高等數學課后習題及答案(共11單元)05定積分及其應用

第五章定積分及其應用答案

習題5T

1.求一["/(1心和一ff{x}dx.

dx}dxL

解根據不定積分的性質得出：

6]〃x)dx=f(x)

根據定積分的定義可知，定積分是一個確定的常數，所以

de

—ff(x)dx=O

dxJa

2.利用定積分表示圖5-12中的陰影部分的面積

解根據定積分的幾何意義得

a)￡(-x)Jx-￡(-x)tZx

b)l+￡x3dx

c)—flnx4Zx+[Inxdx

吆J,

d)2-jx1dx

3.利用定積分的幾何意義計算下列定積分的值

(1)Jxdx；(2)+l/；

zr

(3)JA/1-x~dx；(4)^\s\nxdx.

~2

解(1)如圖1所示，根據定積分的幾何意義得

r2.41<<1--3

xdx=-A+AA,=——xlxl+—x2x2="

J-1H軍222

(2)如圖2所示，根據定積分的幾何意義得

C（X+13（1+；）X2=4

（3）如圖3所示，根據定積分的幾何意義得

（4）如圖4所示，根據定積分的幾何意義得

4.設物體以速度v(f)=2產+3f(單位：m/s)作直線運動，試用定積分表示該物體從靜

止開始經過時間T以后所走過的路程s.

解根據定積分的定義可得s=(2產+3。力

5.已知(=1,J,/(x”r=1.7,g{x}dx=2,J,g(x)t7x=1.5求下列各值:

(1)￡f(x)dx；(2)(g(x)rfx；(3)￡[3/(%)-2g(x)]iir.

解根據定積分的性質可知：

⑴￡f(.x)dx=￡f(x)dx+J"'f(x)dx

代入數據1=￡f(x\lx+1.7,可得ff[x}dx=-0.7

(2)(g(x)dx=￡*g(x)^+J；g(x)dx

代入數據2=￡8&以+1.5,可得(8(%叢:=0.5

(3)J[3/(x)-2g(x)jJx=3j-/(x)dr-2￡g(x)dx=3x(-0.7)-2x0.5=-3.1

習題5-2

?x7T

1.求函數y=/5皿/力當工=0及工=區(qū)時的導數,

d

解因為y=一sinrJr=sinx

所以y'LoMsinOH,Mx=%=sin?=F

2.計算下列各導數

⑴“w力；(2)勺―U

(3)&r”COSR2力

公Jsinx

解按照復合函數的求導思路來解決.

(1)—fAyll+rdt=—(71+Z26?0—(令〃=無2)

dx^duJ。dx

=Jl+〃2x2x

=2x71+x4

(2)勺:(小7―(馬，

小Jl+J「+(m4Jl+(>2)4

3x22元

-7i+x12-7i+x8

(3)一(cos^2t/r=cos(>rcos2x)(cosx)/-cos(rsin2x)(sinA：)r

dxJsinA

=-sinxcos(^-cos2x)-cosxcos(^sin2x)

3.計算下列定積分

2I：。

(1)P(3x-x+l)t/x；(2)+—)dx；

JoX

1

[Vx(l+;(4)fi1u人；

2\

f'

(5)廣一也(A)J。J

Joa-+x'1-x2

13/+3/+1

kf7/7A.dx；(8)——dx；

Lx4-1-e-\-+x

兀

[4tan26k/(9；

(9)「|cosx也；(10)

Jo

x+1X<1

(11)[；/(x"x其中y(x)=，1，

—x~X>1

12

(12)口1-x|"x.

01

2312312

解（1)J(3x-x+Y)dx=(x--X+x)=cr—ci~+ci

202

2

[-(x2+-^r)dx=(-x3--x-3)_21

(2),ix433,=~8

9

4x(14x)dx=^\y[x+x)dx=(^X2+g12)_271

(3)

46

心:=arcsinXF~~~

(4)/1

BJ1_M~23

2

43a

2a1.11X71

(5)———jdx=—arctan—

J()a'+x

l+(-)2aao3a

丁1一dx=.xn

(6)arcsin—

JoNA-X12o6

42

「03/+3/+1o3x+3x]、)f。，。21、，

--------dx=(f-z-----—}dx=(3￡+^—)dx

(7)525222

Lx+lL'x+lx+lJ-Jx+l

3iO

=(x+arctanx)|=1+—

4

「一dx二■01

(8)d(x+l)=(ln|l+x|)|

1+x]-e-}1+x

(9)(IcosR公=『COSJOZX-COSX6k+cosx6k

=sinxg-sinx|^4-sinx|羲=4

7t71

2乙=1，

(10)ptanOd0-r(sec?6-1)18=(tan0-8)(

4

2

￡f[x)dx=/(x+l)dx+j^x2dx=(gY+%)8

(11)

