版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領
文檔簡介
推理與證明
★知識網(wǎng)絡★
歸納
合情推理
推類比
理
推演繹推理
理
與
證
明
證
明
間接證明反證法
第1講合情推理和演繹推理
★知識梳理★
1.推理
根據(jù)一個或幾個事實(或假設)得出一個判斷,這種思維方式叫推理.
從結(jié)構(gòu)上說,推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實(或假設)叫做前提,一
部分是由已知推出的判斷,叫結(jié)論.
2、合情推理:
根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納、類比,然后提出的
推理叫合情推理。
合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類:
(1)歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象
具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。簡言之,歸納推
理是由部分到整體、由個別到一般的推理
(2)類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特
征,推出另一類對象也具有這些特征的推理,簡言之,類比推理是由特殊到特殊
的推理。
3.演繹推理:
從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理,簡言之,
演繹推理是由一般到特殊的推理。三段論是演繹推理的一般模式,它包括:(1)
大前提一-已知的一般原理;(2)小前提一-所研究的特殊情況;(3)結(jié)論一一根
據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷。
★重難點突破★
重點:會用合情推理提出猜想,會用演繹推理進行推理論證,明確合情推理與演繹
推理的區(qū)別與聯(lián)系
難點:發(fā)現(xiàn)兩類對象的類似特征、在部分對象中尋找共同特征或規(guī)律
重難點:利用合情推理的原理提出猜想,利用演繹推理的形式進行證明
1、歸納推理關鍵是要在部分對象中尋找共同特征或某種規(guī)律性
問題1:觀察:V7+715<2#1;V55+VT67<2x/Tl;十3-&+J19+G<2而;….
對于任意正實數(shù)。力,試寫出使6+2而成立的一個條件可以是.
點撥:前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22,故a+6=22
2、類比推理關鍵是要尋找兩類對象的類似特征
問題2:已知拋物線有性質(zhì):過拋物線的焦點作一直線與拋物線交于A、8兩點,
則當A8與拋物線的對稱軸垂直時,A8的長度最短;試將上述命題類比到其他曲
線,寫出相應的一個真命題為.
點撥:圓錐曲線有很多類似性質(zhì),“通徑”最短是其中之一,答案可以填:過橢圓
的焦點作一直線與橢圓交于A、3兩點,則當A3與橢圓的長軸垂直時,A3的長
度最短(|A8|2勺2b2)
a
3、運用演繹推理的推理形式(三段論)進行推理
問題3:定義[x]為不超過x的最大整數(shù),則[-2.1]=
點撥:“大前提”是在(-8,幻找最大整數(shù),所以[-2.1]=-3
★熱點考點題型探析★
考點1合情推理
題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律
[例1]通過觀察下列等式,猜想出一個一般性的結(jié)論,并證明結(jié)論的真假。
sin215°+sin275°+sin21350=-;sin230°+sin290°+sin2150°=-;
22
sin245°+sin2105(,+sin2165°=-;sin260°+sin21200+sin2180°=-
22
【解題思路】注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律(1)結(jié)構(gòu)的一致性,(2)觀察
角的“共性”
[解析]猜想:sin2(?-60°)+sin2?+sin2(a+60°)=二
2
證明:左邊=(sinacos60°-cosasin60°)2+sin2a+(sinacos60°+cosasin600)2
=-|(sin2a+cos2a)==右邊
【名師指引】(1)先猜后證是一種常見題型
(2)歸納推理的一些常見形式:一是“具有共同特征型”,二是“遞推型”,三是
“循環(huán)型”(周期性)
[例2](09深圳九校聯(lián)考)蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂
巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為
3
一組蜂0W…
巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,第
二個圖
有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以
/(〃)表示第〃幅圖的蜂巢總數(shù).則/(4)=;/(〃)=.
【解題思路】找出了(“)一/(〃-1)的關系式
[解析]/⑴=1,/⑵=1+6J(3)=1+6+12,/(4)=1+6+12+18=37
/(n)=l+6+12+18+---+6(n-l)=3n2-3n+l
【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關系
【新題導練】
1.(2008佛山二模文、理)對大于或等于2的自然數(shù)m的〃次方幕有如下分解方式:
22=1+332=1+3+542=1+3+5+7
23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19
根據(jù)上述分解規(guī)律,則52=1+3+5+7+9,若,/(〃zeN*)的分解中最小的數(shù)是73,
則,〃的值為___.
