期中模擬試題（五）（解析版）-教案課件-人教版高中數學必修第二冊

2020-2021學年高一數學下學期期中

模擬試題（五）

一.選擇題

1.若復數Z滿足（百+3z）z=3z（z為成數單位）則z=

A36.B.3+gc,3-gD.。+鳥

A.---------1

44442222

【答案】B

【解析】由（百+3i）z=3i,

3iG萬-3i)_9+3村_30.

得IMJz—=I——=-f—1r：———II?

V3+3z(V3+3O(V3-3z)1244

故選B.

2.已知向量。4=(2,3),OB=(4,-1),尸是線段AB的中點，則P點的坐標是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由線段的中點公式可得OP=g（OA+O8）=（3,1）,故P點的坐標是（3,1）,

故選B.

則復數2-+/等于

3.i是虛數單位，

l+z

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

.22z(l-z)一.[.

【解析】—+ir=——-——-——l=l+i-l=i,

1+z(1+0(1-0

故選A.

7—1

4.已知復數z滿足?=，，則復數z=

z+1

A.1-iB.l+zC.-1-iD.-l+z

【答案】D

【解析】二曰

z+1

2i2z(l+0-2+2i.

Z=-----=-------------=--------=-1A+，,

1-i(1-0(1+02

故選D.

7T

5.已知①5是兩個夾角為2的單位向量，貝!JI妨-。|的最小值為

3

A.-B.-C.-D.—

4242

【答案】D

【解析】根據題意，。力是兩個夾角為生的單位向量，則。2=lxlxcos'=L,

332

21233

則|劭_q『=左2^2+a2_2^-/?=^-^+1=(^--)+-..^,

則有I防_加…迫,即I防-dI的最小值為且.

22

故選D.

6.已知。是AABC的重心，且AB=JLBC=2,則AC3O的值為

A.-B.1C.-J5D.石

3

【答案】A

【解析】設。是AC的中點，因為。是三角形的重心，

2211

所以BO=§BO=§XQ(BA+BC)=§(BA+BC),AC=BC-BA,

LLt、l11221

所以,AC.BO=-(BC-BA).(BA+BQ=-(BC-BA)=-.

故選A.

A

B

7.已知加，〃是空間中兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，現有如下命題:

①若加//a,nlI[3,mlIn,則o///；②若根_La,n工。,mlIn,則o//月；

③若o//〃，mua,nu/3,則m//〃；④若加//a,ml/n,〃_!_/,則°_16，

則正確命題的個數為

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】①中，若根//a,nil。,mlIn,則a///?或夕與〃相交，故①錯誤;

②中，若m!In,則“J_a,又"_L〃，則a//￡,故②正確；

③中，若a//￡,mua,nu。,則租///或加與〃異面，故③錯誤；

④中，若m//(Z,mlIn,則〃//a或“ua,又〃_L尸，則c_L￡,故④正確.

正確命題的個數為2個.

故選C.

8.四面體A—BCD中，DC上面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,DC=8,則四面體A—BCD外

接球的表面積為

A.100萬B.50%C.25兀D.911

【答案】A

【解析】設AABC外接圓的圓心為。1,四面體A-BCD外接球的球心為O,半徑為R,

連接O]C,。。1,OC,

由正弦定理可得———=2O|C,即QC=---=3,OO=-DC=4,

sinZBAC2sin3002l

R=OC=4OQ+OO：=次+32=5,

即四面體A-BCD外接球的表面積為S=4TTX52=100萬,

故選A.

-.多選題

9.AAfiC是邊長為2的等邊三角形，已知向量d1滿足A3=2a,AW=2a+6,則下列結論正確的是

A.d是單位向量B.BC/lbC.a.b=lD.8C_L(4a+6)

【答案】ABD

【解析】A.\AB\=2,二由A3=2。得，|°|=曳^=1,a是單位向量，該選項正確;

2

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BCIlb,該選項正確；

一2.一h2

C.|AC|=2,|a|=1,.,.由AC=2。+6得，AC=4a"+4a^b+b2,HP4—4+4a?b+b2,:.a*b=----片1,

4

該選項錯誤；

D.BC=b,由上面得，BC.(4a+b)=b.(4a+b)=4a-b+b2=Q,BC1(4a+b),該選項正確.