+13

0

2

jJl-Rdx=￡(1-x)dx+1(x-V)dx=(x_g尤2)J，、

(12)~X)

o2

4.在應用牛頓―萊布尼茨公式計算定積分/cosxdx時，可否用sinx+2或sinx+3

作為cosx的原函數b(x)使用呢？為什么？

解可以,根據牛頓一萊布尼茨公式，找到cosx的一個原函數即可，而sinx+2和

sinx+3均為cosx的原函數，所以均可使用，計算的結果相同.

5.求極限

[cost2dleldt

(1)limJo(2)lim^——

Xix-1

解分析:這兩個極限均為“9”型，可以采用洛必達法則，分子分母分別求導，再求極限。

o

fcost2dt9

..COSX~1

(1)limJo_______lim------=I

.SOXXTOJ

[eldt/

(2)lim-----=lim一-e

fx-\i1

習題5-3

1.計算下列定積分

r-idx

(1)(2)

J-2U+5X3J

2

cos)八

f2sin3xcosxA；(4)

Jo

71

r<3arctanx,

(5)--丁dx、(6)

，0l+x2

]嚴sinx.

(7)(8)----

xjl+lnx101+cosx

「16dx（1。）r亞Fx；

(9)

(11)

(13)----；(14)Px2y/a2-x2dx；

J,，Jo

(15)j：----(16)Vcosx-cos3xdx.

42X~2

解(1)「一公一=」――?J(ll+5x)=-ln|ll+5x|=，ln6

J-2U+5x5J-2ll+5x515

nn?

23234

(3)fsinxcosxdx=[sin^Jsinx=—sin

JoJo44

2

aiiJ111n

(4)1cos-dt_J[cos-d(-)=-sin-=-l

n

V3

護arctanx,(?白,1￡

------ax=arctanWarctanx=—arctan*"2x

(5)Iol+%2Jo2

o78

x+12

(6)dx=—\—；——----d(x+2x+3)

X2+2X+32心+21+3

11

=—ln(x~9+2x+3)=—In2

02

I*''1]r-----1

(7)[—/dx=1/d(l+Inx)=2<1+Inx「2

11xVl+lnxVl+lnx

sinx

(8)-dx=-J---；—dcosx=-[arctan(c(3x)]『=工

1+cos2X。1+cosx2

(9)令F=則x=r,dx=4/力，當x=l時，f=1；尢=16時，t=2.

代入原式得

,1■6二dx斗方=4r+88Q

勸=4：（產—2r+4—--)dt

2+，2+，2+t

2

=4(g產一產+4，-81nl2+z|=竺-32個

.33

(10)令x=V^sinr(—工w/4工)，則dx=&cos，dr,

2~~2

當1=0時-，t=o；x=應時，，=工.代入原式得

2

6_____7C_￡

「yl2-x2dx=[22cos2zJr=f2(l+cos2r)6?r

JoJoJo

71

=?+；sin2f)271

0

(11)令Jl+x=/,則x=〃一l,dx=2f力，當x=3時，f=2；x=8時，t=3.

代入原式得

3

「8X~\.「3廣一226

I---------dx=-----T

by/T+X」2t2

(12)令1+4=，，則x=Q—l)2,dx=2(f-l)d，，當x=0時，1=1；%=4時，f=3.

代入原式得

f?X2?！?)改=J：⑵—4+/)力

=(^-4r+21n|r|)|3=21n3

(13)令x=tan。(一生＜/＜三)，則Vl+x2=sect,2:=sec?tdt;當x=l時，t-—

224

x=百時，/=工.代入原式得

3

田dx將seer,格cosr,f?1..1§q2

——；------=2—丁力=『-丁"=」-x/sinr=-----=J2——

1X271+X24tan'r4sin'/gsinFsinr￡3

4

(14)令x=Qsin，(一代＜/＜二)，則t/x=acosz力；

2__2

TT

當x=0時，/=0：x=a時，？=一.代入原式得

2

[x2yja2-x1dx=a4sin2rcos2tdt=p6g4(S^n^)2dt=-f2--dt

JoJoJo24J。2

(15)令1=5111](—工工)，則公=cos以，;