[解析]川的分解中,最小的數(shù)依次為3,7,13,…,m2-m+l,???,
由m2—m+[-73得m=9
2.(2008惠州調(diào)研二理)函數(shù)/(幻由下表定義:
x25314
/(x)12345
若%=5,all+l=/(??),〃=0,1,2,…,則%oo7=4.
[角牛析]。0=5,4=2,=1,43=4,。4=5,,,,,??a“+4a”,。2。。7=。3=4
點評:本題為循環(huán)型
3.(2008深圳調(diào)研)圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個
第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”,按同樣的方式構(gòu)造圖形,設第〃個圖
形包含/(〃)個''福娃迎迎”,則/(5)=;/(?)-/(?-1)=.(答
案用數(shù)字或〃的解析式表示)
裝
費
靠
費
靠
靠
拿
舞
靠
泉
靠
復
[解析]/(5)=41,/(〃)-/(?-1)=4(n-1)
4.(2008揭陽一模)
設為(x)=cosx,/(x)=4'(x),力(x)=f'(X),…,力+|(x)=fn\x),〃eN*,
則人008(X)=()
A.—sinxB.-cosxC.sinxD.cosx
[解析]/o(x)=cosx,/j(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx9
<+4。)=fn(%),源8(X)=A3=COSX
題型2用類比推理猜想新的命題
[例1](2008韶關調(diào)研)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的!,把這個結(jié)論推廣到
3
空間正四面體,類似的結(jié)論是.
【解題思路】從方法的類比入手
[解析]原問題的解法為等面積法,即S==類比問題的解法
223
應為等體積法,V==l?〃即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高,
3344
【名師指引】(1)不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比
(2)類比推理常見的情形有:平面向空間類比;低維向高維類比;等差數(shù)列與等
比數(shù)列類比;實數(shù)集的性質(zhì)向復數(shù)集的性質(zhì)類比;圓錐曲線間的類比等
[例2]在AABC中,若NC=90°,則COS2A+COS2B=1,用類比的方法,猜想三棱
錐的類似性質(zhì),并證明你的猜想
【解題思路】考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所
成的角如何類比到空間
[解析]由平面類比到空間,有如下猜想:“在三棱錐P-ABC中,三個側(cè)面
兩兩垂直,且與底面所成的角分別為a,4了,則
cos2a+cos2p+cos2y=1"
證明:設P在平面ABC的射影為。,延長C。交AB于M,記尸O=〃
由從而PC_LPM,又NPMC=a
hhh
cosa=sinNPCO=----,cos£=——,cos/=——
PCPAPB
?:VP_ABC=^PA-PB-PC=^PA-PBcosa+^PB-PCcos/3+^PC-PAcos/)-h
cosa
------+嘿+篝M=1即cos%+cM+cK=l
PC
【名師指引】(1)找兩類對象的對應元素,如:三角形對應三棱錐,圓對應球,
面積對應體積,平面上的角對應空間角等等;(2)找對應元素的對應關系,如:
兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直,邊相等對應面積相等
【新題導練】
5.(2008深圳二模文)現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題:
同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是。的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則
2
這兩個正方形重疊部分的面積恒為£■.類比到空間,有兩個棱長均為。的正方體,
4
其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為.
3
[解析]解法的類比(特殊化),易得兩個正方體重疊部分的體積為3-
O
6.(2008梅州一模)已知AABC的三邊長為a),c,內(nèi)切圓半徑為r(用
SAABC表示A鉆C的面積),則SMSC=Lr(a+b+c);類比這一結(jié)論有:若三棱錐
A-BCD的內(nèi)切球半徑為R,則三棱錐體積匕…a=
[解析]—R(SMBC+S&ABD+^MCD+S居CD
7.(2008屆廣東省東莞市高三理科數(shù)學高考模擬題(二))
在平面直角坐標系中,直線一般方程為Ax+8y+C=O,圓心在(無(),>())的圓的一
般方程為。-/)2+(〉->0)2=/;則類似的,在空間直角坐標系中,平面的一
般方程為,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為
2222
[解析]Ax+By+Cz+D=O;(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=r
8.對于一元二次方程,有以下正確命題:如果系數(shù)q,4,G和都是非零實
數(shù),方程aX+3+G=0和〃2/+%工+。2=0在復數(shù)集上的解集分別是A和8,
則“£L=JL=£L”是"A=B"的充分必要條件.
a2b2c2
試對兩個一元二次不等式的解集寫出類似的結(jié)果,并加以證明.
