高中數(shù)學(xué)人教課標(biāo)A版選修1-2-教學(xué)設(shè)計(jì)1：推理與證明 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)課件資料

推理與證明

★知識(shí)網(wǎng)絡(luò)★

歸納

合情推理

推類比

理

推演繹推理

理

與

證

明

證

明

間接證明反證法

第1講合情推理和演繹推理

★知識(shí)梳理★

1.推理

根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷,這種思維方式叫推理.

從結(jié)構(gòu)上說(shuō),推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)（或假設(shè)）叫做前提,一

部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論.

2、合情推理:

根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出的

推理叫合情推理。

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象

具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推

理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理

（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特

征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊

的推理。

3.演繹推理：

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理,簡(jiǎn)言之，

演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）

大前提一-已知的一般原理；（2）小前提一-所研究的特殊情況；（3）結(jié)論一一根

據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷。

★重難點(diǎn)突破★

重點(diǎn)：會(huì)用合情推理提出猜想，會(huì)用演繹推理進(jìn)行推理論證，明確合情推理與演繹

推理的區(qū)別與聯(lián)系

難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)兩類對(duì)象的類似特征、在部分對(duì)象中尋找共同特征或規(guī)律

重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明

1、歸納推理關(guān)鍵是要在部分對(duì)象中尋找共同特征或某種規(guī)律性

問(wèn)題1：觀察：V7+715<2#1；V55+VT67<2x/Tl；十3-&+J19+G<2而；….

對(duì)于任意正實(shí)數(shù)。力，試寫出使6+2而成立的一個(gè)條件可以是.

點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22,故a+6=22

2、類比推理關(guān)鍵是要尋找兩類對(duì)象的類似特征

問(wèn)題2：已知拋物線有性質(zhì)：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于A、8兩點(diǎn)，

則當(dāng)A8與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，A8的長(zhǎng)度最短；試將上述命題類比到其他曲

線，寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題為.

點(diǎn)撥：圓錐曲線有很多類似性質(zhì)，“通徑”最短是其中之一，答案可以填：過(guò)橢圓

的焦點(diǎn)作一直線與橢圓交于A、3兩點(diǎn)，則當(dāng)A3與橢圓的長(zhǎng)軸垂直時(shí)，A3的長(zhǎng)

度最短（|A8|2勺2b2）

a

3、運(yùn)用演繹推理的推理形式（三段論）進(jìn)行推理

問(wèn)題3：定義［x］為不超過(guò)x的最大整數(shù)，則［-2.1］=

點(diǎn)撥：“大前提”是在（-8,幻找最大整數(shù)，所以［-2.1］=-3

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1合情推理

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

［例1］通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。

sin215°+sin275°+sin21350=-；sin230°+sin290°+sin2150°=-；

22

sin245°+sin2105(,+sin2165°=-；sin260°+sin21200+sin2180°=-

22

【解題思路】注意觀察四個(gè)式子的共同特征或規(guī)律(1)結(jié)構(gòu)的一致性，(2)觀察

角的“共性”

［解析］猜想：sin2(?-60°)+sin2?+sin2(a+60°)=二

2

證明：左邊=(sinacos60°-cosasin60°)2+sin2a+(sinacos60°+cosasin600)2

=-|(sin2a+cos2a)==右邊

【名師指引】(1)先猜后證是一種常見題型

(2)歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是

“循環(huán)型”(周期性)

［例2］(09深圳九校聯(lián)考)蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂

巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為

3

一組蜂0W…

巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第

二個(gè)圖

有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以

/(〃)表示第〃幅圖的蜂巢總數(shù).則/(4)=;/(〃)=.

【解題思路】找出了(“)一/(〃-1)的關(guān)系式

［解析］/⑴=1,/⑵=1+6J(3)=1+6+12,/(4)=1+6+12+18=37

/(n)=l+6+12+18+---+6(n-l)=3n2-3n+l

【名師指引】處理“遞推型”問(wèn)題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系

【新題導(dǎo)練】

1.(2008佛山二模文、理)對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的〃次方幕有如下分解方式:

22=1+332=1+3+542=1+3+5+7

23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19

根據(jù)上述分解規(guī)律，則52=1+3+5+7+9,若，/(〃zeN*)的分解中最小的數(shù)是73,

則，〃的值為___.