22

ITTTT

當x=r=時，t=J,X=1時，r=—.代入原式得

V242

,2冗2，

Jl-JTCTCOSt.r^l-sin21.71

—dx=p—gFT小

丫2J

42X4sin/4

n__________

(16)「Jeosx-CO

2

n_____n______2I____4___

=2cosxsinAzlY=-2Ry/cosxdcosx=-2x—vcos3x

Jo3o-3

2.利用函數的奇偶性計算下列積分

⑵自繪辿L；

(1)fx6sinxtir；

J-/r

元

「4Xcos2x,4

(3)—;----dx；(4)J^4cos0d0.

J-4廠+5

~2

解（1）被積函數尤6sinx為奇函數，積分區(qū)間［-樂司關于原點對稱，所以

fx6sinxt/x=0

（2）被積函數靡也-為偶函數，積分區(qū)間J-工」］關于原點對稱，所以

7177L22」

R（a：sink）一八=21（）廣出田）.公=2戶（arcsinx）2darcsinx=—（arcsinx），"—

4J。71^7J。30324

（3）被積函數三蘭凈為奇函數，積分區(qū)間［-4,4］關于原點對稱，所以

4/cos2%

L爐+5dx=0

（4）被積函數4cos,6為偶函數，積分區(qū)間-工，工關于原點對稱，所以

22

rennn

4cos4=2「4COS46d6=2p(l+cos2^)2d8=2-(1+2cos26+cos?20)dO

"2"".

n

-槨八八c八l+cos46、，八―八八.八八sin4夕、晝3

2j-(1+2COS26H---------)d6=(3e+2sm29H------)=一冗

°24°2

3.證明：fsin,?xdx-sin??xdx

JoJo

pn「一(7T

證明J。sinnxdx=^2sinHxdr+j^sinz,xdx

冗乃

令x=7t—t,則dr=一由;當工=一時，Z=—；x=/r時，/=0.

22

o——

代入積分jsin〃xdx-sinH-t)dt=『sin"f力=J5sin"xdx

22°°

PsinHX6tr=2psinnxdx得證.

ioJo

習題5-4

1.計算下列定積分

%

xsoopx3°f=A7?XUISX^°|01OfOi

|xuis.x=xins/22xJ=xpxsojzxJ(9)

2/J*214

/、1

(I-^)-=XpXSO3xd

OfOf01

xpxsood-[-%a=xpxso。3-beUJS，+[—i=

OfOf01OfOf

apxuis+l-^=xpxmsa+YSO。a=apxsoo=^pxsoo(S)

1p:|(xUPPJB_X)彳-J=爾i+l、年乙8產+io「18

-5一五=+

l苴I產

y0

COfYue”,正=(一名PY°f=wue”x

p_x—-TO(V)

C[c[|JIJ

ZZV可+：+十一=』kU!sM+：+(_

-UI-+—+

￡I乳

S%6TUfS6

丫更1VV

xuisp+—+-------=xp￡H----1--------

￡XSOOM絲^

tEttx〃s3

JTzrjoon+曲OOY-=(丫100-)/目=卡丫gSOY目=xp(￡)

￡X--

112￡3￡It

OiOi

第5=空丫$001+*:

Lvsoox-=(xsoo-)pxz-xpxuisxz

~a五J92121

、二*_"一用J+O，"-=(J-)呻=0一"J

J(T)

0|Of

,xpxUJiXpXUISOJP^(Z.)

Ofor

xpxSOOX(9)“YSO34(S)

,，izJ

OfX_UIS-i

，算pXUUKHUX(to(￡)

21

OfOf

-xpx\ja.sxz\(Z)?XpxJX(T)

1￡

garcsinx辦=xarcsinJ,Xdx^-+-^,1d(l-x2)

(7)2

Io7T7122Jo了，

=會寸2=工+也1

0122

(8)Ilnxdx=xlnx|；-j1公=e-=1

2.計算下列定積分

2

(1)Jcos(ln；(2)j4yfxsinjxdx.

解(1)方法一：令ln%=1,則x=d,當x=l時，f=0；x=e時，t=l.

