8.2正項(xiàng)級數(shù)的收斂性_第1頁
8.2正項(xiàng)級數(shù)的收斂性_第2頁
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文檔簡介

8.2正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法若定理1.正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項(xiàng)級數(shù),例1.討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知p級數(shù)收斂.時,2)若調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切證明級數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.推論設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項(xiàng)級數(shù),(常數(shù)k>0),定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)l=

0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～定理4.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時,級數(shù)可能發(fā)散，也可能收斂.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.

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