［解析］川的分解中,最小的數(shù)依次為3,7,13,…，m2-m+l,???,

由m2—m+［-73得m=9

2.(2008惠州調(diào)研二理)函數(shù)/(幻由下表定義：

x25314

/(x)12345

若％=5,all+l=/(??),〃=0,1,2,…，則%oo7=4.

［角牛析］。0=5,4=2,=1，43=4，。4=5,,,,，??a“+4a”,。2。。7=。3=4

點(diǎn)評(píng)：本題為循環(huán)型

3.(2008深圳調(diào)研)圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)

第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第〃個(gè)圖

形包含/(〃)個(gè)''福娃迎迎”，則/(5)=；/(?)-/(?-1)=.(答

案用數(shù)字或〃的解析式表示)

裝

費(fèi)

靠

費(fèi)

靠

靠

拿

舞

靠

泉

靠

復(fù)

［解析］/(5)=41,/(〃)-/(?-1)=4(n-1)

4.(2008揭陽(yáng)一模)

設(shè)為(x)=cosx,/(x)=4'(x),力(x)=f'(X),…,力+|(x)=fn\x),〃eN*,

則人008(X)=()

A.—sinxB.-cosxC.sinxD.cosx

［解析］/o(x)=cosx,/j(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx9

<+4。)=fn(%)，源8(X)=A3=COSX

題型2用類比推理猜想新的命題

［例1］（2008韶關(guān)調(diào)研）已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的!，把這個(gè)結(jié)論推廣到

3

空間正四面體，類似的結(jié)論是.

【解題思路】從方法的類比入手

［解析］原問(wèn)題的解法為等面積法，即S==類比問(wèn)題的解法

223

應(yīng)為等體積法，V==l?〃即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高,

3344

【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等

比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

［例2］在AABC中，若NC=90°,則COS2A+COS2B=1,用類比的方法，猜想三棱

錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想

【解題思路】考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所

成的角如何類比到空間

［解析］由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P-ABC中，三個(gè)側(cè)面

兩兩垂直，且與底面所成的角分別為a,4了,則

cos2a+cos2p+cos2y=1"

證明：設(shè)P在平面ABC的射影為。，延長(zhǎng)C。交AB于M,記尸O=〃

由從而PC_LPM,又NPMC=a

hhh

cosa=sinNPCO=----,cos￡=——，cos/=——

PCPAPB

?：VP_ABC=^PA-PB-PC=^PA-PBcosa+^PB-PCcos/3+^PC-PAcos/)-h

cosa

------+嘿+篝M=1即cos%+cM+cK=l

PC

【名師指引】（1）找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球,

面積對(duì)應(yīng)體積，平面上的角對(duì)應(yīng)空間角等等；（2）找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如:

兩條邊（直線）垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等

【新題導(dǎo)練】

5.（2008深圳二模文）現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:

同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是。的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則

2

這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為￡■.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為。的正方體,

4

其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為.

3

［解析］解法的類比（特殊化），易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為3-

O

6.（2008梅州一模）已知AABC的三邊長(zhǎng)為a）,c,內(nèi)切圓半徑為r（用

SAABC表示A鉆C的面積），則SMSC=Lr（a+b+c）；類比這一結(jié)論有：若三棱錐

A-BCD的內(nèi)切球半徑為R,則三棱錐體積匕…a=

［解析］—R(SMBC+S&ABD+^MCD+S居CD

7.（2008屆廣東省東莞市高三理科數(shù)學(xué)高考模擬題（二））

在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax+8y+C=O,圓心在（無(wú)（）,>（））的圓的一

般方程為。-/）2+（〉->0）2=/；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一

般方程為,球心在（x0,y0,z0）的球的一般方程為

2222

［解析］Ax+By+Cz+D=O；（x-x0）+（y-y0）+（z-z0）=r

8.對(duì)于一元二次方程，有以下正確命題：如果系數(shù)q，4，G和都是非零實(shí)

數(shù)，方程aX+3+G=0和〃2/+%工+。2=0在復(fù)數(shù)集上的解集分別是A和8,

則“￡L=JL=￡L”是"A=B"的充分必要條件.

a2b2c2

試對(duì)兩個(gè)一元二次不等式的解集寫出類似的結(jié)果，并加以證明.