￡cos(lnx)dx=1)costde1=elcos/1：+1/sinf力=ecosl-l+￡sintde1

=ecosl-l+e'sin，|1-fdcosB=ecosl-1+esinl-fcosk/e7

0JoJo

所以|cos(lnx)iZx=；x(ecosl+esinl-l)

方法二：￡cos(lnx)dx=xcos(ln+jsin(inx)dx

=ecosl-l+xsin(lnx)|^cos(lnx)dx

1

所以］cos(lnx)du:=-x(ecosl+^sinl-1)

2

x=片時，t=H

(2)令4x-t,則元=*,公=2tdt,當x=0時，f=0；

42

代入原式得

冗TC

f4VxsinJxdx=P2rsintdt=-P2rdcost=-2rcosrl2+p4tcostdt

JoJoJoIoJo

￡n￡兀

-tdsinrsinr|(2-4]；siiwdf=2%+4cosfk=2%—4

3.用遞推公式計算下列定積分：

⑴[(1-/Jdx(2)(1-%2)2iZx

解分析：這兩個題均利用例5得到的遞推公式來求解.

)1"

(1)令]=$皿/(—<r<—),則公=cos/力，當x=0時，，=0；X=1時，t=—,

222

代入原式得

r1A居5142痔.8.I-8

11-x]dx=\2costdt=-x-\2costdt=—srnrI?=一

J。''J。53Jo151015

)77777

(2)令％=5皿，(一<,),則6k=cos/力，當x=0時，z=0；x=l時，t=—.

代入原式得

22265315產5乃

J*(l-X)t/￥=jcostdt=-X—X—[2]力=-42=.—

642Jo161032

習題5-5

計算下列廣義積分：

/、產1」

(1)1-~dx?(2)Fe~xdx；

J/Jo

⑶『》；fO

(4)xexdx；

J-8

產1

(5)—；-------------dx

J-0°x+2x+2

r+81(?/1,r,1.3/rJ1、1

解(1)—;dx-lim—dx=lim(一一x)=lim(-----)=一

Jl￡力—也J]4

xa觸3]g田33b3

f+<ofibXb

(2)e~xdx=lime~dx=lim(-"，),=lim(i-e~)=1

J()b->+ooJOb->+co10b今收

(3)二limp-=dx=lim2-x/xl=lim(2y[b-4)=400

J4J尤iJ4JY方一>+x>14Z?->+oo

所以廣義積分[”+戊發(fā)散.

pOpOxAx

(4)xexdx-limxde=limxej°-fedx

J-coa--cc>Jad—>-oolaJa

,i0

=lim(~aea—ex)=lim(ea-1)=—1

a—>-oclaa->-oo

產i7r1p+x1

(5)—；---------------dx=-------c拄+—；-------------dx

x+2x4-200x2+2x+2J。x+2x4-2

rO1rb]

=liim\---------t/(x+l)+lim[--------t/(x+l)

a—yJa(尤+1)-+1fc->+<cJ()(x+1)-+1

=limarctan(x4-l)|0+limarctan(x+l)|^=〃

a

aTf'力->+oo1°

習題5-6

1.求由下列曲線圍成的圖形的面積：

(1)y=Ly=x和x=2；

x

(2)y=e*,y=和x=l；

(3)y=Inx,x=0,y=Ina,與y=In/7(/?>?>0)；

(4)y=e*,y=e與x=0；

(5)y=2x與y=3-x2；

(6)y=x2與y=2x+3；

(7)y=x3,x=0^,y=-l.

解(1)丁=一,丁=%和1=2

x

如圖5所示，選取x為積分變量，所求面積位于12］之間，在［1,2］上任取一個小區(qū)

間k，x+dx］,則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為尤-工，寬為小的小矩形面積近似代

X

替，從而得面積微元

dA=(x——)dx

x

根據微元法得

「21

A=\(x——)dx

x

=|一M2

(2)y=e\y=e~x和x=1

如圖6所示，選取X為積分變量，所求面積位于［0,1］之間，在［0,1］上任取一個小區(qū)

間［x,x+公］,則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為e'-e-”,寬為公的小矩形面積近似

代替，從而得面積微元

dA^(ex-e-x)dx

根據微元法得

A-^ex-e~x)dx

Jo

圖6

-{ex+c~v)|-e+--2

(3)y=lnx,x=0,y=lna,與y=Inb[b>a>6)

如圖7所示，選取y為積分變量，所求面積位于［ina,In”之間，在［ina,In4上任

取一個小區(qū)間［)，,y+dy］,則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用長為/-0,寬為dy的小矩