解:(3)如果系數(shù)為,4,G和生也,。2都是非零實數(shù),不等式a/2+3+C]>0和
的/+&》+02>0的解集分別是A和8,則“a=區(qū)=2”是“A=B”的既不
a2b2c2
充分也不必要條件.可以舉反例加以說明.
9.已知等差數(shù)列的定義為:在一個數(shù)列中,從第二項起,如果每一項與它的前一項
的差都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.
類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定
義:;
已知數(shù)列{%}是等和數(shù)列,且4=2,公和為5,那么%&的值為.這
個數(shù)列的前〃項和S”的計算公式為,
[解析]在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個
——為奇數(shù)
數(shù)叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和;“8=3;S.=2
y=¥,〃為偶數(shù)
I2
考點2演繹推理
題型:利用“三段論”進行推理
[例1](07啟東中學模擬)某校對文明班的評選設計了a,4c,d,e五個方面的多
元評價指標,并通過經(jīng)驗公式樣s=g+£+,來計算各班的綜合得分,S的值越高
bde
則評價效果越好,若某班在自測過程中各項指標顯示出0<c<d<e<8<。,則下
階段要把其中一個指標的值增加1個單位,而使得S的值增加最多,那么該指標
應為.(填入a,b,c,d,e中的某個字母)
【解題思路】從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律
[解析]因a,"c,d,e都為正數(shù),故分子越大或分母越小時,S的值越大,而在分
子都增加1的前提下,分母越小時,S的值增長越多,???0<c<d<e<b<a,所以
c增大1個單位會使得S的值增加最多
【名師指引】此題的大前提是隱含的,需要經(jīng)過思考才能得到
[例2](03上海)已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常
數(shù)T,對任意x£R,有f(x+7)=T/U)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由;
(2)設函數(shù)f(x)=a'(a>0,且aWl)的圖象與y=x的圖象有公共點,證明:f{x}-a
GM;
(3)若函數(shù)f(x)=sinAxGM,求實數(shù)k的取值范圍.
【解題思路】函數(shù)/'(X)是否屬于集合M,要看/'(x)是否滿足集合M的“定義”,
[解](1)對于非零常數(shù)T,『(戶T)=JV+T,Tf(x)=Tx.因為對任意xSR,戶T=Tx
不能恒成立,所以=
(2)因為函數(shù)/'(x)=a*(a>0且aWl)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點,
所以方程組:]>=優(yōu)有解,消去丫得印=”,
顯然40不是方程a'=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使a'=T.
于是對于/'(才)=巳有/(尤+7)=優(yōu)+7=aTax=Tax=7f(x)故f(x)=H£M.
(3)當k=0時,f(x)=O,顯然f(x)=O£M.
當kWO時,因為/"(x)=sin4xGM,所以存在非零常數(shù)T,對任意xGR,有
F(JV+T)=Tf(x)成立,即sin(A,v+AT)=TsinAx.
因為k#0,且x@R,所以AxWR,正ATGR,
于是sin/rxe[—1,1],sin(4x+AT)e[—1,1],
故要使sin(4x+AT)=Tsin4x.成立,
只有T=±l,當T=1時,$111(?戶女)=$111於成立,則A=2R不,mWZ.
當T=-1時,sin(Ax-A)=-sinAx成立,
即sin(4x—A+")=sin/rx成立,
則一A+萬=2加碼mGZ,即A=-2(加一1)",加eZ.
實數(shù)A的取值范圍是{4|A=加",rWZ}
【名師指引】學會緊扣“定義”解題
【新題導練】
10.(2008珠海質(zhì)檢理)定義方”是向量a和8的“向量積”,它的長度
|£*B|=|£H加6也8,其中8為向量a和6的夾角,若
〃=(2,0),〃一v=(1,—6),貝!J|〃*(〃+u)|=.
—*—?—]———r—
[解析]v=(l,V3),w+v=(3,V3),sin<u,u+v>=—/.|w*(w+v)|=2>/3
11.(2008深圳二模文)一個質(zhì)點從A出發(fā)依次沿圖中線段到達3、C、D、E、F
G、H、/、J各點,最后又回到A(如圖所示),其中:ABLBC,D------
AB//CD//EF//HG//IJ,BC//DE//FG//HI//JA.---------
Jar
G
A
欲知此質(zhì)點所走路程,至少需要測量〃條線段的長度,
貝(B)
A.2B.3C.4D.5
[解析]只需測量AB,8C,GH3條線段的長
12.(2008惠州調(diào)研二)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文f密文
(加密),接受方由密文->明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對應密
文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接受方收到
密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為().