解：（3）如果系數(shù)為,4,G和生也，。2都是非零實(shí)數(shù)，不等式a/2+3+C］>0和

的/+&》+02>0的解集分別是A和8,則“a=區(qū)=2”是“A=B”的既不

a2b2c2

充分也不必要條件.可以舉反例加以說(shuō)明.

9.已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)

的差都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.

類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定

義：;

已知數(shù)列{%}是等和數(shù)列，且4=2,公和為5,那么％&的值為.這

個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”的計(jì)算公式為,

［解析］在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

——為奇數(shù)

數(shù)叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；“8=3；S.=2

y=￥，〃為偶數(shù)

I2

考點(diǎn)2演繹推理

題型:利用“三段論”進(jìn)行推理

［例1］(07啟東中學(xué)模擬)某校對(duì)文明班的評(píng)選設(shè)計(jì)了a,4c,d,e五個(gè)方面的多

元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式樣s=g+￡+，來(lái)計(jì)算各班的綜合得分，S的值越高

bde

則評(píng)價(jià)效果越好，若某班在自測(cè)過(guò)程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示出0<c<d<e<8<。，則下

階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加1個(gè)單位，而使得S的值增加最多，那么該指標(biāo)

應(yīng)為.(填入a,b,c,d,e中的某個(gè)字母)

【解題思路】從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律

［解析］因a,"c,d,e都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時(shí)，S的值越大，而在分

子都增加1的前提下，分母越小時(shí)，S的值增長(zhǎng)越多，???0<c<d<e<b<a,所以

c增大1個(gè)單位會(huì)使得S的值增加最多

【名師指引】此題的大前提是隱含的，需要經(jīng)過(guò)思考才能得到

［例2］(03上海)已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：存在非零常

數(shù)T,對(duì)任意x￡R,有f(x+7)=T/U)成立.

(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說(shuō)明理由；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a'(a>0,且aWl)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f{x}-a

GM；

(3)若函數(shù)f(x)=sinAxGM,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解題思路】函數(shù)/'(X)是否屬于集合M,要看/'(x)是否滿足集合M的“定義”，

[解](1)對(duì)于非零常數(shù)T,『(戶T)=JV+T,Tf(x)=Tx.因?yàn)閷?duì)任意xSR,戶T=Tx

不能恒成立，所以=

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=a*(a>0且aWl)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，

所以方程組：]>=優(yōu)有解，消去丫得印=”，

顯然40不是方程a'=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使a'=T.

于是對(duì)于/'(才)=巳有/(尤+7)=優(yōu)+7=aTax=Tax=7f(x)故f(x)=H￡M.

(3)當(dāng)k=0時(shí),f(x)=O,顯然f(x)=O￡M.

當(dāng)kWO時(shí)，因?yàn)?"(x)=sin4xGM,所以存在非零常數(shù)T,對(duì)任意xGR,有

F(JV+T)=Tf(x)成立，即sin(A，v+AT)=TsinAx.

因?yàn)閗#0,且x@R,所以AxWR,正ATGR,

于是sin/rxe[—1,1],sin(4x+AT)e[—1,1],

故要使sin(4x+AT)=Tsin4x.成立，

只有T=±l,當(dāng)T=1時(shí)，$111(?戶女)=$111於成立，則A=2R不，mWZ.

當(dāng)T=-1時(shí)，sin(Ax-A)=-sinAx成立，

即sin(4x—A+")=sin/rx成立，

則一A+萬(wàn)=2加碼mGZ,即A=-2(加一1)"，加eZ.

實(shí)數(shù)A的取值范圍是{4|A=加"，rWZ}

【名師指引】學(xué)會(huì)緊扣“定義”解題

【新題導(dǎo)練】

10.(2008珠海質(zhì)檢理)定義方”是向量a和8的“向量積”，它的長(zhǎng)度

|￡*B|=|￡H加6也8,其中8為向量a和6的夾角,若

〃=(2,0),〃一v=(1,—6),貝！J|〃*(〃+u)|=.