形面積近似代替，從而得面積微元

dA=eydy

根據微元法得

'ln^

eydy

JIna

y\lnbr

=ey\=b-a

IIna圖7

(4)丁=",〉=￡與工=0

如圖8所示，選取x為積分變量，所求面積位于［0,1］之間，在［0,1］上任取一個小

區(qū)間卜,x+4x］,則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為e-/,寬為公的小矩形面積近似

代替，從而得面積微元

dA=(e-ex)dx

根據微元法得

A=[(e-ex)dx

Jo

=(ex_e，)1=1

(5)y-2x-^y-3-x2

y2X

如圖9所示，解方程組］~2得兩條直線的交點為(-3,-6)和(1,2),

y=3-x

選取X為積分變量，則所求面積位于［-3,1］之間，在［-3,1］上任取一個小區(qū)間卜,尤+公］,

則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為3-f—2x,寬為灰的小矩形面積近似代替，從而

得面積微元

dA-(3-x2-2x)dx

根據微元法得

A=j(3-x2-2x)dx

*—3

c132、?32

=(3x--x-x)=—

3.33

(6)丁=九2與y=2x+3

如圖io所示，解方程組\，V=一X得兩條直線的交點為(-1,1)和(3,9),

y=2x+3

選取x為積分變量，則所求面積位于［-1,3］之間，在［一1,3］上任取一個小區(qū)間［x,x+公］,

則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為2x+3-寬為小的小矩形面積近似代替，從而

得面積微元

dA-(2x+3-X2)dx

根據微元法得

A=J；(2x+3-

3

,2c13、32

=(x+3x—x')=—

3-i.3

(7)y=x1x=0及y=-l

如圖11所示，選取X為積分變量，所求面積位于［-1,0］之間，在上任取一個

小區(qū)間卜,x+dx］，則相應于此小區(qū)間的窄條面積可用高為1+1,寬為dx的小矩形面積近

似代替，從而得面積微元

dA=(x3+V)dx

根據微元法得

A=J(x34-l)Jx

i°3

=(-x4+x)=-

2.求下列曲線所圍成的圖形繞指定軸旋轉所形成的旋轉體的體積:

(1)y=Vx,x=l,x=4,y=0,繞光軸；

(2)y=sinx,x=0,x=4,y=0,繞x軸；

(3)y12=x,x2=y，繞y軸；

7t

(4)y=sinx,y=cosx,x軸上的線段0,y,繞x軸；

(5)y=x2-4,y=0,繞x軸.

解(1)y=?,x=l,x=4,y=0,繞x軸

如圖12所示，繞x軸旋轉時，積分區(qū)間為［1,4］,曲邊梯形的曲邊是y=4,代入

體積公式得：

(2)y=sinx,x=(),x=7r,y=0,繞了軸

如圖13所示，繞x軸旋轉時，積分區(qū)間為［0,萬］,曲邊梯形的曲邊是y=sinx,代

入體積公式得:

V-萬/(sinx)2dx

=(l-cos2x)dx

K2圖13

1/sin2x九一

=/(x----)x

22

(3)y2=x,x2=y，繞y軸

如圖14所示，繞y軸旋轉時，積分區(qū)間為［0,1］,曲邊梯形的曲邊是x=和

所求體積為兩旋轉體體積之差，代入體積公式得：

V=乃((77)2dy_(丁)2dy

1i

/)

o50

3

=-n

10

71

(4)y=sinx,y=cosx,x軸上的線段0,y,繞x軸

乃71

如圖15所示，繞X軸旋轉時，積分區(qū)間為0,-'在°u區(qū)間上曲邊梯形的曲邊

2

7171

是＞=S1!1%,在區(qū)間上曲邊梯形的曲邊是y=cosx,代入體積公式得:

V=7iy(sinx)2A+jj(cosx)2dx

?4

￡j￡j

=乃廣一(l-cos2x)公+萬-(1+cos2x)t/r

o2W2

兀乃

sin2x、41sin2x)2￡71

=-7l{X-)+不乃(x+

22o2242

￡4

(5)y=x2—4,y=0,繞X軸

如圖16所示，繞x軸旋轉時，積分區(qū)間為[-2,2],曲邊梯形的曲邊是y=/—4,

代入體積公式得：

22

V=^（X-4）JX

-8/+16)dx

2

JQ512

=^(-x5--x3+16x)=------71

15

TT

3.求曲線y=Incosx在0W尤4一段的弧長.

.sinx

解由于y'=--------，代入弧長公式得:

COSX

S=Jl+(-sinx)2^=psecAt/x