故選ABD.

10.在AABC中，滿足(。＜：05。+。(：054)12114=百6,a=。為AABC的內心，Z.OBC=a,下

列判斷正確的是

A.A=30°B.NBOC=120。

C.OC=2sinaD.OB+OC的最大值為4

【答案】BC

【解析】(acosC+ccosA)tanA=J0可得A=60°,A錯誤；

因為。為內心，A=60°,所以有NOBC+NOC8=60。，所以NBOC=120。，3正確;

△OBC中有-^=BC.,可得OC=2sintz,故C正確;

sinasin120°

OB+OC=2sin(--a)+2sina=抬cos?-sina+2sine,

=A/3COS?+sin?=2sin(cr+—)?2，所以。錯誤.

故選BC.

11.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD,PD=DC,E是棱PC的

中點，作所，依交PB于點則有

A.異面直線上4與BD所成角大小為生

3

B.平面R4c，平面P8D

C.PBL平面EFD

D.BD±ED

【答案】ABC

【解析】如圖，連結AC,BD,交于點O,連結OE,

.?底面ABCD是正方形，二。是AC中點，

E是棱PC的中點，.-.PA//OE,

：.ZEOD是異面直線PA與3。所成角,

底面ABCD是正方形，側棱尸D_L底面ABCD,PD=DC,

71

.-.OE=OC=EC,:.ZEOD=-,

3

.,.異面直線與皮）所成角大小為三，故A正確；

3

PD_L平面ABCD,.\PD±AC,

又AC1.BD,P￡>pDB=D,POu平面PD3,BDu平面PBD,

;.AC_L平面PD?,又ACu平面BIC,平面R4c，平面P￡>3,故3正確；

PD_L平面ASCD,:.PDYBC,

由底面ABCD是正方形，得BC_LCD,

PD=DC,E是PC的中點，:.DE工PC,PC\BC=C,，止_1平面尸3C,

P3u平面PBC,:.PB±DE,又EFLPB,DE:EF=E,

.?.PB_L平面EFD,故C正確；

由DE_L平面PBC,知DELEB,故。錯誤.

故選ABC.

12.正方體A3CD-A用GA中，P，。分別為棱BC和Cq的中點，則下列說法正確的是

A.BC"/平面AQP

B.4。_1平面40?

c.異面直線4G與尸。所成角為90°

D.平面APQ截正方體所得截面為等腰梯形

【答案】AD

【解析】在正方體ABCO-ABCQ中，P，。分別為棱3C和棱CG的中點,

如圖所示:

①對于選項A:P,。分別為棱BC和棱CG的中點,

所以PQ//BG，由于尸Qu平面APQ,不在平面APQ內，所以8￡//平面APQ,故選項A正確.

②對于選項3：由于平面ABGD，平面ABG2和平面4尸。2為相交平面，所以A。不可能垂直

平面AQP,故錯誤.

③對于選項。:PQ//8C；,△ABC1為等邊三角形，所以"08=60。，即異面直線。尸與4G所成的角

為60。.故錯誤.

④對于選項。：連接AP,AD,,DtQ,由于AQ//PQ,DlQ=AP,所以：平面AP。截正方體所得截

面為等腰梯形，故正確.

故選AD.

三.填空題

13.已知向量a=(2,-l),b=(-3,in),若a//6,貝！J|a+2b|=.

【答案】275

【解析】a//b/.2m—3=0,解得根=萬，貝!]〃=(—3,萬)，

/.ci+2b=(—4,2),

11+如=15+22=2后.

故答案為：2下.

14.已知i為虛數單位，若復數z=《，(aeR)為純虛數，則。=

【答案】-2

［解析］--a-i-(4-')(1+2，)_(a+2)+(2a-l)i

因為z為純虛數，所以a+2=0,得a=-2.

故答案為：-2.

15.已知向量。=(3,2),6=(-1,1),°=?,4),若(2-42,則實數/=.

【答案】-1

【解析】根據題意，向量。=(3,2),6=(-1,1),c=?,4),

貝|。-6=(4,1),

若(a-b)J_c,貝！J(a-6>c=4/+4=0,

解可得：/=—1,

故答案為：-1.