—*—?—］———r—

［解析］v=(l,V3),w+v=(3,V3),sin<u,u+v>=—/.|w*(w+v)|=2>/3

11.(2008深圳二模文)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)依次沿圖中線段到達(dá)3、C、D、E、F

G、H、/、J各點(diǎn)，最后又回到A(如圖所示)，其中：ABLBC,D------

AB//CD//EF//HG//IJ,BC//DE//FG//HI//JA.---------

Jar

G

A

欲知此質(zhì)點(diǎn)所走路程，至少需要測(cè)量〃條線段的長(zhǎng)度,

貝(B)

A.2B.3C.4D.5

［解析］只需測(cè)量AB,8C,GH3條線段的長(zhǎng)

12.(2008惠州調(diào)研二)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文f密文

(加密)，接受方由密文->明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)密

文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接受方收到

密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為().

A.4,6,1,7B.7,6,1,4c.6,4,1,7D.1,6,4,7

a+2/?=5a=6

2b+c=7得《h=4

［解析］由，2c+3d=1*，選C

c=1

4d=16d=1

13.對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,力和(c,d),規(guī)定：(a向=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)4=°乃="；

運(yùn)算"@"為:(a,b)?(c,d)=(ac-t>d,bc+ad);運(yùn)算"十”為:(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d)>

設(shè)p,qeR,若(1,2)&(PM)=(5,0),則(1,2)十(/“)=.....()

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(Of

解：由題意，［“-2"=5,解得［"=1,所以正確答案為(B).

點(diǎn)評(píng)：實(shí)際上，本題所定義的實(shí)數(shù)對(duì)的兩種運(yùn)算就是復(fù)數(shù)的乘法與加法運(yùn)算.我

們可以把該題還原為：已知復(fù)數(shù)Z滿足(1+2i)z=5,則(1+2z)+z=.

★搶分頻道★

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

1、對(duì)于集合A,B,定義運(yùn)算A—B={X|XGA且工任團(tuán)，則A—(A-8)=()

A.BB.AC.AuBD.AryB

［解析］D［用圖示法］

2、命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”

是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是

A.使用了歸納推理B.使用了類比推理

C.使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤D.使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤

［解析］大前提是特指命題，而小前提是全稱命題，故選C

3、（華南師大附中2007—2008學(xué)年度高三綜合測(cè)試（三））

給出下面類比推理命題（其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集）：

①''若。、bGR,貝!］。一人=0=。=/?"類比推出"。、ccC,貝必一匕=0=a=/?"

②”若a、b、c、deR,貝！J復(fù)數(shù)a+0i=c+dina=c,8=d”類比推出

"a、b、c、d&Q,則a+b五=c+=>a=c,/?=d"

③”若a、b>eR,則a—Z?>Ona>Z?"類比推出"若

a、eC,則a-。>0=>a>力”

④“若xeR,貝類比推出''若zeC,貝Hz|<1=>-1<z<1"

其中類比縝診.硬的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

［解析］類比結(jié)論正確的只有①

4、如圖第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)，（n=l,2,3,…）。則

第n—2

個(gè)圖形中共有__________________個(gè)頂點(diǎn)。

［解析］設(shè)第〃個(gè)圖中有?！皞€(gè)頂點(diǎn)，則q=3+3x3,/=4+4x4,=〃+〃?〃,

an_2=(〃-2f+〃-2=-3〃+2

5、如果函數(shù)在區(qū)間。上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間。內(nèi)的任意修，/，…，匕，

都有1m)+/(%2)+-?+/(%)</(XI+X2+--+Xn).若y=sinx在區(qū)間(0,外上是

nn

凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA+sin3+sinC的最大值是.

