新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步習(xí)題課素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第8章習(xí)題課A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．在空間中，設(shè)m，n為兩條不同的直線，α為一個平面，下列條件可判定m⊥n的是(C)A．m⊥α，n⊥α B．m∥α，n∥αC．m⊥α，n∥α D．m∥α，且n?α[解析]當(dāng)m⊥α，n⊥α?xí)r，m∥n，所以A選項錯誤；當(dāng)m∥α，n∥α?xí)r，m，n可能平行，所以B選項錯誤；當(dāng)m⊥α，n∥α?xí)r，m⊥n，所以C選項正確；當(dāng)m∥α，且n?α?xí)r，m，n可能平行，所以D選項錯誤．故選C.2．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?β，則下列說法正確的是(A)A．若α∩β＝l且α⊥β，m?α，m⊥l，則m⊥βB．若m∥n，則α∥βC．若α∩β＝l且m⊥l，n⊥l，則α⊥βD．若α∥β，則m∥n[解析]若α∩β＝l且α⊥β，m?α，m⊥l，則m⊥β，由面面垂直性質(zhì)定理得出A正確；若m∥n，且m?α，n?β，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；若m?α，n?β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α與β相交，可能垂直，也可能不垂直，故C錯誤；兩個平面平行，不能證明兩個平面里的直線都平行，可能異面，故D錯誤；故選A.3．已知PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點的任一點，則下列關(guān)系不正確的是(C)A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC[解析]由PA⊥平面ACB?PA⊥BC，故A不符合題意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合題意；AC⊥PB明顯不成立，故C符合題意．4．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．相交C．在平面內(nèi) D．不能確定[解析]如圖，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因為EF?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.5.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則下面四個結(jié)論不成立的是(D)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[解析]因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確；在正四面體P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B、C均正確．二、填空題6．已知直線l，a，b，平面α，若要得到結(jié)論l⊥α，則須要在條件a?α，b?α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一個條件是_a與b相交__.[解析]由線面垂直的判定定理得到，a與b相交．故答案為a與b相交．7.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有_3__條；與AP垂直的直線有_1__條．[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.8．已知三條不同的直線a，b，c和兩個不同的平面α，β滿意以下條件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c?α，c?β，則c與m的位置關(guān)系是_平行__.(填“相交”，“平行”或“異面”)[解析]由題意可知，直線a與直線b不平行，過a上一點A作直線b′∥b，如圖所示，則a與b′確定一個平面γ，由a⊥α，a?γ，則γ⊥α，由b⊥β，b′∥b，則b′⊥β，又b′?γ，則γ⊥β，由α∩β＝m，得m⊥γ，由c⊥b，得c⊥b′，又c⊥a，a∩b′＝A，a，b′?γ，所以c⊥γ，c?α，c?β，所以c∥m.故答案為平行．三、解答題9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB、AD的中點，E、F、P分別是B1C1、BB1、DD1的中點．(1)求證：MN∥平面BDD1B1；(2)求證：CA1⊥MN.[證明](1)連接BD，B1D1，∵M(jìn)N∥BD，MN?面BDD1B1，BD?平面BDD1B1，∴MN∥平面BDD1B1.(2)AA1⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，∴AA1⊥MN，∵AC⊥BD，MN∥BD，∴AC⊥MN.又∵AA1∩AC＝A，∴MN⊥平面A1AC，∴CA1⊥MN.10．在平行四邊形ABCD中AB＝6，BC＝4，過A點作CD的垂線交CD的延長線于點E，AE＝2eq\r(3).連接EB交AD于點F，如圖1，將△ADE沿AD折起，使得點E到達(dá)點P的位置．如圖2.(1)證明：直線AD⊥平面BFP；(2)若G為PB的中點，H為CD的中點，且平面ADP⊥平面ABCD，求點H到平面GBC的距離．[解析](1)證明：圖1中，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝2eq\r(3)，所以∠AEB＝60°.所以BE＝4eq\r(3).∵△ADE也是直角三角形，∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝2，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∵∠AED＝∠EAB＝90°，∴△AEB∽△EDA，∴∠EAD＝∠ABE，∴∠DAB＋∠ABE＝∠DAB＋∠EAD＝90°，∴BE⊥AD，在圖2中，PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP.(2)∵平面ADP⊥平面ABCD，且平面ADP∩平面ABCD＝AD，PF?平面ADP，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.取BF的中點為O，連接GO，則GO∥PF，∴GO⊥平面ABCD，即GO為三棱錐G－BCH的高．∴GO＝eq\f(1,2)PF＝eq\f(1,2)×PAsin30°＝eq\f(\r(3),2).∵CH＝eq\f(1,2)DC＝3，∴S△BCH＝eq\f(1,2)CH·AE＝eq\f(1,2)×3×2eq\r(3)＝3eq\r(3)，∴VG－BCH＝eq\f(1,3)S△BCH·GO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2).又∵BC⊥BF，PF⊥BC，又BF∩PF＝F，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥BG,GB＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(1,2)eq\r(\r(3)2＋3\r(3)2)＝eq\f(\r(30),2)，∴S△GBC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(30),2)×4＝eq\r(30).設(shè)點H到平面GBC的距離為d，則由VH－GBC＝VG－BCH，得eq\f(1,3)eq\r(30)·d＝eq\f(3,2)，解得d＝eq\f(3\r(30),20).