16.如圖，正方體ABCD-aqCiR中，點尸是直線8G的動點，則下列四個命題:

①三棱錐A-RPC的體積不變；

②直線AP與平面ACR所成角的大小不變；

③二面角尸-AR-C的大小不變：

其中正確的命題有—.(把所有正確命題的編號填在橫線上)

【解析】對于①：

「點P是直線Bq的動點，

.?.△A2尸的面積是定值，

?.?點C到平面ADtP的距離不變,

.?.①正確;

對于②：

?隨著尸點的移動，AP與平面ACQ的法向量的夾角也是變化的，

.?.②錯誤；

對于③：

?.?平面PRA平面4cA的法向量的夾角是不變的，

.?.③正確；

綜上，正確的命題有①③.

故答案為：①③.

四.解答題

17.已知復數z為純虛數，且二為實數.

1+i

(1)求復數Z;

(2)設機eR,若復數(m+z)2在復平面內對應的點位于第四象限，求機的取值范圍.

【答案】(1)z=-2z；(2)(2,^o).

【解析】(1)設z=6i,b不0,則二^=工±2=匕±0±也，

1+z1+z2

為實數，:.b=-2,即z=-2i.

1+z

(2)(m+z)2=(m—2i)2=m2—4-4mi,

由題知m2-4>0_a-4m<0,

解得m>2.

m的取值范圍是(2,+co).

18.已知z=5：2-8瓶+15)+(4-5m+6)i,其中i是虛數單位，加為實數.

(1)當z為純虛數時，求相的值；

(2)當復數z.i在復平面內對應的點位于第二象限時，求機的取值范圍.

【答案】(1)m=5；(2)(-00,2)U(5,+8).

【解析】(1)z為純虛數，

...依一.+15=0,解得“5；

[m-5m+60

(2)z?i=-(m2-5m+6)+(m2-8m+15)z在復平面內對應的點位于第二象限，

—m2+5m—6<0

解得m<2^m>5.

m2-8m+15>0

.,?加的取值范圍是(一8,2)U(5,+oo).

19.已知向量a=(l,0),Z?=(2,l).

(1)求|a+3b|；

(2)當左為何實數時，3-。與〃+3A平行，平行時它們是同向還是反向？

【答案】(1)6^；(2)k=——.

3

【解析】(1)由題意可得。+3。=(1,0)+3(2,1)=(7,3),

:.\a+3b|=々+32=屈.

(2)ka-b=k(l,0)-(2,1)=(左一2,-1),

設如一匕=/1(〃+3/?),貝！J(女一2,—1)=丸(7,3),

左一2=74”口1

，解倚k=A=—

—1=343

故左=」時，3-b與a+36平行且方向相反.

3

*2_2

2。.已知AABC的內角A,B,C所對的邊分別是。，6,c，其面積S

(1)若a=巫,b=^2,求cosB；

(2)求sin(A+B)+sin5cosB+cos(B一A)的最大值.

【答案】(1)畫；(2)

62

【解析】(1)s=”十入片,可得‘人麼皿A=”咨4,

424

.,.sinA=cosA,可得tanA=1,

AE(0,左),

,71

A=—

4

a=^6，b=^2,

由正弦定理，=上，可得sinB;3網4=2；2=&，

sinAsin5a466

又，a>b,3為銳角，

cosB—y11-sin2B=

6

(2)A=-

4

/.sin(A+3)+sinBcosB+cos(B-A)

7171

-sin(BH——)+sinBcosB+cos(B----)

44

夜?"夜人.R"點Q應.n

=——sinBd-----cosB+smBcosBH------cosBH------sinB

2222

=點(sinB+cosB)+sinBcosB

令"sin6+cos6,則t2=l+2sinBcoB,

原式=1/+"__L=J_Q+收）2一。，?。?,回，

2222

.?.當/=魚時，B=~,此時，原式的最大值為

42

21.如圖，在四棱錐尸-"CD中，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,平面RLD_L平面

ABCD,Q,“分別為AD,PC的中點，PA=PD=AD=CD=2BC=2.

（1）求證：8。_1平面尸。8；

【答