［解析］sinA+sinB+sinCW3sin'+'+'=35山工=

332

6、類比平面向量基本定理：''如果￡工是平面。內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于

平面內(nèi)任一向量Z,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)為,小，使得寫出空間向量

基本定理是：_____________

［解析］如果之,"，尾是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量7有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4自，使得Z=+4a

綜合提高訓(xùn)練

7、(2008汕頭一模)設(shè)尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，AABC三邊上的高分別為力A、M、％，

尸到三邊的距離依次為/。、％、(.，則有2+JL+_L=_____________；類比到空

區(qū)每h

間，設(shè)尸是四面體4比刀內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別是兒、怎、%、％,,P

到這四個(gè)面的距離依次是。、4、/『、ld,則有。

［解析］用等面積法可得，—二=1,類比到空間有3+3+q+}=1

4hB%hAhHhchD

8、(2008惠州一模)設(shè)f(x)=詈,又記

工(x)=/(%)，加(%)=/(力(x))，左=1,2,…,則身》8(/=<)

A.—；B.—；C.x；D.--；

1-xx+1X

［解析］C<(?=罟，f2(x)=--,人(幻=口，力(x)=x，.??丹+4(%)=力。)

1-XXX+1

Ax)8(X)=￡(尤)=X

9、(1)已知等差數(shù)列2=冬+氣+…?。?〃eN),求證：也｝仍為等差

n

數(shù)列；

(2)已知等比數(shù)列｛%｝,c?>0(〃eN),類比上述性質(zhì)，寫出一個(gè)真命題

并加以證明.

〃(q+??)

［解析］(1)b?=—2—=寄，?！?「a=%1產(chǎn).，

n22

???｛4｝為等差數(shù)列=也尹=|為常數(shù)，所以h｝仍為等差數(shù)列；

(2)類比命題：若｛%｝為等比數(shù)列，c“>0(〃wN*),而而??…g,

則｛"〃｝為等比數(shù)列

證明：d“=&cS=國(guó),5=m=而為常數(shù)，｛叁｝為等比數(shù)列

10、我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=/(x)*￡。)，對(duì)任意

x,y,晝e。均滿足/(^12)>1[/(%)+/⑶)],當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立。

(1)若定義在(0，+8)上的函數(shù)/(x)GM,試比較/(3)+.”5)與2/(4)大小.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=—x:求證：g(x)GM.

[解析]⑴對(duì)于/(晝)4"(x)+/(y)]，令x=3,y=5得八3)+/(5)<2/(4)

22

G\/%+X,、1r../、](X,+X,)X.+X；(X1+%2)2、C

(2)-][g(X])+g(X2)]=■―'4-+'2-=I4->o

，g("；"2)zg【g(X】)+g(X2)]，所以g(x)GM

第2講直接證明與間接證明

★知識(shí)梳理★

三種證明方法的定義與步驟：

i.綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法,它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、

公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明

方法。

2.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充

分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、

定義、公理、定理等)為止的證明方法。

3.假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，由此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，

從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反函去；它是一種間接的證明方法.用這種

方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行

推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

(3)斷言假設(shè)不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立

★重難點(diǎn)突破★

重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用三種證明方法分析問(wèn)題或證明數(shù)學(xué)命題

難點(diǎn)：運(yùn)用三種方法提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，

選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問(wèn)題或證明數(shù)學(xué)命題

1.從命題的特點(diǎn)、形式去選擇證明方法

①一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語(yǔ)，或否定性命題，或要討

論的情況很復(fù)雜的，可以考慮用反證法②一般地，含分式、根式的不等式，或從

條件出發(fā)思路不明顯的命題，可以考慮用分析法③命題的結(jié)論有明確的證明方向

的，適宜用綜合法

問(wèn)題1：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)y),等式,+工=—1—總不成立

點(diǎn)撥：從命題的形式特點(diǎn)看，適合用反證法證明

2.比較復(fù)雜的命題，有時(shí)需要多種證明方法綜合運(yùn)用，各取所長(zhǎng)。

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1綜合法

題型：用綜合法證明數(shù)學(xué)命題

［例1］(東莞2007-2008學(xué)年度第一學(xué)期高三調(diào)研測(cè)試)

對(duì)于定義域?yàn)椋?,1］的函數(shù)/⑴，如果同時(shí)滿足以下三條：①對(duì)任意的總

有/(x)20；?/(l)=l；③若%NO,%玉+/4I，都有/(玉+九2)2/(為)+/。2)

成立，則稱函數(shù)/(幻為理想函數(shù).

(1)若函數(shù)/(幻為理想函數(shù)，求/(0)的值；

⑵判斷函數(shù)g(x)=2'-l(xe［0J)是否為理想函數(shù)，并予以證明；

【解題思路】證明函數(shù)g(x)=2"-l(xe［0J)滿足三個(gè)條件

［解析］(1)取再=%=0可得f(0)N/(0)+/(0)n/(0)W0.