∴點H到平面GBC的距離為eq\f(3\r(30),20).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)(2024·山東青島期末)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起．設(shè)折起后點A的位置為A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.給出下面四個命題，其中正確的是(CD)A．A′D⊥BCB．三棱錐A′－BCD的體積為eq\f(\r(2),2)C．BA′⊥CA′D．平面A′BC⊥平面A′DC[解析]如圖所示，E為BD的中點，連接A′E.因為A′D＝A′B，所以A′E⊥BD，因為平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′E?平面A′BD，所以A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC.若A′D⊥BC，則可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，與已知沖突，故A錯誤．易得三棱錐A′－BCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6)，故B錯誤．易知△A′CD為直角三角形，則A′C＝eq\r(3).在△A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝eq\r(3)，滿意BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故C正確．因為BA′⊥DA′，DA′∩CA′＝A′，所以BA′⊥平面A′DC，因為BA′?平面A′BC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故D正確．故選CD.2．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點，則直線EF與平面ADD1A1所成角的正弦值為(C)A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)[解析]取DD1的中點G，連接EG、FG、EC1，易知∠FEG為直線EF與平面ADD1A1所成的角，設(shè)AB＝a，則AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝eq\r(2)a，在△EFC1中可求出EF＝eq\r(3)a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝eq\f(FG,EF)＝eq\f(\r(3),3)，故選C.3．(多選題)如圖，透亮塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當(dāng)容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確的命題是(ACD)A．① B．②C．③ D．④[解析]由題圖，明顯①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選ACD.二、填空題4．已知三棱錐S－ABC的全部頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為_36π__.[解析]設(shè)球O的半徑為R，∵SC為球O的直徑，∴點O為SC的中點．連接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，∴BO⊥SC.∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO?平面SCA，∴AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.5.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為4，D為BC的中點，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B－AD－C′為60°，則折疊后二面角A－BC′－D的正切值為_2__.[解析]易知∠BDC′即二面角B－AD－C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形．取BC′的中點M，連接DM，AM，則易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角即∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.三、解答題6．(2024·全國乙卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝eq\r(6)，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，點F在AC上，BF⊥AO.(1)求證：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱錐P－ABC的體積．[解析](1)證明：連接DE，OF，設(shè)AF＝tAC，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(BA,\s\up6(→))＋teq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).又因為BF⊥AO，所以eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝[(1－t)eq\o(BA,\s\up6(→))＋teq\o(BC,\s\up6(→))]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝(t－1)eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)teq\o(BC2,\s\up6(→))＝4(t－1)＋4t＝0，解得t＝eq\f(1,2)，則F為AC的中點．由D，E，O，F(xiàn)分別為PB，PA，BC，AC的中點，于是DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB，OF∥AB，OF＝eq\f(1,2)AB，即DE∥OF，DE＝OF，則四邊形ODEF為平行四邊形，所以EF∥DO，又EF?平面ADO，DO?平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)過P作PM垂直FO的延長線交于點M，因為PB＝PC，O是BC中點，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝eq\r(6)，BO＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(6－2)＝2，因為AB⊥BC，OF∥AB，所以O(shè)F⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF?平面POF，所以BC⊥平面POF，又PM?平面POF，所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，F(xiàn)M?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱錐P－ABC的高為PM，因為∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(6),3).C組·探究創(chuàng)新如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點E，F(xiàn)分別在棱AA1，CC1上，且滿意AE＝eq\f(