A.4,6,1,7B.7,6,1,4c.6,4,1,7D.1,6,4,7
a+2/?=5a=6
2b+c=7得《h=4
[解析]由,2c+3d=1*,選C
c=1
4d=16d=1
13.對于任意的兩個實數(shù)對(a,力和(c,d),規(guī)定:(a向=(c,d),當且僅當4=°乃=";
運算"@"為:(a,b)?(c,d)=(ac-t>d,bc+ad);運算"十”為:(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d)>
設p,qeR,若(1,2)&(PM)=(5,0),則(1,2)十(/“)=.....()
A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(Of
解:由題意,[“-2"=5,解得["=1,所以正確答案為(B).
點評:實際上,本題所定義的實數(shù)對的兩種運算就是復數(shù)的乘法與加法運算.我
們可以把該題還原為:已知復數(shù)Z滿足(1+2i)z=5,則(1+2z)+z=.
★搶分頻道★
基礎鞏固訓練
1、對于集合A,B,定義運算A—B={X|XGA且工任團,則A—(A-8)=()
A.BB.AC.AuBD.AryB
[解析]D[用圖示法]
2、命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”
是假命題,推理錯誤的原因是
A.使用了歸納推理B.使用了類比推理
C.使用了“三段論”,但大前提錯誤D.使用了“三段論”,但小前提錯誤
[解析]大前提是特指命題,而小前提是全稱命題,故選C
3、(華南師大附中2007—2008學年度高三綜合測試(三))
給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為復數(shù)集):
①''若。、bGR,貝!]。一人=0=。=/?"類比推出"。、ccC,貝必一匕=0=a=/?"
②”若a、b、c、deR,貝!J復數(shù)a+0i=c+dina=c,8=d”類比推出
"a、b、c、d&Q,則a+b五=c+=>a=c,/?=d"
③”若a、b>eR,則a—Z?>Ona>Z?"類比推出"若
a、eC,則a-。>0=>a>力”
④“若xeR,貝類比推出''若zeC,貝Hz|<1=>-1<z<1"
其中類比縝診.硬的個數(shù)有()
A.1B.2C.3D.4
[解析]類比結(jié)論正確的只有①
4、如圖第n個圖形是由正n+2邊形“擴展”而來,(n=l,2,3,…)。則
第n—2
個圖形中共有__________________個頂點。
[解析]設第〃個圖中有。“個頂點,則q=3+3x3,/=4+4x4,=〃+〃?〃,
an_2=(〃-2f+〃-2=-3〃+2
5、如果函數(shù)在區(qū)間。上是凸函數(shù),那么對于區(qū)間。內(nèi)的任意修,/,…,匕,
都有1m)+/(%2)+-?+/(%)</(XI+X2+--+Xn).若y=sinx在區(qū)間(0,外上是
nn
凸函數(shù),那么在△ABC中,sinA+sin3+sinC的最大值是.
[解析]sinA+sinB+sinCW3sin'+'+'=35山工=
332
6、類比平面向量基本定理:''如果£工是平面。內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于
平面內(nèi)任一向量Z,有且只有一對實數(shù)為,小,使得寫出空間向量
基本定理是:_____________
[解析]如果之,",尾是空間三個不共面的向量,那么對于空間內(nèi)任一向量7有且
只有一對實數(shù)4,4自,使得Z=+4a
綜合提高訓練
7、(2008汕頭一模)設尸是AABC內(nèi)一點,AABC三邊上的高分別為力A、M、%,
尸到三邊的距離依次為/。、%、(.,則有2+JL+_L=_____________;類比到空
區(qū)每h
間,設尸是四面體4比刀內(nèi)一點,四頂點到對面的距離分別是兒、怎、%、%,,P
到這四個面的距離依次是。、4、/『、ld,則有。
[解析]用等面積法可得,—二=1,類比到空間有3+3+q+}=1
4hB%hAhHhchD
8、(2008惠州一模)設f(x)=詈,又記
工(x)=/(%),加(%)=/(力(x)),左=1,2,…,則身》8(/=<)
A.—;B.—;C.x;D.--;
1-xx+1X
[解析]C<(?=罟,f2(x)=--,人(幻=口,力(x)=x,.??丹+4(%)=力。)
1-XXX+1
Ax)8(X)=£(尤)=X
9、(1)已知等差數(shù)列2=冬+氣+…?。?〃eN),求證:也}仍為等差
n
數(shù)列;
(2)已知等比數(shù)列{%},c?>0(〃eN),類比上述性質(zhì),寫出一個真命題
并加以證明.