又由條件①/(0)20,故/(0)=0.

(2)顯然g(x)=2*-1在［0,1］滿足條件①g(x)H0；

也滿足條件②g6=l.若玉NO,x2>0,x,+x2<1,則

g($+乙)一［g&)+g(/)］=2為+*一1一［(2$-1)+(2&-1)］

=2項(xiàng)+4_2為-2%+1=(2V2-1)(2"-l)>0,即滿足條件③，

故g(x)理想函數(shù).

【名師指引】緊扣定義，逐個(gè)驗(yàn)證

【新題導(dǎo)練】

1.(2008年佛山)證明：若。力>0,則電2國(guó)”毆

22

［解析］當(dāng)a,b>0時(shí)，土">4ab,

2

兩邊取對(duì)數(shù)，得1g等2電旅，

又1g疝==呼=政產(chǎn)

二當(dāng)a力>0時(shí)1g等之?dāng)‘a(chǎn)

2.在銳角三角形ABC中，求證：sinA4-sinS+sinC>cosA4-cos^+cosC

［解析］AABC為銳角三角形，A+B>2A>/-8,

22

jrJT

:y=sinx在(0,—)上是增函數(shù)，sinA>sin(---B)=cosB

22

同理可得sin6>cosC,sinC>cosA

/.sinA+sin+sinC>cosA+cosB+cosC

考點(diǎn)2分析法

題型：用分析法證明數(shù)學(xué)命題

［例2］已知a>Z?>0,求證&-后<da-b

［解析］要證C-八<d"b,只需證(&-的I<(Ja-匕)2

a+Z?-2y［ab<a-b,只需證即證b<a

顯然Z?<a成立，因止匕&一瓶<Ja-b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證-一只需證一-"，而不是“因?yàn)?一

所以-一”

【新題導(dǎo)練】

4.a>b>c>d>OJ3.4Z+<y=b+c,求證：4d+4a<y［b+4c

［解析］要證后+&<的+正，只需證d+&)2<(后+無(wú)》

BPa+<7+2y［ad<h+c+2y［bc,因a+d=8+c,只需證

即ad<be,

設(shè)a+d=匕+c=r,則ad—Z?c=(/■—d)d—(t—c)c=(c—d)(c+d—t)<0

:.ad<bc成立,從而夜'+&<四+五成立

25

5.a,beR,a+b=l,求證:(a+2)2+(b+2)2>—

［解析］(a+2)2+(/?+2>N§=/+/+4(。+與+gng=/+〃2g

O<72+(l-?)22；=缶-權(quán)NO，

?.?(a—g)2NO顯然成立，故(a+2)2+3+2)2成立

考點(diǎn)3反證法

題型：用反證法證明數(shù)學(xué)命題或判斷命題的真假

丫一2

［例3］已知/?（%）="+工^（〃>1）,證明方程y（x）=o沒(méi)有負(fù)數(shù)根

x+l

【解題思路】“正難則反"，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛

盾

［解析］假設(shè)X。是/'（均二。的負(fù)數(shù)根，則x0<0且與。一1且就。=一五二2

%+1

0<at0<10<—-<1,解得!</<2,這與％<0矛盾，

%+12

故方程/（幻=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

【新題導(dǎo)練】

6.（08江西5校聯(lián)考）某個(gè)命題與正整數(shù)〃有關(guān)，若〃=MA;eN*）時(shí)該命題成立,

那么可推得〃=攵+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)在已知當(dāng)〃=5時(shí)該命題不成立，那么

可推得

A.當(dāng)”=6時(shí)，該命題不成立B.當(dāng)〃=6時(shí)，該命題成立

C.當(dāng)〃=4時(shí)，該命題不成立D.當(dāng)〃=4時(shí)，該命題成立

［解析］用反證法，可證當(dāng)〃=4時(shí)，該命題不成立

7.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則a+』、h+~.c+,三個(gè)數(shù)

bca

A.都大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)大于2D.至少有一個(gè)不小于2

［解析］:。,力,。,>0二。+』+。+，+c+，N6,舉反例可排除A、B、C,故選D

bba

8.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差dwO,求證：,不可能成等差數(shù)列

abc

［解析］???a、b、c成等差數(shù)列，.?.2A=Q+C

假設(shè)工、）、，成等差數(shù)歹U,則，=，+，=>（a+c）2=4〃c=>（〃一c）?=0,從

ahcbac

而d=0與dwo矛盾，；.工、」不可能成等差數(shù)列

abc

9.（廣東省深圳市寶安中學(xué)、翠園中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期中聯(lián)合考試）

