=l時等號成立，所以/(x)22.

(II)f(3)—3+—+|3—G|=|tz—3|+—+3<5

當(dāng)0<a<3時，"3)=6—a+：<5,解得。>_^色

當(dāng)aN3時，/(3)=a+(<5,解得a>注巨

綜上所述，a的取值范圍為(歸手,“產(chǎn)).

考點：(1)三角不等式的運用(2)分類討論的思想

難度：B

備注：高頻考點

【題目欄目】選修部分'不等式選講'含絕對值的成立問題

【題目來源】2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科.第24題

23.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科.第24題)選修4—5:不等式選講

若a>o,z?>o,且—+工=7^.

ab

(1)求/+"的最小值；

(2)是否存在a,6,使得2a+3。=6,并說明理由.

【答案】解析：(1)由疝=,+,？3,得。力32,且當(dāng)”=匕=血時等號成立,

故/+3?3,/必340,且當(dāng)a=〃=石時等號成立，

二a3+by的最小值為4a.

(2)由6=2a+3b?2卡?^，得ab￡又由(1)知。方32，二者矛盾,

所以不存在a,尻使得2。+30=6成立.

考點：(1)證明不等式的基本方法;(2)反證法的應(yīng)用

難度:B

【題目欄目】選修部分'不等式選講'均值不等式與柯西不等式

【題目來源】2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科?第24題

24.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科.第24題)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明：

222

T,,1?abc,

(I)ab+he+etc<—；(II)--1----1---21

3bca

【答案】證明：⑴由。2+〃2龐2的〃2+/2bc,c2+6Z2?2ac得

+Z?2+c2...ab+he+ac.

由題設(shè)得(〃+〃+C)2=l,

BPa2+b2+c2+lab+2bc+2ca=1.

所以3(而+Z?c+ac)?1,B[Jab+bc+ac?

3

(2)因為幺+Z?龐2々,幺+c2b，+a?2c,

bca

a1h2c2

故—4---1—+(a+b+c)…2(。+/?+c),

bca

22

13ncTbc.