〃(q+??)
[解析](1)b?=—2—=寄,?!?「a=%1產(chǎn).,
n22
???{4}為等差數(shù)列=也尹=|為常數(shù),所以h}仍為等差數(shù)列;
(2)類比命題:若{%}為等比數(shù)列,c“>0(〃wN*),而而??…g,
則{"〃}為等比數(shù)列
證明:d“=&cS=國,5=m=而為常數(shù),{叁}為等比數(shù)列
10、我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M:函數(shù)y=/(x)*£。),對任意
x,y,晝e。均滿足/(^12)>1[/(%)+/⑶)],當且僅當x=y時等號成立。
(1)若定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)GM,試比較/(3)+.”5)與2/(4)大小.
(2)設函數(shù)g(x)=—x:求證:g(x)GM.
[解析]⑴對于/(晝)4"(x)+/(y)],令x=3,y=5得八3)+/(5)<2/(4)
22
G\/%+X,、1r../、](X,+X,)X.+X;(X1+%2)2、C
(2)-][g(X])+g(X2)]=■―'4-+'2-=I4->o
,g(";"2)zg【g(X】)+g(X2)],所以g(x)GM
第2講直接證明與間接證明
★知識梳理★
三種證明方法的定義與步驟:
i.綜合法是由原因推導到結(jié)果的證明方法,它是利用已知條件和某些數(shù)學定義、
公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立的證明
方法。
2.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求推證過程中,使每一步結(jié)論成立的充
分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、
定義、公理、定理等)為止的證明方法。
3.假設原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設錯誤,
從而證明了原命題成立,這樣的方法叫反函去;它是一種間接的證明方法.用這種
方法證明一個命題的一般步驟:(1)假設命題的結(jié)論不成立;(2)根據(jù)假設進行
推理,直到推理中導出矛盾為止
(3)斷言假設不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立
★重難點突破★
重點:能熟練運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題
難點:運用三種方法提高分析問題和解決問題的能力
重難點:在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學問題中,
選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學命題
1.從命題的特點、形式去選擇證明方法
①一般地,結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語,或否定性命題,或要討
論的情況很復雜的,可以考慮用反證法②一般地,含分式、根式的不等式,或從
條件出發(fā)思路不明顯的命題,可以考慮用分析法③命題的結(jié)論有明確的證明方向
的,適宜用綜合法
問題1:對于任意非零實數(shù)y),等式,+工=—1—總不成立
點撥:從命題的形式特點看,適合用反證法證明
2.比較復雜的命題,有時需要多種證明方法綜合運用,各取所長。
★熱點考點題型探析★
考點1綜合法
題型:用綜合法證明數(shù)學命題
[例1](東莞2007-2008學年度第一學期高三調(diào)研測試)
對于定義域為[0,1]的函數(shù)/⑴,如果同時滿足以下三條:①對任意的總
有/(x)20;?/(l)=l;③若%NO,%玉+/4I,都有/(玉+九2)2/(為)+/。2)
成立,則稱函數(shù)/(幻為理想函數(shù).
(1)若函數(shù)/(幻為理想函數(shù),求/(0)的值;
⑵判斷函數(shù)g(x)=2'-l(xe[0J)是否為理想函數(shù),并予以證明;
【解題思路】證明函數(shù)g(x)=2"-l(xe[0J)滿足三個條件
[解析](1)取再=%=0可得f(0)N/(0)+/(0)n/(0)W0.
又由條件①/(0)20,故/(0)=0.
(2)顯然g(x)=2*-1在[0,1]滿足條件①g(x)H0;
也滿足條件②g6=l.若玉NO,x2>0,x,+x2<1,則
g($+乙)一[g&)+g(/)]=2為+*一1一[(2$-1)+(2&-1)]
=2項+4_2為-2%+1=(2V2-1)(2"-l)>0,即滿足條件③,
故g(x)理想函數(shù).