下列表中的對(duì)數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的:

X38915

1gXbci+二3-3。一3c4a—273a-Z?+c+l

請(qǐng)將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為1g:

［解析］:1g9=21g3,所以3和9的對(duì)數(shù)值正確，若lgl5=3a-0+c+l正確，則

1g5工a+c

從而Ig8w3（l-lg5）,即Ig8w3-3a-3c,矛盾。

故15的對(duì)數(shù)值錯(cuò)誤，應(yīng)改正為lgl5=3。-8+c

★搶分頻道★

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

1.（2008年華師附中）用反證法證明命題："三角形內(nèi)角和至少有一個(gè)不大于60°”

時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.三個(gè)內(nèi)角都大于60°

C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

［解析］B

2.已知p3+/=2,關(guān)于p+q的取值范圍的說(shuō)法正確的是（）

A.不大于2行B.不大于2C.不小于2D.不小于

272

［解析］B

3.若三角形能剖分為兩個(gè)與自己相似的三角形，那么這個(gè)三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確

定

［解析］B

4.要證明不等式后+療＞2亞+后成立，只需證明：

［解析］(n+77)2>(2痣+括)2

5.已知/+2+——與2后的大小關(guān)系是

a2+2

［解析］a2+2+^—>242(注意：不能取等號(hào))［用平均值不等式］

/+2

6.(07年惠州第一問(wèn))已知數(shù)列｛%｝滿足q=5,%=5，《用=%+6%(〃N2).

求證：｛4+］+2a〃｝是等比數(shù)列；

-=

［解析］由a+1=an+6a“_i,an+142an3(an4-2an-i)(n，2)

===

?3i5;325??SQ-!-2al15

故數(shù)列｛4+,+2&,｝是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列

綜合提高訓(xùn)練

7.(金山中學(xué)2009屆高三期中考)已知表中的對(duì)數(shù)值有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的：

X1.53568912

Igx3a-b+c2a_ba+c1+a-b-c3(l-a-c)2(2a-b)l-a+2b

請(qǐng)你指出這兩個(gè)錯(cuò)誤.(答案寫成如lg20Wa+b—c的形式)

［解析］若lg3=2a+8錯(cuò)誤，貝叫9=2(2。+加也錯(cuò)誤，反之亦然，此時(shí)其他對(duì)數(shù)值

都正確，但I(xiàn)gl.5+lg6=l+4a-?wlg9,

1g3=2a+Z?、lg9=2(2a+力)且1g1.5￡3a—b+c,

若lg5=a+c錯(cuò)誤，則Ig6=l+lg3-lg5=l+a-b-c也錯(cuò)誤，」.lg5=a+c正

確

若lg6=l+a-b—c錯(cuò)誤，也能導(dǎo)出lg5=a+c錯(cuò)誤，r.Ig6=I+a—人一c正確，

.?.Ig8=3(lg6-lg3)=3(l—a—c)正確，:Ag12^\-a+2b,

綜上lgl.5w3a-Z?+c,Igl2Hl—。+2匕

8.設(shè)函數(shù)/(九)=一2為奇函數(shù).

(I)求實(shí)數(shù)。的值；

(II)用定義法判斷了(x)在其定義域上為增函數(shù)

［解析］(I)依題意，函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽

；f(x)是奇函數(shù)

???=

.a,2'+a—2a,2'+u—2

,?+1—-2V+1

，2(a一1)(2'+1)=0

a=\

2V_1

(II)由(I)知，/(x)=---

2A+1

設(shè)玉<且%，々eR，貝I

/(々)-/(王)

_2-12A|-1

-2*+1-2』+1

=fl-——kfl-——］

I2*+1八2'1+1J

_2(2*-2』),0

一(2電+1)(2*+1)

?'-/U