【名師指引】緊扣定義,逐個驗證
【新題導練】
1.(2008年佛山)證明:若。力>0,則電2國”毆
22
[解析]當a,b>0時,土">4ab,
2
兩邊取對數(shù),得1g等2電旅,
又1g疝==呼=政產(chǎn)
二當a力>0時1g等之敗產(chǎn)
2.在銳角三角形ABC中,求證:sinA4-sinS+sinC>cosA4-cos^+cosC
[解析]AABC為銳角三角形,A+B>2A>/-8,
22
jrJT
:y=sinx在(0,—)上是增函數(shù),sinA>sin(---B)=cosB
22
同理可得sin6>cosC,sinC>cosA
/.sinA+sin+sinC>cosA+cosB+cosC
考點2分析法
題型:用分析法證明數(shù)學命題
[例2]已知a>Z?>0,求證&-后<da-b
[解析]要證C-八<d"b,只需證(&-的I<(Ja-匕)2
a+Z?-2y[ab<a-b,只需證即證b<a
顯然Z?<a成立,因止匕&一瓶<Ja-b成立
【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證-一只需證一-",而不是“因為-一
所以-一”
【新題導練】
4.a>b>c>d>OJ3.4Z+<y=b+c,求證:4d+4a<y[b+4c
[解析]要證后+&<的+正,只需證d+&)2<(后+無》
BPa+<7+2y[ad<h+c+2y[bc,因a+d=8+c,只需證
即ad<be,
設a+d=匕+c=r,則ad—Z?c=(/■—d)d—(t—c)c=(c—d)(c+d—t)<0
:.ad<bc成立,從而夜'+&<四+五成立
25
5.a,beR,a+b=l,求證:(a+2)2+(b+2)2>—
[解析](a+2)2+(/?+2>N§=/+/+4(。+與+gng=/+〃2g
O<72+(l-?)22;=缶-權(quán)NO,
?.?(a—g)2NO顯然成立,故(a+2)2+3+2)2成立
考點3反證法
題型:用反證法證明數(shù)學命題或判斷命題的真假
丫一2
[例3]已知/?(%)="+工^(〃>1),證明方程y(x)=o沒有負數(shù)根
x+l
【解題思路】“正難則反",選擇反證法,因涉及方程的根,可從范圍方面尋找矛
盾
[解析]假設X。是/'(均二。的負數(shù)根,則x0<0且與。一1且就。=一五二2
%+1
0<at0<10<—-<1,解得!</<2,這與%<0矛盾,
%+12
故方程/(幻=0沒有負數(shù)根
【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難,故用反證法比較多
【新題導練】
6.(08江西5校聯(lián)考)某個命題與正整數(shù)〃有關,若〃=MA;eN*)時該命題成立,
那么可推得〃=攵+1時該命題也成立,現(xiàn)在已知當〃=5時該命題不成立,那么
可推得
A.當”=6時,該命題不成立B.當〃=6時,該命題成立
C.當〃=4時,該命題不成立D.當〃=4時,該命題成立
[解析]用反證法,可證當〃=4時,該命題不成立
7.設a、b、c都是正數(shù),則a+』、h+~.c+,三個數(shù)
bca
A.都大于2B.都小于2C.至少有一個大于2D.至少有一個不小于2
[解析]:。,力,。,>0二。+』+。+,+c+,N6,舉反例可排除A、B、C,故選D
bba
8.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差dwO,求證:,不可能成等差數(shù)列
abc
[解析]???a、b、c成等差數(shù)列,.?.2A=Q+C
假設工、)、,成等差數(shù)歹U,則,=,+,=>(a+c)2=4〃c=>(〃一c)?=0,從
ahcbac
而d=0與dwo矛盾,;.工、」不可能成等差數(shù)列
abc
9.(廣東省深圳市寶安中學、翠園中學2009屆高三第一學期期中聯(lián)合考試)
下列表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的:
X38915
1gXbci+二3-3。一3c4a—273a-Z?+c+l
請將錯誤的一個改正為1g:
[解析]:1g9=21g3,所以3和9的對數(shù)值正確,若lgl5=3a-0+c+l正確,則
1g5工a+c
從而Ig8w3(l-lg5),即Ig8w3-3a-3c,矛盾。
故15的對數(shù)值錯誤,應改正為lgl5=3。-8+c
★搶分頻道★
基礎鞏固訓練
1.(2008年華師附中)用反證法證明命題:"三角形內(nèi)角和至少有一個不大于60°”
時,應假設()
A.三個內(nèi)角都不大于60°B.三個內(nèi)角都大于60°
C.三個內(nèi)角至多有一個大于60°D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60°
[解析]B
2.已知p3+/=2,關于p+q的取值范圍的說法正確的是()
A.不大于2行B.不大于2C.不小于2D.不小于
272
[解析]B
3.若三角形能剖分為兩個與自己相似的三角形,那么這個三角形一定是()
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確
定
[解析]B
4.要證明不等式后+療>2亞+后成立,只需證明:
[解析](n+77)2>(2痣+括)2
5.已知/+2+——與2后的大小關系是
a2+2
[解析]a2+2+^—>242(注意:不能取等號)[用平均值不等式]
/+2
6.(07年惠州第一問)已知數(shù)列{%}滿足q=5,%=5,《用=%+6%(〃N2).
求證:{4+]+2a〃}是等比數(shù)列;
-=
[解析]由a+1=an+6a“_i,an+142an3(an4-2an-i)(n,2)
===
?3i5;325??SQ-!-2al15
故數(shù)列{4+,+2&,}是以15為首項,3為公比的等比數(shù)列
綜合提高訓練
7.(金山中學2009屆高三期中考)已知表中的對數(shù)值有且只有兩個是錯誤的:
X1.53568912
Igx3a-b+c2a_ba+c1+a-b-c3(l-a-c)2(2a-b)l-a+2b
請你指出這兩個錯誤.(答案寫成如lg20Wa+b—c的形式)
[解析]若lg3=2a+8錯誤,貝叫9=2(2。+加也錯誤,反之亦然,此時其他對數(shù)值
都正確,但Igl.5+lg6=l+4a-?wlg9,
1g3=2a+Z?、lg9=2(2a+力)且1g1.5£3a—b+c,
若lg5=a+c錯誤,則Ig6=l+lg3-lg5=l+a-b-c也錯誤,」.lg5=a+c正
確
若lg6=l+a-b—c錯誤,也能導出lg5=a+c錯誤,r.Ig6=I+a—人一c正確,
.?.Ig8=3(lg6-lg3)=3(l—a—c)正確,:Ag12^\-a+2b,
綜上lgl.5w3a-Z?+c,Igl2Hl—。+2匕
8.設函數(shù)/(九)=一2為奇函數(shù).
(I)求實數(shù)。的值;
(II)用定義法判斷了(x)在其定義域上為增函數(shù)
[解析](I)依題意,函數(shù)/(X)的定義域為R
;f(x)是奇函數(shù)
???=
.a,2'+a—2a,2'+u—2
,?+1—-2V+1
,2(a一1)(2'+1)=0
a=\
2V_1
(II)由(I)知,/(x)=---
2A+1
設玉<且%,々eR,貝I
/(々)-/(王)
_2-12A|-1
-2*+1-2』+1
=fl-——kfl-——]
I2*+1八2'1+1J
_2(2*-2』),0
一(2電+1)(2*+1)
?'-/U
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- GB 14167-2024機動車乘員用安全帶和約束系統(tǒng)安裝固定點
- 個人安全保證書范文
- 資陽市中心醫(yī)院人才招聘考試試卷及答案
- 認識光的反射及運用探究性實驗課教學設計表
- 新學期的計劃錦集七篇范文
- 鶴壁市事業(yè)單位定向選聘考試試卷及答案
- 《i u ü 》小學語文教學設計
- 七夕節(jié)表白最浪漫的話語
- 好人好事演講稿4篇
- 父母感恩演講稿范文錦集4篇
- 人工智能技術應用專業(yè)調(diào)研報告
- (正式版)HGT 22820-2024 化工安全儀表系統(tǒng)工程設計規(guī)范
- 中小學心理健康評估測評工作方案(35篇)
- 滲流力學四章答案
- QC080000-2017標準講解培訓教材
- 構(gòu)建高效課堂專題講座
- 籌備工作報告
- 《質(zhì)量管理體系文件》ISO9001:2015質(zhì)量體系文件
- 模特法(MODAPTS)
- 林業(yè)行政案件辦理流程ppt課件
- A4紙直接打印制作信封紅包
評論
0/150
提交評論